La vitesse d’une particule quantique et
la transformation de Fourier
Chapitre 2
La particule libre en mécanique quantique
En mécanique quantique, l’état d’une particule ponctuelle est décritpar une fonction d’onde
Description probabiliste :Une mesure de position donnera le résultat à près avec la probabilité
Si la particule n’est soumise à aucune force, l’évolution de est donnéepar l’équation de Schrödinger
Evolution dans le temps :
Questions centrales du cours d’aujourd’hui
1. Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse ou l’impulsion d’une particule quantique ?
Il s’agit d’un résultat probabiliste
La densité de probabilité pour l’impulsion est donnée par
où est la transformée de Fourier de
2. La transformée de Fourier à l’œuvre : l’exemple de l’optique cohérente
Les relations d'incertitude de Heisenberg.
Transformée de Fourier, interférences et diffraction
1.
La transformation de Fourier
Joseph Fourier,1768-1830
La transformation de Fourier, du cours de maths au cours de physique
Maths : la TF est définie dans L1 (fonctions sommables)
Physique : la TF est défini dans L2 (fonctions de carré sommable)
1D :
3 D :
On utilise aussi l’espace S de Schwartz : fonctions décroissant plus vite que toute puissance de x à l’infini
même s’il faut se souvenir de la valeur du signe dans
Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (I)
Connaissant , on calcule en utilisant
Inversement, peut-on reconstruire si on connaît sa TF ?
OUI !
On dit pour simplifier que et sont TF l’une de l’autre,
TF
Si est normée, alors l’est également :
Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (II)
La TF est une isométrie pour l’espace L2
TF TF
Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (III)
On en déduit la TF des dérivées successives de par rapport à x :
Dérivation dans l’espace des x = multiplication dans l’espace des p
Dérivation et transformée de Fourier
On part de
et on suppose qu’on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l’espace S)
TF
TF
TF
2.
Pourquoi Fourier ?
Un des grands problèmes du début du 19ème siècle : la propagation de la chaleur
à comparer à notre équation de Schrödinger
http://www.academie-sciences.fr/Membres/in_memoriam/Generalites/Fourier_Kahane.pdf
et on cherche la solution de l’équation de Schrödinger :
Résolution de l’équation de Schrödinger (particule libre)
La TF de l’équation de Schrödinger est donc :
On se donne comme condition initiale la fonction d’onde à l’instant t=0 :
On utilise la transformation de Fourier
Cette équation s’intègre facilement :
Remarque :
Résolution de l’éq. de Schrödinger (particule libre) - suite
Une fois connue la transformée de Fourier à tout instant t
on peut en déduire à tout t par transformation de Fourier :
c’est-à-dire :
Méthode générale de résolution de l’éq. de Schrödinger libre !
Transformation de Fourier et distribution en impulsion
Proposition : si une particule est dans l’état , alors la distribution de probabilité pour son impulsion est :
TF
Est-ce raisonnable ?
1) On a vu que est normée si est normée, donc
3) Est-ce conforme à l’intuition qu’on a d’une vitesse ou d’une impulsion ?
En mécanique classique, on peut déterminer la vitesse d’une particule en mesurant sa position à l’instant 0 et à l’instant t :
2) On a vu que . La quantité est donc indépendante du temps, comme attendu pour une particule libre.
et quantiquement ?
Impulsion moyenne d’une particule libre quantique
A l’instant 0, la particule est préparée dans l’état
x x
Si on définit l’impulsion moyenne comme avec
, a-t-on le résultat attendu
Oui ! (à faire en exercice)
Note: La démonstration rigoureuse de par analyse d’uneexpérience de « temps de vol » est faite au chapitre 2, §6, et est hors programme.
Solution de l’exercice (à ne consulter qu’en dernier recours)
On utilise ensuite
On commence par utiliser la formule de l’isométrie et la TF d’une dérivée :
et on obtient
CQFD
Interprétation « physique » de la TF
est une superposition d’ondes de de Broglie
Premier amphi : on a vu l’onde de de Broglieassociée à une particule d’impulsion , mais cette onde n’est pas normalisée
Aujourd’hui : toute fonction d’onde normalisée peut s’écrire
représente l’amplitude de l’onde dans ce développement
++ =
Développement d’un vecteur sur une base orthonormée
Élément à développer
Type de somme
Vecteurs de base
« poids » d’un vecteur de base
normalisation
La TF est similaire au développement sur une base
à relier à
somme discrète intégrale
On peut formaliser cette analogie en introduisant la notion de base continue.Hors programme pour ce cours (bases hilbertiennes dans l’amphi 5)
3.
Transformée de Fourier, diffraction et interférences :
l’exemple des ondes lumineuses
Généralité de la Transformation de Fourier
Sons (ou phénomène dépendants du temps) :temps t et fréquence (ou fréquence angulaire = 2 )
Espace (équation de la chaleur, équations d’onde) : position x et « fréquence spatiale » k = 2 /
ˆ f (k) =1
2
+
f (x) e ikxdx
f (x) =1
2
+ ˆ f (k) eikxdk
f̂ ( ) =1
2
+
f (t) e i tdt
f (t) =1
2
+
f̂ ( ) ei td
Huygens, Traité de la Lumière (1690)- Un « front d’onde » peut se décomposeren sources secondaires émettant desondes sphériques (ondelettes)- Le front d’onde se propage commel’enveloppe de ces ondelettes
Les ondes lumineuses : de Huygens à Fresnel
Principe de Huygens-Fresnel (1818)- L’amplitude de vibration d’une sourcesecondaire est proportionnelle à son aire- Si S n’est pas une surface d’onde, ilfaut tenir compte de la phase des sourcessecondaires :
dA(r ) = A0 (r ) e
i (r )d2r
x
y
z
r
Ecran dans le plan (x, y)
François Arago (1786-1883)Le Président
Denis Poisson(1781-1840)
Un examinateur
Concours pour le Grand Prix de l’Académie des Sciences (1819)
Disque opaque
Triomphedu modèle
ondulatoire !
Augustin Fresnel(1788-1827)Le Candidat
Diffraction et Transformation de Fourier
Phénomène étudié : diffraction à l’infini (Fraunhoffer)
* Ecran dans le plan (x, y)* Transmission T(r) = T(x,y)
(r) (0) = r . (ki - kd) = r . k
A(kd) = Ai dr T(r) exp (- i r . (kd - ki))
= Ai dx dy T(x,y) exp (- i x kx - i y ky)
Amplitude diffractée = TF à deux dimensions de T(x, y) !
x
y
zkikd
r
- source et écran d’observation à l’infini :amplitude diffractée dans la direction kd
- principe de Huygens-Fresnel : * somme d’ondes partielles* approximation scalaire : E -> A
Diffraction et Transformation de Fourier
Notations : ki (0, 0, k = 2 / ) kd ( k, k, k) , , << 1
Variables conjuguées de (x, y) : angles de diffraction , << 1 vecteur d’onde transverse
kx = k, ky = k
A( , ) = Ai dx dy T(x,y) exp (- i k ( x + y ) )
= Ai dx dy T(x,y) exp (- 2 i ( x + y ) / )
x
y
zki kd
rkx
ky
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Ouverture rectangulaire de côtés (a, b) :
A( , ) = Ai - a/2 dx - b/2 dy exp (-2 i ( x + y ) / )
= Ai a b sinc ( a / ) sinc ( b / )
|A(k)|2 = | Ai a b|2 sinc2 ( a / ) sinc2 ( b / )
sinc(x) =sin(x)x
a/2 b/2
sinc2 (u)
u = a/ = kx a /2
Une dimension : une fente de
largeur a
a
Pupille rectangulaire|A(kx, ky)|2 =
sinc2 (kx a/2) sinc2 (ky b/2)
a
b
Pupille circulaire|A(kr)|2 =
| J1 (kr a /2) / (kr a /2) | 2
J1 (x) : fonction de Bessel
a
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Deux fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :(pour une fente la longueur b est très grande : = 0)
A( ) = Ai a b sinc ( a / ) ( 1 + exp (-2 i d / ) )
|A( )|2 = | Ai a b|2 sinc2 ( a / ) ( 2 cos ( d / ) )2
A2 (u)2 fentesséparées de
d = 4 a
a a
u = a/ = kx a /2
Fentes d’Young !
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
N fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :série géométrique de raison q = exp (-2 i d / )
A( ) = Ai a b sinc ( a / ) 1 exp (-2 i N d / )
1 exp (-2 i d / )
|A( )|2 = | Ai a b|2 sinc2 ( a / ) sin2 (N d / )
sin2 ( d / )
A2 (u)4 fentesséparées de
d = 4 au = a/ = kx a /2
Réseau (ou maille cristalline) !
Diffraction par des fentes : résumé
Largeur d’une fente :taille du lobe de diffraction
Distance entre les fentes :interfrange
Nombre de fentes :largeur des pics d’intensité
Ecran Figure de diffraction
Diffraction et Transformation de Fourier
Résultats très généraux :- dépendent peu de la « forme du trou » (objet diffringent)- valables pour des ondes lumineuses
… et pour des ondes de matière : | p | = k = h/ - rôle crucial de la longueur d’onde :
tache de diffraction (angulaire) : / ainterfrange (angulaire) : / d
Exemples : longueur d’onde (électromagnétique) des rayons X longueur d’onde (de de Broglie) des électrons quelques Angström (dizièmes de nm)-> diffraction d’électrons ou de rayons X par des cristaux !
* Davisson et Germer (1927)* Analyse structurelle (ex : alliages, ADN...)
4.
Les inégalités de Heisenberg
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :formalisation
Fonction a (x) quelconque et sa transformée de Fourier â (k)
Isométrie : dx | a (x) |2 = dk | â (k) |2 = 1 (convention)
| a (x) |2 et | â (k) |2 peuvent alors être considérées comme desdensités de probabilité pour les variables aléatoires x et k.
dP(x) = | a (x) |2 dx dP(x) = 1
dP(k) = | â (k) |2 dk dP(k) = 1
| a (x) |2 | â (k) |2
x k
dP(u) : probabilité pourque la variable aléatoire
soit entre u et u + du
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :formalisation
On peut alors définir les valeurs moyennes x et k :
x = x dP(x) = dx x | a (x) |2
k = k dP(k) = dk k | â (k) |2
… et les dispersions x et k :
x2 = ( x - x )2 dP(x) = x2 - x 2
k2 = ( k - k )2 dP(k) = k2 - k 2
En utilisant ces équations on montre que : x k 1/2(inégalités de Cauchy-Schwarz)
Pour les variables temps-fréquence on a : t 1/2
Ces inégalités sont des propriétés inhérentes à la TF !
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :exemple de la diffraction
Plus une fonction a (x) (fente) est "étroite", plus sa transformée deFourier â (k) (lobe de diffraction) est "large", et réciproquement.
| a (x) |2 | â (k) |2
x k
| a (x) |2 | â (k) |2
x k
| a (x) |2 | â (k) |2
x k
Des ondes lumineuses aux ondes de matière
Equation de Schrödinger pour une particule libre :
Solutions en ondes planes (non normalisables) :
i(r ,t)
t=
2
2m(r ,t)
(r ,t) =
kei(k .r t )
= p ei( p.r Et )/
Paquet d’ondes (superposition de solutions : solution générale !)
(r ,t) =d 3k
(2 )3/2 (k ) ei(k .r t )
=d 3p
(2 )3/2 (p) ei( p.r Et )/
Transforméesde Fourier
(inverses) de
(k ) e i t
(p) e iEt /
=
2k2
2m= E =
p2
2m
(r ,t) =d 3k
(2 )3/2 (k ) ei(k .r t )
=d 3p
(2 )3/2 (p) ei( p.r Et )/
* Le devient car on a 3 dimensions
* On fait le changement de variable et on pose aussi
pour normaliser toutes les fonctions :
2 ( 2 )3
p = k
(k ) = 3/2 ( k )
Remarque
sur les constantes
| (r ,t) |2 d 3r = | (k ,t) |2 d 3k = | (p,t) |2 d 3p = 1
Transformée de Fourier et ondes de matière
Inégalités de Heisenberg
Les fonctions et étant reliées par TF, on a :
x px 2y py 2
z pz 2
* Conséquences directes de la TF ! (cf. x kx 1/2 )
* Propriétés intrinsèques de la fonction d’onde :* indépendantes de toute mesure* … mais vérifiables en effectuant des mesures sur des
particules toutes préparées dans le même état.
* Importance fondamentale ! (cohérence de la théorie)
(r ,t)
ˆ (p,t)
Les ondes de De Broglie : une limite des paquets d’ondes
On considère le paquet d’ondes
dans le cas limite
L’onde de de Broglie correspond au cas qui est non physique à strictement parler (onde plane non normalisable)
et sa transformée de Fourier
(x) = A e
(x x0 )2 2
2 eix p0
(p) =A
2e
( p p0 )2
2 2 2
eix0 ( p p0 )
5.
Diffraction et Transformée de Fourier : quelques expériences...
« Manipulations holographiquesd’ondes de matière »
(Morinaga et al. , 1996)
Amplitudereprésentée en3 dimensions
Episodes suivants...
* Jusqu’à présent : équation de Schrödinger dans le vide
Que devient l’équation de Schrödingersi des forces s’exercent sur la particule ?
* On a vu des exemples de mesures (position, impulsion…),mais comment décrire de façon générale
le processus de mesure en mécanique quantique ?
Quel est l’objet mathématiqueassocié à une quantité physique ?