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8/19/2019 Laboratorio 3 Modulo de Rigidez Del Cu
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Física Experimental II – Curso 2015 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Laboratorio III: Módulo de rigidez del cobre con péndulo de torsión.
Laboratorio 3: Determinación del módulo de rigidez del cobre con un
péndulo de torsión [*].
Introducción.
En este laboratorio se continuará
el estudio de las propiedades elásticas de
materiales sólidos. La elasticidad de
materiales se estudia experimentalmente
aplicando varios tipos de esfuerzos sobremuestras cuya geometría es conocida. En
materiales homogéneos e isótropos se
definen – en el régimen elástico- cuatro
constantes elásticas, según el esfuerzoaplicado: el módulo de Young ( Γ ) es la
respuesta a la tracción o compresión, el módulo de compresibilidad ( K ) lo es a o
esfuerzos compresores normales a cada superficie y el módulo de rigidez (G) es
respuesta a los esfuerzos cortantes o de cizalladura. Finalmente, el coeficiente de
Poisson (ν) “mide” la respuesta de una muestra a la tracción. Este último parámetro es
adimensional (los restantes tienen unidades N/m2) y en la práctica siempre toma valores
entre 0 y 0.5 (0.0 ≤ ν ≤ 0.5, Ref. 1). Es de notar que la deformación de cizalladura no
cambia el volumen del cuerpo sino sólo su forma, mientras que la compresión uniforme
hidrostática cambia el volumen del cuerpo pero no su forma. Un esfuerzo arbitrario
genera una deformación tal que la respuesta queda expresada en términos de algunos de
estos módulos.Los cuatro parámetros no son independientes entre sí: hay relaciones entre ellos
que reducen a dos el número de módulos independientes. La determinación
experimental es simple para el módulo de Young y para el módulo de rigidez. Los otros
dos quedan determinados por las relaciones [2]:
(1)
(2)En este experimento se determinará el módulo de rigidez del cobre mediante un
método dinámico utilizando un péndulo de torsión suspendido de un alambre delgado
de cobre.
Péndulo de torsión. Conceptos Básicos.
Consideremos un alambre delgado
suspendido verticalmente con su extremo superior
fijo y de cuyo extremo inferior cuelga un cuerpo de
momento de inercia I sobre el que se aplica un
esfuerzo de torsión en el extremo inferior,
provocando una deformación de torsión o
cizalladura (ver figura). El alambre responde a esta
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Laboratorio III: Módulo de rigidez del cobre con péndulo de torsión.
deformación generando un momento recuperador cuya
intensidad es directamente proporcional al ángulo de
torsión:
τ = −k θ , (3)
donde τ es el momento recuperador, y θ es el ángulo de
torsión (en radianes). Aquí no hay restricción de ángulo
pequeño, como en el caso del péndulo, siempre que el
alambre responda linealmente de acuerdo con la ley de
Hooke. Puede demostrarse que la constante de torsión k ,
para el caso de un cilindro de radio r y longitud L, está
relacionada al módulo de rigidez G por la expresión:
(4) Al suprimirse el momento externo el momento recuperador produce oscilaciones
armónicas simples en torno a la posición de equilibrio, rotando inicialmente entre +θ max
y – θ max. A partir de (3), se obtiene la ecuación diferencial del movimiento armónico
simple, a partir de la cual se encuentra la frecuencia (y en consecuencia el periodo de
oscilación), la cual depende de la constante de torsión k y del momento de inercia I del
alambre:
√ . (5)
Queda claro de esta ecuación que midiendo el período de oscilación del péndulo de
torsión podemos determinar experimentalmente el valor de la constante de torsión k (y
por lo tanto del módulo de rigidez G del alambre) siempre y cuando sea conocido el
valor del momento de inercia I del péndulo. Surge entonces el problema de determinar
este momento de inercia,
Si bien el péndulo de torsión que se emplea es simétrico alrededor del eje de
rotación, su momento de inercia I no es simple de calcular dada su forma. Si bien se
pueden realizar los cálculos, se puede optar por un camino más sencillo como es la
determinación experimental de I. Para esto se incorporan al péndulo físico dos bloques
cilíndricos de igual masa m y radio R sobre la varilla, ubicados simétricamente respecto
del eje, a igual distancia d del centro. El momento de inercia del nuevo péndulo, I 2, serelaciona con el momento de inercia I a partir de:
I 2 = I + 2 I 1 [6]
Donde:
(7) es el momento de inercia de cada cilindro respecto al eje común. En esas condiciones, el
sistema oscila alrededor del equilibrio con período T 2. El momento de inercia I se
determina entonces a partir de la medida de los períodos T y T 2 (5):
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Laboratorio III: Módulo de rigidez del cobre con péndulo de torsión.
( ) (8)La mayor contribución al error de medida proviene del momento de inercia I 1
(por el error en la medida de la distancia d de las masas agregadas al eje de rotación) ydel diámetro del alambre. Otras fuentes de error surgen de las incertidumbres en los
periodos de oscilación. Para determinar la influencia de este último error las medidas de
los períodos se realizarán con un fotogate y con cronómetros.
Esquema del péndulo de torsión original (período de oscilación T) y con las masasincorporadas a distancia d del eje de giro (período de oscilación T 2 ). Se aplica un torque que produce una deformación por torsión de alrededor de 45º (3), manteniendo al sistema en la
misma vertical. Al eliminar el torque aplicado, el conjunto realiza un movimiento de oscilaciónarmónico alrededor de la posición de equilibrio. Se emplea un fotogate sensor electrónico de
tiempo y cronómetro para determinar el periodo de oscilación.
Referencias.Material didáctico preparado para uso de la materia Física Experimental II.
Cátedra 2015:Prof.: Leonardo Errico ([email protected])
JTP: José M. Ramallo López ([email protected])Ayudantes: Lic. Santiago Osorio, Lic. Josefina Alconada Verzini
[1] R.A.Serway, Física, Tomo 1, Mc Graw Hill, 1997, pp. 347-351, 375-376.[2] H.L. Anderson, Ed. A Physicist´s Desk Referente, AIP American Institute of Physics, 1989, p.37. Las constantes elásticas de una muestra dependen en gran medida de su historia, estructuracristalina, etc. Los valores que reportan las tablas son en gran medida aproximados. Algunos
materiales:• Aluminio: Γ =7.0x10
10, G=2.5x10
10, K =7.5x10
10, n = 0.34;
• Cobre: E=11.0x1010
, G=4.4x1010
, K =13.5x1010
, n = 0.34;
• Platino: Γ =7.0x1010
, G=6.3x1010
, K=24.5x1010
, n = 0.39
Datos de: W.H.J. Childs, Physical constants (Methuen, London, 1951).[3] Norma ASTM A938-97. Consultar también: Norma ISO 7800:2003 explicita un método para determinar la capacidad de alambres metálicos de diámetros entre 0,1 y 10 mm paraexperimentar una deformación plástica bajo torsión simple en una dimensión.[4] PASCO scientific, Roseville, CA, Part: Photogate timer with memory, Model ME-9215A.http://www.pasco.com. (Inventario FOMEC ME 11-04).[5] Fernandez, J.S. y Galloni, E.E., Trabajos Prácticos de Física, Centro de Estudiantes deIngenieria de Buenos Aires, 1947. pp. 160-165.