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Le filtrage au cours des âges
Du filtre de Kalman au filtrage particulaire
André Monin
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Objectif
Estimer l'état d'un système dynamique perturbé aléatoirement aux vues d'un processus d'observation
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Démarche
• Modélisation globale du système– Etat du système– Processus d’observation
• Analyse du modèle – Linéaire / Non linéaire– Bruits Gaussiens / Non Gaussiens– Observabilité
• Choix d’un critère d’estimation• Désignation d’une technique de filtrage adaptée au modèle
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ModélisationBase la modélisation : Processus stochastiques = Variable aléatoire
indicée par le temps
Description par probabilité conjointe
• Fonction de répartition :
• Mesure de probabilité :
• Densité de probabilité :
• Moments (moyenne, autocorrélation, …) :
• …
€
Pr(X t0< xt0
,X t1< xt1
,...,X tn< xtn
)
€
dPXt0 ...Xtn(xt0
,...,xtn)
€
pXt0 ...Xtn(xt0
,...,xtn)
€
E[X t0
k0 ...X tn
kn ]
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Analyse d’un processus stochastique
Objectif : “Séparer” partie prévisible / martingale
Modèle d’état gouverné par des bruits blancs
Bruits blancs = Processus à réalisations indépendantes dans le temps (et de moyenne nulle)
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Ignotus
Données
tw
Bruit
),(1 ttt wxfx =+
Capteurs
tx
Etat
tvBruit
ty
),( ttt vxhy =
Système dynamique
),...,(ˆ 0 tt yyFx =
Objectif : Estimer l’état Calculer F
FiltreEstimateur
tx̂
ty
Objectif
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Propriétés fondamentales des bruits blancs
• Indépendance : • Décorrélation :• Densité spectrale de puissance :
€
dPWt0 ...Wtn(wt0
,...,wtn) = dPWt0
(wt0)...dPWtn
(wtn)
€
E[wtws] = Qδ0(t − s)
€
Sww ( f ) = Q
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Caractérisation des bruits blancs à temps continus
Dérivée (formelle) d’un processus à accroissements indépendants
, les variables sont indépendantes
Il n’existe que deux catégories :
• PAI à trajectoire continue : Mouvement Brownienà trajectoire continue : Mouvement Brownien
• PAI purement discontinus : Processus de comptage marquéPAI purement discontinus : Processus de comptage marqué
€
∀t0 < t1 < ...< tn
€
X t1− X t0
,...,X tn− X tn−1
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Mouvement Brownien
• Trajectoire continue• Limite de la marche aléatoire• Réalisation gaussienne de puissance infinie• Nulle part dérivable
Bruit blanc
€
E[β t2 ] = Qt
€
E[dβt ] = 0
€
E[dβt2 ] = Qdt
€
S( f ) = cste
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Exemple de réalisation du mouvement Brownien
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Exemples
• Bruit thermique, électronique• Bruit électromagnétique• …
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Processus de comptage
Processus à valeurs entières de fréquence
€
Nt
€
λ
€
Pr(Nt − Ns = n) =1n!
λn(t − s)n e−λ (t−s)
€
E[Nt ] = λ t
€
E[dNtk ] = λdt,∀k ≥1
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Exemple de réalisation
![Page 14: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/14.jpg)
Processus de comptage marqué
• Sauts règlés par un processus de comptage• Les amplitudes sont aléatoires, indépendantes deet de distribution connue :
€
Nt
€
Nt
€
Pr[U < u]
€
dπ t = udNt
€
πt = udNt (u)U∫
€
E[dπ t ] = E[u]λdt
€
E[dπ tk ] = E[uk ]λdt,∀k ≥1
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Exemple de réalisation
![Page 16: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemples
• Emission d’électrons d’un tube vidéo• Radioactivité• Apparition de pannes• Déclenchement de manoeuvre• Evènements sismiques• …
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Processus markoviens
Modèle d’état :
Processus à accroissements indépendants
€
∀t1 < ...< tn , Pr(Xtn< x | Xtn −1,..., Xt1
) = Pr(Xtn< x | Xtn −1)
€
dxt = f (xt )dt + g(xt )dβt + k(xt ,u)dNtU∫ (du)
€
βt
Nt (du)
⎫ ⎬ ⎭
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Echantillonnage
Traitements numériques => échantillonnage
Théorème de Shannon : un signal continu à spectre borné par la fréquence F doit être échantillonné au moins à 2F.
Filtrer avant d’échantillonner
F 2F
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Echantillonnage d’un signal bruité
Signal à spectre borné par F
Bruit blanc gaussien de d.s.p.
Filtrage passe-bas à F => inchangé
Densité spectrale de
Puissance =
€
yt = xt + ˙ β t
€
xt
€
˙ β t
€
N0
€
xt
€
2N0F
€
N0
€
−F
€
F
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Echantillonnage d’un signal bruité
Bruit blanc gaussien de variance
Attention : Fréquence plus basse => puissance plus faible mais bruit non blanc
€
ykT = xkT + wk
€
wk
€
2N0F
€
N0
€
−F
€
F
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Discrétisation d’un système dynamique markovien
Intégration durant la période d’échantillonnage T
Bruits blancs
€
dxt = f (xt )dt + g(xt )dβt + k(xt ,u)dNtU∫ (du)
€
xk+1e = xk
e + f (xt )dtkT
(k+1)T
∫ + g(xt )kT
(k+1)T
∫ dβt + k(xt ,u)dNtU∫ (du)
kT
(k+1)T
∫
€
xk+1e ≅ xk
e + f (xke )T + g(xk
e )Δβk + k(xke ,u)ΔNk (du)
U∫
€
ΔNk (du) = N(k+1)T (du) − NkT (du)
€
Δβk = β(k+1)T − βkT
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Discrétisation d’un système dynamique markovien (suite)
Processus à accroissements indépendants
Bruit blanc gaussien à temps discret
€
Δβk = β(k+1)T − βkT
€
βt
€
Δβk
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Discrétisation d’un système dynamique markovien (suite)
Processus de comptage
Bruit blanc poissonien à temps discret
€
ΔNk (du) = N(k+1)T (du) − NkT (du)
€
Nt
€
ΔNk ≅
€
P[ΔNk (du) =1∧U ∈ [u,u + du[] = λTp(u)du
€
P[ΔNk (du) = 0] =1− λT
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Résultat de la modélisation
Modèle dynamique de prédiction de l’évolution du système
Distribution de l’état initial
Distribution du bruit blanc
Equation d’observation
€
xt+1 = f (xt ,wt )
€
pX0(x0 )
€
pWt(wt )
€
yt = h(xt )+ vt
![Page 25: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemple de modélisation
Mobile soumis à une force aléatoire
€
m˙ ̇ x t = −k ˙ x t + ft
€
xt+1 = xt + vtΔt
vt+1 = (1−km
Δt)vt +Δtm
ft
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
ft+1 = ft + π t
![Page 26: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/26.jpg)
Evolution de la position
![Page 27: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/27.jpg)
Evolution de la vitesse
![Page 28: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/28.jpg)
Evolution de la force appliquée
![Page 29: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/29.jpg)
Critères d’estimation
Minimum de variance
Maximum de vraisemblance
Dans les deux cas : calcul de la probabilité conditionnelle
€
min E[|| xt − ˆ x t ||2 ] ⇒ ˆ x t = E[xt | y0 ,..., yt ]
€
Max p(x0 ,..., xt | y0 ,..., yt )
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Filtrage récursif des systèmes à temps discret
Evolution de la probabilité conditionnelle
• Prédiction€
xt+1 = f (xt ,wt )
yt = h(xt )+ vt
⎧ ⎨ ⎩
€
p(xt+1 | y0 ,..., yt ) = p(xt+1, xt |∫ y0 ,..., yt )dxt
= p(xt+1 | xt ,∫ y0 ,..., yt )p(xt | y0 ,..., yt )dxt
= p(xt+1 | xt )p(xt | y0 ,..., yt )dxt∫
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• Correction (Bayes)
• Prédiction + Correction€
p(xt+1 | y0 ,..., yt+1) =p(yt+1 | xt+1, y0 ,..., yt )p(xt+1 | y0 ,..., yt )
p(yt+1 | y0 ,..., yt )
=p(yt+1 | xt+1)p(xt+1 | y0 ,..., yt )
p(yt+1 | y0 ,..., yt )
€
p(xt+1 | y0 ,..., yt+1) =
p(yt+1 | xt+1) p(xt+1 | xt )p(xt | y0 ,..., yt )dxt∫p(yt+1 | xt+1)∫ p(xt+1 | xt )p(xt | y0 ,..., yt )dxtdxt+1∫
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Cas linéaire gaussien : le filtre de Kalman
Evolution de la probabilité conditionnelle
• Prédiction€
xt+1 = Fxt +Gwt
yt = Hxt + vt
⎧ ⎨ ⎩
€
E[wtwtT ] = Q
E[vtvtT ] = R
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
Pt+1|t = FPt|tFT +GQGT
€
ˆ x t+1 = F ˆ x t
![Page 33: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/33.jpg)
• Correction
€
ˆ x t+1|t+1 = ˆ x t+1|t + Kt (yt+1 − H ˆ x t+1|t )
Kt = Pt+1|t HT (HPt+1|t H
T + R)−1
Pt+1|t+1 = Pt+1|t − Kt (HPt+1|t HT + R)Kt
T
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
![Page 34: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/34.jpg)
Détection optimale
• Observation d’un système par un processus continu
• Plusieurs modes de fonctionnement possibles
Critère bayesien à minimum d’erreur
€
p(y | H1)p(y | H0 )
>p(H0 )p(H1)
⇒ H1 choisi
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Résolution
Sous chaque hypothèse , on a un modèle du type
• Calcul de la probabilité conditionnelle :
• Utiliser le terme de normalisation pour prendre la décision
€
Hi
€
xt+1 = fi (xt ,wt )
yt = hi (xt )+ vt
⎧ ⎨ ⎩
€
p(xt |Y0t , Hi ) =
p(Y0t | X0
t , Hi )p(X0t | Hi )dX0
t−1∫p(Y0
t | Hi )
€
p(Y0t | H1)
p(Y0t | H0 )
>p(H0 )p(H1)
⇒ H1 choisit
![Page 36: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/36.jpg)
Fin de la première partie….
![Page 37: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/37.jpg)
Mise en oeuvre du Filtrageet Exemples d’application
![Page 38: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/38.jpg)
Modélisation du système
• Variables continues– Variables d’état (positions, vitesses, …)– Perturbations (bruits de dynamique, bruits
d’observations,…)• Gaussiennes (bruits des capteurs, dérives, …)• A occurrence poissoniennes (changements de manoeuvre,…)• …
– Equations d’évolution (modèles Markoviens)
• Variables discrètes– Variables d’état (hypothèses, variables binaires, …)– Dynamique (chaînes de Markov)
![Page 39: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/39.jpg)
Analyse du modèle
• Approximations locales– Linéaires– Polynomiales
• Approximations globales– Densité de probabilité de l’état (somme de dirac, somme de gaussiennes, …)
– Densités de probabilité des bruits (idem)
![Page 40: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/40.jpg)
Désignation de la technique de filtrage adaptée
Méthode optimale exacte (quasi unique)– Système linéaire – Bruits Gaussiens
Filtre de Kalman (Kalman – 1960)
![Page 41: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/41.jpg)
Approximations Linéaires Locales
• Systèmes localement linéaire• Bruits quasi gaussiens• Rapports bruit dynamique/bruit d’observation “petit”
• Ecart type initial “petit”(“petit” = écart type d’estimation < domaine de
validité de la linéarisation)
Filtre de Kalman étendu (Breakwell – 1967)
Filtre de Kalman sur le système linéarisé
![Page 42: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/42.jpg)
Filtre de Kalman étendu
• Linéarisation des équations du système (dynamique + observation) autour de l’estimateur.
• Filtre de Kalman sur le système linéarisé
€
xt+1 = f (xt )+ g(xt )wt
yt = h(xt )+ vt
⎧ ⎨ ⎩
€
xt+1 ≅ f ( ˆ x t|t )+∂f∂x
| ˆ x t|t(xt − ˆ x t|t )+ g( ˆ x t|t )wt
yt ≅ h( ˆ x t|t−1)+∂h∂x
| ˆ x t|t−1(xt − ˆ x t|t−1)+ vt
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
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Filtre de Kalman Etendu (2)
• Prédiction :
• Correction
Valide si et restent dans le domaine de validité de la linéarisation
€
ˆ x t+1|t = f ( ˆ x t|t )
Pt+1|t =∂f∂x
| ˆ x t|tPt|t
∂f T
∂x| ˆ x t|t
+g( ˆ x t|t )Qg( ˆ x t|t )T
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
ˆ x t+1|t+1 = ˆ x t+1|t + K( ˆ x t+1|t )(yt+1 − h( ˆ x t+1|t ))
K( ˆ x t+1|t ) = Pt+1|t∂hT
∂x| ˆ x t+1|t
∂h∂x
| ˆ x t+1|tPt+1|t
∂hT
∂x| ˆ x t+1|t
+R ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟−1
Pt+1|t+1 = Pt+1|t − K( ˆ x t+1|t )∂h∂x
| ˆ x t+1|tPt+1|t
∂hT
∂x| ˆ x t+1|t
+R ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ K( ˆ x t+1|t )( )
T
⎧
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
€
P0
€
Pt+1|t
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Approximations Bilinéaires Locales
• Système bilinéaire ou localement bilinéaire• Observation linéaire ou polynomiale• Bruits éventuellement non-gaussiens
Filtrage de Volterra(Monin&Salut – 1996)
• Choix d’une classe paramétrique de filtres polynomiaux
• Calcul des paramètre optimaux par projection
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Modèle bilinéaire
Restriction à une classe de systèmes non linéaires réalisables en dimension finie€
xt+1 = Fxt +Gxtwt
yt = Hxt + vt
⎧ ⎨ ⎩
€
zt = At1zt−1 + At
0yt
ˆ x t = At2 ˆ x t−1 + zt yt
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪⇒
zt = φ1(t,τ 2 )Aτ 2
0 yτ 2
τ 2=0
t
∑
ˆ x t = φ2 (t,τ1)zτ1yτ1
τ1=0
t
∑
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
€
ˆ x t+1 = K(t,τ1,τ 2 )yτ1yτ 2
τ 2
τ1
∑τ1=0
t
∑
€
K(t,τ1,τ 2 ) = φ2(t,τ1)φ1(τ1,τ 2 )Aτ 2
0
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Optimisation des paramètres par minimisation de l’erreur quadratique
moyenne
€
A0 ,A1,A2min E[|| xt − ˆ x t ||2 ]
€
ˆ x t = At2 ˆ x t−1 + At
1zt−1yt + At0yt
2
€
minA0
→ E[(xt − ˆ x t )yt2 ] = 0
€
minA1
→ E[(xt − ˆ x t )zt−1yt ] = 0
€
minA2
→ E[(xt − ˆ x t ) ˆ x t−1] = 0
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Inversion récursive d’un système linéaire
€
ˆ x t = At2 ˆ x t−1 + At
1zt−1yt + At0yt
2
€
minA0
→ At2 E[ ˆ x t−1yt
2 ]+ At1E[zt−1yt
3]+ At0E[yt
4 ] = E[xt yt2 ]
€
minA1
→ At2 E[ ˆ x t−1zt−1yt ]+ At
1E[zt−1
2 yt2 ]+ At
0E[zt−1yt3] = E[xtzt−1yt ]
€
minA2
→ At2 E[ ˆ x t−1 ˆ x t−1]+ At
1E[zt−1yt ˆ x t−1]+ At0E[yt
2 ˆ x t−1] = E[xt ˆ x t−1]
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Exemple académique : Bruit poissonien
Processus de comptage de fréquence 1/10€
xt+1 = Fxt +GΔNt
yt = xt + vt
⎧ ⎨ ⎩
€
ΔNt
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Erreurs de filtrage en fonction du degré
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Comparaison des estimations
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Approximations globales
• Il existe une approximation linéaire locale valide
• L’écart type initial est “grand”“grand” = écart type d’estimation >> domaine de validité de la
linéarisation
Approximation par somme de Gaussiennes (Alpach&Sorenson – 1972)
• Partitionnement de l’espace d’état (état initial distribué comme somme de gaussiennes)
• Construction des filtres de Kalman étendus pour chaque partition
• Evaluation des vraisemblances de chaque filtre (pondérations)
• Estimateur global = somme pondérée de gaussiennes
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Filtres de Kalman en parallèle
• Partition du domaine d’incertitude initiale
• Pour chaque partition : Filtre de Kalman étendu
• Evaluation de la vraisemblance de chaque partition
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• Densité de probabilité initiale :
• Evolution des filtres de Kalman étendus :
• Calcul des pondérations :
€
p(x0 ) =1N
G(x0 − x 0|0i ,P0|0
i )i=1
N
∑
€
x t+1|t+1i = f (x t|t
i )+ Kti (yt+1 − h( f (x t|t
i )))
Pt+1|t+1i = ...
€
pt+1i =
G(yt+1 − h(x t+1|ti ), Σt+1
i )
pt+1k
k=1
N
∑pt
i
Σt+1i = hx (x t+1|t
i )Pt+1|ti hx (x t+1|t
i )T + R
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Estimateur
€
p(xt |YOt ) = pt
iG(xt − x t|ti , Σt
i )i=1
N
∑
€
ˆ x t|t = ptix t|t
i
i=1
N
∑
ˆ σ t2 = pt
i (Pt|ti +(x t|t
i − ˆ x t|t )i=1
N
∑ (x t|ti − ˆ x t|t )T )
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Evolution de la densité de probabilité
![Page 56: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/56.jpg)
3035 km
2890 km11,4°
Exemple : Traitement du signal LORAN-C
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Modélisation
• Dynamique du porteur
• Equation d’observation
€
xt+1 = xt + vt cos(kt )Δt
yt+1 = yt + vt sin(kt )Δt
vt+1 = vt + wt
kt+1 = kt + w't
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
€
zt = ats(t − r(Dt ))+ Atls(t − r(Dt ) − τ l )
l=1
L
∑
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143m ± 100m
Erreur d’estimation en longitude
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Erreur d’estimation en latitude
78m ± 385m
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Approximations globales• Il existe une approximation linéaire locale • L’écart type initial est “grand”• Les bruits de dynamiques sont de type Gaussiens et “grands”(Les perturbations font sortir le filtre du domaine de validité de la
linéarisation)
Approximation par somme de Gaussiennes (Alpach&Sorenson – 1972)
• Partitionnement de l’espace d’état = somme de Gaussiennes (n)
• Partitionnement de l’espace des bruits = somme de Gaussiennes (p)
• Construction des filtres de Kalman étendus pour chaque partition (n.p)
• Evaluation des vraisemblances de chaque filtre (pondérations)
• Explosion combinatoire => sélection de n parmi n.p (regroupements, rejets)
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Approximation par somme de Gaussiennes
Modèle :
Densité de probabilité du bruit dynamique : somme de gaussiennes€
xt = f (xt−1)+ g(xt−1)wt
yt = h(xt )+ vt
⎧ ⎨ ⎩
€
p(wt ) = ρ iΓ(wt − w i ,Qi )i=1
p
∑
p(vt ) = Γ(vt , R)
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Ignotus
Approximation par somme de Gaussiennes (2)
A l’instant A l’instant t-1 t-1 ::
PrédictionPrédiction ::
AvecAvec ::
€
p(xt−1 |Y0t−1) = pt−1
i Γ(xt − x t−1|t−1i
i=1
N
∑ , Pt−1|t−1i )
€
p(xt |Y0t−1) = pt−1
i ρ j Γ xt − f xt−1( ), g xt−1( )Q jg xt−1( )T
( )∫ Γ xt−1 − x t|t−1i , Pt|t−1
i( )dxt−1
j=1
p
∑i=1
N
∑
≅ pt−1i ρ iΓ(xt − x t|t−1
i, j ,j=1
p
∑ Pt|t−1i, j )
i=1
N
∑
€
x t|t−1i, j = f x t|t−1
i( ) + g x t|t−1
i( )w i
Pt|t−1i, j = fX x t|t−1
i( )Pt|t−1
i fX x t|t−1i
( )T
+ g x t|t−1i
( )Q jg x t|t−1i
( )T
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Ignotus
Approximation par somme de Gaussiennes (3)
CorrectionCorrection ::
Nxp Kalman étendusNxp Kalman étendus ::
PondérationsPondérations ::
€
p(xt |Y0t−1)∝ pt−1
i ρ jΓ yt − h xt( ), R( )Γ(xt − x t|t−1i, j ,Pt|t−1
i, j )j=1
p
∑i=1
N
∑
≅ ˜ p ti, jΓ(xt − x t|t
i, j ,j=1
p
∑ Pt|ti, j )
i=1
N
∑
€
x t|ti, j = x t|t−1
i, j + Kti, j yt − h x t|t−1
i, j( )( )
Kti, j = Pt|t−1
i, j hX x t|t−1i, j
( )T
hX x t|t−1i, j
( )Pt|t−1i, j hX x t|t−1
i, j( )
T+ R
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟−1
Pt|ti, j = Pt|t−1
i, j − Kti, j hX x t|t−1
i, j( )Pt|t−1
i, j hX x t|t−1i, j
( )T
+ R ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ Kt
i, j( )
T
€
˜ p ti, j =
pt−1i ρ jΓ yt − x t|t−1
i, j( ), Σt
i, j( )
pt−1i ρ jΓ yt − x t|t−1
i, j( ),Σt
i, j( )
i, j=1
N
∑
![Page 64: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/64.jpg)
Ignotus
Approximation par somme de Gaussiennes (4)
SélectionSélection ::
Critère de sélectionCritère de sélection le plus simple : ne retenir, parmi les le plus simple : ne retenir, parmi les Nxp gaussiennes, que les N de poids les plus élevésNxp gaussiennes, que les N de poids les plus élevés + renormaliser + renormaliser
€
˜ p ti, j =
pt−1i ρ jΓ yt − x t|t−1
i, j( ), Σt
i, j( )
pt−1i ρ jΓ yt − x t|t−1
i, j( ),Σt
i, j( )
i, j=1
N
∑
![Page 65: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/65.jpg)
Approximations globales• Aucune approximation locale n’est valide• Les bruits sont non Gaussiens
Filtres particulaires (Huillet&Salut – 1989 / Gordon 1993)
• Approximation de la distribution par somme de “Dirac” pondérés
• Exploration de l’espace d’état par simulation aléatoire
• Evaluation des vraisemblances de chaque particules (pondérations)
• Redistributions des particules (aléatoire ou déterministe)
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Ignotus
Filtrage particulaire
Modèle très général :
Conditions de mise oeuvre :Savoir simuler la loi de Pouvoir calculer explicitement
€
xt = f (xt−1,wt )
yt = h(xt ,vt )
⎧ ⎨ ⎩
€
p yt | xt( )
€
wt
![Page 67: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/67.jpg)
Ignotus
Filtrage particulaire (2)
Représentation de la mesure probabilité par une somme de mesures de Dirac :
Prédiction : Simulation de Monte-Carlo de la dynamique
Où sont tirés indépendamment suivant la loi de
€
p xt−1 |Y0t−1
( ) ≅1N
δxt−1i (xt−1)
i=1
N
∑
€
˜ x ti = f (xt−1
i ,wti )
€
wti
{ }i=1
N
€
p xt |Y0t−1
( ) ≅1N
δ ˜ x ti (xt )
i=1
N
∑
![Page 68: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/68.jpg)
Ignotus
Filtrage particulaire (3)
Redistribution : Tirage des nouvelles particules selon la loi multinomiale
Correction : Pondération par la formules Bayes :
€
p xt |Y0t
( ) ≅
p yt | xt( )1N
δ ˜ x ti (xt )
i=1
N
∑
p yt | xt( )1N
δ ˜ x ti (xt )
i=1
N
∑ dxt∫=
1N
p yt | ˜ x ti
( )δ ˜ x ti (xt )
i=1
N
∑
1N
p yt | ˜ x ti
( )i=1
N
∑
€
p xt |Y0t
( ) ≅1N
δxti (xt )
i=1
N
∑
![Page 69: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/69.jpg)
Ignotus
Filtrage particulaire (4)
Initialisation
Prédiction/Pondération
Redistribution
![Page 70: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/70.jpg)
Ignotus
Variantes de l’algorithme : redistributions
• Ne redistribuer que si le nuage de particules est dégénéré => Cumuler les poids• Après redistribution, affecter au lieu
de
• Redistribution déterministe : maximum de vraisemblance• …
€
pti =
pt−1i
Ni
€
1N
![Page 71: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/71.jpg)
Evolution des particules avec redistributions
(LORAN-C)
![Page 72: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/72.jpg)
Résumé Algorithmes candidats Domaines d’application spécifiques Etat technologique / références
Kalman Dynamique linéaire Bruits Gaussiens
Kalman Etendu Dynamique linéarisable Bruits quasi-Gaussiens Bruits dynamique faibles Poursuite
Depuis plusieurs décennies : systèmes de navigation embarques, de localisation,…
Kalman Etendu parallèle Dynamique linéarisable Bruits quasi-Gaussiens Bruits dynamique faibles Acquisition + poursuite
Industrialisé depuis les années 90 : Poursuite de cibles balistiques faiblement manoeuvrantes
Filtrage particulaire à particules ponctuelles
Dynamique non linéarisable Bruits quelconques Acquisition + poursuite
Filtrage particulaire à particules Gaussiennes
Dynamique linéarisable Bruits quelconques Acquisition + poursuite
Technologie émergente. Déjà opérationnelle sur des systèmes de localisation, …
![Page 73: Le filtrage au cours des âges Du filtre de Kalman au filtrage particulaire André Monin](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/551d9d94497959293b8cba2e/html5/thumbnails/73.jpg)
Fin