Dehard 2002
LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆
M1=H.L
P
H
L
P
H∆1
u Un calcul au 1er ordre considère la structure inchangée sous le chargement !
u Un calcul au 2ème ordre considère les effets combinés des déplacements et du chargement !
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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆u Un calcul au 1er ordre considère la structure
inchangée sous le chargement !u Un calcul au 2ème ordre considère les effets
combinés des déplacements et du chargement !
M1=H.L
P
H
L
P
H∆2
M2=H.L+P.∆2
A l’équilibre
Perte de rigidité transversale
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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆ : cas d’une ossature
u déplacement des charges verticales ;u → moments complémentaires dans les colonnes
dus aux déplacements différents des étages; u → déplacements transversaux supplémentaires;
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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆ : cas d’une ossature
u → moments complémentaires dans les colonnes; u → déplacements transversaux supplémentaires;
A l’équilibre, les déplacements et les moments sont supérieurs à ceux de 1er ordre ( Effets P-∆ )
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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-δ :
P
L
P
M
M
M1=M δ1
P
P
M
M
u Un calcul au 1er ordre considère les barres inchangées sous le chargement !
u Un calcul au 2ème ordre considère les effets combinés des déformations et du chargement !
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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-δ
P
L
P
M
M
M1=M δ2
P
P
M
M
M2=M+P.δ2
A l’équilibre
u Un calcul au 1er ordre considère les barres inchangées sous le chargement !
u Un calcul au 2ème ordre considère les effets combinés des déformations et du chargement !
Perte de rigidité flexionnelle et axiale
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LES EFFETS DE SECOND ORDRE
Longueurs de flambement en mode à
nœuds fixes
Méthode de prise en compte des effets de second ordre ?
n Effets 2ème ordre : à prendre en compte dans l’analyse globale des structures souples !u les effets P-∆ : toujours (les plus importants) !u les effets P-δ : sous certaines conditions! (de
toute façon dans les formules des éléments !)
On peut alors prendre les ...
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LES EFFETS DE SECOND ORDRE
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
uMéthode d’amplification des moments dus aux déplacements latéraux, valable pour les effets P-∆ uniquement !
uMéthode des charges latérales équivalentes(programme de calcul de 1er ordre itératif), valable pour les effets P-∆ uniquement !
uMéthode générale (programmes de calcul non linéaires spécifiques 2me ordre), valable pour les effets P-∆ et P-δ !;
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uMéthode d’amplification des moments dus à la déformation latérale :
cr
Ed
VV1
1
−
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• applicable si VEd /Vcr ≤ 0,25 (eurocode 3);
• calcul au 1er ordre « amélioré »;• les moments dus aux déplacements latéraux
(Mlt) sont multipliés par:
Ch. verticale totale (de calcul) sur la structure
Ch. critique de flambementélastique de la structure
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uMéthode d’amplification des moments dus aux déplacements latéraux :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• Moments totaux = (M0 + Mlt majorés)• M0 = moments dans la structure à nœuds fixes
(sans dépl. latéraux);
• Mlt = moments dus aux déplacements latéraux (si les Mlt sont dus aux seules charges horizontales, il suffit de majorer celles-ci)
uComment calculer les moments de déformation latérale ?
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N1
N2
H1
H2 =
N1
N2
H1
H2+
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
moments de déformation latérale Mlt
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uMéthode des charges latérales équivalentes :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• Premier calcul (au 1er ordre);
• Recherche des efforts N et rotation φ de chacune des colonnes ;
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uMéthode des charges latérales équivalentes :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
N
N
φ
N
N
Nφ
Nφ
• Transformation en charges équivalentes ;• Application de ces charges à la structure ;
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uMéthode des charges latérales équivalentes :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• Second calcul sous charges cumulées ;
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uMéthode des charges latérales équivalentes :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• Second calcul sous charges cumulées ;
• Recherche des N, φ et charges équivalentes ;
N
N
φ
N
N
Nφ
Nφ
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uMéthode des charges latérales équivalentes :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• Troisième calcul sous charges cumulées ;
• Application de ces charges à la structure ;
• Convergence des déplacements ;
Etat final incluant le deuxième ordre !
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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
Calcul par « pas de chargement »
Calcul par « itérations »
La matrice de rigidité de la structure dépendant des déplacements et des efforts normaux dans les barres, un calcul direct n’est donc plus possible !
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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
Prise en compte des changements de géométrie dans les matrices des barres :
x
y
z
Nk62
k32 N
k22
k52u les kij dépendront alors des déplacements
transversaux et aussi des efforts normaux !
D2=1
Ω
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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
λ−
λ−
−−λ+
Ω++λ+
−−Ω
k.....kk....0kk...kk0k..
kkkL
kkL
EALN
Lkk
2.
0kk0L
EAL
EA
2322
1211
23
2322212
2
1211
matrice 2e ordre barre bi-encastrée :
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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
[ ])c1(2as
sacaLEI
k−±−
+−=
[ ])c1(2as
saaLEI
k−±−
+−=λ
(+ en compression et − en traction)
si N<0 (compression) : s = sin a et c = cos a
si N>0 (traction) : s = sinh a et c = cosh a
EI
Net La 2 =αα=
Ω
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u Programme « incrémental »:
n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• charge appliquée par «incrément», la matrice étant constante pour chaque pas;
• calcul des accroissements de déplacements et d’efforts aux extrémités des barres avec la matrice du début de pas :
• le calcul de cette matrice «tangente» de la structure se fait à l’aide des déplacements et efforts cumulés obtenus au pas précédent, pour son utilisation au pas suivant;
• etc ...
[ ] iii PDKt ∆=∆
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u Programme « incrémental »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRELES EFFETS DE SECOND ORDRE
• la précision dépendra du nombre de pas de chargement;
P
D
∆P
∆D3
∆P
∆D4
∆P
∆D1
Ke
∆P
∆D2
Kt
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u Programme « itératif »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• charge totale P appliquée en une étape;
• calcul des efforts aux extrémités des barres àl’aide des matrices de rigidité modifiées(selon déplacements et efforts normaux
obtenus à l’étape précédente);
[ ] PDKe 1 =• calcul des déplacements des nœuds avec la
matrice élastique de départ :
• vu les différences de rigidité entre le calcul des déplacements et des efforts, il n’y a plus équilibre aux nœuds !
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u Programme « itératif »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE
LES EFFETS DE SECOND ORDRE
• il y a des «résidus de charges nodales» ∆P1;• calcul des accroissements de déplacements
dus à ces résidus avec la matrice de rigiditétangente (correspondant à la nouvelle déformée); [ ] 11 PDKt ∆=∆
• cumul des déplacements D2 et calcul des nouveaux efforts aux extrémités des barres àl’aide des matrices de rigidité modifiées;
• etc … jusqu’à ce que les résidus de charges nodales soient négligeables !
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u Programme « itératif »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRELES EFFETS DE SECOND ORDRE
• bonne convergence en général;
P
D
P
D1
Ke
D
P1
∆P1
D3D2
Kt
∆D1
P2
∆P2