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Les mathématiques autrement
Calcul littéral• Réduire une somme algébrique
• La distributivité
• Factoriser
• La double distributivité mode d'emploi
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Les mathématiques autrement
Réduire une somme algébrique
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Les mathématiques autrement
On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a.
+ 3a
Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles
X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a²
= 7a²
- 3a²
- 3a²
+ 3a
+ 2a
+ 2a -5
-5
On regroupe les termes en a² et en a.
= 4a² + 5a -5
Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6 + 3a - 7a + 5 + 6= - 4a²
On regroupe les termes
= -4a² - 4a + 11 en les ordonnant : les termes en a² puis en a .à copier
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Les mathématiques autrement
c’est à toi
A = 8 – a + a² + 5a
B = 3t + 7 – 2t² + 4t - 1
C = -3 + 4k – 3k² + 5 +k²
= a² - a + 5a + 8= a² + 4a + 8
= -2t² + 3t + 4t + 7 – 1= -2t² + 7t + 6
= - 3k² + k² + 4k - 3 + 5= -2k² + 4k + 2
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Les mathématiques autrement
La distributivité
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Les mathématiques autrement
88+12 = 100
(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4
(22+3)×4 = 22×4 + 3×4 = 25 × 4 = 100
Les 2 résultats sont égaux donc
22 × 4+ 3 × 4
La distributivité
On admet que c’est vrai pour tous les nombres. On dit que la multiplication est distributive sur l’addition (ou sur la soustraction).
avec des nombres
observe
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Les mathématiques autrement
La distributivité
avec des lettres
(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4+
avec des nombres
(a + b) × k = a × k + b × k+
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Les mathématiques autrement
La distributivité
(a + b) × k = a × k + b × k+
(2 + b) × 5 =
(a - 3) × 4 =
(k + 7) × k =
2 × 5+ b × 5
a × 4- 3 × 4= 10 + 5b
= 4a - 12
k × k+ 7 × k= k² + 7k
à copier
(3 + h) × (-5) = 3 × (-5)+ h × (-5)= -15 + (-5)h= -15 - 5h
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Les mathématiques autrement
c’est à toi
3 × (4 + a) =
8 × (1 - b) =
(5 + d) × (-3) =
(4 + f) × f =
g × (g -5) =
3 × 4 + 3 × a= 12 + 3a 8 × 1 - 8 × b= 8 – 8b
5 × (-3) + d × (-3) = -15 – 3d
4 × f + f × f= 4f + f² g × g + g × (-5)= g² - 5g
(a + b) × k = a × k + b × k+
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Les mathématiques autrement
A = 2 × (3 + a)
= 2 × 3 + 2 × a
= 6 + 2a + ( )
= 6 + 2a
= 7a – 14
Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe
de chacun des nombres de la
parenthèse.
(a + b) × k = a × k + b × k+
Plus difficile observe
+ 5 × (a – 4)
+ ( 5 × a – 5 × 4)
5a 20+ -+5a - 20
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Les mathématiques autrement
B = 3 × (2 - a)
= 3 × 2 + 3 × (-a)
= 6 - 3a – ( 2a 14)
= 6 - 3a = -5a - 8
Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres
de la parenthèse.
(a + b) × k = a × k + b × k+
Plus difficile observe
- 2 × (a + 7)
- ( 2 × a + 2 × 7)
+ +-2a - 14
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Les mathématiques autrement
C = 4 × (1 - a)
= 4 × 1 + 4 × (-a)
= 4 - 4a - ( 3a 6)
= 4 - 4a = -7a + 10
Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres
de la parenthèse.
(a + b) × k = a × k + b × k+
Plus difficile observe
- 3 × (a - 2)
- ( 3 × a + 3 × (-2))
+ --3a + 6
à copier
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Les mathématiques autrement
c’est à toi
D = 3×(5+a) + 2×(4–a)
=3×5+3×a+(2×4–2×a)
= 15 + 3a + ( 8 – 2a)
= 15 + 3a + 8 – 2a
= 1a – 23 = a – 23
= 2×3+2×a-(5×a+5×(-1))
E = 2×(3 + a) - 5×(a-1)
= 6 + 2a – ( 5a – 5)
= 6 + 2a – 5a + 5
= -3a + 11
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Les mathématiques autrement
à suivre …
retour
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Les mathématiques autrement
Factoriser
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Les mathématiques autrement
a × k + b × k = k × (a + b)
(a + b) × k = a × k + b × kL’égalité
peut s’écrire aussi
a × k + b × k = (a + b) × k
observe
kou encore
× (a + b )× ×a + bOn a factorisé k
On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
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Les mathématiques autrement
2 × 3 + 3 × a =+ a 3 × (× ×22 + a )
a × 4 - 3 × 4 = 4 ×× × (-aa - 33 )
à copier
On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×a
![Page 18: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/18.jpg)
Les mathématiques autrement
2 × 3 + 3 × a = 2 + a+ a 3 × (× ×22 + a )
a × 4 - 3 × 4 = a - 34 ×× × (-aa - 33 )
On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
2 × 5 + c × 5 =
8 × d + 8 × 5 =
e × 7 - 2 × 7 =
2 × f + g × 2 =
h × 3 - 3 × i =
5 × (2 + c)
8 × (d + 5)
7 × (e - 2)
2 × (f + g)
3 × (h - i)
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×a
c’est à toi
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Les mathématiques autrement
a × (3 + b) a × (3 + b)a + ab =3 × a + a3a + ab =
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×aPlus difficile observe
×3 ×b =
![Page 20: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/20.jpg)
Les mathématiques autrement
× b = a (3 + b)
a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×aPlus difficile observe
3 ×a + a
On peut simplifier l’écriture
en ak + bk = k(a + b)
a × k + b × k = k × (a + b)
![Page 21: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/21.jpg)
Les mathématiques autrement
24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6
2 × 7 + 7a
5a² + ba² =
14 + 7a =
D’autres exemples plus difficiles
ak + bk = k(a + b)
a²(5 + b)
3 + 3a = 3 × 1 + 3a= 3(1 + a)
14 = 2 × 7 = 7(2 + a)
3(
3 = 3 × 1
4a + 24 = 4a + 4 × 6= 4(a + 6)
On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre
terme de la somme on a le facteur 4 à copier
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Les mathématiques autrement
gd² + 3d² =
15 + 3f =
d²(g + 3)
5 + 5k = 5 × 1 + 5k= 5(1 + k)
3 × 5 + 3f = 3(5 + f)
2u + 30 = 2u + 2 ×15= 2(u + 15)
c’est à toi
5j - 45 = 5j - 5 × 9= 5(j - 9)
7h² - s²h² =
15y - 30 =
h²(7 – s²)
18 + 6t = 6 × 3 + 6t= 6(3 + t)
7 - 7p = 7 × 1 – 7p= 7(1 - p)
20z - 4 = 4 × 5z - 4 ×1= 4(5z - 1)
15y - 2×15= 15(y – 2)
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Les mathématiques autrement
5ab - 5ac =
12a + 4ab =
3r² + 3rj =
a² + 3a =a² = a × a
a × a + 3a= a(a + 3)
Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme !
D’autres exemples plus difficiles
ak + bk = k(a + b)
5a(b - c)
3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b)
3r × r + 3rj = 3r(r + j)
à copier
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Les mathématiques autrement
3tv + 3at =
5rv + 20r =
6dc + 6c² =
g² - 5g = g × g - 5g= g(g - 5)
5rv + 4 × 5r = 5r(v + 4)
3t(v + a)
6dc + 6c × c = 6c(d + c) 5tv + vat =
3r²v + 6r² =
15c + 5c² =
3h² + 5h = 3h × h + 5h= h(3h + 5)
3r²v+2×3r² = 3r²(v + 2)
3×5c+5c×c = 5c(3 + c)
tv(5 + a)
c’est à toi
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Les mathématiques autrement
à suivre …
retour
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Les mathématiques autrement
La double distributivité
![Page 27: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/27.jpg)
Les mathématiques autrement
Calculons
(70 + 6) × (40 +7) = 76 × 47 = 3 572
70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 = 2 800+490+240+42= 3 572
Les 2 résultats sont égaux donc
(70 + 6) × (40 +7) = 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7
Observe
70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7
On admet que c’est vrai pour tous les nombres.
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Les mathématiques autrement (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d
(a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d= 2a + ad + 6 + 3d
(a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a= 3a + a² + 12 + 4a= a² + 7a + 12
On développe
On réduit
On développe
On réduit
On groupe et on ordonne
(7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa= 21 - 7a + 3a – a²= -a² - 4a + 21
On développe
On réduit
On groupe et on ordonneà copier
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Les mathématiques autrement
c’est à toi
(a + 3)(5 + a) = a×5 + aa + 3×5 + 3a= 5a + a² + 15 + 3a= a² + 8a + 15
(7 - b)(5 + b) = 7×5 + 7b - b×5 - bb= 35 + 7b – 5b – b²= -b² + 2b + 35
(c - 4)(c - 3) = cc - c×3 – 4c + 4×3= c² - 3c – 4c + 12= c² - 7c + 12
![Page 30: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/30.jpg)
Les mathématiques autrement
FIN
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Les mathématiques autrement
On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a.
+ 3a
Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles
X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a²
= 7a² - 3a² + 2a -5
On regroupe les termes en a² et en a.
= 4a² + 5a -5Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6
+ 3a - 7a + 5 + 6= - 4a²
On regroupe les termes en les ordonnant : les termes en a² puis en a.
= -4a² - 4a + 11
1) Réduire une somme algébrique
retour
Calcul littéral
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Les mathématiques autrement
2) La distributivité
(a + b) × k = a × k + b × k(2 + b) × 5 =
(a - 3) × 4 =
(k + 7) × k =
2 × 5 b × 5
a × 4 3 × 4
= 10 + 5b
= 4a - 12
k × k 7 × k= k² + 7k
+
+
-
retour
(3 + h) × (-5) = 3 × (-5)+ h × (-5)= -15 + (-5)h= -15 - 5h
![Page 33: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/33.jpg)
Les mathématiques autrement
A = 2 × (3 + a)
= 2 × 3 + 2 × a
= 6 + 2a + ( )
= 6 + 2a + 5a - 20
= 7a – 14
Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe
de chacun des nombres de la
parenthèse.
+ 5 × (a – 4)
+ ( 5 × a – 5 × 4)
5a 20-
![Page 34: Les mathématiques autrement Calcul littéral Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062312/551d9db4497959293b8d928a/html5/thumbnails/34.jpg)
Les mathématiques autrement
B = 3 × (2 - a)
= 3 × 2 + 3 × (-a)
= 6 - 3a – ( 2a 14)
= 6 - 3a = -5a - 8
Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres
de la parenthèse.
- 2 × (a + 7)
- ( 2 × a + 2 × 7)
+
-2a - 14
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Les mathématiques autrement
C = 4 × (1 - a)
= 4 × 1 + 4 × (-a)
= 4 - 4a - ( 3a 6)
= 4 - 4a = -7a + 10
- 3 × (a - 2)
- ( 3 × a + 3 × (-2))
-
-3a + 6
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Les mathématiques autrement
3) Factoriser
a × k + b × k = k × (a + b)k
a × k - b × k = k × (a - b)k
2 × 3 + 3 × a = 3 × (2 + a)3
a × 4 - 3 × 4 = 4 × (a - 3)4
On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse, on recopie tout ce qui n’est pas souligné.
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Les mathématiques autrement
3a + ab = a(3 + b)
2 × 7 + 7a
5a² + ba² =
14 + 7a =
(5 + b)
3 + 3a = 3 × 1 + 3a= 3(1 + a)
= 7(2 + a)
4a + 24 = 4a + 4 × 6= 4(a + 6)
On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4.
a²
On écrit 3 sous la forme du produit 3 × 1.
On écrit 14 sous la forme du produit 2 × 7.
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Les mathématiques autrement
5ab - 5ac =
12a + 4ab =
3r² + 3rj =
a² + 3a = a × a + 3a= a(a + 3)
Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme !
3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b)
3r × r + 3rj = 3r(r + j)
5a(b - c)
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Les mathématiques autrement
4) La double distributivité
(a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd
(a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d
= 2a + ad + 6 + 3d
On développe
On réduit
(a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a
= 3a + a² + 12 + 4a
= a² + 7a + 12
On développe
On réduit
On groupe et on ordonne
(7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa
= 21 - 7a + 3a – a²
= -a² - 4a + 21
On développe
On réduit
On groupe et on ordonne
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d
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