![Page 1: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/1.jpg)
2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikinesgraiku matematikos savadas
Vilius Stakenas
VU MIF
2014
Geometrijos raidaI Akmens amžiaus geometrines formos ir
ornamentai ( ...- 3 t. pr. Kr.)I Matavimu žinios ir igudžiai (3000-500 m.
pr. Kr.)I Teorinis graiku mokslas (500-300 pr. Kr.)I Beveik nieko naujo iki XV amžiausI Daug naujoviu, stoka griežtumoI XIX a. - galimos ir kitokios geometrijos!I Daug ivairiu geometriju!I XX-XXI a. taikymai: kompiuterine grafika,
video, virtuali interneto tikrove...
![Page 2: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/2.jpg)
Neišsaugotos geometrijos žinios
Akmens amžiaus žmones: rašto nebuvo, betgeometrija išmane!Didieji statiniai
Egiptas ir Tarpupio civilizacijos
![Page 3: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematiniai egiptieciu papirusai
Rhindo papirusas 534 cm × 33 cmMaskvos papirusas 544 cm × 33 cm
Keturkampio plotas: egiptieciu nuomone
S =a+ c
2· b+d
2
![Page 4: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/4.jpg)
Kaip egiptieciai skaiciavo skritulio plota
d 89d
S =(8
9d)2
Nupjautine piramide!
Nejaugi ispejo?
S = (a2+ab+b2) · h3
![Page 5: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/5.jpg)
Civilizacijos Tarpupyje
3000-2700 pr.Kr. Šumeru miestai valstybes,dantirašcio išradimas1600-625 hetitu, kasitu, asiru valdymas
Matematines babilonieciu lenteles
![Page 6: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/6.jpg)
Pitagoro teorema 1000 m. prieš Pitagora
Uždavinys: i siena atremtas strypas. Pastumusjo pagrinda per 9 ilgio vienetus nuo sienos,strypas i siena atsiremia 3 vienetais žemiau.Koks strypo ilgis?
Skritulio plotas: babilonieciu nuomone
S =C2
12,
cia C – apskritimo ilgis.
![Page 7: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/7.jpg)
Pitagoro skaiciu trejetai
x2+ y2 = z2
Graiku istorijos tarpsniai
I 3-2 tukst. pr. Kr. Mikenu ir Kretosvaldymas 1 tukst. pr. Kr. dorenu isiveržimas
I Apie 900 metus pereme finikieciu abecele.I 600-450 Jonijos periodas: Talis ir kiti
gamtos filosofaiI 490 - Maratono mušis, PitagorasI 450-300 - Atenu klestejimasI 387 - Platono akademija AtenuoseI 300-150 helenistinis periodas, Aleksandrija.
Euklidas, Archimedas, Apolonijus Pergietis
![Page 8: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/8.jpg)
Talis Miletietis
Talis (640-546 pr. Kr.) pirmasis matematikas,kurio varda žinome
Talio teoremos
Penkios teoremos, kurias šaltiniai priskiriaTaliui
Irodymai, „tikrosios“ matematikos pradžia
![Page 9: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/9.jpg)
Pitagoras
Pitagoras žinias igijo kelionese. 6 a. pr.Kr. viduryje isteige mokykla Italijos pietuose,Krotone. Individualaus inašo i matematikaneimanoma nustatyti.Aristotelis (4 a. pr. Kr.) jau mini terminapitagorieciai. Vertina matematinius tyrimus, betne filosofija.Pitagoras, šaltiniu teigimu, paverte geometrija„laisvuoju mokslu“, t.y. kuris studijuojamas nedel naudos ar taikymu.
Skaiciai ir figuros
![Page 10: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/10.jpg)
Kvadratiniai ir trikampiai skaiciai
Pitagoro skaiciu trejetai
n2 +(2n+1) = (n+1)2
n = 4, 2n+1 = 9 = 32, 42 +32 = 52
n = 12, 2n+1 = 25 = 52,122 +52 = 132
x2 + y2 = z2
![Page 11: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/11.jpg)
Kvadratai ir nelyginiai skaiciai
1+3+5+7 = 42
1+3+5+7+9 = 52
1+3+ · · ·+(2n−1) = n2
Bendrasis matas
![Page 12: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/12.jpg)
Nebendramatiškumo atradimas
Pitagoro teorema
![Page 13: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/13.jpg)
Pitagoro teorema: pjaustymo irodymai
Atenu klestejimas
![Page 14: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/14.jpg)
Platono trikampiai
Platono akademija ikurta 387 m. Kr.
Trikampis ir kvadratas iš vienarušiu trikampiu
Platono trikampiai
Platono akademija ikurta 387 m. Kr.
Bet penkiakampiui sudeti dvieju rušiutrikampiu negana!
![Page 15: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/15.jpg)
Aleksandrija
Euklido „Pradmenys“
![Page 16: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/16.jpg)
Euklido „Pradmenys“
Euklido „Pradmenys“
![Page 17: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/17.jpg)
Euklido „Pradmenys“I I knyga: aksiominis plokštumos geometrijos
destymas (jonieciu periodo ir pitagorieciurezultatai)
I II knyga: veiksmai su geometriniaisdydžiais (geometrine algebra)
I III knyga: teiginiai apie apskritima(pitagorieciu)
I IV knyga: ibrežtiniu ir apibrežtiniutaisyklinguju daugiakampiu braižymas
I V knyga: Santykiu (proporciju teorija,Eudoksas)
I VI knyga: Santykiu teorijos taikymasplokštumos geometrijoje
Euklido „Pradmenys“
I VII-IX knygos: teiginiai apie naturaliuosiusskaicius
I X knyga: dydžiu, kuriuos galimasukonstruoti skriestuvu ir liniuote teorija,klasifikacija (tikriausiai Theaiteto sukurta)
I XI knyga: Erdves geometrijos pagrindaiI XII knyga: Teiginiai apie turiusI XII knyga: Taisyklingu briaunainiu
konstravimas (briaunainiai ibrežiami isfera), irodymas kad tera tik penki tokiekunai.
![Page 18: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/18.jpg)
Pradmenu struktura
I ApibrežimaiI PostulataiI AksiomosI Teoremos ir konstravimo uždaviniai
(formuluotes, algoritmai, irodymai)
Iš I knygos
23 apibrežimai
1 apibrežimas. Taškas yra tai, kas neturi daliu
2 apibrežimas. Linija yra ilgis be plocio
3 apibrežimas. Linijos galai yra taškai
4 apibrežimas. Tiese yra linija, kurios taškaiišsideste vienodai
![Page 19: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/19.jpg)
Iš I knygos
5 apibrežimas. Paviršius yra tai, kas turi tik ilgiir ploti.
10 apibrežimas. Jei dvi tieses sudaro lygiusgretutinius kampus, tie kampai vadinamistaciaisiais
23 apibrežimas. Jei tieses yra vienojeplokštumoje ir pratesus jas i abi pusesnesusikerta, jos vadinamos lygiagreciomis.
Iš I knygosPostulatai
1. Du taškus galima sujungti tiese
2. Tiese galima pratesti i bet kuria puse
3. Iš bet kokio centro galima nubrežti apskritimasu bet kokiu spinduliu
4. Visi status kampai lygus tarpusavyje
5. Jei dvi tieses kerta trecioji ir vienoje pusejevidiniu kampu suma mažesne už du stacius, taišioje puseje pratesus pirmasias dvi tieses, jossusikirs.
5 postulatui ekvivalentus teiginys: per taškašalia duotos tieses galima išvesti tik viena tiese,lygiagrecia duotajai.
![Page 20: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/20.jpg)
Iš I knygos
Aksiomos
1. Jei A = B ir B = D, tai A = D
2. Jei A = B, tai A+C = B+C
3. Jei A = B, tai A−C = B−C
4. Jei A ir B sutampa, tai A = B
5. Visuma didesne už dali
1.1 uždavinysDuota kraštine, nubraižyti lygiakrašti trikampi.
Lygiakraštis trikampis
![Page 21: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/21.jpg)
1.2 uždavinys
Atideti duoto ilgio atkarpa nuo duotojo taško.
1.4 teorema. Trikampiu lygybes požymysJei vieno trikampio dvi kraštines ir kampas tarpju atitinkamai lygus kito trikampio dviemskraštinems ir kampui tarp ju, tai trikampiailygus.
Trikampiu lygybes požymis
![Page 22: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/22.jpg)
1.5 teorema. Talio teorema apie lygiašonitrikampi
Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yralygus.
1.11, 1.12 uždaviniai. Statmenys duotai tiesei
Statmuo iš taško šalia tiesesStatmuo iš tieses taško
![Page 23: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/23.jpg)
1.15 teorema. Talio teorema apie kryžminiuskampus
Dvieju besikertanciu tiesiu sudaryti kryžminiaikampai lygus.
1.22 teorema. Trikampio su duotomis kraštinemisbraižymas
Jei vieno trikampio dvi kraštines ir kampas tarp ju atitinkamailygus kito trikampio dviems kraštinems ir kampui tarp ju, taitrikampiai lygus.
![Page 24: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/24.jpg)
1.26 Trikampiu lygybes požymys: du kampai irkraštine
1.27, 1.28 teiginiai apie priešinius kampus
Dvi tieses kerta trecioji, jei priešiniai kampailygus, tieses lygiagrecios. Jei dvi lygiagreciastieses kerta trecioji, tai priešiniai kampai lygus.
![Page 25: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/25.jpg)
1.31 Lygiagrecios tieses braižymas
Lygiagretes braižymas
1.32 Trikampio kampu suma
![Page 26: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/26.jpg)
1.42 Lygiagretainio lygiaplocio trikampiuibraižymas
Lygiagretainis lygiaplotis trikampiui
1.43 Lygiagretainio lygiaplocio trikampiuibraižymas
Lygiagretainis lygiaplotis trikampiui
![Page 27: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/27.jpg)
1.44 Lygiagretainio lygiaplocio daugiakampiuibraižymas
Duotas lygiagretainio kampas ir kraštine
Lygiagretainio braižymas
1.47 Pitagoro teorema
Irodymai: 1 2 3
![Page 28: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/28.jpg)
2.4 Algebrine tapatybe
(x+ y)2 = x2+2xy+ y2
2.4 Algebrine tapatybe
AC = CB, staciakampis su kraštinemis AD,DBir CD kvadratas lygus CB kvadratui
![Page 29: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/29.jpg)
2.6 Kvadratines lygties (x−b)x = c2 sprendimas
AC = CB, staciakampis su kraštinemis AD,DBkartu su CB kvadratu lygus CD kvadratui
2.11 teorema. Atkarpos dalijimas
AB reikia padalyti i dvi dalis, kad butu
AB ·HB = HB2
![Page 30: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/30.jpg)
2.11 teorema. Atkarpos dalijimas
AB reikia padalyti i dvi dalis, kad butu
AB ·HB = AH2 arbaABHB
=AHHB
AB = 1,HB = x,1x=
x1− x
= ϕ, ϕ ≈ 1,618...
Staciakampiai
![Page 31: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/31.jpg)
Aukso pjuvio santykis architekturoje, mene irgamtoje
Aukso pjuvisFibonacio skaiciai ir aukso pjuvis
2.12 Kosinusu teorema
Buko kampo atvejis
BC kvadratas lygus AB ir AC kvadratu ir dviejustaciakampiu su kraštinemis AC ir AD sumai
![Page 32: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/32.jpg)
2.14 Kvadratas lygiaplotis daugiakampiui
III knyga. Apskritimai ir tieses
3.10 teiginys. Du apskritimai negali turetidaugiau kaip 2 bendrus taškus.
3.13 teiginys. Du apskritimai negali liestisdaugiau kaip viename taške.
![Page 33: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/33.jpg)
3.35 teiginys apie stygas
IV knyga. Daugiakampiai ir apskritimai
4.4 uždavinys. I trikampi ibrežti apskritima
![Page 34: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/34.jpg)
4.5 uždavinys. Apibrežti apskritima apie trikampi
4.5 uždavinys. Apie trikampi apibrežti apskritima
4.10 uždavinys. Auksinio trikampio braižymas
![Page 35: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/35.jpg)
4.11 uždavinys. Taisyklingojo penkiakampiobraižymas
Pentagrama
![Page 36: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/36.jpg)
4.15 uždavinys. Taisyklingojo šešiakampiobraižymas
4.16 uždavinys. Taisyklingojo penkiolikakampiobraižymas
![Page 37: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/37.jpg)
Kokius taisyklinguosius daugiakampius galimanubraižyti?
I jeigu galima n-kampi, tai ir 2,22 ·n,23 ·n, . . .galima;
I jeigu galima n-kampi ir m-kampi, ir n,m neturibendru dalikliu išskyrus 1 (pav., 3 ir 5) tai irn ·m galima.
Kokius taisyklinguosius daugiakampius supirminiu kraštiniu skaiciumi galima nubraižyti?
Po dvieju tukstanciu metu ...
1796 metais devyniolikmetis K. F. Gausasirode:Skriestuvu ir liniuote galima nubraižyti tiktokius taisyklinguosius daugiakampius supirminiu kraštiniu skaiciumi p, jei
p = 22m+1.
Tokie pirminiai skaiciai vadinami Fermatskaiciais. Nežinoma, kiek ju yra.
![Page 38: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/38.jpg)
VI knyga. Proporcingumo ir panašumo teorija
Rasti X, kad butuAB=
CX
6.10 Atkarpos dalijimas duotu santykiu
![Page 39: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/39.jpg)
6.13 Geometrinio vidurkio radimas
6.31 Pitagoro teoremos apibendrinimas
![Page 40: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/40.jpg)
Erdves geometrijos knygos XI-XIII
Penki Platono kunai
13.18 Briaunainiu kraštines
![Page 41: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/41.jpg)
Archimedo kunai
Ko neišdeste Euklidas?
Trys didieji Antikos uždaviniai
I Kubo padvigubinimas
I Kampo trisekcija
I Skritulio kvadratura
![Page 42: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/42.jpg)
Kugio pjuvio kreives
Kugio pjuvio kreives
Neeuklidine geometrija XIX a.
![Page 43: @let@token 2 tema. Euklido ,,Pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikines˙ graiku˛ matematikos sa˛vadas Vilius Stakenas˙](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041818/5e5c70dfcaf81f52a574eab7/html5/thumbnails/43.jpg)
Neeuklidine geometrija XIX a.Per taška šalia duotos tieses galima išvestidaugiau kaip viena tiese, nekertancia duotosios.