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8/20/2019 Lezione 5-Strutture Algebriche
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STRUTTURE ALGEBRICHE
Paolo DulioPolitecnico di Milano
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Definizione
A = insieme
∗ : A × A −→ A operazione binaria interna
a 1 ∗ a 2 ∈ A ∀a 1, a 2 ∈ A
↓(A, ∗) = struttura algebrica
Più in generale, possiamo dotare A di tante operazioni interne
∗1, . . . , ∗m , ottenendo strutture algebriche più complesse.
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Strutture Algebriche
Esempio.
A = Insieme dei colori
∗ = miscelamento
* =
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Strutture Algebriche
Esempio. Lavoriamo ora con un insieme infinito.
Per esempio, immaginiamo che esista una scatola di costruzioni
dotata di infiniti pezzi.
A = Insieme di tutte le costruzioni possibili a partire dalla dotazione.∗1, . . . , ∗m = regole di incastro.
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Principali Strutture Algebriche
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Gruppi
• Se per ogni a , b , c ∈ A : a ∗ (b ∗ c ) = (a ∗ b ) ∗ c ,
allora si dice che l’operazione interna è associativa
• Se esiste u ∈ A tale che u ∗ a = a ∗ u = a per ogni a ∈ A⇒ u = elemento neutro per l’operazione ∗
• Se u = elemento neutro, a ∈ A, ed esiste a ∈ A tale chea ∗ a = a ∗ a = u , allora a = elemento inverso di a
•(A, ∗) con ∗ associativa = semigruppo•(A, ∗) semigruppo con elemento neutro ⇒ (A, ∗) = monoide• (A, ∗) monoide, con inverso per ogni elemento = gruppo• Se (A, ∗) = gruppo, ed a ∗ b = b ∗ a ∀a , b ∈ A
⇒ (A, ∗) = gruppo abeliano
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S
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Principali Strutture Algebriche
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
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P i i li S Al b i h
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Principali Strutture Algebriche
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
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G i
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Gruppi
Esempi
• A = Insieme delle funzioni non identiche f : R → R∗ = composizione di funzioni.
Si ha in tale caso un semigruppo.
Osservazione. Ogni semigruppo S può essere fatto diventareun monoide aggiungendo un elemento u non appartenente ad
S , e definendo u ∗ u := u ed u ∗ s := s =: s ∗ u per ogni s ∈ S .
• L’insieme P (X) delle parti di X è un monoide (∗ = )• (N, +) è un monoide• (R, ·) è un monoide
• (Z, +), (R, +) sono gruppi abeliani
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G i
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Gruppi
• A = Rototraslazioni nel piano.∗ = composizione di rototraslazioni.
Si ha in tale caso un gruppo non commutativo.
T
R
R*T ≠≠≠≠ T*R
R*T
T*R
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G i
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Gruppi
L’insieme di tutte le permutazioni (funzioni biunivoche) su n
oggetti, munito dell’operazione binaria di composizione di
funzioni, è un gruppo, dotato di n ! elementi.
Questo gruppo prende il nome di gruppo simmetrico su n
elementi e si indica con S n .
Il nome deriva dal fatto che gioca un ruolo fondamentale per lo
studio delle simmetrie.
Se n > 2 il gruppo simmetrico non è abeliano.
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Gruppi
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Gruppi
Due qualsiasi configurazioni sono ottenibili una dall’altra tramite
una sola delle permutazioni delle 6 × 9 = 54 caselle colorate.
Il gruppo S 54 possiede 54! elementi (circa 2, 3 × 1071).Ovviamente molte delle permutazioni generiche non sono
possibili in un cubo di Rubik.
Il gruppo del cubo di Rubik, generato da 6 rotazioni di base,
possiede circa 4,
3 × 10
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Anelli e Campi
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Anelli e Campi
•
(A, +) = gruppo abeliano
(A, ·) = semigruppo
a · (b + c ) = a · b + a · c ∀a , b , c ∈ A
(b + c ) · a = b · a + c · a ∀a , b , c ∈ A
⇒ (A, +, ·) = anello
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Principali Strutture Algebriche
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
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Anelli e Campi
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Anelli e Campi
• Anello unitario se esiste elemento neutro rispetto a ·• Anello commutativo se · è commutativa.•
(A, +) = gruppo abeliano
(A \ {0}, ·) = gruppo abeliano
a · (b + c ) = a · b + a · c ∀a , b , c ∈ A
(b + c ) · a = b · a + c · a ∀a , b , c ∈ A
⇒ (A, +, ·) = campo
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Principali Strutture Algebriche
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Principali Strutture Algebriche
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
COMMUTATIVO
UNITARIO
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Principali Strutture Algebriche
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
••••CAMPO
COMMUTATIVO
UNITARIO
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Salita agli Spazi Vettoriali
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Salita agli Spazi Vettoriali
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
••••CAMPO
COMMUTATIVO
UNITARIO
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Salita agli Spazi Vettoriali
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Salita agli Spazi Vettoriali
Siano Rn = R × ... × R (n volte) l’insieme delle n -ple di numerireali, ed (R, +, ·) il campo dei numeri reali.È possibile sommare due n -ple tra loro
[x 1, ..., x n ]t ⊕ [y 1, ..., y n ]
t = [x 1 + y 1, ..., x n + y n ]t
È facile vedere che la coppia (Rn , ⊕) è un gruppo abeliano.
La somma di n -ple di numeri reali è ancora una n -pla di
numeri reali (operazione interna).
L’operazione è associativa (deriva dall’associatività della
somma in R).Esiste l’elemento neutro ([0, ..., 0]t ).
Ogni n -pla ha inverso ([x 1, ..., x n ]−1 = [−x 1, ..., −x n ]).
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Salita agli Spazi Vettoriali
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Salita agli Spazi Vettoriali
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
••••CAMPO
COMMUTATIVO
UNITARIO
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Salita agli Spazi Vettoriali
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Salita agli Spazi Vettoriali
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
••••CAMPO
COMMUTATIVO
UNITARIO
X
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Salita agli Spazi Vettoriali
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Salita agli Spazi Vettoriali
Dato un qualsiasi numero reale a , è anche possibile definire il
prodotto tra a ed una qualsiasi n -pla
a ×
x 1x 2...
x n
=
a · x 1a · x 2...
a · x n
Questa operazione × è esterna alla struttura (Rn , ⊕), ma ècompatibile con le operazioni di campo in (R, +, ·) e di gruppo
abeliano in (Rn
, ⊕), nel senso che consente di lavorarecontemporaneamente con tutte le operazioni presenti nelle due
strutture su cui agisce.
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Definizione di spazio vettoriale
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p
Infatti, considerato il campo (R, +, ·), il gruppo abeliano (Rn , ⊕),e l’operazione esterna ×, abbiamo
• ∀a ∈ R, ∀v, w ∈ Rn : a × (v ⊕ w) = a × v ⊕ a × w;
• ∀a , b ∈ R, ∀v ∈ Rn : (a + b ) × v = a × v ⊕ b × v;
• ∀a , b ∈ R, ∀v ∈ Rn : (a · b ) × v = a × (b × v);
• ∀v ∈ Rn : 1 × v = v.
Definizione. Il gruppo abeliano (Rn , ⊕), corredatodell’operazione esterna ×, viene detto spazio vettorialecanonico di dimensione n sul campo R.
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Salita agli Spazi Vettoriali
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g p
•••• GRUPPO
ABELIANO
GRUPPO
MONOIDE
SEMIGRUPPO
••••ANELLO
••••CAMPO
COMMUTATIVO
UNITARIO
X
•••• SPAZIO VETTORIALE
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Definizione di spazio vettoriale
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p
Osservazione. In maniera analoga possiamo considerare lo
spazio vettoriale canonico di dimensione n su un campo K
qualsiasi.Esso è l’insieme Kn delle n -ple di elementi di K, con
l’operazione interna di somma (rispetto alla quale è un gruppo
abeliano), e corredato dell’operazione esterna × compatibilecon le operazioni di campo presenti in K.
Osservazione. La nozione di spazio vettoriale si puòulteriormente generalizzare. Si ha uno spazio vettoriale (non
più canonico) tutte le volte che, a partire da un gruppo abeliano
(V , ⊕) e da un campo K, si riesce a trovare una operazioneesterna a (V , ⊕) che sia compatibile (nel sensoprecedentemente chiarito) con le due operazioni che rendono
K un campo.
In questo caso gli elementi di (V , ⊕) si dicono vettori, e lastruttura di spazio vettoriale si indica semplicemente con V.
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Definizione di spazio vettoriale
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p
La quaterna (V,K, ⊕, ×) è quindi uno spazio vettoriale se
(SV1) (V, ⊕) è un gruppo abeliano;
(SV2) ∀a ∈ K, ∀v, w ∈ V: a × (v ⊕ w) = a × v ⊕ a × w;
(SV3) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (a + b ) × v = a × v ⊕ b × v;
(SV4) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (a × b ) × v = a × (b × v);
(SV5) ∀v ∈ V: 1 × v = v,essendo 1 l’elemento neutro di K rispetto al prodotto.
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Definizione di spazio vettoriale
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p
Nota. Per limitare il numero dei simboli, poniamo
• × → ·• a · b → ab• + per rappresentare sia l’operazione di somma in K, sia lasomma di vettori in V, essendo comunque chiaro dal contesto il
loro significato.
(SV1) (V, +) è un gruppo abeliano;(SV2) ∀a ∈ K, ∀v, w ∈ V: a (v + w) = a v + a w;(SV3) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (a + b )v = a v + b v;
(SV4) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (ab )v = a (b v);(SV5) ∀v ∈ V: 1v = v.
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Esempi di spazi vettoriali
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p p
• Lo spazio canonico Kn costruito su un campo K.
Come abbiamo visto questo è il più importante esempio di
spazio vettoriale, sia per la semplicità della costruzione, sia
perchè molte proprietà degli spazi vettoriali possono essere
studiate riconducendo la trattazione in uno spazio canonico.
Esistono tuttavia molti altri importanti esempi di spazi vettoriali.
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Esempi di spazi vettoriali
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• L’insieme R sul campo Q.
Consideriamo (R, ⊕), essendo ⊕ = +.Ovviamente abbiamo ungruppo abeliano, quindi l’assioma (SV1) è verificato.Prendiamo poi come campo K = Q. Consideriamo comeoperazione esterna × il prodotto di numeri reali, restringendolo,per quanto riguarda la prima componente, ai soli elementi di Q.
È quindi una funzione del tipo:
· : Q × R −→ R(q , x ) −→ q · x .
Gli assiomi (SV2), . . . , (SV5) discendono direttamente dalleproprietà associative del prodotto in R e dell’elemento neutro
rispetto al prodotto, dato dal numero 1.
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Esempi di spazi vettoriali
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• Lo spazio dei polinomi.
Sia K[t ] l’insieme dei polinomi in t a coefficienti nel campo K, eponiamo
•Somma = somma di polinomi.
• Elemento neutro = polinomio nullo.
• p (t ) =n
i =0
a i t n −i
⇒ −p (t ) =n
i =0
(−a i )t n −i inverso.
⇒ K[t ] è un gruppo
• K[t ] è abeliano, poiché p (t ) + q (t ) = q (t ) + p (t ) per ognicoppia di polinomi p (t ), q (t ) ∈ K[t ].
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Esempi di spazi vettoriali
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Operazione esterna Se x ∈ K, e p (t ) =n
i =0
a i t n −i è un
generico polinomio di K[t ]
xp (t ) = x n
i =0
a i t n −i
=n
i =0
(xa i )t n −i .
Si verifica la validità dei quattro assiomi (SV2), . . . , (SV5)
(vedere i dettagli sul libro).
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Esempi di spazi vettoriali
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Lo spazio delle funzioni.
L’insieme RX di tutte le funzioni f : X ⊂ R → R è uno spaziovettoriale
• Operazione interna ⊕=somma di funzioni.• Operazione esterna ×=prodotto tra un numero reale ed una
funzione.
Lo spazio delle matrici.
L’insieme delle matrici Mm ,n (R) sul campo R verifica gliassiomi di spazio vettoriale.
• Operazione interna ⊕ =somma di matrici.• Operazione esterna × =prodotto tra una matrice ed unoscalare.
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