Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02
1
Energia Potenziale Elettrica
Lavoro compiuto per spostare una carica puntiforme q0 nel campo elettrico della carica puntiforme q (q0 << q)
aaaa
r
dr
q0F q0 E
q0 E
aaaa
r
r+dr
dr
r̂
Lavoro compiuto da F dW Fdr q0E dr
Lavoro totale sul percorso 12:
W12 qq0
40
ˆ r drr 2
1
2
ˆ r dr dr
W12 qq0
40
drr 2
r1
r2
Da cui: W12 qq0
4 0
1r2
1r1
Non dipende dal cammino di
integrazionema solo dagli estremi
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2
La forza elettrostatica è conservativa
W12 U2 U1U2 = energia potenziale del punto 2
U1 = energia potenziale del punto 1
U2 U1 q0 Edr1
2
Unità di misura di U nel sistema SI: joule (J)
Nel caso di un campo elettrico E generico
La Forza elettrica è conservativa W12 non dipende dal cammino di integrazione percorso della carica
q0 nel campo generato dalla carica q.
Se il punto P1 coincide con P2 (percorso chiuso)
Circuitazione di F = 0 Forza elettrica conservativa ma poichè
Allora anche la circuitazione di E = 0 Campo elettrico conservativo
W12 U2 U1 0 W12 Fdr l 0
F dr l q0 E dr l 0
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Potenziale elettrostaticoDefinito come Energia potenziale per unità di carica
Uq0
Unità di misura nel sistema SI: volt=joule/coulomb (V = J C-1)
Differenza di potenziale elettrico 2 1 W12
q0
U2 U1
q0
r1 1 0
2 1 q
4 0
1r2
1r1
Nel caso della carica puntiforme
Di solito si sceglie la condizione al contorno di potenziale nullo all’infinito, per cui
1
4 0
qr
Nel caso di una distribuzione continua di carica, il potenziale vale:
dove
1
4 0
dqr
(dq dV; dq dS; dq dl)
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Le unità di misura - l’elettron-Volt
Dalla definizione di potenziale si evince che esso è il lavoro per unità di carica necessario per portare l’unità di carica dall’infinito alla posizione r
Dal punto di vista dimensionale è un’energia per unità di carica
Pertanto il potenziale si misura in volt = joule / coulomb
1 joule rappresenta il lavoro (cioè l’energia) necessario per spostare l’unità di carica (1 coulomb) attraverso la d.d.p. di 1 volt.
Una definizione alternativa, usata in fisica atomica, consiste nel definire l’unità di misura del potenziale nel modo seguente: il lavoro (cioè l’energia) necessario per spostare la carica elementare (1|e| =1.6 10-19 coulomb) attraverso la d.d.p. di 1 volt. Tale lavoro è pari a 1.6 10-19 joule, e tale valore viene chiamato elettron-volt (eV).
Pertanto 1 eV = 1.6 10-19 J (l’eV è un’unità di misura dell’energia).
Inoltre, si ricorda che, per definizione di potenziale,
Quindi dove Llunghezza, e pertanto l’unità di misura del campo elettrico è, oltre che newton/coulomb, anche volt/m (ovviamente numericamente le due grandezze sono equivalenti).
q
U
rE d12 LE
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Superfici equipotenziali e linee di forza
Esempi
Campo elettrico uniforme Carica puntiforme Dipolo elettrico
Le superfici equipotenziali sono definite come il luogo dei punti per cui = costante
Le linee di forza sono “linee” tangenti in ogni punto alla direzione del campo elettrico
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Come calcolare il potenziale, dato E?
Si è visto che cioè U2 U1 q0 Edr1
2
rE d12
Tale risultato è indipendente dal percorso
Nel caso in cui, poi, si scelga 1=0 la formula si semplifica in:
rE d2
Nel caso della carica puntiforme, si ha:
r
qd
r 04
rE
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Esempio: potenziale di distribuzioni sferiche
Guscio sferico o sfera conduttrice Sfera uniformemente carica
All’interno il campo elettrico è
All’esterno, il campo elettrico è
come nel caso di una carica puntiforme.
Il potenziale all’interno va calcolato come somma di due contributi, uno relativo a r<R, dove il campo elettrico è Eint, e l’altro per r>R, dove il campo elettrico vale Eest:
Il potenziale all’esterno invece va calcolato solo per r>R, dove il campo elettrico vale Eest:
r
Q
r
Q
r
drQdrEV
rrr estr estest
002
0 4
1
44
drE
0int E
204 r
QEest
All’interno il campo elettrico è
All’esterno, il campo elettrico è
come nel caso di una carica puntiforme.
Il potenziale all’interno va calcolato come somma di due contributi, uno relativo a r<R, dove il campo elettrico è Eint, e l’altro per r>R, dove il campo elettrico vale Eest:
Il potenziale all’esterno è uguale al caso del guscio sferico poichè le distribuzioni a simmetria sferica, per la legge di Gauss, possiedono lo stesso campo di una carica puntiforme posta al centro della distribuzione.
204 r
QEest
R
Q
r
drQdrEdrEV
RR est
R
rR est
R
r0
20
intintint 440
drEdrE
30
int 4 R
QrE
3
0
22
230
intintint
8
3
4
R
rRQ
r
dr
R
rdrQ
drEdrEV
R
R
r
R est
R
rR est
R
r
drEdrE
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Il potenziale in un campo elettrico uniforme
Data la particolare geometria del sistema, si ha subito:
E pertanto la d.d.p. risulta essere:
Dove “d” è la distanza di integrazione.
EdrEdrd cosrE
2
1
2
1
2
1
12 EdrEEdrdrE
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Il potenziale di dipoloUn dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali ma di segno opposto poste alla distanza d.
Il potenziale è una grandezza additiva, per cui nel punto P, posto alla distanza r>>d, esso sarà dato da:
Data la relazione tra d ed r, si possono utilizzare le approssimazioni:
E quindi ottenere il valore finale per il potenziale:
)()(
)()(
0)()(0)()( 44
1
rr
rrq
r
q
r
qVVV
20
20
cos
4
1
4
cos
r
p
r
qdV
2)()()()( cos rrrrr
L’angolo è compreso tra l’asse del dipolo elettrico e la direzione di P.
La grandezza
p=qd
è definita
momento di dipolo elettrico
Si noti come per una carica puntiforme Vr-1 ed Er-2 mentre per un dipolo elettrico Vr-2 ed Er-3 (nella direzione dell’asse).
Questo avviene perché si fa sentire l’effetto della seconda carica di segno opposto
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Il potenziale di un conduttore carico isolato
In un conduttore carico isolato E=0 in tutti i punti all’interno di esso, e tutta la sua carica giace sulla superficie del conduttore.
Dall’equazione che definisce il potenziale: rE d12
Si deduce che essendo E=0 allora il potenziale è uguale per tutte le coppie di punti possibili all’interno del conduttore.Ad esempio, per un conduttore a forma di guscio sferico campo elettrico e potenziale assumono l’andamento a fianco
Questo significa che le cariche elettriche in un conduttore, in presenza di campo elettrico, si ridistribuiscono sulla superficie in modo da assumere una configurazione equipotenziale.
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L’effetto parafulmine
Consideriamo due sfere con cariche Q1 e Q2 e raggi R1 << R2 collegate tra loro (cioè si trovano allo stesso potenziale) e poste a grande distanza l’una dall’altra (quindi i loro campi elettrici non si influenzano l’uno con l’altro all’interno delle sfere).
L’uguaglianza del potenziale implica che:
Da cui si trova:
Per quanto riguarda i campi elettrici, il loro rapporto vale:
E tenendo conto della relazione precedente, si ha:
Dato che R1 << R2 , allora E1 >> E2 .
20
22
10
11 44 R
QV
R
QV
2
121 R
RQQ
220
2
210
1
2
1
4
4
R
QR
Q
E
E
1
2
2
1
R
R
E
E
Nel caso del parafulmine, R2 6000 Km è il raggio di curvatura della superficie terrestre mentre R1 1 cm può essere assunto come il raggio di curvatura della superficie di un’asta metallica che funge da parafulmine, per cui E1/E2 6 108
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Potenziale dovuto ad una carica lineare
Una sbarretta lunga L e sottile (spessore<<L) è carica positivamente con densità lineare di carica data da
Il potenziale dovuto alla bacchetta in un punto P, alla distanza d da un suo estremo, può essere valutato integrando sulla bacchetta i contributi dovuti agli elementi infinitesimi dq:
Tale integrale vale:
dxdq
21
2200 4
1
4
1
dx
dx
r
dqdV
d
dLL
ddLL
dxx
dx
dx
dx
dxdVV
L
L
L
22
0
22
0
0
22
0
0 21
220
0 21
220
ln4
lnln4
ln4
4
4
1
Si ricorda che l’integrale seguente è risolubile come:
2
1
2
1
22
22ln
x
x
x
xdxx
dx
dx
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Si consideri un disco di raggio R, carico con densità di carica superficiale =dq/dA. Il potenziale nel punto P, situato sull’asse del disco, è valutabile considerando dapprima il contributo di un anello infinitesimo del disco, di raggio R’ e larghezza radiale dR’, di area 2R’ dR’ e carico dq.
Essendo tutti i punti dell’anello alla distanza r dal punto P, il potenziale da essi generato vale:
Il potenziale dovuto a tutto il disco è quindi dato dall’integrale:
Potenziale dovuto ad un disco carico
''2 dRRdq
2
122
00 '
''2
4
1
4
1
Rz
dRR
r
dqdV
zRzdRRRzr
dqdVV
R
22
00
21
22
00 2'''
24
1
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Ogni sistema di cariche possiede un’energia intrinseca immagazzinata nel sistema stesso: l’energia potenziale elettrica
L’energia potenziale elettrica è definita come il lavoro richiesto per costruire il sistema di cariche, spostando ciascuna carica da una distanza infinita alla propria posizione.
Ad esempio, si consideri un sistema di due cariche q1 e q2 poste alle distanze r1 e r2 da un arbitrario sistema di riferimento. L’energia potenziale elettrica di questo sistema è equivalente al lavoro necessario per portare la carica q2 dalla distanza infinita alla posizione r2 contro il campo elettrico creato da q1:
Nel caso vi siano tre cariche q1, q2 e q3, prima considero la coppia q1 e q2, per cui
Poi considero q3: per portarla alla posizione r3 debbo prima compiere lavoro contro il campo generato
da q1 e poi contro quello generato da q2
Per cui il lavoro complessivo vale
Nel caso generale di un sistema di N cariche
Energia potenziale elettrica
12
1
012 4
1
r
qV
120
2121212 4 r
qqqVLU
120
2112 4 r
qqU
130
3113 4 r
qqU
230
3223 4 r
qqU
230
32
130
31
120
21231312 444 r
r
r
qqUUUUL
N
ji ij
ji
r
qqU
1 042
1