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Legge di Ohm generalizzata per il condensatore• Abbiamo visto che la corrente che scorre in un condensatore a cui si
applica una differenza di potenziale sinusoidale è
• Dal punto di vista formale la formula appena trovata è simile alla legge di Ohm, basta pensare ad una «impedenza» del condensatore (analoga della resistenza per il resistore, ma complessa) definita come
• In tal caso si può scrivere la legge di Ohm generalizzata per il condensatore:
CCCC
tjoC
tjoC
C
iCj
VVCjii
ejCVeVdtdC
dtdVC
dtdqi
1
)()(
CCC iZV
CjZ C
1
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Legge di Ohm generalizzata per l’induttore
• Un ragionamento analogo si può fare per l’ induttore. Dalla legge di Lenz per un induttore ideale:
assumendolo attraversato da una corrente sinusoidale:
• Quindi, definendo l’impedenza dell’induttore come:
si ottiene la legge di Ohm generalizzata per l’induttore:
dtdILV L
L
Ltj
oL
Ltj
oL ILjejLidt
dILVeiI
LLL IZV
LjZ L
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Legge di Ohm generalizzata• Quindi, per circuiti attraversati da correnti sinusoidali, e
contenenti solo resistori, condensatori e induttori, varrà la legge di Ohm generalizzata, e quindi si potranno utilizzare gli stessi metodi (maglie, nodi etc.) utilizzati per i circuiti con i resistori, usando le impedenze al posto delle resistenze.
• Ad esempio il circuito RC può essere considerato un partitore di tensione realizzato con due impedenze, l’ impedenza del resistore e quella del condensatore:
C
RVin
Vout
Vin
Vout
Z1
Z2RCjV
V
CjRCj
ZZZ
VV
in
out
in
out
11
/1/1
21
2
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Circuito RC in regime sinusoidale
• Se consideriamo il circuito RC come un blocco con un ingresso ed una uscita (vedi figura), vogliamo studiare Vout (segnale in uscita) al variare di Vin (segnale in ingresso, sinusoidale).
• Per la linearità dei componenti utilizzati, se Vin è sinusoidale, Vout è anch’esso sinusoidale, con la stessa frequenza ma con diverse ampiezza e fase, che si trovano con il metodo dei fasori:
C
R
Vin
Vout
arctan,1
1
1
2oin
oC
inC
VV
VRCj
V
• Data la risposta diversa alle diverse frequenze, questo blocco circuitale viene anche chiamato filtro, ed in particolare filtro passa-basso, perché trasmette in uscita le frequenze basse pressochèinalterate, mentre attenua le frequenze alte.
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• In questo caso, riapplicando la formula del partitore abbiamo
• Da cui
• Il circuito CR è un filtro passa alto.
R
C
Vin
Vout
/1arctan
1
1
2
oinoR
inR
VV
VRCj
RCjV
Circuito CR in regime sinusoidale
CjRR
ZZZ
VV
in
out
/121
2
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arctan
1
1
1
2
oinoC
inC
VV
VRCj
V
/1arctan
1
1
2
oinoR
inR
VV
VRCj
RCjV
Circuito RC: Filtro passa basso:
Circuito CR: Filtro passa alto :
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
RC
RC
Vo
2/oV
VoC
0
0
/2/4
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
RC
RC
Vo
0
0
/2/4
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arctan
1
1
1
2
oinoC
inC
VV
VRCj
V
/1arctan
1
1
2
oinoR
inR
VV
VRCj
RCjV
Circuito RC: Filtro passa basso:
Circuito CR: Filtro passa alto :
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
RC
RC
Vo
2/oV
VoC
0
0
/2/4
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
RC
RC
Vo
0
0
/2/4
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Filtri con induttori• Si possono realizzare filtri passa-basso e passa alto anche con
resistori e induttori, invece che con resistori e condensatori. • Sempre considerando i partitori di impedenze si ottiene facilmente
la funzione di trasferimento [Vout/Vin ] in funzione di , o di f :
Vin VoutL
R)/(1
1RLjLjR
RVV
in
out
Vin VoutLR
)/(1)/(RLj
RLjLjR
LjVV
in
out
Passa-basso con frequenza di taglio
Passa-alto con frequenza di taglio
LRfo 22
1
LRfo 22
1
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Circuiti integratori e derivatori
• Sono circuiti che producono all’ uscita un segnale di tensione proporzionale all’ integrale (o alla derivata) del segnale in ingresso.
• Che si possano costruire e’ evidente dalle relazioni
t
t
VdtL
Idt
dVCI
dtdILVIdt
CV
0
0
1;
;1
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Circuiti integratori: RC
C
R
Vin Vout
t
tinout
t
tin
t
tCout
in
Rin
RC
RCin
o
oo
dttVtV
dttVRC
dttiC
tVtV
tVR
tI
tRItVtVtVtV
VVV
')'(1)(
')'(11')'(1)()(
)(1)(
)()()()()(
se
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Circuiti integratori: LR
Vin Vout
t
toout
t
toRout
t
to
in
Lin
LR
RLin
o
o
o
tRidttVtV
tRidttVLRtRitVtV
tidttVL
ti
dttVtLdi
tidtdLtVtV
tVtVVVV
)(')'(1)(
)(')'()()()(
)(')'(1)(
)()(
)()()(
)()(
se
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Circuiti derivatori: CR
)()()()(
)(1)()(
')'(1)()(
)()(
tVdtdtV
dtdRCtRitV
tiC
tVdtdtV
dtd
dttiC
tVtV
tVtVVVV
ininout
Cin
t
tCin
CR
RCin
o
seVin Vout
C R
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Circuiti derivatori RL
Vin Vout
R
L
)()(
)()()(
)(1)(
)()()()()(
tVdtdtV
tVdtd
RLti
dtdLtV
tVR
ti
tRitVtVtVtV
VVV
inout
inout
in
Rin
RL
RLin
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Circuiti integratori e derivatori
• Abbiamo quindi delle “approssimazioni” di circuiti integratori e derivatori.
• I filtri “passa basso” RC e LR forniscono gli integratori;
• I filtri “passa alto” CR e RL forniscono i derivatori.
CR
Vin Vout
Vin VoutL
R
Vin VoutL
R
Vin VoutC R
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Regime sinusoidale
C
R
Vin
• Possiamo quindi graficare, in funzione della frequenza del segnale d’ ingresso, l’ ampiezza del segnale in uscita, ed il suo sfasamento:
Vout
arctan
1
dove
2
)(
ooC
tjoCout
tjoin
VV
eVV
eVV
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
RC
RC
Vo2/oV
VoC
/2/4
0
0
![Page 16: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/16.jpg)
Circuiti integratori e derivatori• Le approssimazioni sono
tanto migliori quanto piu’ il segnale in uscita e’ piccolo rispetto a quello in ingresso.
• Per i circuiti derivatori questa approssimazione e’ rispettata tanto meglio quanto piu’ f < fo=1/2;
• Per i circuiti integratori questa approssimazione e’ rispettata tanto meglio quanto piu’ f > fo=1/2;
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
0
RC
RC
Vo2/oV
VoC
0
0
/2/4
A questa frequenzail passa basso e’ unbuon integratore.Ma il segnale in uscitae’ ridotto di 1/ !
![Page 17: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/17.jpg)
Risposta Impulsiva• Supponiamo di applicare ad un circuito integratore o ad
un derivatore un segnale ad onda quadra:
• Alla fine dell’esperienza del 27 Aprile potrete provare ad ottenere queste forme d’ onda sperimentalmente. La difficoltà sta nel fatto che sono tanto più ideali (quindi simili alla derivata o all’integrale di Vin) quanto più la loro ampiezza è piccola.
t
Vin
Vout INT
Vout DER
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Il circuito RLC serie• Se si aggiunge un
induttore al circuito RC si ottiene un circuito RLC serie.
• Sia L l’ induttanza (coefficiente di autoinduzione) dell’ induttore
• Proviamo a risolvere il circuito (cioe’ a trovare la corrente che lo attraversa) quando è eccitato da una sorgente sinusoidale.
R
C
L
)cos( Vo tVV
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Il circuito RLC serie• Per la seconda legge di
Kirkhoff:
• Per l’ induttanza abbiamo considerato la forza elettromotrice autoindotta –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a secondo membro cambiandola di segno.
• Derivando rispetto a t:
R
C
L
CQRI
dtdILV
CI
dtdIR
dtIdL
dtdV
2
2
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Il circuito RLC serie
• E’ una eq. differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. La soluzione è la somma dell’ integrale generale dell’ omogenea più un integrale particolare della disomogenea.
• Fisicamente la soluzione dell’ omogenea corrisponde al comportamento transitorio iniziale; a regime vale l’ integrale particolare.
CI
dtdIR
dtIdL
dtdV
2
2
02
2
CI
dtdIR
dtIdL Omogenea associata
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Il circuito RLC serie
• La soluzione dell’ omogenea è del tipo
• Con I1 e I2 costanti da determinare dalle condizioni iniziali e k1 e k2 soluzioni dell’ equazione caratteristica:
• quindi
02
2
CI
dtdIR
dtIdL
tktk eIeItI 2121)(
LCLR
LRk
CRkLk
142
01
2
2
2,1
2
![Page 22: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/22.jpg)
Il circuito RLC serie
LCLR
LCLR
LCLR
eIeItI
LCLRb
LRa
tbatba
14
14
14
sia che seconda aaimmaginari o nulla reale, essere può b quantità la
)( trovasi
14
2
ponendo
2
2
2
2
2
2
)(2
)(1
2
2
Caso 1, b reale
Caso 2, b nullo
Caso 3, b immaginario
![Page 23: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/23.jpg)
Il circuito RLC serie
:atosovrasmorz caso
negativi. ambedue sono esponenti gli 14
se
)(e
14
2
2
2
)(2
)(1
2
2
LCLR
eIeItI
LCLRb
LRa
tbatba
I
t
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}{2
)(
a arriva si LC1 ponendo e
2
....2
0 tponendo e 1la derivando quindi, trovasi
0)0(
)0( e)()0(0:)1
0)0(:inizialicondizioni le Imponendo
2
o1
1
21210)(
20)(
1
btbtatoo
o
o
o
oo
o
baba
eeeb
qtI
LCbqI
bIdtdI
Cq
dtdIL
Cq
dtdILRI
qqIIIIeIeItII
I
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Quindi nel caso sovrasmorzato si ottiene il seguente andamento
I
t
}{2
)(2
btbtatoo eeeb
qtI
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Caso criticamente smorzato
21
21
2
2
2
2
I e I trovanosi iniziali condizioni le imponendo nuovo, Di)()( tipodel e' soluzione la
0 smorzato) tecriticamen (caso 14
se
14
2
atetIItI
bLCL
RLCL
RbL
Ra
I
t
atoo
oo
teqtI
LCqI
LCq
dtdI
II
2
20
1
)(
00)0(
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Il circuito RLC serie
:smorzato iooscillator caso)(
e' soluzione la 14
se
)(e
14
2
)(2
)(1
2
2
)(2
)(1
2
2
tjtj
tbatba
eIeItILCL
R
eIeItI
LCLRb
LRa
I
t
)()(
2)(
41
2
2
2
2
2
tseneqtI
eeeqjtI
LR
LCLR
too
ttjtjoo
![Page 28: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/28.jpg)
Il circuito RLC serie
I
t
• L’ ampiezza delle oscillazioni diminuisce perchè l’ energia inizialmente disponibile come campo elettrico nel condensatore viene via via dissipata per effetto Joule nella resistenza.
• Le oscillazioni dipendono dal fatto che l’ energia viene rimbalzata continuamente tra condensatore (campo elettrico) e induttore (campo magnetico)
![Page 29: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/29.jpg)
Il circuito RLC serie
I
t
• Consideriamo il caso oscillatorio smorzato.• Se R fosse nulla avremmo =R/2L=0 e quindi
• Le oscillazioni in tal caso non sarebbero smorzate
)()(
)()(
2
2
tsenqtI
tseneqtI
oo
too
C
L
![Page 30: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/30.jpg)
Il circuito RLC serie
I
t
• In assenza di fenomeni dissipativi, e trascurando l’ energia irraggiata, l’ energia immagazzinata nel circuito dovrebbe rimanere costante. Vediamo se è vero.
?)0(21
21)()()(
2/1
2/2/121)0(
22
2
22
2
ELICVtEtEtE
LIILdIWdtE
CVCQqdqC
E
CqEE
LCCL
L
c
o
![Page 31: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/31.jpg)
221
22212
21
22212222
212
21
2
sin
coscos
cos0
)(
oLC
ooL
oooocC
CoooCC
oooo
LIEE
tLILIE
tLItICLCVE
VtLIVdtdILV
dtdILRI
tsenItsenqtI
o
CL CL
Massima corrente Massima tensione
B E
Costante !
![Page 32: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/32.jpg)
Il circuito RLC serie
• Cosa succede a regime (se V è sinusoidale) ?• Si cerca un integrale particolare:
CI
dtdIR
dtIdL
dtdV
2
2
oj
o
tjo
tjo
tjo
tjo
IC
LjReV
eIC
RjLeVj
eII
eVV
IV
IV
I
V
1
1
)(
)(2)(
)(
)(
A questa equazionesi poteva arrivare subito dalla leggedi Ohm generalizzata.
![Page 33: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/33.jpg)
RC
L
CLR
VZ
VI
ZIeV
CLjRZ
IC
LjReV
ooo
oj
o
IV
oj
oIV
1
arctan
1
ottiene si
1
)(ponendo
1
22
)(
![Page 34: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/34.jpg)
risonanza. di condizione 0. a vasfasamento lo e R) a pari (e
reale diventa impedenza l' /1 se
1
arctan
1 22
LC
RC
L
CLR
VZVI
ZIeV
o
ooo
oj
o
![Page 35: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/35.jpg)
1
/
1
:riscrivere può si e //1/
circuito del qualità di fattore il definisce si
2222
22
o
oo
oo
ooo
oo
Q
RVI
CLR
VZVI
CLRRLQ
![Page 36: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/36.jpg)
Il circuito RLC serie
oj
o IC
LjReV IV
1)(
R
C
L
qualità di fattore il è / dove
1
/
1
2222
22
RLQ
Q
RVC
LR
VZVI
oo
o
oo
o
ooo
![Page 37: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/37.jpg)
Il circuito RLC serie
• Il circuito presenta un massimo di risposta (corrente massima) per o.0 1 o
I
LC1 o
1
/222
2
o
oo
ooo
Q
RVZVI
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Il circuito RLC serie
• A seconda di Qo (fattore di qualità) la curva di risposta è più o meno piccata.
0 1 o
I
1
/222
2
o
oo
ooo
Q
RVZVI
/ RLQ oo
LC1 o
Qo altoQo basso
![Page 39: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/39.jpg)
Il circuito RLC serie
R
C
L
Vgen
Vout=RI
• In questa configurazione il circuito agisce come un filtro passa banda.
• Solo le frequenze intorno ad oproducono un segnale in uscita.
• Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.
• Viene utilizzato ad es. per sintonizzare una radio su una frequenza ben precisa, eliminando le altre.
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Il circuito RLC serie• La larghezza di
banda del filtro è la distanza tra i due punti della risposta in frequenza in cui la risposta è 1/sqrt(2) del massimo.
• E’ strettamente legata a Qo.
0 1 o
I
/ RLQ oo
LC1 o
0.707
1
![Page 41: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/41.jpg)
Il circuito RLC serie
0 1
1
quando 2/1 vale
1
1/
2222
2222
2222
oo
o
oo
o
o
oo
o
oo
gen
o
Q
QRV
I
![Page 42: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/42.jpg)
Il circuito RLC serie
LR
Q
o
o
o
oooo
o
oooo
oooo
12
222
1,2
222
22
cui da2
4
sono positive soluzioni due le e2
4
è soluzione la0
La larghezza di banda è inversamente proporzionale al fattore di qualità Qo . Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.
CL
RRLQ oo
1
1 LCo
![Page 43: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/43.jpg)
• La resistenza minima del circuito è quella dell’ avvolgimento con cui si realizza l’ induttanza.
• Con induttanze commerciali di ottima qualità si ottengono fattori di qualità dell’ ordine di 100, e quindi bande passanti dell’ ordine di 1/100 della frequenza centrale.
• Solo usando superconduttori si possono ottenere Q>>100.
Il circuito RLC serie
CL
RRLQ oo
1
1 LCo
LR
Qo
o 12
ff
RLQ oo
oo
![Page 44: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/44.jpg)
Nota: Misura di Qo• Il Qo che abbiamo definito si riferisce all’
espressione della corrente nel circuito.• La R che compare nell’ espressione di Qo è la
resistenza totale del circuito, somma di– Resistenza interna del generatore– Resistenza interna dell’ induttore– Resistenza reale
• La corrente che scorre nel circuito può essere valutata misurando V ai capi della resistenza reale e dividendo per il valore della resistenza reale.
• Da una curva di I in funzione della frequenza si valuta Qo=fo/f
![Page 45: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/45.jpg)
Nota: Misura di Qo
• In un circuito reale solo Vin e Vout sono misurabili, Vgen non lo è (almeno non direttamente).
R
C
L
Vgen
Vout=RI
RLRG
Vin
GENERATORE INDUTTORE
![Page 46: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/46.jpg)
R
C
L
Vgen
Vout=RI
RLRG
Vin
CLjRR
RVV
CLjRRR
VI
RV
Lin
out
LG
geno
out
1
1Qo si valutada questa
non da questa !
GENERATORE
INDUTTORE
![Page 47: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/47.jpg)
Nota2: se si vuole misurare RL
• Dalle misure di I si valuta Qo=fo/f e da questo la somma di RL+RG+R, da cui per sottrazione RL (sapendo le altre due)
• Oppure, meglio• Dalle misure di Vout/Vin alla risonanza:
1
RISout
inL
LRISin
out
VVRR
RRR
VV
![Page 48: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/48.jpg)
Lo sfasamento)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale e’ la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.
• I tre vettori sono lunghi rispettivamente
• IoR, IoL, Io/CRIo
LIo
C)Io
Im
Re
to=-
![Page 49: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/49.jpg)
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale è la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.
• I tre vettori sono lunghi rispettivamente
• IoR, IoL, Io/C• Al passare del tempo ruotano
mantenendo le stesse fasi relative
RIoLIo
C)Io
)( It
Im
Re
t generico
![Page 50: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/50.jpg)
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• La composizione dei vettori si può fare sommando prima i contributi di L e C:
RIoLIoC)Io )( It
Im
Re
t generico
![Page 51: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/51.jpg)
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• E poi trovando la risultante, che deve essere proprio la tensione (complessa) del generatore.
• Se L>C) , la corrente è in ritardo rispetto alla tensione del generatore
RIo
LIoC)Io
)(, Vt Im
Re
)( It
Vo
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Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• E poi trovando la risultante, cioè la tensione (complessa) del generatore.
• Se L<C) , la corrente è in anticipo rispetto alla tensione
RIo
LIoC)Io
)(, Vt
Im
Re
)( It
Vo
![Page 53: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/53.jpg)
circuito RLC serie
0 1 o
I
0 1
V-I
RC
LIV
1
arctan
tensionealla rispetto ritardoin corrente
001 tensionealla rispetto anticipoin corrente
001
IVo
IVo
CL
CL
Sfasamento tra tensione e corrente:
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Extratensioni)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• Vediamo i moduli delle tensioni ai capi di ciascun componente reattivo:
CLjR
VLjIZV
CLjR
VCjIZV
oLL
o
CC
1
1
1
22
22
1
1
1
CLR
LVV
CLR
CVV
o
L
o
C
![Page 55: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/55.jpg)
Il circuito RLC serieR
C
L
22
22
1
1
1
CLR
LVV
CLR
CVV
o
L
o
C
1 1
1 1 oo0 000
VC/Vo
VL/Vo
Q2>1/2 Q2<1/2
VC/Vo VL/Vo
![Page 56: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/56.jpg)
Extratensioni
oo
o
L
o
L
ooo
C
o
C
QCL
RRL
VV
CLR
LVV
QCL
RCRVV
CLR
CVV
1
1
11
1
1
22
22
• Notare che, alla risonanza :
cioè la tensione ai capi di C e L è maggiore di quella di ingresso, di un fattore pari a Qo.
• Va anche notato che, seppure le due tensioni su L e su C siano grandi, hanno fase opposta, e quindi si elidono istante per istante, e non fanno scorrere alcuna corrente, né nel resistore né nel generatore.
![Page 57: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/57.jpg)
Il circuito RLC serieR
C
L
1 1
1 1 oo0 000
VC/Vo
VL/Vo
Q2>1/2 Q2<1/2
VC/Vo VL/Vo
EXTRATENSIONI:La tensione massima, però, si ha per una frequenza leggermente diversa da quella di risonanza.
![Page 58: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/58.jpg)
Il circuito RLC serieR
C
L
1 1
1 1 oo0 000
VC/Vo
VL/Vo
Q2>1/2 Q2<1/2
VC/Vo VL/Vo
Si può dimostrare che nei due casi
oC
oL
LR
LCV
RCLC
V
2
max
2max
211)(
2
1)(
![Page 59: lezione07-2016.ppt [modalità compatibilità]oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2016/lezione07-2… · R f o 2 2 1 Circuiti ... –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062507/5fd7b92f412a022f0059f4bd/html5/thumbnails/59.jpg)
Il circuito RLC parallelo
)1(1)/1/()1(
11
111
11111
20
2
2
2
arctgRL
Carctg
LC
RVI
LCj
RV
ZVI
LCj
RCj
LjRZ
oo
RCL
I
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Il circuito RLC parallelo
RCL
0 1 o
I
0 1
o
V/R
I
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Il circuito RLC parallelo
RCL
0 1 o
V
0 1
o
RI2
211
LC
R
IV oo
Io
)1(1
)/1/()1(
20
2
arctg
RL
Carctg
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Misure con il picoscope• Ovvero: l’ oscilloscopio digitale in azione• Il picoscope è un oscilloscopio digitale completo di generatore di funzioni, che lavora in simbiosi con un PC (al quale sono demandate le funzioni di visualizzazione e impostazione delle misure)
• Permette di eseguire misure complesse in modo semplice.
Due ingressi analogici (8 bit, 1Gs/s)Ingresso per trigger esterno
Uscita del generatore di funzioni
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Uso del Picoscope per verificare il comportamento di circuiti RC, con onde quadre e sinusoidali in ingresso
1) Misura resistenza interna del generatore integrato nel picoscope
2) Circuito RC con onda quadra in ingresso: misura costante di tempo dalla salita e dalla discesa dell’onda in uscita
3) Circuito RC come integratore4) Circuito RC con onda sinusoidale in ingresso:
misura frequenza di taglio del circuito
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1) Misura della resistenza interna del generatore di fuzioni del picoscope
R2Resistenza interna R3>> R2
OscilloscopioPicoscope
V0(t)Generatore di funzioni (uscita Picoscope, frequenza f=1kHz) V1(t)
V0(t)
Si genera un segnale quadro V0(t) impostandone l’ampiezza a 1V e si legge il valore dell’ampiezza A0 senza carico. Si inserisce poi una resistenza di carico R2 e si misura V1(t) stimandone l’ampiezza A1. Dal rapporto tra A0 e A1 e dal valore di R2 si ricava con la formula del partitore.
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Immagine schermo con segnale generatore (picoscope) onda quadra V0(t) con ampiezza A0=1.00 V , frequenza 1 KHz
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Immagine schermo con segnale ai capi di R2: onda quadra V1(t) con ampiezza A1=(1.552 / 2) V , frequenza 1 kHz
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Stima resistenza interna dal confronto delle due misure (formula del partitore di tensione):
430
776.0000.17.2
1
102
1
0
2
AAAR
VAVA
kR
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2) RC eccitato con onda quadra
R2
Resistenza interna R3>> R2
OscilloscopioPicoscope
V0(t)Generatore di funzioni (uscita Picoscope, frequenza f=1kHz) V1(t)
V0(t)
Si provano due circuiti che hanno nominalmente la stessa costante di tempo: R2=2.7k e C=150nF oppure R2=27k e C=15nF
C
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usando i cursori si cerca il momento in cui l’ampiezza diventa pari a (1‐e‐1) del valore asintotico: si trova t==440s
Costante di tempo per circuito RC (C=150 nF R= 2.7K) da dati di salita
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Costante di tempo per circuito RC (C=150 nF R= 2.7K) da dati di discesa
usando i cursori si cerca il momento in cui l’ampiezza diventa pari a e‐1 del valore di partenza: si trova t==420s
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• Teoricamente la costante di tempo dovrebbe essere pari a
• Con i valori nominali dei componenti:
si dovrebbe avere:
• in buon accordo con quanto misurato.• Quindi la frequenza di taglio di questo RC è pari a
sCR 470)( 2
CR )( 2
FCkkR
9
2
1015042.07.2
Hzf 3402
1
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3) Circuito RC come integratore: onda quadra in ingresso
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Circuito RC come integratore:segnale in uscita a frequenza f=8KHz (>>ftaglio)
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4) Risposta in frequenza circuito RC con segnale sinusoidale in ingresso.
Si inizia con una frequenza (10Hz) << di quella di taglio e si misura l’ampiezza.
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Frequenza di taglio circuito RC, da confrontare con quella ricavata dalla costante
di tempo misurata prima (circa 340 Hz)
Si varia la frequenza finchè l’ampiezza non diventa di quella a basse frequenze2/1
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Altro RC (C=15 nF, R=27k
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Dettagli dell’ onda quadra in ingresso:
Quando il condensatore si carica (in un verso o nell’altro) il generatore, a causa della sua resistenza interna, fatica a mantenere l’ampiezza impostata per l’onda.
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Stessa onda quadra in ingresso,a 10 Hz
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RC (C=15 nF, R=27Kcirca 500 Hz
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R1
C
V g(t)
=0V
..5V
Resistenza interna R2
molto grande
oscilloscopioVg(t)(uscita GEN picoscope, frequenza f=10Hz o quanto serve a vedere la frequenza di taglio e forma d’onda quadra o sinusoidale)
VR(t)
CircuitoCR
Nello stesso modo si studia il circuito passa alto (CR) invertendo la disposizione di R e C, e si visualizza la sua azione comederivatore a basse frequenze