Álgebra y Geometría Analítica Introducción al uso del Mathematica
Vectores 10
VECTORES
Como ingresar vectores
Mathematica trabaja con listas ordenadas o simplemente lista. Si bien el concepto de lista es más general, para nuestro trabajo, igualaremos las listas de longitud fija a los vectores. Las listas se indican por valores encerrados entre llaves y separados por comas, que es el equivalente a la notación de vector que encierra las componentes entre paréntesis y las separa con comas o punto y coma.-
Para ingresar un vector procedemos así:
{4,-9,8,3/2}
3 {4, -9, 8, -}
2
{a^2,4c}
2 {a , 4 c}
Para declarar un vector como constante hacemos:
a={1/2,Sqrt[2]}
1 {-, Sqrt[2]} 2
También se puede ingresar un vector dando una cierta ley de conformación, usando el comando
Table, por ejemplo:
Table[i a,{i,0,3}]
{0, a, 2 a, 3 a}
En este caso indicamos que se genere una lista cuyas componentes serán las que se obtengan al multiplicar las componentes del vector a por i, donde i toma los valores 0, 1, 2 y 3.-
Table[(2i+1)a,{i,0,3}]
{a, 3 a, 5 a, 7 a}
En el segundo caso se obtiene una lista en la que se habrán de multiplicar las componentes de a por 2i+1 con i variando entre 0 y 3.-
Table[3^i-5i,{i,-1,8}] 16
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{--, 1, -2, -1, 12, 61, 218, 699, 2152, 6521} 3
Y finalmente en el tercero, el vector será el que tiene por componentes los valores que se obtengan al resolver 3i - 5i haciendo variar i entre -1 y 8.-
Este comando es útil cuando se quieren generar listas a partir de funciones. Por ejemplo para obtener un vector cuyas componentes sean los 6 primeros valores de factorial de n se pondrá
Table[n!,{n,6}]
{1, 2, 6, 24, 120, 720}
En este caso podemos no poner el 1 en la expresión ya que es el "default" como valor inicial.-
Table[n!,{n,3,6}]
{6, 24, 120, 720}
Nos muestra un vector cuyas componentes son los valores de la función n! variando entre 3 y 6.-
Si se pretende hacer una tabla de valores de f(x) = cos x entre 0° y 90°, en incrementos de 30°
Table[{x, Cos[x]},{x,0 Degree,90 Degree,30 Degree}]//N
{{0, 1.}, {0.523599, 0.866025}, {1.0472, 0.5}, -17 {1.5708, 6.12574 10 }}
Table[{x, Cos[x]},{x,0,Pi/2,30 Degree}]//N
{{0, 1.}, {0.523599, 0.866025}, {1.0472, 0.5}, -17 {1.5708, 6.12574 10 }}
Table[{x, Cos[x]},{x,0,Pi/2,30 Degree}]//N// TableForm
0 1. 0.523599 0.866025 1.0472 0.5 -17 1.5708 6.12574 10
Salida que nos muestra el mismo resultado anterior en forma de tabla por el uso del comando //TableForm
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Otro comando que podemos emplear es Range
Si queremos construir un vector cuya primera componente sea 18, la última 42 y la diferencia entre cada una sea 4, procedemos así:
Range[18,42,3]
{18, 22, 26, 30, 34, 38, 42}
El comando Array construye vectores simbólicos y lo empleamos de la siguiente forma:
Array[c,5]
{c[1], c[2], c[3], c[4], c[5]}
La misma salida la obtenemos empleando el comando anterior Table
Table[c[i], {i,1,5}]
{c[1], c[2], c[3], c[4], c[5]}
Para obtener la dimensión de un vector empleamos los comandos
Length
y Dimensions
Ejemplos:
Length[a]
2
Dimensions[a]
{2}
Para introducir un vector columna procedemos así:
ColumnForm[{2,-6,8,0}]
2 -6 8 0
O también:
p={2,9,-10}; p//ColumnForm 2 9 -10
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Es posible preguntar si un elemento pertenece al vector
MemberQ[p, 9]
True
MemberQ[p, 5]
False
Para tener acceso a las distintas componentes de un vector usamos [[ ]], por ejemplo la primera componente de p es
p[[1]]
2
Para encontrar la posición de un determinado elemento
Position[p, -10]
{{3}}
Ejercicios
1. Propone un vector de dos componentes.- 2. Ingresa un vector de dimensión tres.- 3. Carga un vector de dimensión mayor que dos tal que la suma de sus componentes sea
nula.- 4. Considera el vector (-1,3,-4).-
q Calcula los cosenos directores. q Halla su versor asociado. q Calcula su módulo. q Determina el ángulo que forma con el vector (2,-7,-3).-
5. Antes de pasar al trabajo siguiente practica cargando vectores fila y columna de distintas dimensiones según las técnicas vistas.-
6. Verifica la dimensión de los vectores que has cargado.- 7. Practica los distintos comandos visto en esta sección.-
Manipulando listas y conjuntos
En lo que sigue veremos algunos comandos que nos permiten modificar listas.-
v1={a,b,c,d}; v2={1,2,3,4}; v3=Join[v1,v2]
{a, b, c, d, 1, 2, 3, 4}
Append[v1,e]
{a, b, c, d, e}
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Prepend[v2,5]
{5, 1, 2, 3, 4}
v3[[6]]=f;v3
{a, b, c, d, 1, f, 3, 4}
Insert[v3,m,4]
{a, b, c, m, d, 1, f, 3, 4}
Drop[v3,3]
{d, 1, f, 3, 4}
Drop[v3,-4]
{a, b, c, d}
Drop[v3,{3,5}]
{a, b, f, 3, 4}
Take[v3,5]
{a, b, c, d, 1}
First[v3]
a
Rest[v3]
{b, c, d, 1, f, 3, 4}
Es importante no confundir una lista con un conjunto, pero nos podemos valer de ellas para realizar las operaciones unión, intersección y complemento de un conjunto con respecto a otro.-
a1={x,y,z}; a2={u,v,w,x,y}; Union[a1,a2]
{u, v, w, x, y, z}
Aplica Join a estas listas y compara las salidas.-
Intersection[a1,a2]
{x, y}
Complement[a1,a2]
{z}
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Complement[a2,a1]
{u, v, w}
Ejercicios
1. Da una interpretación de los resultados obtenidos al aplicar los comandos empleados en esta sección.-
2. Averigua que hacen los comandos Delete, Reverse, RotateLeft, RotateRight, Permutations y Partition, da ejemplos.-
Operaciones con vectores
Suma o adición:
La suma de vectores se denota con el operador " +":
{6,2,5}+{5,-12,-6}
{11, -10, -1}
Si hemos declarado los vectores como constantes, será suficiente indicar la suma empleando los nombres asignados a los mismos
b={4,2,7}; s={c,6,d}; b + s
{4 + c, 8, 7 + d}
Resta
Para restar dos vectores el operador es " - ".-
b - s
{4 - c, -4, 7 - d}
Multiplicación por escalar
Esta multiplicación se realiza empleando el operador " ∗ ":
4 * {2,c,f}
{8, 4 c, 4 f}
La salida es el múltiplo escalar del vector.-
Si pretendemos obtener una combinación lineal de dos vectores solo debemos indicarla
2*{m,n,t} + 3*{x,y,z}
{2 m + 3 x, 2 n + 3 y, 2 t + 3 z}
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O también
2{m,n,t}+3{x,y,z}
{2 m + 3 x, 2 n + 3 y, 2 t + 3 z}
En donde hemos suprimido los *, signos de multiplicación.--
Operaciones componente por componente
En ocasiones es conveniente poder efectuar el producto de listas componente a componente (Análisis Discreto de Fourier). Para efectuar esta multiplicación usamos el operador " ∗ ". También suele emplearse otro tipo de operaciones con distintas aplicaciones, por ejemplo la construcción de gráficos. Algunos ejemplos de éstas son:
c={2,-3,6};
d={-2,5,1};
c*d
c/d
c^d
{-4, -15, 6}
3
{-1, -(-), 6}
5
1
{-, -243, 6}
4
CUIDADO: ESTAS SON OPERACIONES ENTRE LISTAS NO EXISTEN COMO OPERACIONES ENTRE VECTORES.-
Clear[a,b,c,d,p,s,v1,v2,v3,a1,a2]
Empleando este comando logramos "borrar" las asignaciones anteriores hechas a las variables colocadas dentro del corchete.-
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Ejercicios
Introduce tres vectores de dimensión seis y llámalos p, q, r, y dos escalares x e y.-
1. Estudia la validez de las siguientes propiedades analizando los ejemplos e indica el nombre de cada una.- q p + q = q + p q p + (q + r) = (p + q) + r q p +0
r = p, siendo 0
r el vector nulo correspondiente.
q p + (-p) = -p + p = 0r
q x ∗ (y ∗ p) = (x ∗ y) ∗ p = y ∗ (x ∗ p) q (x + y) ∗ p = x ∗ p + y ∗ p q x ∗ (p + q) = x ∗ p + x ∗ q q 1 ∗ p = p.-
2. Prueba las propiedades del punto anterior simbólicamente.- 3. Calcula el módulo de los vectores del punto 1).- 4. Ingresa v1 = (1,1), v2 = (1,3), v3 = (4,-2) y calcula:
a) 2v1 + 3v2 - 1/2v3, b) sus módulos, c) los versores asociados a cada uno de los vectores dados y al vector obtenido en a), d) el módulo de los versores.-
5. Estudia la validez de las propiedades que siguen analizando ejemplos: q v = 0 si y solo sí v = 0
r (0
r vector nulo correspondiente),
q x.v = x v, q |v + w| < |v| +|w|.-
6. Aplica la definición de dirección de un vector y calcula las direcciones de los vectores del ejercicio 4).-
7. Propone varios vectores e indica el módulo y la dirección de cada uno.- 8. Propone ejercicios combinando las operaciones que has aprend ido.-
Multiplicación de vectores
Producto escalar
Para efectuar el producto escalar o interno usamos el operador " i ":
{2,3,4}.{-1,0,-3}
-14
Producto vectorial
Para evaluar el producto vectorial entre dos vectores debemos emplear el comando "CrossProduct" que se encuentra definido en uno de los paquetes externos y cuya sintaxis es la siguiente:
CrossProduct[{v , w}]
La salida correspondiente es el producto vectorial entre los vectores v y w.-
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Para poder hacer uso de esta función es necesario primeramente cargar el paquete "LinearAlgebra",
tarea que efectuamos de esta manera:
Needs["LinearAlgebra`CrossProduct`"]
Una vez cargado el paquete podemos efectuar el producto vectorial.-
Cross[{1,2,0},{-3,1,2}]
{4, -2, 7}
Observación: de la versión 3.0 en adelante, no se carga el paquete. Simplemente se ejecuta el comando Cross.-
Producto mixto
Si nuestro propósito ahora es encontrar el producto mixto entre tres vectores sólo debemos combinar los dos productos anteriores así:
Cross[{-2,3,1},{4,-2,3}].{5,1,-2}
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Doble producto vectorial
También podemos obtener el doble producto vectorial. Sólo debemos escribir de manera conveniente el producto vectorial.-
Cross[{1,3,0},Cross[{-2,1,-1},{3,-2,1}]]
{3, -1, 2}
Cross[Cross[{1,3,0},{-2,1,-1}],{3,-2,1}]
{15, 24, 3}
Ejercicios
1. Propone ejercicios de aplicación del producto escalar.- 2. Halla el ángulo que forman los vectores que has introducido.- 3. Introduce dos vectores de 2¡ y halla:
q su producto escalar, q el ángulo que forma cada uno de ellos con el eje X, ¿cómo se llama ese ángulo? q el ángulo que determinan, q un vector de módulo 3 colineal con uno de ellos, q la proyección de cada uno de ellos sobre el otro.-
4. Introduce dos vectores de 3¡ y halla: q su producto vectorial, q el versor asociado al producto vectorial, q un vector de módulo 8 perpendicular a ambos,
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q la proyección de cada uno de ellos sobre los ejes coordenados, q el área del paralelogramo que los tiene como lados adyacentes.-
5. Introduce tres vectores de 3¡ y halla: q el ángulo que determina cada uno de ellos con los ejes coordenados, ¿cómo se
llaman estos ángulos? q el ángulo que determinan tomándolos dos a dos, q el volumen del paralelepípedo que los tiene como aristas.-
6. Dados a = (1,3,0), b = (-2,1,-1) y c = (-4,2,-1) calcula: q su producto mixto, q a ∧ (b ∧ c) y (a ∧ b) ∧ c, q el volumen del tetraedro del que los vectores son aristas.-
7. Introduce tres vectores m, n y p de tres componentes y dos escalares x e y arbitrarios. Prueba simbólicamente la posible validez de las siguientes propiedades: q m . n = n . m q m . (n + p) = m . n + m . p q m . 0
r= 0 (0
r: vector nulo correspondiente)
q m . m = |m|2 q (x ∗ m) .n = x ∗ (m . n) = m . (x ∗ n)
q m ∧ 0r
= 0r
∧ m = 0r
q m ∧ n = - (n ∧ m) q (x ∗ m) ∧ n = x ∗ (m ∧ n) = m ∧ (x ∗ n) q m ∧ (n + p) = (m ∧ n) + (m ∧ p) q (m ∧ n) .p = m . (n ∧ p) q m . (m ∧ n) = n . (m ∧ n) = 0. Justifica.- q m ∧ (n ∧ p) = (m . p) .n - (m . n) .p.-
8. Verifica las propiedades el punto anterior por medio de ejemplos.- 9. Toma tu guía de ejercicios con vectores y verifica los resultados que has obtenido al
resolverla empleando papel y lápiz. Suerte.-
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Vectores 20
COMO GRAFICAR UN VECTOR
Para graficar un vector tenemos que cargar el siguiente paquete
<<Graphics`Arrow`
Show[Graphics[{Arrow[{0,0},{2,1}]}],Axes->True];
Show[{Graphics[{Arrow[{0,0},{2,1}]}],
Graphics[{Arrow[{0,0},{2,3}]}]},Axes->True];