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Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de Mecânica e Ondas
Docentes: João Fonseca, [email protected] Malaquias, [email protected]
Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial – Cadeira de Mecânica e Ondas2º semestre de 2015/2016
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Movimento relativo de translacção
https://www.youtube.com/watch?v=la-hSjKP2TU
https://www.youtube.com/watch?v=bMUdXJPUwm8
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Movimento relativo de rotação(gravidade artificial)
https://www.youtube.com/watch?v=EHKQIC5p8MU
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Movimento relativo de rotação(aceleração de coriolis)https://www.youtube.com/watch?v=dt_XJp77-mk&ebc=ANyPxKrZo3lRDxYg8hy_Kc9-2KwIe_DGwxwTX-XaVE-RUcbcRJ5aA01UhXXXAtfbArsWZcT9hhwLtZkHgVYuK1Fp9ItCiHT_cA
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Dinâmica
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Dinâmica1ª Lei de Newton, ou Princípio da Inércia (enunciado por Galileu, quase 100 anos de Newton):- Um corpo isolado mantém inalterado o seu estado de movimento, ou seja,
move-se com velocidade constante em módulo, direcção e sentido.
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Dinâmica2ª Lei de Newton, ouLei fundamental da dinâmica
F = m a
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Dinâmica3ª Lei de Newton, ouLei da igualdade acção-reacção
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Dinâmica
Forças traduzem interacções entre corpos
INTERACÇÃOGRAVÍTICA
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Dinâmica
Forças traduzem interacções entre corpos
INTERACÇÃOELECTRO-MAGNÉTICA
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Dinâmica
Forças traduzem interacções entre corpos
INTERACÇÃOFORTE EINTERACÇÃOFRACA
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? ?Forças traduzem interacções entre corpos
Dinâmica
“Força” é um conceitoantropomórfico
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? ?Forças traduzem interacções entre corpos
Dinâmica
?F
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? ?Forças traduzem interacções entre corpos
Dinâmica?F
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Dinâmica
F = m a
F = 𝒅
𝒅𝒕(mv)
Forças traduzem interacções entre corpos
?F
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Dinâmica
Forças traduzem interacções
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DIAGRAMA DE CORPO LIVREF = ma
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Dinâmica pressão hidrostática:p = p0+rgh
Sendop0 a pressão à superfícier a massa volúmica do fluidoh a profundidade
Através de qualquer superfície Ds no interior de um fluido exerce-se uma força F = p Ds prependicular à superfície
(transferência de momento linear porcolisão entre partículas de um e de outro lado da superfície)
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Dinâmica pressão hidrostática:p = p0+rgh
Sendop0 a pressão à superfícier a massa volúmica do fluidoh a profundidade
Princípio de Arquimedes (impulsão):Um corpo submerso sofre uma força vertical,de baixo para cima, igual em módulo ao pesodo fluido deslocado.
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Dinâmica
Fx = - k Dx
Mola ideal:
Forças traduzem interacções
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Dinâmica Força de reacção normal𝑛 sin 𝜃 =
𝑚𝑣2
𝑅
RC
𝑛 cos 𝜃 = 𝑚𝑔
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Dinâmica atrito
𝑛 sin 𝜃 + 𝐹𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑚𝑣2
𝑅
RC
Fa
𝑛 cos 𝜃 − 𝐹𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑔
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Dinâmica
q
T
𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑇 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑣2
𝑅
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Dinâmica – massa variável
m
v
Sen
tid
o p
osi
tivo
instante t
mg
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Dinâmica – massa variável
-dm
m
m+dmv
v+dv
vg
Sen
tid
o p
osi
tivo
instante t instante t+dt
Nota: dm < 0 !
Força exterior no instante t: mgLogo:
F=𝛿𝒑
𝛿𝑡= mg
Podemos calcular 𝛿𝒑 :𝛿𝒑 = p(t+dt) – p(t) =
= (m+dm)(v+dv) + (-dm) vg - mv
vE é a velocidade dos gases em relação ao foguetevg é a velocidade dos gases em relação à Terra
Logo, é vE = vg - v , e, em módulo, vE = vg + v
Reescrevendo a expressão de dp para asprojecções segundo o eixo, e tendo em contaos sinais:𝛿𝑝 = (m+dm)(v+dv) - (-dm) (vE - v) - mv = (mv+m dv+dm v + dmdv) + dm vE - dm v - mv =
= m dv + dm vE
E portanto
−𝑚𝑔 =𝛿𝑝
𝛿𝑡= 𝑚
𝛿𝑣
𝛿𝑡+𝛿𝑚
𝛿𝑡𝑣𝐸
vE
mg
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Dinâmica – massa variável
m
v
Sen
tid
o p
osi
tivo
instante t
−𝑚𝑔 = 𝑚𝛿𝑣
𝛿𝑡+𝛿𝑚
𝛿𝑡𝑣𝐸
ou, tendo em conta que m = m0 – at e
portanto 𝛿𝑚
𝛿𝑡= – a,
−𝑚𝑔 + 𝛼𝑣𝐸 = m𝛿𝑣
𝛿𝑡
−𝑚𝑔 + 𝛼𝑣𝐸 = mapeso propulsão
mg
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Dinâmica – massa variável
m
v
Sen
tid
o p
osi
tivo
instante t
−𝑚𝑔 + 𝛼𝑣𝐸 = m𝛿𝑣
𝛿𝑡
Logo, 𝛿𝑣
𝛿𝑡= −𝑔 +
𝛼𝑣𝐸
𝑚0−𝛼𝑡
donde se pode concluir que
𝑣 𝑡 = −𝑔𝑡 + 𝑣𝐸ln(𝑚0𝑚0−𝛼𝑡)
v(m
/s)
t (s)
a (m
/s^2
)
mg
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60
0
20
40
60
80
100
120
140
160
a = 850 kg/s;m0 = 50000 kg;vE = 600 m/s
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Dinâmica – Trabalho e Energia
Dr
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Dinâmica – Trabalho e Energia
O operador gradiente
𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒙û𝒙 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚û𝒚+𝝏𝒇
𝝏𝒛û𝒛
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Dinâmica – Trabalho e Energia
O operador rotacional
rot 𝒗 = (𝝏𝒗𝒛
𝝏𝒚−𝝏𝒗𝒚
𝝏𝒛)û𝒙 + (
𝝏𝒗𝒙
𝝏𝒛−𝝏𝒗𝒛
𝝏𝒙) û𝒚+ (
𝝏𝒗𝒚
𝝏𝒙−𝝏𝒗𝒙
𝝏𝒚) û𝒛
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Energia potencial gravítica:
ou
?
𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ
𝐸𝑝 = − 𝐺𝑀𝑚
𝑟
hr
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Verdadeiro ou falso?
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1500 m
3000 m
P Q
Um bólide explode quando se encontra3000 m acima da superfície, dando origema dois meteoritos. Um deles, com cerca de2/3 da massa total, caiu a uma distância horizontal de 1500 m da projecção vertical doponto de explosão. Estime o local onde caiu o outro fragmento. Admita que as três trajectórias estão contidas no mesmo plano. A velocidade antes da explosão era 1500 m/s fazendo um ângulo de 30º abaixo da horizontal. O fragmento maior é projectado fazendo um ângulo de 60º abaixo
da horizontal. Considere g constante.
?
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular,> momento de inércia
N = r x F
Vector posição do ponto de aplicação
Força
Momento da força r
N
F
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular,> momento de inércia
N = r x FMomento da força
r N
F
N = r x FMomento da força
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular,> momento de inércia
r N
F
N = r x FMomento da força
Reacções nas dobradiçascancelam o peso do gatoe o momento do peso
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular,> momento de inércia
N = r x F
r
F
N = r x F
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https://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0&spfreload=10
Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
Claramente, há energia de movimento (energia cinética) associada ao rodopio da patinadora. Mas não há movimentode translacção! É preciso um conceitonovo para representar a “quantidade demovimento“ neste caso. É o momento angular:
Para uma partícula: 𝒍 = 𝒓 × 𝑚𝒗
Para um corpo: 𝑳 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖
L
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
𝑵 = 𝒓𝑖 × 𝑭𝑖Momento da força
r1
N
F1
𝑳 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖
r2
F2
Momento angular
𝑑𝑳
𝑑𝑡= 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖
𝑑𝒗𝑖
𝑑𝑡+ 𝑑𝒓𝑖
𝑑𝑡× 𝑚𝑖𝒗𝑖 =
𝒓𝑖 × 𝑭𝑖 + 𝒗𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖 = 𝒓𝑖 × 𝐹𝑖= 𝑵
𝑁 =𝑑𝑳
𝑑𝑡
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
ri
F1
𝑳 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖Momento
angular
miRi
= 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖(𝝎 × 𝒓𝑖)
w
𝐿𝑧 = 𝜔 𝑚𝑖𝑅𝑖2
li
𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖2
𝐿𝑧 = 𝐼𝜔ou
com Momento de inércia
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖2
𝐿𝑧 = 𝐼𝜔
Momento de inércia
w L
Lz
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖2
𝑳 = 𝐼𝝎
Momento de inércia
w
L
𝑑𝑳
𝑑𝑡= 𝑁 = 𝐼 𝜶
sem
pre
se I
cte
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖2
𝑳 = 𝐼𝝎
Momento de inércia
w
L
𝑑𝑳
𝑑𝑡= 𝑁 = 𝐼 𝜶
𝐸𝑐𝑟𝑜𝑡 =1
2𝐼 𝜔2
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
Qualquer objectoTem trêseixos principaisde inércia,ortogonais entre si
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
Rotação em torno de um eixo arbitrário:
L// = Iw
L
w
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia
Rotação em torno de um eixo principal de inércia:
L = Iw
L
w
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade r1
N
F1
r2
F2
𝑁 = 𝐼 𝜶
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade N
av
𝑁 = 𝐼 𝜶 ? ? ?Resposta: só se a origem do referencial estiver no centrode massa (CM) do corpo
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade
mi
ri
x
y
z
𝒓𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒓𝑖 𝑖𝑚𝑖
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade
CMrCM
x
y
z
𝒓𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒓𝑖 𝑖𝑚𝑖 X
![Page 52: Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de ... · Dinâmica. Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial –Cadeira de Mecânica e Ondas 2º semestre de 2015/2016](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062505/5be52a7f09d3f2f4628dc712/html5/thumbnails/52.jpg)
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade
CMrCM
x
y
z
𝒗𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒗𝑖 𝑖𝑚𝑖 X
𝑷 = 𝑀 𝒗𝐶𝑀
ou
massa total
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade
CMrCM
x
y
z
𝒂𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒂𝑖 𝑖𝑚𝑖 X
𝑭𝑒𝑥𝑡 = 𝑀 𝒂𝐶𝑀
ou
massa total
Só forças exteriores porque
as interiores se cancelam duas a
duas
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade N
av
𝑵 = 𝐼 𝜶 ? ? ?(o referencial não é inercial)
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade N
av
𝑁 = 𝐼 𝜶 ? ? ?Resposta: só se a origem do referencial estiver no centrode massa (CM) do corpo
![Page 56: Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de ... · Dinâmica. Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial –Cadeira de Mecânica e Ondas 2º semestre de 2015/2016](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062505/5be52a7f09d3f2f4628dc712/html5/thumbnails/56.jpg)
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Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade
CMrCM
x
y
z
𝑵𝐶𝑀 = 𝐼 𝜶
X
a CM
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Cálculo do CM de um corpo composto:
x
y
z
sabendo que o comprimento da barra é 0.80m, o lado do quadrado é 0.60m e o raio da esfera é 0.10m, podemosconcluir que, no referencial escolhido …
- o CM do conjunto tem coordenadas xCM e zCM nulas, por simetria;- o CM da esfera está em yCMe = -0.10m;- o CM da barra está em yCMb= 0.40m;- o CM do quadrado está em yCMq= 1.10m;
A coordenada y do CM do conjunto é dada por-0.10 me + 0.40 mb + 1.10 mq
yCM= = 0.36mme + mb + mq
ou seja, cada parte do corpo pode ser tratada como uma única partícula concentrada no respectivo CM
CMCMe
CMb
CMq
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CÁLCULO DO CM DE UM CORPO A DUAS DIMENSÕES:
x
y
a
b
y = -(b/a)x+by = (b/a)x+b
dy
O triângulo pode ser encarado como uma“pilha” de tiras infinitamente estreitas, de altura dy e largura 2[a-(a/b)y].
Se chamarmos s à massa por unidade de áreaou densidade superficial, a massa da tiraque se encontra à altura y serádm = 2s [(a-(a/b)y] dy.
Podemos calcular a coordenada y do CM tratando cada “tira” como uma partícula:
𝑦𝐶𝑀 = 𝑖 𝑦𝑖𝑑𝑚𝑖
𝑖 𝑑𝑚𝑖
= 0𝑏2𝜎𝑦[𝑎 −
𝑎𝑏𝑦] 𝑑𝑦
0𝑏2𝜎[𝑎 −
𝑎𝑏𝑦] 𝑑𝑦
=1
𝑀
0
𝑏
2𝜎𝑦[𝑎 −𝑎
𝑏𝑦] 𝑑𝑦
y
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CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO A DUAS DIMENSÕES:
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM TRiÂNGULO EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE PASSA PELO CM
x
y
a
b
y = -(b/a)x+by = (b/a)x+b
dx
Vamos calcular o contributo de metade do triângulo, entre x=0 e x=a (O I total será o dobro)
O triângulo pode ser encarado como uma “pilha” de tiras infinitamente estreitas, de altura [b-(b/a)x] e largura dx.
Se chamarmos s à massa por unidade de áreaou densidade superficial, a massa da tiraque se encontra na coordenada x será dm = s[b-(b/a)x] dx.
Podemos calcular o momento de inércia tratando cada “tira” como uma partícula:
𝐼 = 𝑖 𝑑𝑚𝑖𝑥𝑖2
= 2
0
𝑎
𝜎𝑥2 𝑏 −𝑏
𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
6𝑀𝑎2
x
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CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO A TRÊS DIMENSÕES:
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ESFERA EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE PASSA PELO CM
Vamos calcular o contributo da massa assinalada a amarelo: chamando r à massa por unidade de volume, e tendo em conta que o volume é𝑑𝑉 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃, a massa elementar será
𝑑𝑚 = 𝜌 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃E o seu contributo para o momento de inércia em relação ao eixo Oz será
𝑑𝐼 = (𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑)2𝜌 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃É necessário integrar sobre as três variáveis para obter o momento de inércia total:
𝐼 = 𝜌
0
2𝜋
0
𝜋
0
𝑅
𝑟4𝑠𝑒𝑛3𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃
=2𝜋𝜌𝑅5
5 0
𝜋
𝑠𝑒𝑛3𝜑 𝑑𝜑 =8
15𝜋𝜌𝑅5
Nota: 𝑃 𝑠𝑒𝑛3𝜑 =1
3𝑐𝑜𝑠3𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑐
Tendo em conta que a massa total é
𝑀 =4
3𝜋𝑅3𝜌, resulta
𝐼 =2
5𝑀𝑅2
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TEOREMA DE STEINER:MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER A PARTIR DO MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO PARALELO QUE PASSA PELO CM:
Dr
r'r
Em relação ao eixo que passa pelo CM,o momento de inércia é (a duas dimensões):
𝐼𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖|𝒓′𝑖|2
e em relação ao eixo de rotação, é
𝐼 =
𝑖
𝑚𝑖|𝒓𝑖|2
Tendo em conta que r’i = ri + Dre que |𝒓𝒊|
2 = 𝒓𝒊. 𝒓𝒊 , resulta
𝐼 =
𝑖
𝑚𝑖( r’i−Dr).(r’i−Dr)
=
𝑖
𝑚𝑖|𝒓′𝑖|2 + |Dr|2
𝑖
𝑚𝑖 − 2Dr.
𝑖
𝑚𝑖𝒓′𝑖
= 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑2
sendo d = |Dr| a distância entre os eixos.
Nota: 𝑖𝑚𝑖𝒓′𝑖 é (à parte o factor M) a posição
do CM no referencial centrado no CM, logo tem que ser zero.
CM
mi
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑2
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
https://www.youtube.com/watch?v=J5Q_Sve9toMhttps://www.youtube.com/watch?v=h8uEA50thsQ
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
molaamortecedor
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
molaamortecedor
Amortecedor hidráulico
força de atrito viscoso: F = -b v
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
molaamortecedor
b
m
Forças sobre a massa m:
Força elástica (mola ideal) : 𝐹𝑥𝑚𝑜𝑙𝑎 = −𝑘 𝑥 − 𝑥0
Força de atrito viscoso : 𝐹𝑥𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 = −𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Segunda lei de Newton: : m𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= −𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡− 𝑘𝑥
x
(se x0 = 0)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
b
m
m𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= −𝑏𝑑𝑥
𝑑𝑡− 𝑘𝑥
ou
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
com 𝜆 =𝑏
2𝑚𝑒 𝜔0 =
𝑘
𝑚
xb
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
b
m
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
x
Na ausência de atrito viscoso (l=0), será𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+𝜔02 𝑥 = 0
Pergunta: que função x(t) obedece a esta equação diferencial?Palpite: deve ser do tipo x(t) = sen(𝜔0t) ou x(t) = cos(𝜔0t)Podemos tentar a função x(t) = c1 sen(𝜔0t) + c2 cos(𝜔0t), com c1 e c2 arbitrários.Tendo em conta que sen a cos b + cos a sen b + sen (a+b), podemos fazer a = 𝜔0t,
c1 = A cos d, c2 = A sen d, e escrever x(t) = A sen (𝜔0t+d)
OSCILADOR HARMÓNICO SIMPLES:
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
b
m
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
x
x(t) = A sen (𝜔0t+d)
OSCILADOR HARMÓNICO SIMPLES
t
x 𝑇 =2𝜋
𝜔0
A
A e d devem ser calculados a partir dascondições iniciais,por exemplo, posição e velocidade em t=0s.
OSCILADOR HARMÓNICO SIMPLES:
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
b
m
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
x
OSCILADOR HARMÓNICO AMORTECIDO
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
OSCILADOR HARMÓNICO AMORTECIDO
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡
Tendo em conta que é 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑐1𝑟1𝑒
𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟2𝑒𝑟2𝑡 e
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= 𝑐1𝑟1
2𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟22𝑒𝑟2𝑡
terá que ser𝑐1𝑟12𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟2
2𝑒𝑟2𝑡 + 2𝜆𝑐1𝑟1𝑒𝑟1𝑡 + 2𝜆𝑐2𝑟2𝑒
𝑟2𝑡 + 𝜔02𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝜔0
2𝑐2𝑒𝑟2𝑡 = 0
ou seja𝑐1(𝑟12 + 2𝜆𝑟1 + 𝜔0
2) 𝑒𝑟1𝑡 = 0 𝑒 𝑐2(𝑟22 + 2𝜆𝑟2 +𝜔0
2) 𝑒𝑟2𝑡 = 0Por outras palavras,
𝑟1e 𝑟2 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑜 𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔0
2
(método do polinómio característico)
As raízes são dadas por 𝑟1 =−2𝜆− 4𝜆2−4𝜔0
2
2= −𝜆 − 𝜆2 − 𝜔0
2
e 𝑟2 =−2𝜆+ 4𝜆2−4𝜔0
2
2= −𝜆 + 𝜆2 − 𝜔0
2
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡
Conclusão:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0
2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒
[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒
− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒
𝜆2−𝜔02 𝑡
Se 𝜆 < 𝜔0:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿
Nota: usou-se a igualdade
𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑒−𝜙 + 𝑒𝜙
2
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡
Conclusão:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0
2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒
[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒
− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒
𝜆2−𝜔02 𝑡
Se 𝜆 < 𝜔0:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡
Conclusão:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0
2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒
[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒
− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒
𝜆2−𝜔02 𝑡
Se 𝜆 = 𝜔𝑜:
Amortecimento crítico
Amortecimentosubcrítico
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡
Conclusão:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0
2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒
[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒
− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒
𝜆2−𝜔02 𝑡
Se 𝜆 > 𝜔𝑜:
Amortecimento supercrítico
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Amortecimento supercrítico
Amortecedor em bom estado: 𝝀 > 𝝎𝒐.
O carro retoma rapidamente a posição de equilíbrio(amortecimento supercrítico)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Amortecedor em mau estado: 𝝀 < 𝝎𝒐.
O carro oscila várias vezes antes de retomara posição de equilíbrio
(amortecimento subcrítico)
𝝀 < 𝝎𝒐
Amortecimentosubcrítico
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Amortecedor em mau estado: 𝝀 < 𝝎𝒐.
O carro oscila várias vezes antes de retomara posição de equilíbrio
(amortecimento subcrítico)
𝝀 < 𝝎𝒐
Amortecimentosubcrítico
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS 𝐹𝑧 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
m𝑑2𝑧
𝑑𝑡2= −𝑏𝑑𝑧
𝑑𝑡− 𝑘𝑧 + 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑧
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑧 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
com 𝜆 =𝑏
2𝑚, 𝜔0=
𝑘
𝑚𝑒 𝑓0 =
𝐹0
𝑚
(nota: o efeito do peso equivale a mudar A posição de equilíbrio da mola)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑧
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑧 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
Palpite: z(t) = A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 ?
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑧
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑧 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
Palpite: z(t) = A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 ?
Seria 𝑑𝑧
𝑑𝑡= 𝜔𝑓 A cos 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 e
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2= −𝜔𝑓
2 A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿
Substituindo:
−𝜔𝑓2 A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 + 2𝜆A 𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 + 𝜔0
2A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
(𝜔02 − 𝜔𝑓
2) A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 + 2𝜆A 𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
(𝜔02 − 𝜔𝑓
2) A [sen (𝜔𝑓t )cos 𝛿 + cos (𝜔𝑓t )𝑠𝑖𝑛 𝛿]+
+2𝜆A 𝜔𝑓[cos (𝜔𝑓t )cos 𝛿 − sin (𝜔𝑓t )𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
[(𝜔02 − 𝜔𝑓
2)cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] A sen (𝜔𝑓t )+
+ [(𝜔02 − 𝜔𝑓
2)𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] A cos (𝜔𝑓t) = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
A[(𝜔02 − 𝜔𝑓
2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e A[ (𝜔02 − 𝜔𝑓
2) 𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] = 0
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS 𝐹𝑧 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡
só se
𝐴[(𝜔02 −𝜔𝑓
2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e
𝐴[(𝜔02 −𝜔𝑓
2) 𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] = 0
ou seja,
𝐴 =𝑓0
𝜔02 − 𝜔𝑓
2 2 + 4𝜆2𝜔𝑓2
; 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔02 − 𝜔𝑓
2
Palpite: z(t) = A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 ?
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS
Só se
𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0
2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e
𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0
2) 𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] = 0
ou seja,
𝐴 =𝑓0
𝜔02 − 𝜔𝑓
2 2 + 4𝜆2𝜔𝑓2
; 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔𝑓2 − 𝜔0
2
l
l
l
wf
l = 0
Frequência externa
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS
Só se
𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0
2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e
𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0
2) 𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] = 0
ou seja,
𝐴 =𝑓0
𝜔02 − 𝜔𝑓
2 2 + 4𝜆2𝜔𝑓2
; 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔𝑓2 − 𝜔0
2
l
l
l
wf
l = 0
Frequência externa
A amplitude é máxima quando o argumento da raiz do denominador é mínima. Essa condição ocorre para o valor de wf que verifica a condição
𝑑
𝑑𝜔𝑓𝜔02 −𝜔𝑓
22+ 4𝜆2𝜔𝑓
2 = 0
−4𝜔𝑓( 𝜔02 −𝜔𝑓
2 + 8𝜆2𝜔𝑓 = 0
𝜔𝑓 = 𝜔02 − 2𝜆2
Conclusão: 𝜔𝑓 = 𝜔02 − 2𝜆2 corresponde à máxima
amplitude de oscilação, ou ressonância de amplitude.
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
OSCILAÇÕES FORÇADAS
Só se
𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0
2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e
𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0
2) 𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] = 0
ou seja,
𝐴 = 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔02 − 𝜔𝑓
2
l = 10-2
l = 0.2
l = 0.5
l =1.0
l =1.5
l =2.0
𝜋
2
0
p
Quando 𝜔𝐹 = 𝜔0, a diferença de fase entre a força e o
deslocamento é 𝜋
2. Resulta que a diferença de fase entre
a força e a velocidade é zero. A potência (trabalho por unidade de tempo) é o produto interno da força pela velocidade. O trabalho produzido num intervalo de
tempo Dt, 0Δ𝑡𝑭. 𝒗 𝑑𝑡, é máximo se a diferença de fase
entre F e v for zero, ou seja, se 𝛿 =𝜋
2.
Conclusão: 𝜔𝐹 = 𝜔0 corresponde à máxima transferência de potência, ou ressonância de energia.
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ANÁLISE DE FOURIER OU porque é que é importante saber a resposta de um sistema linear quando o input é uma função harmónica (seno ou coseno)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ANÁLISE DE FOURIER OU porque é que é importante saber a resposta de um sistema linear quando o input é uma função harmónica (seno ou coseno)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ANÁLISE DE FOURIER OU porque é que é importante saber a resposta de um sistema linear quando o input é uma função harmónica (seno ou coseno)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ANÁLISE DE FOURIEROU porque é que é importante saber a resposta de um sistema linear quando o input é uma função harmónica (seno ou coseno)
A resposta de um sistema linear a um input que seja uma soma de funções é a soma das respostas a cada função em separado.
A análise de Fourier permite encarar qualquer função f(t) como a soma de funções sinusoidais com amplitude e fase inicial criteriosamente escolhidas.
Se conhecermos a respostra de um sistema linear a uma sinusoide genérica fi(t)=Aicos(wit+di) podemos calcular a resposta do sistema a qualquer função f(t)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo simples
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo simples
Segundo a direcção tangencial:
𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
Segundo a direcção radial:
𝑚𝑣2
𝐿= 𝑇 −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃
Tendo em conta que 𝑣 = 𝐿𝑑𝜃
𝑑𝑡, resulta:
𝐿𝑑2𝜃
𝑑𝑡2= −𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 𝜔02 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝜔0 =
𝑔𝐿
SE 𝜃 for um ângulo pequeno (<10º), será sen 𝜃 ~ 𝜃, e nesse caso
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 𝜔02 𝜃 = 0𝜃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝛿)
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo simples
𝜃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝛿)
𝑇 =2𝜋
𝜔0
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo amortecido (força de atrito viscoso do ar)
𝐹𝑣 = −𝑏𝑣
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo amortecido (força de atrito viscoso do ar)
Segundo a direcção tangencial:
𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏𝑣
Segundo a direcção radial:
𝑚𝑣2
𝐿= 𝑇 −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃
Tendo em conta que 𝑣 = 𝐿𝑑𝜃
𝑑𝑡, resulta:
𝑚𝐿𝑑2𝜃
𝑑𝑡2= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏𝐿
𝑑𝜃
𝑑𝑡𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝜃
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝑐𝑜𝑚 𝜔0 = 𝑔𝐿 𝑒 𝜆 =
𝑏
2𝑚
SE 𝜃 for um ângulo pequeno (<10º), será sen 𝜃 ~ 𝜃, e nesse caso
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝜃
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝜃 = 0
𝜃 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡 cos 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿
Se 𝜆 < 𝜔0(𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑏 − 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜)
𝐹𝑣 = −𝑏𝑣
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo amortecido (força de atrito viscoso do ar)
𝜃 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡 cos 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿
Se 𝜆 < 𝜔0 (𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑏 − 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜)
𝐹𝑣 = −𝑏𝑣
"𝑇" =2𝜋
𝜔02−𝜆2
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Utilização das condições iniciais (pêndulo simples)
No instante t=0, um pêndulo passa pela posição 𝜃 =𝜋
6𝑟𝑎𝑑,
rodando no sentido horário, com a velocidade de 3.0 m/s. Sabendo que o cumprimento do fio é L=4.0m, escreva a lei do movimento, na ausência de atrito.
Resolução: a lei do movimento deve ser da forma𝜃 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔0𝑡 + 𝛿
E por conseguinte a velocidade linear deve ser dada por
𝑣 𝑡 = 𝐿𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝜔0𝐿𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝛿
sendo A e d constantes arbitrárias. As condições iniciais permitem escrever que
𝜃 0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝜋/6 ; 𝑣 0 = 𝜔𝑜𝐿𝐴𝑐𝑜𝑠𝛿 = −3.0O sinal (-) traduz o facto de que o sentido do movimento é
negativo (𝑑𝜃
𝑑𝑡< 0).
Solução:
A = 0.708 radd= 2.31 rad
Nota: escolheu-se o valor de d para o qual A é positivo.
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
Utilização das condições iniciais (pêndulo amortecido)
No instante t=0, um pêndulo passa pela posição 𝜃 =𝜋
6𝑟𝑎𝑑, rodando
no sentido horário, com a velocidade de 3.0 m/s. Sabendo que o cumprimento do fio é L=4.0m, escreva a lei do movimento, tendo em conta que a força de atrito é 𝐹𝑣 = −0.5 𝑣 (𝑆𝐼) e que 𝑚 = 0.5 𝑘𝑔.
Resolução: a lei do movimento deve ser da forma
𝜃 𝑡 = 𝐴 𝑒−𝜆𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔′𝑡 + 𝛿 𝑐𝑜𝑚 𝜆 =𝑏
2𝑚= 0.5𝑠−1 𝑒
𝜔′ = 𝜔02 − 𝜆2 = 1.483 𝑟𝑎𝑑𝑠−1
A velocidade linear deve ser dada por
𝑣 𝑡 = −𝜆𝐿𝐴 𝑒−𝜆𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔′𝑡 + 𝛿 + 𝜔′𝐿𝐴 𝑒−𝜆𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔′𝑡 + 𝛿sendo A e d constantes arbitrárias. As condições iniciais são agora
𝜃 0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 =𝜋
6;
𝑣 0 = −𝜆𝐿𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 + 𝜔′𝐿𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛿 = −3.0
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
EXPERIÊNCIA PARA MEDIR A VISCOSIDADE DO AR:
Pendurou-se uma massa esférica de 2.0 kg e com 0.10m de raio usando um fio com 2.4m. Desviou-se o fio da vertical de um ângulo de 8º. Largou-se a partir dessa posição, e mediu-se o tempo até que a amplitude se reduziu a 4º, obtendo-
se o resultado de 85.5 s.
Calcule a viscosidade do ar. Tenha
em conta que a relação entre a força
de atrito viscoso e a velocidade é
𝐹𝑣 = 6𝜋𝜇𝑅𝑣 (lei de Stokes), sendo ma viscosidade.
A/2
t1/2
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ESTABILIDADE DE UM NAVIO
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ESTABILIDADE DE UM NAVIO
A força de impulsão a que un navio fica sujeito por estar parcialmente submerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado, e está aplicada no CM desse líquido, designado por centro de impulsão (B).
Quando o navio oscila o centro de impulsão desvia-se da linha central do navio, como se mostra na figura (há mais água deslocada do ladodireito da linha central). Designa-se por metacentro (M) a intersecção da vertical que passa pelo centro de impulsão com a linha central.
A que condição deve obedecer a posição dometacentro para que o navio seja estável?
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ESTABILIDADE DE UM NAVIO
A força de impulsão a que un navio fica sujeito por estar parcialmente submerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado, e está aplicada no CM desse líquido, designado por centro de impulsão (B).
Quando o navio oscila o centro de impulsão desvia-se da linha central do navio, como se mostra na figura (há mais água deslocada do ladodireito da linha central). Designa-se por metacentro (M) a intersecção da vertical que passa pelo centro de impulsão com a linha central.
A que condição deve obedecer a posição dometacentro para que o navio seja estável?
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ESTABILIDADE DE UM NAVIO
Metacentro acimado CM
Metacentro abaixodo CM
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ESTABILIDADE E ENERGIA POTENCIAL
Só num mínimo da energia potencial a força conservativa age sempre como força restituidora
Metacentro acimado CM
F = -grad Ep
Equilíbrio estável(mínimo da energia potencial)
Equilíbrioinstável
(máximo da energia potencial)
Equilíbrio indiferente
F = -grad Ep
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MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS
ESTABILIDADE E ENERGIA POTENCIALL
Só num mínimo da energia potencial a força conservativa age sempre como força restituidora
Metacentro acimado CM
Ep = 1
2𝑘𝑥2
F = -grad Ep =-kx
Equilíbrio estável(mínimo da energia potencial)
Comprimento natural da mola
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Ondas sísmicas a propagarem-se à superfície da Terra (muito exageradas!)
Modelo devido a Aristóteles que explica os sismos através da circulação de vapores subterrâneos. Foi adoptado desde o século IV AC até meados do século XVIII (ou seja, mais de 2000 anos). Era necessário recorrer ao vapor como meio de transporte da energia, porque não se entendia que a energia se podia propagar por meio de ondas, sem transporte de matéria.
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ONDAS
propagação
Vibração das partículas
ONDAS PROGRESSIVAS LONGITUDINAIS(as particulas vibram na direcção de propagação)
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ONDAS
ONDAS PROGRESSIVAS LONGITUDINAIS(as particulas vibram na direcção de propagação)
propagação
Vibração das partículas
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ONDAS
ONDAS PROGRESSIVAS TRANSVERSAIS(as particulas vibram prependicularmenteà direcção de propagação)
propagação
Vibração das partículas
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ONDAS
ONDAS ESTACIONÁRIAS
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ONDAS
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
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ONDAS
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
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ONDAS
A
B
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EQUAÇÃO DAS ONDAS(d’Alembert, 1747)
A
B
y
x
dx
A que condição deve obedecer a função y(x,t) que representa a forma de uma corda esticada que sofre uma perturbação transversal?
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EQUAÇÃO DAS ONDAS(d’Alembert, 1747)
A massa por unidade de comprimento da corda é m, e a projecção horizontal da tensão é T. Como as partículas da corda se movem segundo y apenas, T é constante:
𝑇 = 𝑇𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴 = 𝑇𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
O movimento do segmento de corda de massa m dx obedece a
𝑇𝐵𝑠𝑖𝑛𝜃𝐵 − 𝑇𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃𝐴 = 𝜇 𝛿𝑥𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
ou, dividindo ambos os termos por T e usando a igualdade anterior,
𝑡𝑔 𝜃𝐵 − 𝑡𝑔 𝜃𝐴 =𝜇
𝑇𝛿𝑥𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
Tendo em conta que 𝑡𝑔𝜃 =𝑑𝑦
𝑑𝑥, e que
𝑓(𝑥𝐵) ≈ 𝑓(𝑥𝐴) +𝑑𝑓
𝑑𝑥(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴), resulta
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2𝛿𝑥 =
𝜇
𝑇𝛿𝑥𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
logo, 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=1
𝑣2𝑑2𝑦
𝑑𝑡2𝑐𝑜𝑚 𝑣 =
𝑇
𝜇
A
B
y
x
dx
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EQUAÇÃO DAS ONDAS(d’Alembert, 1747)
QUAL A FUNÇÃO QUE OBEDECE A ESTA EQUAÇÃO?
EQUAÇÃO DAS ONDAS (A UMA DIMENSÃO):
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=1
𝑣2𝑑2𝑦
𝑑𝑡2𝑐𝑜𝑚 𝑣 =
𝑇
𝜇
RESPOSTA: Qualquer função f(x,t), desde que asvariáveis x e t surjam apenas combinadas na forma 𝑥 ± 𝑣𝑡 .
Ou seja, qualquer função 𝑓 𝑥 ± 𝑣𝑡
A escolha da função f vai determinar a forma da onda. Essa forma mantém-se no tempo, e desloca-se no sentido positivo (se o sinal for -) ou negativo (se o sinal for +) do eixo Ox.
A
B
y
x
dx
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EQUAÇÃO DAS ONDAS(d’Alembert, 1747)
Exemplo de solução da equação das ondas:
A
B
y
x
dx
-2
0
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
t=0s𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)
x(m)
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A
B
y
x
dx
-2
0
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
t=0s𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)
x
-2
0
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
t=10s
x
-2
0
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
t=20s
x
-2
0
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
t=40s
x(m)
EQUAÇÃO DAS ONDAS(d’Alembert, 1747)
Exemplo de solução da equação das ondas:
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ONDAS ESTACIONÁRIAS
Problema
A) Pretende fabricar cordas de guitarra, que funcionem com uma tensão de 150 N. A distância entre os extremos fixos das cordas é de 0.55m. Calcule as massas lineares das cordas.
B) Num controle de qualidade, afinou-se a primeira corda, e de seguida fez-se vibrar essa corda pressionada no 5º trasto e simultaneamente a quinta corda. Foi audível um batimento de 30 Hz. Calcule o acréscimo de tensão que é necessário dar à quinta corda.
Freq (Hz) Nota 82.4 MI E - open 6th string 87.3 FA F92.5 FA sustenido F#98.0 SOL G103.8 SOL sustenido G#110.0 LA A - open 5th string 116.5 LA sustenido A#123.5 SI B130.8 DO C138.6 DO sustenido C#146.8 RE D - open 4th string 155.6 RE sustenido D#164.8 MI E174.6 FA F185.0 FA sustenido F#196.0 SOL G - open 3rd string 207.6 SOL sustenido G#220.0 LA A233.1 LA sustenido A#246.9 SI B - open 2nd string 261.6 DO C - "middle C" 277.2 DO sustenido C#293.6 RE D311.1 RE sustenido D#329.6 MI E - open 1st string 349.2 FA F370.0 FA sustenido F#392.0 SOL G415.3 SOL sustenido G#440.0 LA A - 5th fret on 1st string 466.1 LA sustenido A#493.8 SI B523.2 DO C 554.3 DO sustenido C#587.3 RE D622.2 RE sustenido D#659.2 MI E - 12th fret on 1st string
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIAS
Análise de Fourier
Vamos admitir que, ao perturbarmos um ponto P da corda deslocando-o a partir da posição de equilíbrio, ele fica a oscilarde acordo com
𝑦𝑃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡)Para uma vibração diferente, podemos considerar que estamos atratar apenas uma das suas componentes harmónicas.
P
y
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASVamos admitir que, ao perturbarmos um ponto P da corda deslocando-o a partir da posição de equilíbrio, ele fica a oscilarde acordo com
𝑦𝑃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡)Para uma vibração diferente, podemos considerar que estamos atratar apenas uma das suas componentes harmónicas. Esta perturbação vai-se propagar em ambas as direcções com
velocidade 𝑣 = ±𝑇
𝜇, pelo que a forma da corda de ser dada
pela função
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘(𝑥 ± 𝑣𝑡)ONDA HARMÓNICA
Formas alternativas de escrever esta equação:
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 logo 𝜔 = 𝑘𝑣
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋(𝑥
𝜆±𝑡
𝑇) logo 𝑘 =
2𝜋
𝜆; 𝜔 =
2𝜋
𝑇
k – número de ondas angular; l – comprimento de onda
w – frequência angular; T – período; 𝑓 =1
𝑇− frequência
P
y
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASVamos admitir que, ao perturbarmos um ponto P da corda deslocando-o a partir da posição de equilíbrio, ele fica a oscilarde acordo com
𝑦𝑃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡)Para uma vibração diferente, podemos considerar que estamos A tratar apenas uma das suas componentes harmónicas. Esta perturbação vai-se propagar em ambas as direcções com
velocidade 𝑣 = ±𝑇
𝜇, pelo que a forma da corda de ser dada
pela função
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥 − 𝑣𝑡 + 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥 + 𝑣𝑡ou seja, é a sobreposição de duas ondas a propagarem-se em sentidos opostos.Tendo em conta que sen(a+b)+sen(a-b)=2 sen a cos b, resulta
𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑣𝑡Como sabemos que y(0,t)=y(L,t)=0 para qualquer t, tem que ser 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝐿 = 0
𝑘𝐿 = 𝑛𝜋, com 𝑛 = 1,2,3… ou
𝜔𝑛 =𝑛𝜋𝑣
𝐿=𝑛𝜋
𝐿
𝑇
𝜇
P
y
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIAS𝜔𝑛 =𝑛𝜋𝑣
𝐿=𝑛𝜋
𝐿
𝑇
𝜇
Ou alternativamente, a frequência de vibração deve verificar
𝑓𝑛 =𝑛𝑣
2𝐿=𝑛
2𝐿
𝑇
𝜇
P
y
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIAS𝜔𝑛 =𝑛𝜋𝑣
𝐿=𝑛𝜋
𝐿
𝑇
𝜇
Ou alternativamente, a frequência de vibração deve verificar
𝑓𝑛 =𝑛𝑣
2𝐿=𝑛
2𝐿
𝑇
𝜇
Um ponto em 𝑥 = 𝑥𝑄 vai oscilar com esta frequência entre as
posições 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥𝑄 e 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥𝑄 , e tendo
em conta que 𝑘 =𝑛𝜋
𝐿e que o comprimento de onda l é dado por
𝜆 =2𝜋
𝑘, o comprimento de onda da envolvente da amplitude é
𝜆𝑛 =2𝐿
𝑛, 𝑛 = 1,2,3,…𝜆1 = 2𝐿
𝜆2 = 𝐿
𝜆3 =2𝐿
3
𝜆4 =𝐿
2
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASBatimento
Ocorre um batimento (modulação da amplitude) quando se sobrepõem duas ondas com frequências quase iguais.
Onda 1 (40 Hz)
Onda 2 (50 Hz)
sobreposição (frequência do batimento: 10 Hz)
Interferência destrutiva interferência construtiva
Piano:
diapasão:
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASBatimento
Ocorre um batimento (modulação da amplitude) quando se sobrepõem duas ondas com frequências quase iguais.
Onda 1 (40 Hz)
Onda 2 (50 Hz)
sobreposição (frequência do batimento: 10 Hz)
Interferência destrutiva interferência construtiva
Seja 𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑘1𝑥 − 𝜔1𝑡 𝑒 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑘2𝑥 − 𝜔2𝑡A onda resultante é observada no ponto x=0. Será:
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔1𝑡 + 𝐴 cos 𝜔2𝑡 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔2 −𝜔12𝑡 𝑐𝑜𝑠
𝜔2 +𝜔12𝑡
Número de batimentos por segundo: 𝑓𝑏𝑎𝑡 = 2𝜔2−𝜔1
2x2𝜋= 𝑓2 − 𝑓1
(notar que há dois batimentos em cada período da envolvente)
Piano:
diapasão:
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASTubo de Ruben – a altura das chamas depende
da velocidade de saída do gás, que é dada por
𝑣 = (2(𝑝 − 𝑝2)/𝜌 (Eq. Bernoulli)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 5 10 15 20 25 30
tubo de Ruben
1.22 velocidade no nodovelocidade média num anti-nodo
pressão num nodoVelocidade no anti-nodopressão num anti-nodo
anti-nodo
nodo
pressão no anti − nodo: 𝑝 = 𝑝1 + 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
Velocidade de saída do gás no anti-nodo: 𝑣 = (2(𝑝 − 𝑝2)/𝜌
pressão no nodo: 𝑝 = 𝑝1
Velocidade de saída do gás no anti-nodo: 𝑣 = (2(𝑝1 − 𝑝2)/𝜌
𝑝1
𝑝2
A velocidade média de saída do gás no nodo é mais elevada, por isso a chama é mais alta
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASTubo de Ruben
𝑝1
A velocidade média de saída do gás no nodo é mais elevada, por isso a chama é mais alta
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
frequência mais elevada(mais ciclos por segundo)
frequência menos elevada(menos ciclos por segundo)
FONTE MÓVEL
𝑣𝑆
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
frequência mais elevada(mais ciclos por segundo)
frequência menos elevada(menos ciclos por segundo)
RECEPTOR MÓVEL
𝑣𝑅
𝑣𝑅
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
FONTE MÓVELVelocidade da fonte em relação ao ar: 𝑣𝑆Velocidade do som em relação aom ar: u
𝜆′ = 𝑢𝑇 ± 𝑣𝑆𝑇 =𝑢 ± 𝑣𝑆𝑓
𝑓′ =𝑢
𝜆′, logo,
𝑓′ =𝑢
𝑢 ± 𝑣𝑆𝑓
𝜆′
𝑣𝑆
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
RECEPTOR MÓVELVelocidade do receptor em relação ao ar: 𝑣𝑅Velocidade do som em relação aom ar: u
Para o ciclista que se aproxima da fonte, o tempo que decorre entre um máximo e o máximo seguinte é
𝑇′ =𝜆
𝑢 + 𝑣𝑅=𝑢
𝑢 + 𝑣𝑅𝑇
Invertendo, e tendo em conta que quando se afasta se aplica o sinal (-),
𝑓′ =𝑢 ± 𝑣𝑅𝑢𝑓
𝑣𝑅
𝑣𝑅
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
FONTE E RECEPTOR MÓVEISVelocidade da fonte em relação ao ar: 𝑣𝑆Velocidade do receptor em relação ao ar: 𝑣𝑅Velocidade do som em relação aom ar: u
𝑓′ =𝑢 ± 𝑣𝑅𝑢 ± 𝑣𝑆
𝑓
𝑣𝑅
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
HIDROSTÁTICA- Estuda em que condições um fluido fica equilíbrio.
Pergunta: o que é um fluido?Fluido é uma porção de matéria sem forma definida, que se adapta à forma do recipiente em que se encontra. Se não tiver volume definido e ocupar todo o volume do recipiente, dizemos que é um gás. Caso tenha volume definido, dizemos que é um líquido.
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
HIDROSTÁTICA- Estuda em que condições um fluido fica equilíbrio.
Pergunta: o que é um fluido?Quando perguntamos se uma substância é sólida ou fluida, a conclusão a que chegamos depende do tempo de observação. As rochas da astenosfera (região da Terra abaixo da litosfera, ~120 km) comportam-se como um sólido no que respeita à propagação das ondas sísmicas (propagam ondas transversais, ou ondas S) mas comportam-se como um fluido no que respeita à Tectónica de Placas (formam-se células de convecção). No primeiro caso é T~1 segundo, no segundo caso é T~1Ma (~3x1013 segundos).
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
HIDROSTÁTICA- Estuda em que condições um fluido fica equilíbrio.
Em última análise, é a viscosidade que determina se um corpo é um sólido indeformável (viscosidade infinita) ou um fluido viscoso (viscosidade finita).
A viscosidade mede a resistência à deformação.
A tensão de corte (shear stress) no interior de um fluido viscosoé a força tangencial por unidade de superfície aplicada por uma camada Sobre a camada adjacente, quando as suas velocidades são diferentes:
𝜏 = 𝜇𝑑𝑣𝑥𝑑𝑦
Em equilíbrio (hidrostática), não existem forças tangenciais.𝐹 = 𝜇𝐴
𝑣
𝐿
y
x
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
HIDROSTÁTICA- Estuda em que condições um fluido fica equilíbrio.
Pergunta: O vidro é fluido, ou sólido?
A ideia de que os vidros das janelas das catedrais são mais grossos na base porque o vidro flui apósalguns séculos é um mito urbano. Apesar de seruma substância amorfa (sem estrutura cristalina), à temperatura ambiente o vidro levaria milhares demilhões de anos a deformar-se por efeito do seupeso.
Ao que parece, alguns vidros são mais grossos na base porque o processo de fabrico assim determinava, e eram colocados nessa posição para ficarem mais estáveis...
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler
HIDROSTÁTICA- Estuda em que condições um fluido fica equilíbrio.
Pergunta: a que forças está sujeito um elemento de volume no interior de um fluido?
Em equilíbrio, a resultante das forças através da superfíciedo elemento de volume tem que equilibrar o seu peso.
No interior de um fluido em equilíbrio, as forças que se exercem através de uma superfície são perpendiculares a essa superfície.
Logo, deve ser−𝑝𝐴𝑆 + 𝑝𝐵𝑆 − 𝜌𝑔𝑆𝛿𝑧 = 0; 𝐹𝐸−𝐹𝐷= 0
ou 𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝑔𝛿𝑧e em geral
𝑝 𝑧 = 𝑝0 + 𝜌𝑔𝑧 z
z=0
zA
z=d
zB=zA+dz
FA = -pAS
FB = pBS
p0
FE FD
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)HIDRODINÂMICA- Equação de Bernoulli
Fluido incompressível (𝜌 constante) Regime estacionário: a velocidade pode variar
de ponto para ponto, mas num dado ponto não
pode variar no tempo (ou seja, 𝜕𝒗
𝜕𝑡= 0)
Será 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 (incompr. )Trabalho das forças de pressão no intervalo de tempo 𝛿t:
Mas 𝛿𝑊 =1
2𝜌𝐴1𝑣1𝛿𝑡 𝑣1
2 − 𝑣22 + 𝜌𝐴1𝑣1 𝛿𝑡 g(z1-z2)
^^ variação de Ec^^ ^^ variação de Ep^^
Logo,𝑝
𝜌+𝑣2
2+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (Eq. Bernoulli)
p1
p2
𝛿𝑊 = 𝑝1𝐴1𝑣1𝛿t-𝑝2𝐴2𝑣2𝛿t
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)HIDROSTÁTICA
Exemplo de aplicação: prensa hidráulica
A massa do elefante da figura é de 7 toneladas. Calcule a força F1 necessária para e e levar o elefante. A área A1 é 0.05 m2 e a área A1 é 9.0 m2 . Calcule o deslocamento d1 necessário para elevar o elefante 0.20m.
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)HIDRODINÂMICA- Equação de Bernoulli
Exemplo de aplicação: tubo de Venturi
O dispositivo da figura permite determinar a velocidade de escoamento da água no interior de uma conduta. Estabeleça a relação entre o desníve nos tubos verticais e a velocidade v. Se a secção reduzida é um terço da secção normal e o desnível é 0.10m, calcule v.
v v
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)HIDRODINÂMICA- Equação de Bernoulli
Exemplo de aplicação: tubo de Pitot
Este dispositivo permite calcular a velocidade de um avião em relação à massa de ar envolvente, a partir da diferença entre a pressão atmosférica pS e a pressão pS no interior do tubo. Estabeleça a relação entre pt – pS e a velocidade do avião. Sugestão: aplique a equação de Bernoulli no referencial do avião, e coloque um dos pontos a distância infinita (ar não perturbado pelo avião).
Nota: em Junho de 2009 um Airbus A330 da Air France caiu no Oceano Atlântico junto à costa do Brasil, porque se formou gelo no interior dos tubos de Pitot.
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
tA
tB = tAacontecimento A
acontecimento BtB>tA
tB>tA
tB
xB
xA
xAxB
O que é um acontecimento?
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
tA
tB = tAacontecimento A
acontecimento BtB>tA
tB>tA
tB
xB
xA
xAxB
O que é um acontecimento?
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALO que é um acontecimento?
Acontecimento é um fenómeno caracterizado por
um instante no tempo
e
um local no tempo
ou seja, um ponto no espaço-tempo
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Experiência de Michelson e Morley (1881)
Velocidade da luz = c-v
Velocidade da luz = c+v
Velocidade
da luz = 𝒄𝟐 − 𝒗𝟐
Pretendia determinar a velocidade da Terra em relação ao “éter”, substância hipotéticaque servia de meio à propagação da luz. Admitia-seque o éter estava em repouso, e que o movimento da Terra originava o “vento do éter”.
𝑡2 =2𝑙
𝑐
1
1 −𝑣2
𝑐2
𝑡1 =2𝑙
𝑐
1
1 −𝑣2
𝑐2
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Postulado de Einstein (1905):
A velocidade da luz é uma constante, independente do estado de movimento do observador.
Velocidade da luz = c-v
Velocidade da luz = c+v
Velocidade
da luz = 𝒄𝟐 − 𝒗𝟐
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALConsequências do postulado de Einstein:Acontecimento 1 – a lâmpada acendeAcontecimento 2 – a luz chega ao detector
O tempo entre os acontecimentos dependedo estado de movimento do observador:
É mínimo no referencial de repouso> dilatação do tempo
hv
espelho
Lâmpada detector
Para quem está dentro da carrinha, a luz percorreu o espaço
2h à velocidade c, e demorou ∆𝑡0 =2ℎ
𝑐
Para quem está parado na rua, a luz percorreu a distância
2𝑙 = 21
2𝑣∆𝑡
2
+ ℎ2 = 𝑐∆𝑡, logo, ∆𝒕 =∆𝒕𝟎
𝟏 − 𝒗𝟐/𝒄𝟐> ∆𝒕𝟎
𝑙 𝑙
1
2𝑐∆𝑡
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)
Consequências do postulado de Einstein:Acontecimento 1 – a lâmpada acendeAcontecimento 2 – a luz chega ao detector
O comprimento de um objecto dependedo estado de movimento do observador:
É máximo no referencial de repouso contracção do espaço
Visto de fora da carrinha:
v
espelho
Lâmpada detector
Para quem está dentro da carrinha, a luz percorreu o espaço 2𝐿0 à
velocidade c, no tempo ∆𝑡0 =2𝐿0
𝑐. Para quem está parado na rua, a luz
levou o tempo ∆𝑡 = ∆𝑡1 + ∆𝑡2 =𝐿
𝑐−𝑣+𝐿
𝑐+𝑣(𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜)
=2𝑐𝐿
𝑐2 − 𝑣2, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝐿 =
1
2𝑐∆𝑡 1 −
𝑣2
𝑐2
Substituindo ∆t por∆𝑡0
1−𝑣2
𝑐2
=1
𝑐
2𝐿0
1−𝑣2
𝑐2
, vem 𝑳 = 𝑳𝟎 1 −𝑣2
𝑐2< 𝑳𝟎
∆𝑡1 = (𝐿 + 𝑣∆𝑡1)/c
𝐿0
∆𝑡2 = (𝐿 − 𝑣∆𝑡2)/c
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALO carro e a garagem têm o mesmo
comprimento, porque os seus extremos coincidiram no espaço no mesmo instante. O carro move-se em relação a mim com velocidade de 4m/s, e para o dono do carro ele mede L0 = 6m. Portanto para mim o carro mede
𝐿 = 𝐿0 1 −𝑣2
𝑐2= 6 1 −
42
52= 3.6𝑚
e a garagem também mede 3.6m
xAxB
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALSe a garagem mede 3.6m para o vendedor,
para mim ela está a mover-se com a velocidade de 4m/s, logo mede
𝐿 = 𝐿0 1 −𝑣2
𝑐2= 3.6 1 −
42
62= 2.16m
por isso o meu carro de 6m não cabe na garagem
xAxB
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALE quanto à
simultaneidade da entrada da traseira e da saida da dianteira? Foram ao mesmo tempo? Foram
desfasadas no tempo?
xAxB
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Transformação de Lorentz:
xx’
x’= 0x = 0vt
Referencial SReferencial S’
𝑥′ =𝑥 − 𝑣𝑡
1 −𝑣2
𝑐2
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ =𝑡 −𝑣𝑐2𝑥
1 −𝑣2
𝑐2
v
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Transformação de Lorentz:
xx’
x’= 0x = 0vt
Referencial SReferencial S’
Se o observador em repousovê o semáforo no ponto x mudar de cor no instante t,o condutor da carrinha vê osemáforo no ponto x’ mudarde cor no instante t’.
𝑥′ =𝑥 − 𝑣𝑡
1 −𝑣2
𝑐2
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ =𝑡 −𝑣𝑐2𝑥
1 −𝑣2
𝑐2
v
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Transformação de Galileu:
xx’
x’= 0x = 0vt
Referencial SReferencial S’
v
𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ = 𝑡
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Transformação de Lorentz:
xx’
x’= 0x = 0vt
Referencial SReferencial S’
Respeita a constância da velocidade da luz!
𝑥′ =𝑥 − 𝑣𝑡
1 −𝑣2
𝑐2
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ =𝑡 −𝑣𝑐2𝑥
1 −𝑣2
𝑐2
v
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
xAxB
Seja (S) o referencial do vendedor.No instante t a dianteira está em xA
e a traseira está em xB. Para o condutor, no referencial (S’),esses acontecimentos ocorrem nosinstantes
𝑡′𝐴 =𝑡−𝑣
𝑐2𝑥𝐴
1−𝑣2
𝑐2
e 𝑡′𝐵 =𝑡−𝑣
𝑐2𝑥𝐵
1−𝑣2
𝑐2
Pelo que 𝑡′𝐵 − 𝑡′𝐴 =
𝑣
𝑐2𝑥𝐴−𝑥𝐵
1−𝑣2
𝑐2
> 0
ou seja, a traseira entra depois de adianteira sair. Não há simultaneidade em (S’)
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Transformação relativistada velocidade:
xx’= 0x = 0vt
Referencial S Referencial S’
𝑥′ =𝑥 − 𝑣𝑡
1 −𝑣2
𝑐2
𝑡′ =𝑡 −𝑣𝑐2𝑥
1 −𝑣2
𝑐2
v
x
d𝑥′ =𝑑𝑥−𝑣 𝑑𝑡
1−𝑣2
𝑐2
𝑑𝑡′ =𝑑𝑡 −𝑣𝑐2𝑑𝑥
1 −𝑣2
𝑐2
𝑢′ =𝑑𝑥′
𝑑𝑡′=𝑑𝑥 − 𝑣 𝑑𝑡
𝑑𝑡 −𝑣𝑐2𝑑𝑥=
𝑑𝑥𝑑𝑡− 𝑣
1 −𝑣𝑐2𝑑𝑥𝑑𝑡
Ou seja
𝑢′ =𝑢 − 𝑣
1 −𝑣𝑐2𝑢
Velocidade u segundo (S)Velocidade u’ segundo (S’)
Se 𝑢 = 𝑐, será 𝑢′ =𝑐 − 𝑣
1 −𝑣𝑐2𝑐= 𝑐𝑐 − 𝑣
𝑐 − 𝑣= 𝑐, como era de esperar
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Limite superior para a velocidade:
x = 0
Referencial S Referencial S’
v=-0.99c
𝑢′ =𝑢 − 𝑣
1 −𝑣𝑐2𝑢
Velocidade u segundo (S)Velocidade u’ segundo (S’)
Se 𝑢 = 𝛼𝑐 𝑒 𝑣 = −𝛽𝑐 será 𝑢′ =𝛼 + 𝛽 𝑐
1 +𝛽𝑐𝑐2𝑐=𝛼 + 𝛽
1 + 𝛽𝑐 < 𝑐
Para 𝛼 = 0.990 𝑒 𝛽 = 0.99,0 𝑢′ = 0.995𝑐
u=0.99c
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𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)
(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL
Massa relativistaEnergia relativista
Além da constância da velocidade da luz no vácuo, Einstein postulou também que as leis da Física deviam ser válidas em todos os referenciaisde inércia. Contudo, a conservação do momento linear durante a colisãode partículas parecia não se verificar nos diferentes referenciais de inércia. Einstein intuiu que a conservação se verificava, mas era preciso redefinir a massa:Uma partícula com massa m0 no referencial em que está em repouso (massaprópria), quando se move em relação a um observador com velocidade v tem para ele a massa
𝑚 =𝑚0
1 −𝑣2
𝑐2
Considerando agora que um corpo de massa inicialmente em repousoé sujeito a uma força F , que realiza um trabalho
𝑊 = 𝑭. 𝑑𝒓 = 𝑑(𝑚𝒗)
𝑑𝑡. 𝑑𝒓 = 𝒗. 𝑑
𝑚0𝒗
1−𝑣2
𝑐2
= ⋯
= 𝑚𝑐2 −𝑚0𝑐2
Uma vez que 𝑊 = ∆𝐸, podemos concluir que a partícula tinha energia 𝐸 = 𝑚0𝑐
2 quando estava em repouso, e quando em movimento passou a ter energia
𝐸 = 𝑚𝑐2