Liceo Experimental Bilingüe José Figueres Ferrer
Departamento de Matemática
Prof. Pamela Granados Vargas
Geometría - Undécimo Año
Unidad 1: Círculo y Circunferencia
Estudiante
_____________________________
Sección ____________
Matemática Undécimo Año
L.E.B. José Figueres Ferrer Prof. K. Pamela Granados V.
1
Círculo y Circunferencia
Conceptos Básicos
Definición: se llama circunferencia a una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a la misma
distancia “r” del punto fijo O, que esta en el centro. (“r ”es un número positivo) y se denota como ( , )O r
Definición: se denomina radio a cualquier segmento cuyos extremos sean un punto de la circunferencia y el
centro de está.
Definición: La ecuación de una circunferencia de centro O(a, b) y radio r, es (x - a)2 + (y - b)2 = r2, con
P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.
Definición: se llama cuerda de una circunferencia a un segmento cuyos extremos están en la circunferencia.
Definición: se denomina diámetro a la mayor cuerda de la circunferencia, la cual pasa por el centro de ésta.
Definición: se denomina círculo o región circular a la reunión de una circunferencia y su interior.
Definición: el interior de una circunferencia es el conjunto de puntos coplanares a ésta, que se encuentran a
una distancia del centro menor que el radio.
Sea P(x, y) un punto cualquiera y (x - a)2 + (y - b)2 = r2 la ecuación de una circunferencia de centro O(a, b)
y radio r, entonces se cumple que:
Punto Interior Punto Exterior Punto sobre la circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 < r2 (x - a)2 + (y - b)2 > r2 (x - a)2 + (y - b)2 = r2
Definición: se llama secante de una circunferencia a cualquier recta que corta a ésta en dos puntos.
Definición: una tangente a una circunferencia, es una recta en el mismo plano que interseca a la
circunferencia en un solo punto, el cual se llama punto de tangencia o de contacto.
Definición: se dice que una recta es exterior a una circunferencia si se encuentra en el mismo plano que ésta
pero no la interseca.
l : secante
m: tangente
P: pto tangencia
O: centro
CD : cuerda
AB : diámetro
OC : radio
m
l
D
C
C
B
O
AP
n
n: exterior
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2
Sea l una recta cualquiera de ecuación y = mx + b y (x - a)2 + (y - b)2 = r2 la ecuación de una circunferencia
de centro O(a, b) y radio r. Se sustituye la ecuación de la recta en la de la circunferencia para determinar
si éstas se intersecan, para eso se analiza el discriminante de la ecuación resultante de la siguiente manera:
Recta secante Recta Tangente Recta Exterior > 0 = 0 < 0
Definición: dos circunferencias son congruentes si sus radios son congruentes.
Ejemplos:
1) Determine si los siguientes puntos son interiores, exteriores o se encuentran sobre la circunferencia
de ecuación (x - 2)2 + (y + 7)2 = 8
P(2,-3) P(4,-5) P(3,-7)
2) Determine si las siguientes rectas son secantes, exteriores o interiores con respecto a la
circunferencia de ecuación (x + 2)2 + (y + 1)2 = 2
y = 2x + 3 y = -3x - 1 x + y = -1
Arcos de la Circunferencia
Se llama arco de una circunferencia a una parte de la misma, entonces si A y B son dos puntos de una
circunferencia, el arco AB se denota AB
Observe que A y B son extremos de dos arcos distintos de la misma circunferencia, por lo que definimos
dos tipos de arco.
B
A
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OD
B
A
Definición: Sea C una circunferencia de centro O con A, B y D puntos que están en C, pero que no son los
extremos de un diámetro, entonces:
El arco menor AB es la unión de A y B con todos los puntos de C que se encuentran
entre A y B.
El arco mayor ADB es la unión de los puntos A, B y D con todos los puntos de la
circunferencia que se encuentran entre A y D, así como entre D y B.
Definición: Los puntos extremos de un diámetro dividen a la
circunferencia en dos arcos congruentes llamados
semicircunferencias.
Definición: A las porciones del círculo limitadas por el diámetro y la
semicircunferencia se les denomina semicírculos.
Ángulo Central:
Definición: un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia y los lados de éste son dos radios de dicha circunferencia.
El POQ es un ángulo central de la circunferencia de centro O
Se dice que el POQ subtiende al PQ .
Medida de un Ángulo Central
La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados de su arco menor y viceversa.
La medida del arco mayor, en grados, es igual a la diferencia entre 360º y la medida en grados del arco
menor.
Ejemplo 1: El TOR mayor, es un ángulo central de la circunferencia de centro O. Si OS es bisectriz del
TOR y el TOR mide 285º, ¿cuál es la medida de TS TSR ? R/ 37,5º y
75º
semicircunferencia
semicírculo
O: centro
O
Q
P
O
O
P
R
S
T
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Ejemplo 2: Si la 17ºm BAC , determine la medida de BC . R/ 34º
Ejemplo 3: En la figura P es el centro de la circunferencia y RQ PS . Determinar las medidas respectivas
de los arcos ,RQ RS RSQ R/60º, 120º y 300º
Posiciones Relativas entre dos Circunferencias
Dos o más circunferencias pueden presentar diferentes posiciones entre sí.
Exteriores: No tienen puntos en común,
es decir no se intersecan.
Interiores: Una de las circunferencias
está contenida en la otra.
Concéntricas: Dos o más circunferencias
son concéntricas si comparten el mismo
centro y son coplanares.
O
O: centro
A
B
C
SQP
R
d(A,B) > r1 + r2r2
r1
B
B: centroA: centro
A
A y B: centros
d(A,B) < r1 - r2 , r1 > r2
r2B
A
d(A,B) = 0r1
B
B: centro de ambas
circunferenciasr2
r1
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Tangentes: Se intersecan en un solo punto, se representan de dos maneras
Tangentes exteriormente: Dos circunferencias son tangentes
exteriormente, si una de ellas se
encuentra en el exterior de la otra y se
intersecan en un solo punto.
Tangentes interiormente: Dos circunferencias son tangentes
interiormente, si una de ellas se
encuentra en el interior de la otra y se
intersecan en un solo punto.
Secantes: Se intersecan en dos puntos
solamente.
Ejemplo 1: Si dos circunferencias tienen radios cuyas medidas son respectivamente 10cm y 5cm, hallar la
medida del segmento de recta que une los dos centros si las circunferencias son
1) Tangentes exteriormente 2) Tangentes interiormente
3) Concéntricas 4) Distancia entre sí 6cm
Ejemplo 2: Averigüe, cuáles de los pares de circunferencias con centros |O O y de radios R r son
secantes, tangentes interiormente o exteriormente, concéntricas, interiores o exteriores, según sea el caso.
1) | 11 , 6 8mOO cm r cm R cm 2) | 9 , 8 18mOO cm r cm R cm
3) |( , ) 6 , 2 4d O O cm r cm R cm 4) |( , ) 12 , 16 28d O O cm r cm R cm
A y B : centrosBA
r2 r1 d(A,B) = r1 + r2
A y B : centrosBA
r2 d(A,B) = r1 - r2 , r1 > r2
r1
r2
r1
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Ejemplo 3: En la figura, cada una de las circunferencias con centros A, B y C es tangente a las otras dos. Si
10 , 14 18AB cm AC cm BC cm , determine la medida del radio de cada circunferencia. R/3, 7,11
Teoremas sobre las relaciones métricas entre segmentos y rectas del círculo
Teorema 1: Un radio perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda y viceversa.
Ejemplo 1: En una circunferencia de radio 25cm de longitud, se traza una cuerda que mide 48cm . ¿Cuál
es la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda? R/ 7cm
Ejemplo 2: Determine la distancia del centro O de una circunferencia de ecuación (x - 3)2 + (y - 2)2 = 144
a la cuerda AB de longitud 8 cm. R/ 8√2cm
C
B
A
O: centro
O
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Ejemplo 3: Determine las coordenadas del centro O de una circunferencia, si los puntos A(-4.1,2.3),
B(-1.3,5.1), C(-4.1,1.7) y D(-1.3,-1.1) pertenecen a ella y son los extremos de las cuerdas AB CD .
R/(-1,2)
Teorema 2: Una recta perpendicular a un radio en su punto externo, es tangente a la circunferencia y
viceversa.
Ejemplo 1: De acuerdo con los datos de la figura adjunta, si “ l ” es tangente a la circunferencia en el
exterior del radio que mide 4ul . Determine el valor de “x”.
R/ 1ul
Ejemplo 2: Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación (x - 4)2+(y +1)2=10,
si el punto de tangencia entre ambas figuras en (1,-2) R/ 2x + 5y - 25=0
punto
externo
O: centro
O
O: centro
O
l
x
3x
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Ejemplo 3: Desde un punto P exterior a una circunferencia de centro O, se traza una semirrecta cuyo
extremo es el punto P y que es tangente a la circunferencia en el punto Q. si el punto P, está a 16cm del
punto Q y el diámetro de la circunferencia es 24cm. Determine la distancia del punto P al centro de la
circunferencia. R/ 20
Teorema 3: Considere los segmentos AP y AQ tangentes a una circunferencia de centro O en P y Q
respectivamente que se intersecan en el punto A, entonces se cumple que:
AP AQ , es decir
Las tangentes trazadas desde un mismo punto
exterior a una circunferencia, son congruentes.
OA es bisectriz del PAQ , es decir La recta que une al centro de la circunferencia
con un punto exterior, es bisectriz del ángulo que
forman las tangentes trazadas por ese punto a la
circunferencia. Ejemplo 1: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si ,AP BQ AB son tangentes a la
circunferencia de centro O. Hallar la medida del BQ . R/ 8cm
A
Q
P
O
B
A
AB = 14 cm
PA = 6 cm
O
R
Q
P
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D
E
P
C
A B
Ejemplo 2: De acuerdo con la figura adjunta AP AQ son tangentes a la circunferencia de centro O.
Hallar la m POQ , si 35ºm OAQ . R/110º
Teorema 4: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas de igual medida
(congruentes) equidistan del centro y viceversa.
Ejemplo: En una circunferencia de centro O, cuyo radio mide 10cm , trazamos dos cuerdas congruentes. Si
la medida de cada una de estas cuerdas es de 16cm , determine la distancia respectiva de cada cuerda al
centro de la circunferencia. R/ 6cm
Ejemplos:
En la figura adjunta, P es el centro de la circunferencia y AB CD
1) Si 10 8mPD cm mAE cm mCE ______ R/ 4
2) Si 34 30mCD cm mAB cm mAC ______ R/3 34
3) Si 6 , 2 5 2mAC cm mAB cm mEP mCE
______ mCD y mBD ______ R/ 6 y 30
A
O
Q
P
O: centroO
E
D
B
A
AB DE
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Proposiciones sobre las relaciones métricas en la circunferencia
Proposición 1: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes se cumple que
A arcos congruentes se oponen cuerdas congruentes y viceversa
A mayor arco le corresponde mayor cuerda y viceversa.
A ángulos centrales congruentes se oponen cuerdas congruentes y viceversa
A ángulos centrales congruentes subtienden arcos iguales.
Proposición 2: Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca la
cuerda y los arcos que ésta determina.
Ejemplo: Una cuerda de 16cm de longitud está a 15cm del centro de la circunferencia, determine la
medida del diámetro de la circunferencia. R/34cm
Proposición 3: Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
Ejemplo: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si el radio de la circunferencia es de 8cm,
determine el área de la región sombreada, considerando que AC BC son rectas tangentes a la
circunferencia en los puntos A B respectivamente. R/ 2(64 16 )cm
Proposición 4: Arcos comprendidos entre paralelas son congruentes y
viceversa
O: centro
O
O
O: centro
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Medida de arcos y ángulos en radianes
Para medir un ángulo en radianes, se traza una circunferencia con centro en el vértice del ángulo, para
encontrar una relación entre el arco que subtiende a ese ángulo y el radio que se forma con los lados de
éste, como se observa en la siguiente figura
La medida del ángulo central y la amplitud del arco subtendido en
radianes es el cociente entre la longitud del arco en grados y el radio.
longitud arco
longitud radio
am radianes
r
Conversión de grados a radianes y viceversa
Si consideramos un ángulo central cuyo arco subtendido mide lo mismo que su radio tenemos que
longitud arco1
longitud radio
rm rad
r
Si el arco mide el doble que su radio, entonces 2
2 r
m radr
y así sucesivamente.
Entonces, cuál sería la medida de una revolución completa de 360º
22
rm rad
r
El resultado anterior nos permitirá determinar una fórmula para convertir grados en radianes y viceversa,
usando proporciones.
medida en medida en
360º 2
grd rad
Entonces
medida en medida en
180º
grd rad
Por lo tanto
180º m grd m rad
180ºm rad m grd
Ejemplo1: Determine la medida en radianes para los ángulos cuyas medidas respectivas en grados son
1) 30º 2) 225º 3) 175º 4) 53º
B: centro
mAC = a
a
r
r
C
B
A
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Ejemplo2: Determine la medida en grados para los ángulos cuyas medidas respectivas en radianes son
1) 5
6
2)
3
3) 2 4)
2
5
La longitud de un arco
Como la longitud de la circunferencia es 2C r y corresponde a una revolución completa (360º) se
puede definir la siguiente razón:
2
360º
longitud r
amplitud
De manera similar se puede establecer la razón para un arco de longitud arbitraria AB , cuya medida en
grados es ºn , ie º
AB
n
Igualando ambas razones obtenemos la proporción 2
360º º
r AB
n
, entonces la longitud del arco esta dada por
º
180º
r nAB
La medida de un arco
En una circunferencia de centro O, la medida de sus arcos es la siguiente
360ºmABC m AOC
mAC m AOC
Ejemplo1: Si un ángulo central de 60º determina un arco AB en una circunferencia cuyo radio mide 3cm.
¿Cuál es la longitud de dicho arco? R/ cm
O : centro
O
C
BA
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Ejemplo2: Expresar la fórmula de la longitud de un arco º
180º
rn, cuando la amplitud del ángulo central
está dada en radianes. R/ r n
Ejemplo 3: Una circunferencia de radio 10dm se ha dividido en 6 arcos congruentes, utilizando la longitud
de su radio. Luego se ha trazado las seis cuerdas congruentes definiendo así un hexágono regular inscrito
en dicha circunferencia.
3.1) Hallar la longitud de cada arco. 10
/3
R dm
3.2) Hallar la diferencia entre el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia. R/ 2,83dm
Ángulos en la circunferencia
Ángulo Inscrito: es un ángulo formado por dos cuerdas o
secantes cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia.
Mide en grados la mitad del arco que subtiende
2
mACm ABC
Ejemplo1: En la figura adjunta el ángulo central alfa mide 70º. ¿Cuál es la medida del ángulo beta? R/35º
B
C
A
C
BA
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Ejemplo2: Hallar la medida en grados de los arcos que subtienden el ángulo menor y el ángulo mayor de
los ángulos de un triángulo inscrito en una circunferencia, cuyos ángulos internos subtienden arcos que
están en la razón 1:2:3 R/60º, 120º y 180º
Ángulo semi-inscrito: es un ángulo cuyo vértice se encuentra
sobre la circunferencia y está formado por una cuerda (puede
ser una secante) y una tangente. Mide en grados la mitad del
arco que subtiende
2
mABm ABC
Ejemplo: En la siguiente figura se tiene que AD es tangente a la circunferencia en A, si la 48ºm ACB
y AC BC , halle la medida del DAC . R/ 66º
Ángulo exterior: es un ángulo formado por dos tangentes o secantes o bien por una tangente y una secante,
cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia. Mide en grados la semidiferencia (mitad de la
resta) de los arcos que subtiende
2
AD ACm ABD
B
C
A
D
C
B
A
D
C
B
A
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Si el ángulo exterior está formado por dos tangentes este se denomina ángulo circunscrito a la
circunferencia.
ABC es un ángulo circunscrito
CB
A
OO: centro
Ejemplo: En la figura AB AC son tangentes a la circunferencia en P y Q respectivamente, si la
56º 82ºm D m BPD , determine la medida del ángulo BAC. R/ 68º
Ángulo interior: es un ángulo formado por dos cuerdas o
secantes que se intersecan en el interior de la
circunferencia, su vértice se encuentra en el interior de la
misma ya que es el punto de intersección entre las cuerdas o
secantes. Mide en grados la semisuma de los arcos que
subtiende
2
AB CDm AEB
Ejemplo: En la figura adjunta PA PD son tangentes en A y D respectivamente. Si 50º ,m BEC
170º 60ºmABC mAD , determine la medida del , APD R/ 85º, 20º, 120º
56º
82º
Q
P
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
P
D
CB
A
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Ejemplos
1. En la figura, se tiene que , , 40º , 70ºAB CD EB DF mAC m CDF y CD es un diámetro.
Halle x y , alpha, beta, gamma y m ABE R/ 140º
2. En la figura, O es el centro de la circunferencia, 2m OCB x m OAB x .Determine la medida
del ABC en términos de x. R/ 3x
3. En la figura AC BD son tangentes a la circunferencia, AC CD , 40º 50ºm ADB mEF .
Halle la .m DAC m BDC R/ 10º
4. En la figura se tiene que 60º 20ºm CBD mAB , determine la medida del .CPD R/50º
y
x
40º
70º
F
E
DC
BA
O C
B
A
E
D
BA C
F
PM
D
C
B
A
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Teoremas
Teorema 5: Un ángulo cualquiera inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
Ejemplo: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si BC = AO y AC es un diámetro, ¿cuál es la
medida del DAB? R/ 150º
Teorema 6: Ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.
Ejemplo: Considere la circunferencia de centro O. Si 35ºm B , hallar la medida de los ángulos A y O.
R/ 35º,70º
Teorema 7: Si dos cuerdas se intersecan en el interior de una circunferencia, el producto de los segmentos
definidos en una de ellas es igual al producto de los segmentos determinados sobre la otra.
O: centroO
O: centro
ODC
B
A
O: centro
OD
C
B
A
O
D
C
B
A
E
D
C
BA
A B
AE EC BE ED
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P
C
B
A
Ejemplo: Dos cuerdas de un círculo se cortan en un punto, la longitud de una de ellas es de 44cm y las
longitudes de la otra son 24cm y 16cm. Determine la longitud de las dos partes de la primera cuerda.
R/ 12 y 32
Teorema 8: Si una tangente y una secante se intersecan en el exterior de la circunferencia, la tangente es
medio proporcional1 entre la secante y su segmento exterior.
Ejemplo: Dada la siguiente figura y sabiendo que PA es tangente, determine
1. PC si 9 8PA cm PB cm R/81
8
2. PC si 8 20PA cm BC cm R/10 2 41
Teorema 9: Si dos secantes se intersecan en el exterior de una circunferencia, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual el producto de la otra por su segmento exterior
1 Si en una proporción los medios o los extremos son iguales, entonces éstos reciben el nombre de medio proporcional.
D
C
BA
E
D
C
BA
2DC AC BC
AC BC EC DC
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Ejemplo: Dada la siguiente figura, determine:
1. PD si 6 , 15 8PA cm PB cm PC cm R/45
4 cm
2. PC si 24 , 16 32PB dm PA dm PD dm R/ 12dm
3. PB si 20 , CD 12 27PD ul ul AB ul R/ 32ul
Ejemplos
1. En una circunferencia se consideran dos cuerdas 12 15AB cm CD cm , las cuales se cortan en el
punto medio P de AB . Calcule la longitud de los segmentos PC PD R/3cm y 12cm.
D
C
BA P
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2. Si GU es un diámetro de una circunferencia de centro Q, UV GR son rectas tangentes a la
circunferencia tales que GV interseca a la circunferencia en W. Si el GW mide el doble que UW y el
radio de la circunferencia mide 12cm, calcule la medida de GV . R/16 3
3. Considere una circunferencia de centro A y 8cm de radio, y otra de centro B y 10cm de radio. Si M es
un punto en la circunferencia de centro A, y N es un punto de de la circunferencia de centro B, tales que
la MN es tangente a ambas circunferencias. Si 24AB cm , calcule la medida de MN . R/ 6 7
4. En la siguiente figura, O es el centro de la circunferencia, además 70º , 25ºmAE m CBA y
60ºm EPD . Calcule la medida del arco menor DC ED . R/170º
AB
O P D
C
E
B
A
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5. En la siguiente figura AB es un diámetro y la DC es tangente en C a la circunferencia de centro E.
Si 3
10 2
AB cm DC DA , calcule la medida de DA R/ 8cm
6. Considere la circunferencia de centro A, en la cual FH DE y los arcos menores DG GF son
congruentes. Si 4 10EH cm AG cm , calcule la medida de FH . R/8cm
Área y perímetro
El área de un circunferencia de radio “r ” y diámetro “d ” está dada por 2
2
4
dA r
y su longitud viene
dada por 2C r d
Porciones del círculo
Definición: La porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas recibe el nombre de
corona circular o anillo. Su área se calcula con la fórmula 2 2( )A R r
D
C
EB A
D
G
F
E
H
A
O: centro
r: radio de la circunferencia menor
R: radio de la circunferencia mayor
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Ejemplo: El diámetro de un círculo de radio 2r se aumenta en 6cm. Halle el aumento de su área.
R/ 23 (2 1)r cm
Definición: un sector circular es una fracción del círculo limitada por dos radios y el arco de la
circunferencia que ellos subtienden. Su área se calcula con la fórmula 2 º
360º
r nA
Ejemplo: Calcular el área de un sector circular cuyo radio mide 5cm y su arco subtendido tiene una
longitud de 16cm. R/240cm
Definición: la región del círculo limitada por una cuerda y el arco cuyos extremos son los mismos de la
cuerda recibe el nombre de segmento circular.
Si el arco menor que forma el segmento circular esta limitado por dos radios, entonces su área es la
diferencia entre el área del sector y el triángulo que se forma entre los radios y la cuerda, es decir 2
360
r nA A
El área del triángulo se puede calcular con cualquiera de las fórmulas conocidas.
O: centro
r: radio de la circunferencia
no: medida del ángulo central
O: centro
r: radio de la circunferencia
no: medida del ángulo central
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Ejemplo: De acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine al área sombreada. R/ 22
4cm
Definición: la porción de una corona circular comprendida entre dos radios se denomina trapecio circular.
Su área se calcula con la fórmula 2 2( ) º
360º
R r nA
Ejemplo: De acuerdo con los datos de la figura, si R es el radio de la circunferencia mayor, los radios
R r se encuentran en la razón 3:2 respectivamente y el área de la región sombreada es 245 cm , determine
la medida de cada uno de los radios. R/ 18 cm y 27cm
Ejemplos
1. Hallar el área de cada una de las siguientes regiones sombreadas.
A)
R/2(18 18 3)dm
O: centro, r =1cm
r
O
O: centro
r: radio de la circunferencia menor
R: radio de la circunferencia mayor
no: medida del ángulo central
60º
120º
6
mAB
mCD
r dm
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24
12
16
mAB
mBC
R/ 2(100 96)ul
7
40º
5
mOC cm
m
r cm
R/ 2224
9cm
2. En la figura A, B y C son centros de las circunferencias menores y DE es un diámetro de la
circunferencia de centro B. Si el área de la región sombreada es 224 cm , calcule la mEC . R/12cm
E DCBA
Matemática Undécimo Año
L.E.B. José Figueres Ferrer Prof. K. Pamela Granados V.
25
3. En la figura adjunta el ABC es equilátero, la longitud de cada uno de sus lados es de 6cm, los puntos
P, Q y R son los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo. Los arcos ,PQ PR QR tienen
como centros los vértices del triángulo. Determine el área y el perímetro de la región sombreada.
R/ 218 3 9, 3
2A cm P cm
4. Determine el área de la región sombreada, considerando que las circunferencias tienen centro en el
punto medio de los lados de un cuadrado de lado 8cm. R/ 2(32 64)cm
5. Considere el siguiente cuadrado de lado 6cm. Determine el área de la región sombreada.
R/ 2(9 18)cm
Fuentes: Geometría y Trigonometría 11º, Reinaldo Jiménez
Matemática 10º- Enseñanza Aprendizaje, Roxana Meneses Folleto de Geometría, ITCR
Matemática para la Enseñanza Media Ciclo Diversificado, UCR