Download - Limit Fungsi Lks
![Page 1: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/1.jpg)
LIMIT FUNGSI
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar :
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik
2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar
Indikator :
Menjelaskan arti limit fungsi aljabar di suatu titik
Menjelaskan arti bentuk tak tentu pada hasil limit
Menghitung limit fungsi aljabar
Menghitung limit fungsi menggunakan teorema limit
Menghitung limit fungsi trigonometri sederhana
Materi Pokok Pembelajaran :
A. Limit Fungsi Aljabar
1. Pengertian
Notasi : limx→c
f (x )=L
( baca : limit x mendekati c f (x) sama dengan L )
Artinya bahwa untuk x mendekati c nilai f (x) mendekati L.
Pemahaman yang mudah untuk limit adalah mencari nilai substitusi konstanta tertentu
terhadap fungsi f (x). Kemudian jika dengan substitusi menghasilkan bentuk tak
tentu, maka secara aljabar terdapat metode-metode tertentu untuk menyelesaikan
persoalan limit tersebut.
Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah : 00
, dan −
Contoh 1
Hitung :
a. limx→1
(2 x+3)
b. limx→−2
(x2−x−6)
c. limx→4
x+5x−1
d. limx→−3
x+3
x2+2 x−3
Jawab :
![Page 2: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/2.jpg)
a. limx→1
(2 x+3)
= 2.1+3
= 2+3
= 5
b. limx→−2
x2−x−6
= ¿
= 4+2−6
= 0
c. limx→4
x+5x−1
= 4+54−1
= 93
= 3
d. limx→−3
x+3
x2+2 x−3
= −3+3
(−3)2+2(−3)−3
= 0
9−6−3
= 00
, bentuk tak tentu
Dikerjakan sebagai berikut :
limx→−3
x+3
x2+2 x−3
= limx→−3
x+3(x−1)(x+3)
= limx→−3
1x−1
= 1
−3−1
= −14
Soal-soal Latihan 1
Hitung :
![Page 3: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/3.jpg)
a. limx→13
(x−10)
b. limx→2
(2 x2−x−3)
c. limx→−1
2x+5−3 x−1
d. limx→ 4
x−4
x2+2x−24
2. Ketentuan-ketentuan :
a. Jika f (c )=L, dengan Lkonstanta maka limx→c
f (x )=L
b. Jika f (c )=0L
, maka limx→c
f (x )=0
c. Jika f (c )=± L0
, maka limx→c
f (x )=±
d. Jika f (c )=00atau atau − ( tak tentu), maka penyelesaian limit dikerjakan
dengan metode tertentu
Contoh 2 :
Tentukan hasilnya :
a. limx→10
(x−8)
b. limx→5
2 x−103 x
c. limx→0
3 x+7x
d. limx→−2
4 x3 x+6
Jawab :
a. limx→10
(x−8)
= 10−8
= 2
b. limx→5
2 x−103 x
= 2.5−10
3.5
= 10−10
15
![Page 4: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/4.jpg)
= 0
15
= 0
c. limx→0
3 x+7x
= 3.0+7
0
= 70
= +
d. limx→−2
4 x3 x+6
= 4 (−2)
3(−2)+6
= −8
−6+6
= −80
= −
Soal-soal Latihan 2
Tentukan hasilnya :
a. limx→−7
(6−2 x)
b. limx→1
3 x−38 x
c. limx→0
x+152 x
d. limx→−4
2xx+6
3. Bentuk –bentuk limit fungsi aljabar dan penyelesaiannya
a. Limit fungsi rasional, penyelesaiannya dengan faktorisasi.
Contoh 3 :
Hitung :
a. limx→6
2x−12
x2−8 x+12
b. limx→−4
x2−163 x+12
![Page 5: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/5.jpg)
c. limx→3
x2−8 x+15x2−9
d. limx→
12
10 x−5
2 x2+5 x−3
Jawab :
a. limx→6
2x−12
x2−8 x+12
= limx→6
2(x−6)(x−6)(x−2)
= limx→6
2(x−2)
= 2
6−2
= 24
= 12
b. limx→−4
x2−163 x+12
= limx→−4
(x+4)(x−4)3(x+4)
= limx→−4
x−43
= −4−4
3
= −83
c. limx→3
x2−8 x+15x2−9
= limx→3
(x−3)(x−5)(x+3)(x−3)
= limx→3
x−5x+3
= 3−53+3
= −26
![Page 6: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/6.jpg)
= −13
d. limx→
12
10 x−5
2 x2+5 x−3
= limx→ 1
2
5(2 x−1)(x+3)(2x−1)
= limx→
12
5x+3
= 5
12+3
= 572
= 107
Soal-soal Latihan 3
Hitung :
a. limx→3
x−3
x2−x−4
b. limx→4
x2−2 x−82x−8
c. limx→−3
x2+5 x+15x2−9
d. limx→
13
6 x−2
3 x2−x
b. Limit fungsi rasional yang memuat tanda akar, penyelesaiannya dengan
mengalikan sekawannya.
Contoh 4
a. limx→1
x−1
√5 x−1−2
b. limx→2
√4 x+1−32x−4
c. limx→3
√3 x−√ x+6√2 x−5−1
![Page 7: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/7.jpg)
d. limx→−1
2−√x+5√5−4 x−3
Jawab :
a. limx→1
x−1
√5 x−1−2
= limx→1
(x−1)(√5 x−1−2)
.(√5 x−1+2)(√5 x−1+2)
= limx→1
(x−1)(√5 x−1+2)5 x−1−4
= limx→1
(x−1)(√5 x−1+2)5 x−5
= limx→1
(x−1)(√5 x−1+2)5(x−1)
= limx→1
(√5 x−1+2)5
= √5.1−1+25
= 45
b. limx→2
√4 x+1−32x−4
= limx→2
(√4 x+1−3)(2 x−4 )
.(√4 x+1+3)(√4 x+1+3)
= limx→2
4 x+1−92(x−2)(√4 x+1+3)
= limx→2
4 x−82(x−2)(√4 x+1+3)
= limx→2
4 (x−2)2(x−2)(√4 x+1+3)
= limx→2
2(√4 x+1+3)
= 2
√4.2+1+3
= 26
= 13
![Page 8: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/8.jpg)
c. limx→3
√3 x−√ x+6√2 x−5−1
= limx→3
¿¿¿. ¿¿.(√2 x−5+1)(√3 x+√x+6)
= limx→3
(3 x−(x+6))(2x−5−1)
.(√2 x−5+1)(√3 x+√x+6)
= limx→3
(2x−6)(2x−6)
.(√2 x−5+1)(√3 x+√x+6)
= limx→3
(√2x−5+1)(√3x+√ x+6)
= (√2.3−5+1)(√3.3+√3+6)
= 1+13+3
= 13
d. limx→−1
2−√x+5√5−4 x−3
= limx→−1
¿¿¿.¿¿
= limx→−1
(4−(x+5))(5−4 x−9)
.(√5−4 x+3)(2+√ x+5)
= limx→−1
(−x−1)(−4 x−4 )
(√5−4 x+3)(2+√x+5)
= limx→−1
−(x+1)−4 (x+1)
.(√5−4 x+3)(2+√x+5)
= limx→−1
(√5−4 x+3)4 (2+√ x+5)
= √5−4 (−1)+34¿¿
= 3+3
4 (2+2)
= 6
16
= 38
Soal-soal Latihan 4
![Page 9: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/9.jpg)
a. limx→1
x−1
√5 x−1−2
b. limx→2
√4 x+1−32x−4
c. limx→3
√3 x−√ x+6√2 x−5−1
d. limx→−1
2−√x+5√5−4 x−3
4. Limit di tak berhingga
Limit fungsi di tak berhingga dinotasikan : limx→f (x ).
Ketentuan-ketentuan pengerjaan persoalan limit fungsi di tak berhingga adalah
sebagai berikut :
a. Jika bentuk fungsi rasional maka nilai limx→
f (x)g(x ) diperoleh dengan pangkat
tertinggi pembilang atau penyebut
b. Jika bentuk fungsi adalah pengurangan bentuk akar maka nilai limx→
√ f (x )−√g (x)
diperoleh dengan mengalikan bentuk √ f (x )+√g( x)√ f (x )+√g( x)
Contoh 5
Hitung :
a. limx→
x+1
x2−x−1
b. limx→
2 x2+x−33 x−4
c. limx→
x2−x−63 x2+1
d. limx→
(3 x+1)(2 x−4 )(2 x−1)2
Jawab :
a. limx→
x+1
x2−x−1 ( pangkat tertinggi x2)
¿ limx→
x
x2+ 1
x2
x2
x2−xx2−
1x2
![Page 10: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/10.jpg)
¿ limx
1x+ 1
x2
1−1x− 1x2
¿
1+ 12
1−1− 12
¿ 0+01−0−0
¿ 01
¿0
b. limx→
2 x2+x−33 x−4
( pangkat tertinggi x2¿
¿ limx→
2x2
x2 + xx2 −
3x2
3 xx2 − 4
x2
¿ limx→
2+ 1x− 3
x2
3x− 4x2
¿2+ 1x− 3
x2
3x− 4x2
¿ 2+0−00−0
¿ 20
¿+
c. limx→
x2−x−63 x2+1
¿ limx→
x2
x2−xx2−
6x2
3 x2
x2+ 1
x2
![Page 11: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/11.jpg)
¿ limx→
1−1x− 6
x2
3+ 1x2
¿1−1− 6
2
3+ 12
¿ 1−0−03+0
¿ 13
d. limx→
(3 x+1)(2 x−4 )(2 x−1)2
¿ limx→
6 x2−10 x−44 x2−4 x+1
¿ limx→
6 x2
x2 −10 xx2 − 4
x2
4 x2
x2−4 x
x2+ 1
x2
¿ limx→
6−10x
− 4
x2
4−4x+ 1x2
¿6−10− 4
2
4−4 + 12
¿ 6−0−04−0+0
¿ 64
¿ 32
Soal-soal latihan 5
a. limx→
6 x
2 x2−x
b. limx→
x2+x−24 x−3
![Page 12: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/12.jpg)
c. limx→
x2−x−12x2−10 x
d. limx→
(2x+1)(3 x−1)(3x+1)2
Contoh 6
Tentukan hasilnya :
a. limx→
√x+1−√2 x−3
b. limx→
√2 x2+3x−1−√ x2−1
c. limx→
√x2−2 x−3−√x2−6 x+5
d. limx→
√(2 x+3)2−√4 x2−4 x
Jawab :
a. limx→
√x+1−√2 x−3
¿ limx→
(√ x+1−√2x−3) .(√ x+1+√2 x−3)(√ x+1+√2 x−3)
¿ limx→
x+1−(2 x−3)(√x+1+√2 x−3)
¿ limx→
−x+4(√x+1+√2 x−3)
( pangkat tertinggi adalah x )
¿ limx→
−xx
+ 4x
(√ xx2 +1x2 +√ 2 x
x2 − 3x2 )
¿ limx→
−1+ 4x
(√ 1x+ 1x2 +√ 2
x− 3x2 )
¿−1+ 4
(√ 1 + 12 +√ 2− 3
2 )
¿ −1+0
√0+0+√0−0
¿ −10
![Page 13: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/13.jpg)
¿−
b. limx→
√2 x2+3x−1−√ x2−4 x
Gunakan ketentuan :
limx→
√ax2+bx+c−√ px2+qx+r
¿+ , jikaa>p
¿b−q2√a
, jikaa=p
¿− , jikaa< p
Maka :
limx→
√2 x2+3x−1−√ x2−4 x=+
c. limx→
√x2−2 x−3−√x2−6 x+5
¿ b−q2√a
¿−2−(−6)
2√1
¿ 42
¿2
d. limx→
√(2 x+3)2−√4 x2−4 x
¿ limx→
√4 x2+12x+9−√4 x2−4 x
¿12−(−4)
2√4
¿ 164
¿4
Soal-soal latihan 6
Tentukan hasilnya :
a. limx→
√2 x−1−√x+3
b. limx→
√x2+x−2−√3 x2−1
c. limx→
√x2−6 x+7−√ x2−10x
d. limx→
(3 x−4)−√9 x2−x+1
B. Teorema Limit
![Page 14: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/14.jpg)
Untuk C ,kϵR ,nϵB dan f dangfungsi-fungsi yang memiliki limit di c, berlaku teorema-
teorema limit sebagai berikut :
1. limx→C
k=k
2. limx→C
x=C
3. limx→C
kf ( x)=k limx→C
f (x)
4. limx→C
( f (x )+g (x))=limx→C
f (x)+ limx→C
g(x )
5. limx→C
( f (x )−g(x ))= limx→C
f (x )−limx→C
g(x)
6. limx→C
( f (x ). g(x ))= limx→C
f (x ). limx→C
g (x)
7. limx→C
f (x)g (x)
=limx→C
f (x)
limx→C
g (x), asalkan lim
x→Cg(x )≠0
8. limx→C
¿¿¿
9. limx→C
n√ f (x )=n√ limx→C
f ( x) , asalkan limx→C
f (x)≥0
Contoh 7
Dengan menggunakan teorema limit carilah nilainya !
a. limx→3
3x+2 x2
b. limx→−2
2 x−1
√5+2 x
Jawab :
a. limx→3
3x+2 x2
= limx→3
3x+ limx→3
2x2 ( T.4 )
= 3 limx→3
x+2 limx→3
x2 ( T.3 )
= 3.3+2( limx→ 3
x)2 ( T.2 dan T.8 )
= 9+2.32 ( T.2 )
= 9+18
= 27
b. limx→−2
2 x−1
√5+2 x
= limx→−2
¿¿ ( T.7 )
![Page 15: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/15.jpg)
=
limx→−2
2 x− limx→−2
1
√ limx→−2
(5+2 x ) ( T.5 dan T.9 )
= (2 lim
x→−2x)−1
√ limx→−2
5+ lim−2
2 x ( T.1, T.3, dan T.4 )
= 2.(−2)−1
√5+2 limx→−2
x ( T.1, T.2, dan T.3 )
= −4−1
√5+2(−2) ( T.2 )
= −5
√1
= −5
Soal-soal Latihan 7
Dengan menggunakan teorema limit carilah nilainya !
a. limx→1
3x2+4 x
b. limx→−3 √ 2−2 x
4 x+14
c. limx→5
( 4 x−8x+1
)3
d. limx→2
3√(13 x+13 x−5
)2
C. Limit Fungsi Trigonimetri
Rumus Dasar :
1. limx→0
sinxx
=1
2. limx→0
tanxx
=1
3. limx→0
xsinx
=1
4. limx→0
xtanx
=1
5. limx→0
cosx=1
6. limx→0
sinx=0
Rumus Pengembangan
![Page 16: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/16.jpg)
1. limx→0
sinaxax
=1
2. limx→0
tanaxax
=1
3. limx→0
axsinax
=1
4. limx→0
axtanax
=1
5. limx→0
cosax=1
6. limx→0
sinax=0
Contoh 8
Hitung :
a. limx→0
sin 3 xsin 6 x
b. limx→0
tan 12xsin 2x
c. limx→0
1−cos2 x3 xsin2x
d. limx→0
tan2 xsin3xcos 5x−cosx
Jawab :
a. limx→0
sin 3 xsin 6 x
= limx→0
sin 3 x3x
.6 xs∈6 x
.36
= 36
limx→0
sin3 x3 x
.6 x
sin 6 x
= 36
.1 .1
= 12
b. limx→0
tan 12xsin 2x
= limx→0
tan 12x12 x
.2 x
sin2 x.122
= 122
limx→0
tan12 x12 x
.2x
sin 2 x
![Page 17: Limit Fungsi Lks](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071700/55cf9900550346d0339af4c4/html5/thumbnails/17.jpg)
= 122
.1.1
= 6
c. limx→0
1−cos2 x3 xsin2x
= limx→0
2sin2 x3 xsin2x
= limx→0
2. si nx . sinx3. x . sin 2 x
( dengan memperhatikan koefisien )
= 2.1.13.1.2
= 13
d. limx→0
tan2 xsin3xcos 5x−cosx
= limx→0
tan 2xsin3 x−2sin 3 xsin2 x
= 2.3
−2.3 .2
= −12
Soal-soal Latihan 8
Hitung :
a. limx→0
tan 3 xsin 21 x
b. limx→0
1−cos 6 x3 sinxtan2x
c. limx→0
cos 6 x−cos2 xcos 4 x−1
d. limx→0
4−4 cos 4 x2 sin 2 tan 2 x