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LÍMITES DE FUNCIONES1º BACH
Definición de Límite
)siendo a y l
El límite cuando x se aproxima a “a” de f(x) es “l” si para toda sucesión de x que se aproxima a “a”, sus imágenes se aproximan a “l”
Cálculo de límites gráficamente
Definición de Límites laterales
a+)siendo a y l
-)siendo a y l
Unicidad del límite
lim𝑥→𝑎+¿ 𝑓 (𝑥 )= lim
𝑥 →𝑎−𝑓 (𝑥 )=𝑙¿
¿
Ejemplo:
Ejercicios:
• Pág 266: 1, 2, 4
1-
Cálculo de límites analíticamente
• Basta con sustituir x por a.
Ejemplos:
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒙𝟑−𝒙+𝟐
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟐𝒙
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+¿ 𝟏
𝒙𝟑 ¿
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟐−𝒙
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐
𝒇 (𝒙)
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒙−𝟐𝟎
Más ejemplos:
• Ejercicios: Pág 267: 6, Pág 268: 7
Indeterminaciones:
• Se llama indeterminación a aquel cálculo que no se puede determinar su valor, sino que éste depende del tipo de funciones de las cuales provenga.• Son: 0·
Resolución de indeterminaciones:
Ejemplos:
= 114
=
Ejemplos:
Ejemplos:
Y tampoco son indeterminaciones cuando uno de los infinitos tiene mayor grado que el otro, en cuyo caso el límite es el infinito de mayor grado
Ejemplos:
0· Realizamos la operación
Ejemplos:
𝟏∓∞ : 𝒔𝒆𝒓𝒆𝒔𝒖𝒆𝒍𝒗𝒆𝒏𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
Ejemplos:
1∞
Continuidad
Una función f(x) es continua en x = a si
Esto exige que,
Ejemplos gráficos:
Discontinuidades:• Evitable: y
• De salto finito:
• De salto infinito: al menos uno de los límites laterales es + o -
∄ 𝑓 (𝑎)ó
≠ 𝑓 (𝑎)
Ejemplo gráfico:
• Las funciones elementales son continuas en su dominio
• Si f y g son dos funciones continuas en x = a y t – f es continua en x = a– t·f es continua en x = a– f·g es continua en x = a– f/g es continua en x = a siempre que g(a)0
Ejemplos analíticos:
f(x) =
f(x) =
f(x) =
Ejercicios:
• Pág 269: 18• Pág 270: 19, 21, 22, 23
Asíntotas
• A.V. : Surgen de los números que anulan al denominador y no al numerador.
• A.H. : Puede haber solo una.
• A.O. : Si hay A.H. no hay oblicuas; en caso contrario puede que haya y solo una. Para que exista, el valor de m no puede ser 0 porque en tal caso sería A.H.
Cálculo de ASÍNTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
Ejemplos:
Ejemplos:
• y =
• y =
• y =