Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis
Cálculo II
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por
Lyxfyxyx
),(),( 00
),(lim
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L.
Lyxfou
Lyxf
yxyx
yyxx
o
oo
),(lim
),(lim
),(),( 0
Limite de f(x,y)
Propriedades dos Limites
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M 0.
1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L
2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L
3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M
4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M
5º)
6º) De maneira geral, Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)
Lyxfyxf ),(lim),(lim
Calculando Limites
yzx
yzxxyxyzyzxzyx
2233
122
275lim )1
106)1(22
)1(2.22.2.2)1(2.2.7)1.(2.2.522
33
00
0000lim )2
3333
)0,0(),(
yxyx
yx
0))((lim22
)0,0(),(
yx
yxyxyxyx
Calculando Limites
yxxyx
yx
yxyxxyx
yx
yx
yx
2
00
22
43
3210
lim)3
lim)2
53lim)1
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.
Exemplo da Regra dos Dois Caminhos
Mostrar que não existe.
Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação
22
22
limyxyx
Regra dos Dois Caminhos
Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”).
(1º caminho)
(2º caminho) 0lim
100lim
22
22
0
22
22
00
yyyy
xx
xyx
yx Os limites são
diferentes, logo não há o limite.
y
x
z
2°caminho1°caminho
Continuidade de Funções de Várias Variáveis
O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias.
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se lim(x,y)(xo,yo)⃗ f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).
EXEMPLO:Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)24
2
),(yxyxyxf
Propriedades da Continuidade
• f(x,y) + g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) . g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) / g(x,y) também é contínua.
• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então: