Download - Limites trigonométricos
LÍMITES Y CONTINUIDAD
MATEMÁTICA 1
límx 2
f(x)01. Calcular si existe, el , donde:
x3 - 2x2 - 4x + 8
x - 2|
límx 2
02. Halle: (x + x2 - x3 + 1 )límx
3
Trabajo grupal
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
c) Tercer caso: Indeterminación -
01. Determine el valor de:
límx 2
02. Halle: límx/2
03. Calcule: (csc x - cot x)límx 0
d) Cuarto caso: Indeterminación 0.
01. Halle: límx -3
02. Halle: límx 0
sen (3x) . csc (3x)
03. Halle: límx 2
04. Halle: límx/2
tg (x) . cos (x)
Funciones trigonométricas (F.T.)
F.T = (x; y)RR / y = RT(x)
Se denomina función trigonométrica al conjunto de
pares ordenados (x; y), tal que la primera
componente “x” es la medida de un ángulo
trigonométrico en radianes (número real) y a segunda
componente “y” es el valor de la razón
trigonométrica de x.
Función seno
f (x) = (x; y)RR / y = sen(x), x R
O simplemente:
y = f (x) = sen x, xR
Dsen x = R
Rsen x = -1; 1
f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x R
O simplemente:
y = f (x) = cos x, xR
Dcos x = R
Rcos x = -1; 1
Función coseno
f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ
O simplemente:
y = f (x) = tan x
Dtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ
Rtan x = R
Función tangente
Líneas
trigonométricas
E(1; tg )
Q(ctg ; 1)
P(cos ; sen )
Líneas
trigonométricas
C(sec ; 0)
D(0; csc )
Resumen de las características de las
funciones trigonométricas
i) Si y = f (x) = c = 0d( y)
dx
Algunas reglas de derivación
ii) Si y = f (x) = x = 1d( y)
dx
iii) Si y = f (x) = xn = nxn-1d( y)
dx
iv) Si y = f (x) + g(x)d( y)
dx
v)
Si y = f (x). g(x) = f (x).g’(x) + f ’(x).g(x)d( y)
dx
vi)
Si y =g(x). f ’(x) - f (x).g’(x)d( y)
dx
f (x)
g(x)=
[g(x)]2
Si f (x) y g(x), son funciones derivables en x y g(x) ≠ 0,
entonces f /g es diferenciable en x.
Derivación del cociente de dos funciones
Derivación del producto de dos funciones
vii)
d
dx[(f o g)(x)] = f ’[g(x)].g’(x)
=
Si la función f (x) es diferenciable en u = g(x) y la
función g es diferenciable en x, entonces la composición
y = (f o g)(x) = f [g(x)] es diferenciable en x.
Derivación de una función compuesta (Regla
de la cadena)
En forma equivalented(y)
dx
d(y)
du
d(u)
dx.
Derivada de funciones trigonométricas
Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:
i) Si y = sen[f(x)]
ii)
iii)
= cos[f(x)].f’(x)]d( y)
dx
Si y = cos[f(x)] = -sen[f(x)].f’(x)]dx
d( y)
Si y = tan[f(x)] = sec2[f(x)].f’(x)]dx
d( y)
Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:
iv) Si y = cot[f(x)]
v)
vi)
= -csc2[f(x)].f’(x)]d( y)
dx
Si y = sec[f(x)] = sec[f(x)].tan[f(x)]. f’(x)]dx
d( y)
Si y = csc[f(x)] = -csc[f(x)].cot[f(x)]. f’(x)]dx
d( y)
Derivada de funciones trigonométricas
límx 0
sen xi).
Límites trigonométricas
x = 1
límx 0
tan xii).
x = 1
límx 0
1 - cos xiii).
x = 0
límx 0
1 - cos xiv).
x2=
12
límx 0
sen (2x)01. x
límx 0
1 – cos (x)02.
sen (x)
límx 0
sen (6x)03.
x
límx 0
sen (ax)04.
sen (bx)
límx 2
sen(x - 2)05.
3x - 6
límx 1
sen(1 - x)06.
x - 1
límx 0
tan (x) – sen (x)07.
x3
límx 0
6x – sen (2x)08.
2x + 3 sen (4x)
límx 0
cos (mx) – cos (nx)09.
x2
límx 0
1 + sen (x) – cos (x)10.
1 - sen (x) – cos (x)
límx 0
sen (7x) - sen (3x)11.
x.cos (x)
límx /3
1 - 2cos (x)12.
- 3x
límx 0
cos (x) - cos (sen x)13.
x2
límx 0
1 – cos sen (4x)14.
sen2 sen (3x)
límx /4
sen (2x) - cos (x) - 115.
sen (x) - cos (x)
límx 1
arc sen (x – 1/2)16.
arc tan (x)
Trabajo grupal
01. Halla el límite de:
02. Calcula el límite de:
Límite de funciones exponenciales
a) Función exponencial
Si b > 0 b 1, entonces una función
exponencial es:
y = f(x) = bx
El dominio de una función exponencial es elconjunto de números reales. Df = R
Rf = 0, +
El eje x, es decir, y = 0, es una asíntota
horizontal para la gráfica de f.
Ejemplo 1
Grafique la
función: y = f(x)
= 2x.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x
Cuando la base b > 1
límx -
bx = 0
límx +
bx = +
Asíntota horizontal
Ejemplo 2
Grafique la
función: y = f(x)
= (1/2)x.
Cuando la base
0 < b < 1
límx -
bx = +
límx +
bx = 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x
Asíntota horizontal
b) Función logarítmica
La función logarítmica con base b > 0 b
1, se define por:
y = logb(x), si y sólo si, x = by
Dominio: Df = 0; + Rango: Rf = R
El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota
vertical para la gráfica de f.
La función f es uno a uno.
Utilizando la propiedad principal,
y = logb(x), si y sólo si, x = by
y = logb(x) = logb(by)
x = blogb(x)
se infieren:
2 = 10log2(10)
c) Logaritmo natural
Es el logaritmo con base e > 0 e 1, y se
define como:
y = ln(x), si y sólo si, x = ey
Además:
ln(1) = 0, si y sólo si, e0 = 1
ln(e) = 1, si y sólo si, e1 = e
Gráfica de y = f(x) = log2(x)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x
Cuando la base
b > 1
límx + logb(x) = +
límx 0 = -logb(x)
Asín
tota
vertic
al
d) El número e
Ideado por John Napier en 1618 y
popularizado por Leonard Euler (1736).
e también es límite de la sucesión:
Haciendo: h = 1/x, si x tiende , h tiende a 0.
e) Cálculo de los límites de la forma:
f) Para funciones logarítmicas:
Calcula los siguientes límites:
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)d( y)
dx
ii) Si y = ln[ f(x)]f ’(x)d( y)
dx f (x)=
iii) Si y = axd( y)
dxax.ln(a)=
iv) Si y = a f(x)d( y)
dxa f(x). f ’(x).ln(a)=
Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
i) ln(ex) = x ii) eln(x) = x
1x1 +( )
xlím
x +∞= eiii)
1 + x( )1/x
límx 0
= eiv)
x1 +( )
xlím
x +∞= ev)
Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas
ax - 1x( )lím
x 0= ln(a)vi) Si a >1 a 1
ex - 1x( )lím
x 0= 1vii)
10) 7x - 1x
límx 0
( )
11) 7x - 5x
xlímx 0
( )
12) 9x - 7xlímx 0
( )8x - 6x
13) ex - exlímx 0
( )x
14) ex - exlímx 0( )sen x – sen x
15) sen 2xlímx 0( )ln (1 + x)
16) límx /2
(1 + cos x)3.sec x
17) límx 0
(1 + 3.tan2 x)cot2 x
18)
01)
Trabajo grupal
02)
Asíntotas de una funcióna) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo
largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la
recta L y el punto A de la curva tiende a cero,
cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la
recta L se denomina asíntota de la curva C.
b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la
curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) límx a
f(x) = ±∞
ii) límx a+
f(x) = ±∞
iii) límx a-
f(x) = ±∞
-∞
+∞
c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de
la curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) límx +∞
f(x) = k
ii) límx -∞
f(x) = k
iii) límx ∞
f(x) = k
Asíntota horizontal
d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua
de la curva C: y = f(x), si se cumple que:
i) límx +∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
ii) límx -∞
[f(x) – (mx + b)] = 0
Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.
f(x)límx ±∞( )xm =
[f(x) – mx]límx ±∞b =
01. Halla las asíntota de la función:
x2 + x - 1x - 3y = f(x) =
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gráfico de la función: y = (x2 + x -1)/(x - 3)
Curva Asíntota oblicuaAsí
nto
ta v
ert
ical
Asíntota vertical:
x = 3
Asíntota oblicua:
y = x + 4
Asíntota horizontal:
No existe
02. Halla las asíntota de la función:
2x2 – 5x + 3
x - 1y = f(x) =
03. Halla las asíntota de la función:
2x2 + 5x - 8
x + 3y = f(x) =
04. Halla las asíntota de la función:
x2 + 2x - 8
x2 - 4y = f(x) =
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Gráfico
05. Halla las asíntota de la función:
x + 3
x + 2y = f(x) =
06. Halla las asíntota de la función:
6x2 + 8x - 3
3x2 + 2y = f(x) =
-3
-2
-1
0
1
2
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfica de la función
Asíntota horizontal
01.
Halla las asíntotas de las funciones y
representa gráficamente:
Trabajo grupal
x2
2 - xy = f(x) =
02.2x2
x + 3y = f(x) =
Una función real f es continua en un
número x = a si:
Continuidad de una función
límx a
f(x) = f(a)
Si f es continua en a, entonces debe cumplir:
i) f (a) esta definida (esto es, a pertenece al dominio de f )
ii) límx a
f(x) Existe
iii) límx a
f(x) = f(a)
Si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la
gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica.
Así que no existe ninguna brecha en la curva
Discontinuidad evitable o removible.
Tipos de discontinuidad
lím
x af(x)i)
Una función real de variable real f: R R,
tiene una discontinuidad evitable y removible en
un punto x = a, si:
a)
Existe
ii) El número aDf, o bien aDf se tiene que:
límx a f(x) ≠ f(a), en este caso redefinimos f:
F(x) =f(x), si x ≠ a
x af(x), si x = a
lím
Discontinuidad no evitable o removible.
i) Discontinuidad de primera especie una
función real es discontinua cuando tiene
límites laterales son infinitos y diferentes.
b)
ii) Discontinuidad de segunda especie de una
función real es discontinuidad en el punto x
= a, si no existe , o si, uno de los
límites laterales es infinito (±∞)x alím f(x)
Ejemplos:
¿Dónde es discontinua cada una de las
siguientes funciones?
a)x2 – x - 2
x - 2f(x) =
1)
b)
1
x2
f(x) =1, si x = 0
, si x ≠ 0
c)
x2 – x - 2
x - 2f(x) =
1, si x = 2
, si x ≠ 2
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
x4 – 81
x2 - 9f(x) =
2)
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
x3 – 2x2 – 11x + 12
x2 – 5x + 4f(x) =
3)
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
3x3 + 2x2 – 6x + 1
x2 – xf(x) =
4)
x3 - x2 + 2x - 2
x – 1f(x) =5) , para x ≠ 1
4, para x = 1
3x2 - 7x + 2
x – 2f(x) =6) , para x ≠ 0
3, para x = 0