Linearizace dynamického systému

))(),(()(

ttdt

tduxf

x

))(())((),())(),(( 00

00

00 uuuf

xxxf

uxfuxf

tttt

výchozím bodem “0” je nejčastěji rovnovážný stav x0=xS a u0=uS

Pro malé výchylky vstupů a stavů lze pravou stranu rovnice systému nahradit jejím úplným diferenciálem:

x

n

nn

n

xf

xf

xf

xf

JA

001

0

1

01

1

u

m

mm

m

uf

uf

uf

uf

JB

001

0

1

01

1

Jakobiho matice:

Metrika stavového prostoru – vzdálenost x(t) od x0 def. pomocí normy stavového prostoru. Při použití Euklidovské normy, je vzdálenost stavu E a F:

2211 )(...)( FnEnFEFEEF xxxx xx

)()()(

ttdt

tduBxA

x

Rovnovážný stav nelineárního systému

))(),(()(

ttdt

tduxf

x

rovnice statiky dynamického systému

u(t)= uS = konst, 0)(

dttdx ),(0 Suxf

reálná řešení rovnice xS – souřadnice možných rovnovážných stavů systému (může být i několik rovn. stavů)

zda je určitý rovnovážný stav xS stabilní je možné ověřit linearizací systému v okolí x0=xS a u0=uS a posouzením dynamiky lineárního systému

Příklad Dva rovnovážné stavy nelineárního systému txtxtu

dttdx 22)( u(t)=uS=1

Příklad linearizace systému Van der Pole, rizika linearizace

tutxtxtxAdt

tdx

txdt

tdx

1221

2

21

1 u(t) = us = konst.

A=0.5

Pohyb s mezním cyklem, systém není v okolí singulárního bodu stabilní asymptoticky, ale je možné jej označit za stabilní z hlediska posouzení stability dle Ljapunova.

A=0.1, reálné kořeny: 58.4

1.02

1 Su 58.41.0

21 Su