Download - Linearno programiranje
1/82
OPERACIONA OPERACIONA ISTRAISTRAŽIVANJAŽIVANJA
PProf. dr rof. dr Ranko BoRanko Božičkovićžičković
e-e-mail:mail: [email protected]
Doboj, 2008/2009Doboj, 2008/2009
Asistent: Milovan Popović i mr Vlastimir Pejić
2/82
IZVOD IZ SADRŽAJA1. LINEARNO PROGRAMIRANJE i jednokriterijmska optimizacija
a) Grafićka metodab) Kvantitativne metode i SIMPLEKS TABELA2. TRANSPORTNI PROBLEMI3. TEORIJA IGARA, PROBLEMI RASPOREĐIVANJA4. TEORIJA MASOVNOG OPSLUŽIVANJA (redovi čekanja)5. VIŠEKRITERIJMSKA OPTIMIZACIJA – ODLUČIVANJE6. ATRIBUTIVNE METODE OPTIMIZACIJE - AHP METODA I
EKSPERT ČOJS SOFTVER
Način polaganja:1. T1 i K1 - u sedmoj (7) sedmici. USLOV: PREDATI GRAFIČKI
RADOVI GR1 I GR2
2. T2 i K2 - u petnaestoj (15) sedmici. USLOV: PREDATI GRAFIČKI RADOVI GR1 , GR2, GR3 i GR4
Studenti koji polaže T i K stiču uslov za upis ocjena u prvom ispitnom roku nakon predavanja. U ostalim ispitnim rokovima studenti polažu nepoložene K1 i K2 ili K- integralno. Nakon položenih K polaže se T. T i K vrijede jednu godinu, tj. do IV semestra iduće školske godine.
Nadležnost nad K imaju asistenti, a na T profesor Božičković
LITERATURA1. ODABRANA POGLAVLJA IZ TEORIJE
KVANTITATIVNOG ODLUČIVANJA, Čupić i ostali, FTN, N. Sad.
2. METODE OPTIMIZACIJE U ZADACIMA TIPA TRANSPORTA, Nikolić, Božičković, SF Doboj, 2007,
3. OPERACIONA ISTRAŽIVANJA – repetitorij,
dr Ranko Božičković, SF, 2009
1. CD rom Nikolić – Božičković, SF Doboj,
2. INDUSTRIJSKA EKONOMIKA, Božičković – Trivić, SF Doboj, 2007.
3/82
4/82
1. KONTINUALNO LINEARNO 1. KONTINUALNO LINEARNO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE
2. CELOBROJNO LINEARNO 2. CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE
3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO 3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE
4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO 4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO
PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE
SADRŽAJSADRŽAJ
Naslov
5. POST-OPTIMALNA ANALIZA5. POST-OPTIMALNA ANALIZA
Zadaci / Vežbe
Zadaci / Vežbe
Zadaci / Vežbe
Zadaci / Vežbe
Zadaci / Vežbe
I.I.LINEARNO PROGRAMIRANJELINEARNO PROGRAMIRANJE
5/82
Matematički model : Funkcija cilja i ograničenja
Rešavanje :Ručni postupci : Grafičko rešavanje za n=2 promenljiveRučni postupci : Simpleks metodaPrimena softvera : WinQSB, Modul Linear and Integer Programming
Tipovi problema (2) :1) Maksimizacija funkcije kriterijuma2) Minimizacija funkcije kriterijuma
Vrste modela sa stanovišta promenljivih (5) : 1) Linearno programiranje (za kontinualne promenljive)2) Celobrojno linearno programiranje, 2 tipa promenljivih :
a) bilo koji celi brojevib) binarni brojevi : 0 ili 1; 0-1 programiranje
3) Mešovito celobrojno linearno programiranje
Oblici ograničenja (3) : , ,
LINEARNO PROGRAMIRANJELINEARNO PROGRAMIRANJE
6/82
Softver :Softver : WinQSBWinQSBQuantitave Systems for BusinessQuantitave Systems for BusinessKvantitativni sitemi (modeli) za biznisKvantitativni sitemi (modeli) za biznis
Autor i adresa za preuzimanje softvera
Grupa modela : 19Ukupno modela : 57Demo primera : 64
7/82
Uputstvo za korišćenje : Uputstvo za korišćenje : 1)1) Linear and Integer Programming (4 modela)2)2) Network Modeling (7 modela)
Softver :Softver : WinQSBWinQSBQuantitave Systems for BusinessQuantitave Systems for BusinessKvantitativni sitemi (modeli) za biznisKvantitativni sitemi (modeli) za biznis
Prof. dr I. Nikolić i R. B.Metode optimizacije u zadacima tipa transporta sa jednim i više kriterijuma
8/82
1.1.KONTINUALNOKONTINUALNO
LINEARNOLINEARNOPROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE
9/82
PRIMER 1. : PROBLEM 1. Izrada obuće
Verbalni model
10/82
Matematički model
Model A Model B
Kapaciteti
(čas/mes)
Profit (n.j./par) 45 60 max
ResursiNormativi (čas/par) uslovi
Mašina 1 3 2 480
Mašina 2 2 4 600
Mašina 3 1 1 180
Nepoznate (par) x1 x2
Tabelarni model
Funkcija kriterijuma
Ograničenja
Prirodna ograničenja
11/82
x2
x1Matematičkimodel
Grafičkimodel B(60,120)
C(120,60)
D(150,0)
A(0,150)
(90,105)Nije dopustivo(90,105)Nije dopustivo
x1=90, x2=105 nije dopustivo rešenje.Zadovoljava sa znakom jednakosti prvo i drugo ograničenje, ali ne zadovoljava treće.
x1=90, x2=105 nije dopustivo rešenje.Zadovoljava sa znakom jednakosti prvo i drugo ograničenje, ali ne zadovoljava treće.
12/82
x2
x1
B(60,120)
C(120,60)
D(150,0)
A(0,150)
(90,105)Nije dopustivo
Optimalno rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900
(X)Oblast dopustivih
rešenja
Matematičkimodel
X
Grafičkimodel
13/82
Proračun profita z(x) u temenima oblasti dopustivih rešenja
Optimalno rešenje:
x1* = 60 pari modela A; x2* = 120 pari modela BMaksimalna profit z* = 9.900 (n.j.)
Resursi
Norma- tivi x1
Norma- tivi x2
Angažo- vanje
Raspolo- živo
Slobo- dno
M1 3 60 2 120 420 480 60M2 2 60 4 120 600 600 0M3 1 60 1 120 180 180 0
x1 x2 z = 45x1 + 60x2 maxA 0 150 9.000B 60 120 9.900C 120 60 9.000D 150 0 6.600
9.900
Proračun (provera) korišćenja kapaciteta mašina
U celosti se koriste kapacitet za M2 i M3Ostaje slobodno 60 (čas) za M1
14/82
x2
x1
B(60,120)
Tačka B ne pirpada pravoj za M1, tako da rastojanje B od prave M1 iskazuje slobodne kapacitete M1 za rešenje B(60,120).Angažovano :360+2120 =180+240=420Slobodno : 480-420=60
Tačka B ne pirpada pravoj za M1, tako da rastojanje B od prave M1 iskazuje slobodne kapacitete M1 za rešenje B(60,120).Angažovano :360+2120 =180+240=420Slobodno : 480-420=60
(max) z = 45x1 + 60x2
Pri ograničenjima
M1 3x1 + 2x2
480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
U celosti se koriste kapacitet za M2 i M3Ostaje slobodno 60 (čas) za M1
Tačka B jeste u preseku ograničenja za M2 i M3, tako x1=60 i x2=120 zadovoljava jednačine M2 i M3
15/82
x2
x1
B(60,120)
C(120,60)
D(150,0)
A(0,150)Ograniča-vanjepromenljiveNajviše 100 pari
modela B
Lošije
Optimalno rešenje sa x2
100 x1=80, x2=100, z*=9.600
Polazno opt. rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900
B1(80,100)
PRIMER 2
(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 B .... x2 100 x1, x2 0
16/82
x2
x1
C(120,60)
Lošije
Optimalno rešenje sa x1
100 x1=100, x2=80, z*=9.300
B2(100,80)
PRIMER 3
(max) z = 45x1 + 60x2
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 A .... x1 100 x1, x2 0
Polazno opt. rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900
Ograniča-vanjepromenljiveNajmanje 100 pari
modela A
x1 = 100
17/82
REKAPITULACIJA(max) z = 45x1 + 60x2
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
Optimalno rešenjex1* = 60, x2* = 120, z* = 9.900
(max) z = 45x1 + 60x2
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 B .... x2 100 x1, x2 0
(max) z = 45x1 + 60x2
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 A .... x1 100 x1, x2 0
Optimalno rešenjex1* = 80, x2* = 100, z* = 9.600
Optimalno rešenjex1* = 100, x2* = 80, z* = 9.300
ZAKLJUČAK :Dodatna ograničenja mogu da rezultuju lošijim rešenjem sa stanovišta optimalne vrednosti funkcije kriterijuma
18/82
Da li rešenje može da se odredi softverom ?Da li rešenje može da se odredi softverom ?
Optimalno rešenje
x1*=60
x2*=120
z*=9.900
Polazni podaci za softverPolazni podaci za softver
Optimalno rešenje sa softveromOptimalno rešenje sa softverom
Softver Softver označava označava ograničenja ograničenja (Constraint)(Constraint) sa sa C1, C2, C3C1, C2, C3
19/82
ZNAČAJNE KARAKTERISTIKE ZNAČAJNE KARAKTERISTIKE MODELA LINEARNOG PROGRAMIRANJAMODELA LINEARNOG PROGRAMIRANJA
1)1) Minimizacija i maksimizacija Minimizacija i maksimizacija funkcije kriterijumafunkcije kriterijuma
2)2) Nesaglasnost / kontradiktornost Nesaglasnost / kontradiktornost ograničenjaograničenja
3)3) Jedinstveno optimalno rešenje Jedinstveno optimalno rešenje ((u ranijim primerimau ranijim primerima))
4)4) VišestrukoVišestruko optimalno rešenje
20/82
PRIMER I. MAKS. i MIN. FUNKCIJE KRITERIJUMA
C(90,105)
E(90,105)
(max) z = 45x1 + 60x2
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
(min) z = 45x1 + 60x2
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
Opt. reš.
x1*=60
x2*=120
z*=9.900
Opt. reš.
x1*=90
x2*=105
z*=10.350
21/82
PRIMER II.SAGLASNOST i NESAGLASNST OGRANIČENJA
Tri uslova (mašine) : M1 3x1 + 2x2 480
M2 2x1 + 4x2 600
M3 1x1 + 1x2 180
x1, x2 0
Jedan uslov (sirovina) :S1 1x1 + 1x2 250 x1, x2 0
Nesaglasnost (kontradiktornost) ograničenja
Nema jedinstven skup dopustivih rešenja
Nema optimalno rešenje
z = 45x1 + 60x2 max
M1 3x1 + 2x2 480
M2 2x1 + 4x2 600
M3 1x1 + 1x2 180
S1 1x1 + 1x2 250 x1, x2 0
PRIMER 1. proširen sa ograniče-njem za S1Vizuelno jasnoVizuelno jasno
na grafikuna grafiku
22/82
x2
x1
B(60,120)
C(120,60)
D(150,0)
A(0,150)
Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC
Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC
c1 x1 c2 x2 z maxA 60 0 60 150 9.000B 60 60 60 120 10.800C 60 120 60 60 10.800D 60 150 60 0 9.000
10.800
XX
(max) z = 60x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
Ako ista dobit 60 za razmatrane parove obuće, nastaje višestruko optimalno rešenje x** na duži BC sa z*=10.800
Duž BC pripada pravoj Duž BC pripada pravoj xx11+x+x22=180 za M3. =180 za M3. Sledi :
x1*60,120; x2*=180-x1*
PRIMER III. VIŠESTRUKOOPTIMALNOREŠENJE
23/82
PRIMENA SOFTVERAPRIMENA SOFTVERAWinQSB – WinQSB – Quantitative Systems for BusinessQuantitative Systems for Business
MODUL : Linearno i celobrojno programiranjeLinearno i celobrojno programiranje
UPUTSTVOUPUTSTVOProf. dr I. Nikolić i R. B.Prof. dr I. Nikolić i R. B.Metode optimizacije u zadacima tipa transporta sa jednim i više kriterijuma
24/82
Optimalno rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900
Tri modela cipela, tri promenljive
(max) z = 45x1 + 60x2 + 50x3
3x1 + 2x2 + 1x3 480 .... M1 2x1 + 4x2 + 3x3 600 .... M2 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 .... M2 x1, x2, x3 0
Rešenje: Softver WinQSB, LPRešenje: Softver WinQSB, LP&&ILPILP
PRIMER 4 :
Neka se razmatra i model obuće C sa podacima za normative i jedin. dobit u proširenom matemat. modelu sa dva modela obuće.
25/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3
480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0
Donje graniceza promenljive
Gornje graniceza promenljive
M =
Tipovi za promenljive : Continuous (kontinualne, realne vrednosti), Integer (celobrojne
vrednosti), Binary (binarne vrednosti : 0 ili 1), Unresticted (vrednosti neograničene u znaku)
Tip funkcije kriterijuma
Ograničenja
Softver :Softver : WinQSB WinQSBModul :Modul : Linear and Integer ProgrammingLinear and Integer Programming
POLAZNI PODACI : Matrix FormPOLAZNI PODACI : Matrix Form
Promenljive
Desna strana ograničenja
Znaci ogr.
26/82
Gubitak po jedinici za x3 > 0
Slobodni kapaciteti
Korišćenje kapaciteta
Raspoloživi kapaciteti
Fun
kcija
ci
ljaP
rom
enlji
veza
odl
učiv
anje
Ogr
anič
enja
Gubitak po jedinici za
nedostajuće kapacitete
C2, C3
Status za bazične
promenljiveBazične
Na granici
Reducirane cene
Cene u senci
REŠENJE : Combined ReportREŠENJE : Combined Report
Softver :Softver : WinQSB WinQSBModul :Modul : Linear and Integer ProgrammingLinear and Integer Programming
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3
480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0
Vrednosti za promenljive
27/82
REŠENJE : Combined ReportREŠENJE : Combined Report
Softver :Softver : WinQSB WinQSBModul :Modul : Linear and Integer ProgrammingLinear and Integer Programming
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3
480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0
Donje granice koefic. cj u z(x)
Gornje granice koefic. cj u z(x)
Donje granice slobodnih član. bj u ograničenjima
Donje granice slobodnih član. bj u ograničenjima
Donje i gornje granice elemenata koje omogućavaju prisustvo datih promenljivih u opt. rešenju: (x1,x2)x*.
PRIMERI : a) x1x* za c1(30,60); b) (x1,x2)x* za b1(420,M=+)
28/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack_M1 + 0Slack_M2 + 0Slack_M3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + Slack_M1 = 480
M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + Slack_M2 = 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack_M3 = 180
x1, x2, x3 0 Slack_M1, Slack_M2, Slack_M3 0
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
x1, x2, x3 0
TUMAČENJE TUMAČENJE IZRAVNAVAJUĆIH IZRAVNAVAJUĆIH PROMENLJIVIHPROMENLJIVIH
• Slack – nedostizanje, podbačaj• Surplus – prekoračenje,
prebačaj
M1 ...M1 ...M2 ...M2 ...M3 ...M3 ...
SIMPLEKS METODA – POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1SIMPLEKS METODA – POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1
29/82
Promena rešenja 2 : X1 Basis Slack_M3
Promena rešenja 1 : X2 Basis Slack_M2
SIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELESIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELE
z*z*
Optimalno rešenjeOptimalno rešenje
30/82
C B X0
c1 c2 … cn cn+1=0 cn+1=0 … cn+m=0
x1 x2 … xn x n+1 x n+2 … xn+m
cn+1=0 X n+1 b1 a11 a12 … a1n 1 0 … 0
cn+1=0 X n+2 b2 a21 a22 … a2n 0 1 … 0
… … … … … … … … … … …
cn+m=0 X n+m b2 am1 am2 … amn 0 0 … 0
Fj-cj 0 ±c1 ±c2 … ±cn 0 0 … 0
SIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELESIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELE
- pivot stupac = max
pivot red (najmanji pozitivan količnik elemenata baze sa koeficijentima pivot
stupca)
=1 pivot element
pivot red za sve j
ostali elementi u tabeli
31/82
Vektor A0
K R
cj
Cs
Bazično rješenje Strukturne varijable Dopunske varijable Artificijalne varijable
Var Kol
zj – cj
dj
Дуалност у линеарном програмирању
Дуал симетричног облика ЛП
32/82
Моделу се придружује следећи симетрични облик ЛП, тзв. дуални проблем или дуал:
33/82
Кореспонденција у прималу и дуалу:
Примал Дуал
максимизација ↔ минимизација
број променљивих ↔ број ограничења
број ограничења ↔ број променљивих
матрица ограничења A ↔ матрица ограничења AT
коефицијент у функцији циља ↔ слободни члан ограничења
слободни члан ограничења ↔ коефицијент у функцији циља
ограничење типа ≤ ↔ ограничење типа ≥
34/82
35/82
Свођење проблема на симетрични облик
• Ако неки проблем ЛП није задат у симетричном облику он се може следећим трансформацијама свести на еквивалентни проблем облика па затим дефинисати његов дуал:
• (Т1) Проблем минимизације функције F(x) своди се на максимизацију функције −F(x);
• (Т2) Ограничење типа ≥ се, множењем обе његове стране са –1, своди на ограничење типа ≤;
36/82
37/82
38/82
39/82
40/82
DUALNI MODEL DUALNI MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJALINEARNOG PROGRAMIRANJA
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
x1, x2, x3 0
y1
y2
y3
Primarni model LPPrimarni model LP
v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min
A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45
B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60
C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50
y1, y2, y3 0
Dualni model LPDualni model LP
x1
x2
x3
Dualne Dualne promenljivepromenljive
Primarne Primarne promenljivepromenljive
Du
aln
i mo
de
l od
du
aln
og
mo
del
aD
ua
lni m
od
el o
d d
ua
lno
g m
od
ela
jes
te
jes
te
Pri
ma
rni m
od
el.
Pri
ma
rni m
od
el.
M1 M2 M3M1 M2 M3
A B CA B C
Va
ži :
ma
x z
= m
in v
Va
ži :
ma
x z
= m
in v
41/82
v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min
A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45
B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60
C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50
y1, y2, y3 0
Dualni model LPDualni model LP
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
x1, x2, x3 0
Primarni model LPPrimarni model LP Normal Model FormNormal Model Form
Dual Model FormDual Model Form
WinQSB : Linear and Integer Programming
Nazivi za promenljive : X1, X2, X3za ograničenja : M1, M2, M3
Nazivi za Nazivi za promenljive : M1, promenljive : M1, M2, M3M2, M3za ograničenja : za ograničenja : X1, X2, X3X1, X2, X3
42/82
Primer B.Primer B.
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
x1, x2, x3 0
y1
y2
y3
Primarni model LPPrimarni model LP
v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min
A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45
B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60
C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50
y1, y2, y3 0
Dualni model LPDualni model LP
x1
x2
x3
Dualne Dualne promenljivepromenljive
Primarne Primarne promenljivepromenljive
Du
aln
i mo
de
l od
du
aln
og
mo
del
aD
ua
lni m
od
el o
d d
ua
lno
g m
od
ela
jes
te
jes
te
Pri
ma
rni m
od
el.
Pri
ma
rni m
od
el.
M1 M2 M3M1 M2 M3
A B CA B C
Va
ži :
ma
x z
= m
in v
Va
ži :
ma
x z
= m
in v
43/82
1) Max z(x) – funkcija cilja za Primar neka znaci “” za sva ograničenja za mešovita ograničenja, važe proširena pravila
2) Svakom ograničenju Primara pridružuje se promenljiva Y za Dual
3) Slobodni članovi Primara = Koeficijenti funkcije cilja Duala4) Koeficijenti funkcije cilja Primara = Slobodni članovi Duala5) Tehnološka matrica leve strane ograničenja Primara
transponuje se za model Duala (redovi postaju kolone i obrnuto)
6) Min v(y) – funkcija cilja za Dual znaci “” za ograničenja, ako znaci “” za sva ograničenja
Primara
PRAVILA za PREVOĐENJE PRIMARA u DUALPRAVILA za PREVOĐENJE PRIMARA u DUAL
7) Sve jedno je koji se model rešava Iz rešenja Duala može da se odredi rešenje Primara, i obrnuto Max z(x) = Min v(y)
PRAVILA ZA REŠENJAPRAVILA ZA REŠENJA
44/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
x1, x2, x3 0
y1
y2
y3
Primarni model LPPrimarni model LP
v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min
A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45
B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60
C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50
y1, y2, y3 0
Dualni model LPDualni model LP
x1
x2
x3
Dualne Dualne promenljivepromenljive
Primarne Primarne promenljivepromenljive
Du
aln
i mo
de
l od
du
aln
og
mo
del
aD
ua
lni m
od
el o
d d
ua
lno
g m
od
ela
jes
te
jes
te
Pri
ma
rni m
od
el.
Pri
ma
rni m
od
el.
M1 M2 M3M1 M2 M3
A B CA B C
Va
ži :
ma
x z
= m
in v
Va
ži :
ma
x z
= m
in v
Primer C.Primer C.
45/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x3 20, najmanje 20 pari modela
C x1, x2, x3 0
PRIMER 5Donje granice za promenljiveLowerBound
Polazni podaci : Matrix Form
46/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x3 20, najmanje 20 pari modela C
x1, x2, x3 0
Optimalna rešenja
1. Tumačenje za promenljive i cilj : Zamena 30 pari mod. A sa 20 pari mod. C umanuje dobit sa 9.900 na 9.550 za 350.
2. Tumačenje za ograničenja : Slobodno 130 čas. M1
PRIMER 4x1* = 60x2* = 120x3* = 0z* = 9.900
PRIMER 5x1* = 30x2* = 120x3* = 20z* = 9.550
Op
tim
aln
o r
eš
en
je :
Iz
ve
štaj
Co
mb
ined
Rep
ort
47/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x2 75, najviše 75 pari modela B
x1, x2, x3 0
PRIMER 6Gornje granice za promenljiveUpperBound
Polazni podaci : Matrix Form
48/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x2 75, najviše 75 pari modela B
x1, x2, x3 0
PRIMER 4x1* = 60x2* = 120x3* = 0z* = 9.900
PRIMER 5x1* = 30x2* = 120x3* = 20z* = 9.550
Optimalna rešenja
PRIMER 6x1* = 105x2* = 75x3* = 0z* = 9.225
Op
tim
aln
o r
eš
en
je :
Iz
ve
štaj
Co
mb
ined
Rep
ort
Tumačenje: za promenljive, cilj, ograničenja
49/82
1. KONTINUALNO LINEARNO PROGRAMIRANJE
ZADACI ZA VEŽBANJE
ZADATAK 1.
50/82
ZADATAK 2.
Sadržaj
51/82
2.2.CELOBROJNOCELOBROJNO
LINEARNOLINEARNOPROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJEAko sa Ako sa Variable Type = ContinuousVariable Type = Continuous promenljive nemaju celobrojne vrednostipromenljive nemaju celobrojne vrednostidefinisati : definisati : Variable Type = IntegerVariable Type = Integer
NAPOMENA: Celobrojno linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”
Sadržaj
52/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0 i celi brojevi
PRIMER 7Celobrojno programiranje
Polazni podaci : Matrix Form
Neka je nastupila promena normativa za model A (promenljiva x1) na M1 i M2
Optimalno rešenje : Izveštaj Solution Summary
Optimalno rešenje:x1* = 53,333; x2 = 126,667z* = 10.000
Nisu dopustive necelobrojne vrednosti za promenljive (broj pari cipela)
Ne zahteva se celobrojnost za promenljive
Uočiti promenu naziva za promenljive i ograničenja
53/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0 i celi brojevi
Celobrojno programiranje
Polazni podaci : Matrix Form
Optimalno rešenje : Izveštaj Solution Summary
Optimalno rešenje:x1* = 54x2* = 126z* = 9.9000
Zahteva se celobrojnost za promenljiveVariable Type = Integer
54/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0
POREĐENJENecelobrojno programiranje Celobrojno programiranje
Optimalno rešenjesa zatevom “celobroj-nost za promenljive” :x1* = 54; x2* = 126z* = 9.9000
Optimalno rešenjebez zahteva “celobroj-nost za promenljive” :x1* = 53,333; x2* = 126,667z* = 10.000
Zahtev “celobrojnost za promenljive”, REZULTAT : LOŠIJA VREDNOST z*,REZULTAT : LOŠIJA VREDNOST z*,ako bez tog zahteva postoje necelobrojna rešenja za promenljive
Ne vrši se “uobičajeno zaokruživanje” necelih brojeva na cele brojeve
55/82
Optimalno rešenjeTumačenje ograničenja:Slobodni kapaciteti1 (čas) za M1 i 147 (čas) za M2100% korišćenje M3Zahtevano korišćenje 300 (jed.) Sirovine 1
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = 300 x1, x2, x3 0 i celi brojevi
PRIMER 8Celobrojno programiranje
Neka se razmatra i Sirovina 1, sa normativima 2, 1, 3 (jedinica sirovine za par obuće) modele A, B, C i zahtevom da se utroši tačno 300 (jedinica sirovine)
Rešenje: Necelobrojne promenljive
Rešenje: Celobrojne promenljive
56/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
S1 2x1 + 1x2 + 3x3 200 x1, x2, x3 0 i celi brojevi
PRIMER 9
Zahteva se trošenje/ angažovanje S1 najmanje 200 (jedinica sirovine)
Sirovina 1 koristi se L.H.S = 234 (jed.), Surplus = 34 više od zahteva R.H.S = 200
“Reduced Cost” – “Reducirani troškovi” za promenljive “at bound” – “na granici” koje imaju vrednosti :
> 0 = 0
“Shadow Price” – “Troškovi u senci” za ograničenja
57/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
S1 ... 2x1 + 1x2 + 3x3 200 x1, x2, x3 0 i celi brojevi
TUMAČENJE IZRAVNAVAJUĆIH PROMENLJIVIH
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack 1 + 0Slack 2 + 0Slack 3 – MSurlus 4
max
M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 + Slack 1 = 480
M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 + Slack 2 = 600
M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack 3 = 180
S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = 200 + Surplus 4
x1, x2, x3 0 i celi brojevi
Slack 1, 2, 3; Surplus 4 0
• Slack – nedostizanje, podbačaj• Surplus – prekoračenje,
prebačaj
Prevođenje Prevođenje promenljive promenljive Surplus 4 na Surplus 4 na levu stranu levu stranu ograničenja Sograničenja S44
S1 2x1 + 1x2 + 3x3 – Surplus 4 = 200
M = Beskonačno velikiM = Beskonačno veliki pozitivni brojpozitivni broj
58/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = K x1, x2, x3 0 i celi brojevi
PRIMER 10SAGLASNOST i NESAGLASNST OGRANIČENJA
K = 350 (jed.sirov.) ima rešenje K = 365 (jed.sirov.) nema rešenje
Softver daje : upozorenje da nema rešenje i preporuke za promenu desne
strane ograničenja
Za S1 razmatraju se varijante količina K sa zahtevom da se utroše u celosti.
59/82
2. CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJE
ZADACI ZA VEŽBANJE
ZADATAK 3.
60/82
ZADATAK 4.
61/82
ZADATAK 5.
ZADATAK 6.
62/82
ZADATAK 7.
63/82
ZADATAK 8.
Sadržaj
64/82
3.3.0-1 (Binarno)0-1 (Binarno)LINEARNOLINEARNO
PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJEZahteva se da promenljive imaju vrednosti Zahteva se da promenljive imaju vrednosti 11 ili ili 00Definisati : Definisati : Variable Type = BinaryVariable Type = Binary
NAPOMENA: 0-1 linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”
Sadržaj
65/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
2 r.para x1 + x2 + x3 = 2
x1, x2, x3 = 1 ili 0
PRIMER 12
(0,1) PROGRAMIRANJENeka se zahteva da se izrade samo dva (2) različita para obuće iz skupa: Model A, B, C
Zahteva se binarnost za promenljive (vrednosti 1 ili 0)Variable Type = BynarySoftver postavlja UpperBound = 1
Po
lazn
i po
da
ci
Optimalno rešenje :Model A, x1* = 0Model B, x2* = 1Model C, x3* = 1Z* = 110Izraditi Model B i C
66/82
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
2 r.para 1x1 + 1x2 + 1x3 = 2
x1, x2, x3 = 1 ili 0 NAPOMENA :Isti zahtev opisuje i model celobrojnog programiranja (Variable Type = Integer)sa gornjim granicama za promenljive UpperBound = 1
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max
M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480
M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600
M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180
2 r.para 1x1 + 1x2 + 1x3 = 2
x1 1, x2 1, x3 1
x1, x2, x3 0 i celi brojevi
67/82
Određeni preduzetnik razmatra mogućnost da izgradi po jedan industrijski objekat (A, B i C) različitih namena (metalni proizvodi, plastični proizvodi, kondiktorski proizvodi). Svaki objekat zahteva odgovarajuću površinu građevinskog zemljišta: 10, 8 i 120 (ara), respektivno za A, B i C. Cene izgradnje objekata iznose 150, 170 i 130 (novč. jedin.). Proizvodnju u objektima obavljaju specijalisti Radnici 1 (3, 2 i 4 za A, B, C) i Radnici 2 (10, 15 i 10). Odrediti u koje objekte da investira preduzetnik sa ciljem da ostvari maksimalnu ukupnu dobit polazeći sa procenom da eksploatacija objekata donosi dobit 47,50; 65,00 i 52,00 (novč.jedin./godišnje), ako preduzetnik raspolaže sa površinom 22 (ara) i finansijskim sredstvima 330 (novč.jedin.), a planira da uposli najviše 10 i 35 specijalista Radnici 1 i Radnici 2.
Model (0,1) programiranja Nepoznate veličine x1 = Investicije-A x2 = Investicije-B x3 = Investicije-C
x1, x2, x3 = 1 ili 0
PRIMER 13 : PROBLEM 2. Izbor investicija
Matematički model i polazni podaci za softver
Da li je složeno definisati podatke za softver bez matematičkog modela ? Nije !Da li je složeno definisati podatke za softver bez matematičkog modela ? Nije !
68/82
Potrebno angažovnje :Površina = 20 (ara) Finansije = 300,00 (n.j). Radnici 1 = 6Radnici 2 = 25
Polazni podaci
Optimalno rešenje
Maksimalna očekivana ukupna godišnja dobit 117,00 (novč.jedin.)
Investirati u objekat B i C
Slobodno
z = 47,5x1 + 65,0x2 + 52,0x3 max p.o.
Povr.... 10x1 + 8x2 + 12x3 22
Cene.... 150x1 + 170x2 + 130x3 330
Rad1.... 3x1 + 2x2 + 4x3 10
Rad2.... 10x1 + 15x2 + 10x3 35 x1, x2, x3 = 1 ili 0
Sadržaj
69/82
Sadržaj
3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO PROGRAMIRANJE
ZADACI ZA VEŽBANJE
ZADATAK 9. Izbor investicija : PROBLEM 2 : Uvođenje novih investicija
Neka se u ranijem problemu izbora investicija (PRIMER 12, PROBLEM 2) razmatraju još dve nove investicije D i E sa očekivanim vrednostima za godišnje dobiti 70 i 50 (n.j.), cenama 160 i 140 (n.j.), potrebnim površina za izgradnju objekata 15 i 5 (ara) i zahtevima da se angžuje 5 i 2 specijalista Radnici 1, odnosno 7 i 14 specijalista Radnici 2, respektivno. Odrediti optimalno rešenje i uporediti sa rešenjem polaznog problema.
A B C D E Raspoloživo
Površina 10 8 12 15 5 22 (ara)Cene 150 170 130 160 140 330 (n.j.)Radnici-1 3 2 4 5 2 10 (radn.)Radnici-2 10 15 10 7 14 35 (radn.)
Dobit 47,5 65 52 70 50 (n.j.)max
SUGESTIJA: Uvek prikazati podatke sa podesnom tabelom !SUGESTIJA: Uvek prikazati podatke sa podesnom tabelom !
Da
li j
e sl
ože
no
D
a li
je
slo
žen
o
def
inis
ati
po
dat
ke
def
inis
ati
po
dat
ke
za s
oft
ver
bez
za
so
ftve
r b
ez
mat
emat
ičko
g
mat
emat
ičko
g
mo
del
a ?
N
ije
!m
od
ela
?
Nij
e !
70/82
4.4.MEŠOVITO MEŠOVITO
CELOBROJNOCELOBROJNOLINEARNOLINEARNO
PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE Neke promenljive mogu da imaju necelobrojne - realne Neke promenljive mogu da imaju necelobrojne - realne
vrednostivrednosti Za skup promenljivih se zahtevaju celobrojne Za skup promenljivih se zahtevaju celobrojne
vrednosti – proizvoljne celobrojno vrednosti ilivrednosti – proizvoljne celobrojno vrednosti ili//i i ((iliili//ii)) binarne (0,1) vrednosti binarne (0,1) vrednosti
NAPOMENA: Mešovito celobrojno linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”
Sadržaj
71/82
PRIMER 14 : PROBLEM 3. Proizvodni program
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max p.o.M1.... 3,75x1 + 2x2 + 1x3 480M2.... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600M3.... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180S1.... 2x1 + 1x2 + 3x3 200B .... x2 10,5 x1, x2 0
x3 0 i ceo broj
U određenom proizvodnom pogonu moguća je izrada artikala A, B i C. Njihove količine (jedinice mere) izražavaju se necelobrojnim vrednostima za A i B i celim brojevima za C.
Polazni podaci daju se tabelom: gornje granice kapaciteta mašina i donja granica korišćenja sirovine u planskom periodu, dobit po jedinici mere artikala i granice plasmana artikala. Odrediti i obrazložiti optimalni proizvodni program maksimizacije dobiti.
Polazni podaciPolazni podaci
Ma
tem
ati
čki
mo
de
lM
ate
ma
tič
ki m
od
el
72/82
Optimalno rešenje : x1 = 133,50 x2 = 10,50 x3 = 24 z = 7.837,50Potrebno je analizirati optimalno rešenje i sa stanovišta ograničenja.
Da li je složeno definisati podatke za softver bez matemat. modela ?Da li je složeno definisati podatke za softver bez matemat. modela ?
z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max p.o.M1.... 3,75x1 + 2x2 + 1x3 480M2.... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600M3.... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180S1.... 2x1 + 1x2 + 3x3 200B .... x2 10,5 x1, x2 0
x3 0 i ceo brojPolazni podaci za primenu softvera
73/82
Sadržaj
4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJE
ZADACI ZA VEŽBANJE
ZADATAK 10. Proizvodni program : PROBLEM 3 : Novi proizvodi
Neka se za PROBLEM 3, PRIMER 14 zahteva da se ispita kakve promene će nastupiti u optimalnom proizvodnom programu ako se razmatraju i novi artikli D, E i F. Normativi utrošaka mašinskog vremena iznose 5, 0 i 2 za Mašina 1, odnosno 2, 3 i 5 za Mašina 2, dok se Sirovina 1 angažuje u količinama 1, 4 i 1, respektivno za jedinicu artikal D, E i F. Odrediti optimalno rešenje za maksimalnu ukupnu dobit i uporediti sa rešenjem polaznog problema, ako novi artikli ostvaruju dobit 30, 65 i 75 (n.j.) i zahteva se da samo F ima celobronju vrednost.
74/82
5.5.POST-OPTIMALNAPOST-OPTIMALNA
ANALIZAANALIZA Promena koeficijenata funkcije kriterijumaPromena koeficijenata funkcije kriterijuma Promena slobodnih članova – desne strane Promena slobodnih članova – desne strane
ograničenjaograničenja Promena koeficijenata tehnološke matrice – leve Promena koeficijenata tehnološke matrice – leve
strane ograničenjastrane ograničenja Istovremena promena više klasa parametara modela Istovremena promena više klasa parametara modela Izostavljanje promenljive, uvođenje nove promenljiveIzostavljanje promenljive, uvođenje nove promenljive Izstavljanje ograničenja, uvođenje novog ograničenjaIzstavljanje ograničenja, uvođenje novog ograničenja
Sadržaj
Parametarska analiza : Određivanje vrednosti funkcije kriterijuma na skupu dopustivih vrednosti razmatranih elemenata (koeficijenti cj, slobodni članovi bi)
75/82
PRIMER 15 : PROBLEM 1. Izrada obuće
PRIMER 1.(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0Polazno opt. rešenjex1*=60, x2=120, z*=9.900
a) Dobit za model A uveća na 55 (n.j.);b) Dobit za model A uveća za još 5 (n.j.);c) Dobit za model A uveća na 65 i za model B na 65;d) Kapacitet mašine M1 poveća za 100 maš. časova;e) Kapcitet M2 i M3 poveća za po 25%:f) Kapacitet M2 koristi samo 70% usled iznenadnog kvara.
a)(max) z = 55x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
Grafička metoda (korekcija polaznog grafika)
Primena softvera (korekcija polaznog modela)
Dva Dva postupka :postupka :
76/82
x2
x1
Grafičkimodelpolaznog problema i novog problema a)
B(60,120)
C(120,60)
D(150,0)
A(0,150)
(90,105)Nije dopustivo(90,105)Nije dopustivo
a)(max) z = 55x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
c1 x1 c2 x2 z maxA 55 0 60 150 9.000B 55 60 60 120 10.500C 55 120 60 60 10.200D 55 150 60 0 8.250
10.500Ostaje X, ostaje x*, ali veće z**=10.500
XX
77/82
PARAMETARSKA ANALIZAPARAMETARSKA ANALIZA
Zavisnost funkcije kriterijuma z(x) od vrednosti c1 koeficijenta za x1 (dobit za model A), nepoznata x1
Vrednost z*=9.900 za x* sa c1=45 iz polaznog modela
78/82
x2
x1
Grafičkimodelpolaznog problema i novog problema a)
C(120,60)
D(150,0)
A(0,150)
b)(max) z = 60x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
c1 x1 c2 x2 z maxA 60 0 60 150 9.000B 60 60 60 120 10.800C 60 120 60 60 10.800D 60 150 60 0 9.000
10.800
XX
Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC :x1*60,120; x2*=180-x1*
B(60,120)
79/82
Polazni podaci
VIŠESTRUKO OPTIMALNO REŠENJE SA SOFTVEROM
b)(max) z = 60x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
Optimalno rešenje : x1*=120, x2*=60, z*=10.800
Alternativno optimalno rešenje : x1*=60, x2*=120, z*=10.800
Naredba : Results, Obtain Alternate Optimal Results, Obtain Alternate Optimal
80/82
Vektor perturbacije 1, 1
PARAMETARSKA ANALIZAPARAMETARSKA ANALIZA
Zavisnost funkcije kriterijuma z(x) od vrednosti c1 i c2 (koeficijen. za x1 i x2), dobiti za model A i B.
Vrednost z*=9.900 za x* sa b1=480 iz polaznog modela
81/82
x2
x1
Grafičkimodel novog problema sa novim kapacitetom za M1
B(60,120)
C(120,60)A(0,150)
(90,105)Dopustivo(90,105)Dopustivo
d)(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 580 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0
D(150,0)
3x1 + 2x2 580
c1 x1 c2 x2 z maxA 45 0 60 150 9.000B 45 60 60 120 9.900E 45 180 60 0 8.100
9.900
E(180,0)
Menja se X, ali ostaje x*, z*
XX
82/82
Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b1 kapac. za M1
PARAMETARSKA ANALIZAPARAMETARSKA ANALIZA
Vrednost z*=9.900 za x* sa b1=480 iz polaznog modela
83/82
x2
x1
Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim kapacitetima za M2 i M3
B(60,120)
C(120,60)A(0,150)
(90,105)Nije dopustivo(90,105)Nije dopustivo
e)(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 1,25 M3 1x1 + 1x2 180 1,25 x1, x2 0
D(150,0)
SUGESTIJA : Konstruisati prave za M1 i M2, odrediti X i ispitati funkciju cilja z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.
84/82
d)(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 1,25 M3 1x1 + 1x2 180 1,25 x1, x2 0
Polazno opt. rešenje : x1*=60, x2=120, z*=9.900Veći kapaciteti za 25% kod M1 i M2 daju znatno bolje rešenje : x1*=52,50; x2=161,25; z*=12.037,50
Odrediti celobrona rešenja za brojeve pari modela obuće A i B
Slobodni kapaciteti samo kod M3
Primena softveraPrimena softvera
85/82
Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b2 i b3
kapaciteta za M2 i M3.
PARAMETARSKA ANALIZAPARAMETARSKA ANALIZA
Vrednost z*=9.900 za x* sa b2=600 i
b3=180 iz polaznog modela
Vektor perturbacije 0, 1, 1
86/82
x2
x1
B(60,120)
C(120,60)
(90,105)Nije dopustivo(90,105)Nije dopustivo
f)(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 0,70 x1, x2 0
D(150,0)
SUGESTIJA : Konstruisati prave za M1 i M2, odrediti X i ispitati funkciju cilja z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.
Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim kapacitetom za M3
A(0,150)
87/82
Polazno opt. rešenje : x1*=60, x2=120, z*=9.900Manji kapacitet za 70% kod M3 daje znatno lošije rešenje : x1*=0; x2=126;, z*=7.560
f)(max) z = 45x1 + 60x2
p.o.
M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 0,70 x1, x2 0
Slobodni kapaciteti kod M1 i M2
Izgraditi samo model B ili postaviti donju granicu za model A !
Primena softveraPrimena softvera
88/82
Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b3 kapaciteta za M3
PARAMETARSKA ANALIZAPARAMETARSKA ANALIZA
Vrednost z*=9.900 za x* sa b3=180 iz polaznog modela
89/82
PRIMER 16 : ZADATAK 3. Proizvodnja cigareta
90/82
PRIMER 17 : ZADATAK 1. Izrada konfekcije
91/82
5. POST-OPTIMALNA ANALIZA
ZADACI ZA VEŽBANJE
ZADATAK 11.
92/82
93/82
ZADATAKA 12.
94/82
KRAJ PREZENTACIJEKRAJ PREZENTACIJE