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Exercícios Resolvidos de Cálculo29 de março de 2015
Solução de exercícios do Capítulo 11 Seção 1 do livro cálculo vo-lume 1 de James Stewart. Numerações correspondentes a 7 edição.O exercicios não mudam muito de edição para edição, basta procuraratentamente.Capítulo 11 - Sequências
(13) {1, 13 , 15 , 17 , 19 , ...}. Pode-se observar que o denominador do n-ésimo termo é o n-ésimo inteiro ímpar, isto éan =
12n− 1 .(00) Não tem equivalente na 7ł edição, mas é semelhante ao 16.Temos a sequência {2, 7, 12, 17, ...}. Cada termo é igual ao anteriorsomado de 5, assim:
an = a1 + 5(n− 1)= 2 + 5(n− 1)= 5n− 3.
(00) {1,− 23 , 49 ,− 827 , ...}. Neste caso, cada termo é obtido multiplicandoo termo anterior por − 23 . Como a1 = 1, temos:an = (−23 )n−1.
(00) Os primeiros termos sequência (an)n≥1, onde an = n2n+1 são13 , 25 , 37 , 49 , 511 , 613 . O que nos faz pensar que o termos desta sequên-cia estão se aproximando de 12 . De fato:limn→∞
n2n+ 1 = limn→∞
12 + 1/n
=12 + limn→∞ 1
n
=12
(23) Como an = 1− (0.2)n, temos:limn→∞
an = limn→∞
1− (0.2)n= lim
n→∞1− 210n
= 1− 0 = 1.
exercícios resolvidos de cálculo 2(25) Temos an = 3+5n2
n+n2 , segue que:limn→∞
3 + 5n2n+ n2 = lim
n→∞(3 + 5n2)/n2(n+ n2)/n2
= limn→∞
5 + 3/n21 + 1/n2=
5 + 01 + 0 .(27) É conhecido, lembre-se dos cursos de Cálculo Diferencial, quea função exponencial é contínua. Podemos então calcular o limitecom os seguintes passos:
limn→∞
an = limn→∞
e1/n
= e(limn→∞ 1/n)
= e0 = 1.(29) Novamente usaremos a contínuidade de uma das funções envol-vidas no limite. Observamos, antecipadamente que:
limn→∞
bn = limn→∞2nπ1 + 8n
= limn→∞(2nπ)/n
(1 + 8n)/n= limn→∞
2π1/n+ 8 =2π8
=π4 .
Como a função tan é contínua em π4 , temoslimn→∞
tan( 2nπ1 + 8n)
= tan( limn→∞
2nπ1 + 8n)
= tan(π4 ) = 1.(31) Queremos calcular lim
n→∞n2
√n3 + 4n .
Temos então,an =
n2√n3 + 4n =
n2/√n3
√n3 + 4n/
√n3
=
√n1 + 4/n2
exercícios resolvidos de cálculo 3Como an → ∞ quando n → ∞ temos que limn→∞√n = ∞ elimn→∞√1 + 4/n2 = 1. Portanto an é divergente.
(33) Vamos verificar se a sequência absolutamente convergente.Temos então:limn→∞
|an| = limn→∞
|(−1)n|2√n= lim
n→∞12√n
=12 · (0) = 0.
Assim podemos concluir que a série é convergente.(35) Queremos verificar se a sequência an = cos(n2 ) é conver-gente. Basta observar que se a função cosseno é periódica e que asequência assumirá valores entre 1 é −1 mas não se aproximam denenhum número real.
Figura 1: Valores assumidos pelafunção cosseno em alguns valoresinteiros.
(37) Temos an = (2n−1)!(2n+1)! ; segue que:
limn→∞
(2n− 1)!(2n+ 1)! = lim
n→∞(2n− 1)!
(2n+ 1)(2n)(2n− 1)!= lim
n→∞1
(2n+ 1)(2n)= 0.
(39) Agora an = en+e−ne2n−1 . Para mostrar que a sequência é conver-gente, proscedemos da seguinte maneira:
limn→∞
en + e−n
e2n − 1 · e−ne−n = limn→∞
1 + e−2nen − e−n
= 0,pois, quando n→∞ temos 1 + e−2n → 1 e en − e−n →∞.
exercícios resolvidos de cálculo 4(41) Podemos escrever an = n2e−n = n2
en . Daí, usando a Regra deL’Hospital, duas vezes concecutivas, obtemos:
limx→∞
x2ex = lim
x→∞2xex
= limx→∞
2ex
= 0.Segue que limn→∞ n2e−n = 0.
Referências