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Engenharia Civil – Campus Estoril
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Problemas contextualizados – Professor: Luiz Carlos Fernandes
Questão 1) As grandes cidades brasileiras, principalmente as capitais, têm sofrido com o elevado
número de veículos circulando nas ruas. Se por um lado tivemos um aumento considerável na frota
de veículos, o planejamento urbano e os investimentos em infraestrutura não acompanharam o
crescimento da frota.
A ponte Rio-Niterói, também conhecida como Ponte Presidente Costa e Silva, inaugurada em
1974, se estende ao longo da Bahia da Guanabara ligando dois importantes centros urbanos do
estado. Com um comprimento de 13,29 km, a ponte liga a cidade do Rio de Janeiro ao município
de Niterói.
Fonte: CCR Pontes – disponível
Fonte: CCR Pontes – disponível em: http://www.ponte.com.br/
Com um fluxo de quase 200 mil veículos/dia a própria ponte já se encontra em vias de ser um
gargalo no trânsito da cidade.
Uma solução para evitar esse gargalo no trânsito seria uma saída/entrada alternativa para a ponte
Rio-Niterói, partindo da Via Elevada da Perimetral (ponto C no mapa) que, pela menor distância
possível, ligasse o continente à ponte. Suponha um sistema coordenado referenciado à figura acima
de tal forma que tenhamos 𝐴 −12,1 , 𝐵 0,0 e 𝐶 −8, −4 , com escala em 𝑘𝑚. Suponha que a
ponte liga os pontos 𝐴 e 𝐵 por uma reta.
O comprimento da nova ponte que, partindo do ponto 𝐶, ligasse o continente à ponte Rio-Niterói é,
em 𝑘𝑚, aproximadamente:
a) 3,89
b) 4,01
c) 4,65
d) 5,02
e) 5,19 Questão 2) A figura representa um galpão. Os números representam
as dimensões do galpão. Dadas as alternativas abaixo:
I - A equação do plano BCDG é 𝑦 + 12 = 0
II -BCDG ┴ EOAF
III – BCDG // ABGF
IV – A distância do ponto E ao plano BCDG é 12 .
É correto apenas o que se afirma em:
a) I e IV.
b) IV.
c) I
d) I, III, IV
e) II e III.
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Questão 3)
Observe atentamente a figura. Ela representa um terreno após trabalhos de terraplenagem
Descrevendo matematicamente podemos afirmar que OABC é um quadrado de lado 25m, sendo O a origem
do sistema cartesiano, A um ponto do eixo x e C é um ponto do eixo y. Os pontos D, E, F, G, H e I estão em
uma mesma altura e são as extremidades de um platô. O ponto F tem coordenadas (25 , -15 , 20) e o ponto
D tem coordenadas (-10 , 25 , 20). As retas AO, FE e GH são paralelas, como também são paralelas as retas
OC, DE e IH.
Considerando as ideias do texto e utilizando o metro como unidade de medida nessa questão, avalie as
afirmações a seguir.
I. As coordenadas do ponto E são (-15 , -10 , 20)
II. A distância entre o ponto E e a origem é um pouco maior que 26,9m
III. O vetor (2 , 0 , 1) é perpendicular ao paredão OCDE
IV. Os paredões OAFE e OCDE são perpendiculares.
É correto apenas o que se afirma em
a) II
b) III
c) II e III
d) I e IV
e) I e II
Questão 4) Marcos trabalha no Aeroporto Internacional do Rio de Janeiro. Sua função é controlar o tráfico
aéreo na região próxima ao aeroporto onde, devido ao grande número de decolagens e aterrissagens, o risco
de colisão é muito maior. Durante um único turno de trabalho, Marcos deve analisar centenas de trajetórias
percorridas pelos aeroplanos que aparecem na tela do radar, à sua frente. Se os cursos de dois aviões se
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aproximam perigosamente, Marcos deve avisar a um deles para alterar a sua rota. Para desempenhar sua
tarefa com sucesso, Marcos necessita conhecer com precisão, a rota percorrida por cada aeroplano e o
instante em que os aviões passam por cada ponto deste percurso. Analisando sua tela de trabalho, Marcos
percebe que o avião A está seguindo uma rota que é a reta de equação x = −12 + 5t e y = −30 + 8t;
enquanto o avião B segue outra rota reta, de equação x = 2 − t e y = −10 +2t. Quais são as coordenadas do
ponto de encontro das rotas desses aviões ?
a) ( 4,67 ; -3,32 )
b) ( 3,34 ; -4,67 )
c) ( 1,33 ; -8,67 )
d) ( -4,67; 3,32 )
e) ( -3,34; 4,67 )
Questão 5) Um bairro de uma cidade foi planejado em
uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares,
delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de
coordenadas cartesianas ao lado, esse bairro localiza-se no
segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em
quilômetros. A reta de equação 𝑦 = 𝑥 + 4 representa o
planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo
que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No
ponto 𝑃 = (−5,5), localiza-se um hospital público. A
comunidade solicitou ao comitê de planejamento que
fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua
distância ao hospital medida em linha reta, não fosse
maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê
argumentou que isso seria automaticamente satisfeito,
pois já estava previsto uma estação cuja saída fica no
ponto:
a) −5,0 b) (-3,2)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2,6)
Questão 6) Considere os planos 𝜋1: 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 e 𝜋2: 𝑘𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 + 7 = 0. O valor de k para
que 𝜋1 seja paralelo a 𝜋2 será:
a) k = 1/4.
b) k = 3/4.
c) k = 12.
d) Os planos não podem ser paralelos.
e) k = 2/5
Questão 7) O detonador de uma bomba está localizado no ponto P = (2, 1, 2). Para provocar a explosão,
acende-se a extremidade A = (2, 1, 1) de uma haste combustível paralela ao vetor )2,0,1(u
cuja
extremidade B toca o ponto inicial de um rastilho de pólvora retilíneo que termina no detonador. Sabendo
que o fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no rastilho e que este está contido no plano
022: zyx , o intervalo de tempo (em segundos) entre o início do processo e a explosão é de
aproximadamente:
a) 2 e 3
b) 3 e 4
c) 4 e 5
d) 5 e 6
e) 6 e 7
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Questão 8) Dois apaixonados por aeromodelismo
observam, em uma apresentação, as manobras
executadas por dois modelos A e B diferentes.
Considere que em um determinado período os
movimentos sejam retilíneos e uniformes. Além
disso, sabe-se que no instante 1t a aeronave B
ocupa a posição P = (1, 0, -2) e no instante
posterior 2t ela já se encontra em Q = (-2, -3, -5).
Além disso, a aeronave A, tem um movimento
descrito por )4,2,1()0,0,0( tX .
Analisando essa situação é correto afirmar que:
a) As trajetórias seguidas por A e B são reversas e, por esta razão, não há perigo de colisão.
b) As trajetórias seguidas por A e B são paralelas e, por esta razão, não há perigo de colisão.
c) As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes, mas não há perigo de colisão, já que as
aeronaves não passam juntas pelo ponto de interseção.
d) As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes e há colisão em C = (-1, -2, -4).
e) As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes e há colisão em D = (-2, -4, -8).
Questão 9) A figura abaixo mostra a rota de dois aviões.
Da sala de controle do espaço aéreo de um aeroporto observam-se dois aviões. O primeiro avião está no
ponto A = (3 , -5 , 1) e segue a direção do vetor 𝑢 = (0,4 , 1,4 , 0,6). O segundo avião está no ponto B = (-4 ,
-4 , -2), seguindo a direção do vetor 𝑣 = (0,45 , 0,3 , 0,3). A unidade de medida usada é o quilômetro.
Nesse momento um alarme soa na sala do controle aéreo, indicando que esses aviões estão em rota de
colisão. Na realidade, se os aviões mantiverem a direção em que estão voando, eles poderão colidir no ponto
C. Determine as coordenadas do ponto C.
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Questão 10) Um trecho de uma estrada de rodagem, contido em uma planície, passa sob um viaduto. Um
levantamento topográfico mostrou que, com boa aproximação, a planície pode ser representada pelo plano
0202045: zyx e o ponto mais baixo do viaduto pela reta )1,5,0()4,3,3(: Xr . A
unidade de medida adotada é o metro. Qual é a distância entre a estrada e o ponto mais baixo do viaduto ?
Questão 11) Observe a figura abaixo
Ela representa dois terrenos, um em formato triangular e outro na forma quadrangular.Considere que cada
unidade representada está expressa em quilômetros.
Uma empresa deve construir um cabo de fibra ótica que atravessará os terrenos, unindo os pontos
representados por C e D. Para isso terá que pagar R$ 2,50 por cada metro de cabo construído entre os pontos
A e B ao proprietário desse terreno, a título de autorização de construção.
Qual o valor total a ser pago nessa autorização de construção?