Download - Livro Cálculo 1 - Completo
COPYRIGHT © 2013
GRUPO ĂNIMA EDUCAÇÃO
Todos os direitos reservados ao:
Grupo Ănima Educação
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610/98. Nenhuma parte deste livro, sem prévia autorização por escrito da detentora dos direitos, poderá ser reproduzida ou transmitida, sejam quais
forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravações ou quaisquer outros.
EdiçãoGrupo Ănima Educação
Coordenação GeralAnderson Ceolin Soares
Coordenação PedagógicaCláudia Silveira da Cunha
Coordenação de Produção de MateriaisPatrícia Ferreira Alves
Designer InstrucionalCarla Cristini Justino de Oliveira
Carolina Coelis Gomides Débora Cristina Cordeiro Campos Leal Ediane Cardoso de Araujo Fernandes
Kênia da Silva Cunha CajahibaLaura Boaventura de MeloNaiara Xavier dos Santos
DiagramaçãoDaniele Bagno Tondato
Gleidson Franco
Capa e IlustraçãoAlexandre de Souza PazLeonardo Antonio Aguiar
RevisãoMariana Elizabeth da Silva Oliveira
Sandra Rocha Ribeiro
Normalização BibliográficaPatrícia Bárbara de Paula
CONHEÇA O AUTOR
Jonas Lachini é licenciado em Matemática,
com especialização em Metodologia de
Ensino e mestrado em Educação. Trabalha
como professor há mais de 40 anos, tendo
lecionado nos Ensinos Fundamental,
Médio, de Graduação e Pós-Graduação.
Atualmente, é professor da PUC Minas.
Nessa universidade, leciona Cálculo para
cursos presenciais de Engenharia.
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Você está começando um programa de
estudos de Cálculo Diferencial e Integral.
É como um circuito que você deverá
percorrer para ir incorporando algumas
ideias que, embora antigas, estão na
base da tecnologia atual. A tarefa de
um profissional de qualquer área é
transformar ciência em tecnologia, ou
seja, transformar conhecimento em algo
útil para o desenvolvimento humano e
sustentado da sociedade.
Cada vez que for cumprir uma etapa deste
programa, lembre-se de que está fazendo
um grande investimento em você mesmo,
de longe seu maior capital! Lembre-se
também de que é você que precisará
estudar Cálculo; ninguém poderá fazer isso
por você. Pense em uma aula de ginástica:
você é quem faz a aula; o professor orienta!
Esse programa foi estruturado para ajudá-
lo a estudar; não é um programa fácil
porque não existem caminhos fáceis para
se trabalhar com o conhecimento!
As páginas do livro, do caderno ou da
internet podem servir de lembrete: a
palavra página vem de pagus, termo latino
utilizado para indicar o pedaço de terra,
cercado e cultivado por alguém ou por um
grupo de pessoas, com vistas a garantir
a própria subsistência. Uma página é o
terreno que você precisará cultivar para
garantir seu desenvolvimento como
profissional capaz de intervir no mundo de
maneira inteligente.
Estude com particular atenção os
exemplos. Use lápis e papel, sublinhe
partes do texto que julgar importantes,
assim como alguém que está cavando um
terreno ou examinando os detalhes de um
objeto. Ler é sinônimo de investigar!
Que você tenha pleno sucesso!
UNIDADE 1 002Funções e Modelos 003O que é uma função 004A função é uma fábrica de pares ordenados 005Várias maneiras de representar uma função 006
UNIDADE 2 014Funções lineares 015Como crescem os adolescentes 016O gráfico do crescimento de um adolescente 017Como achar uma fórmula para o crescimento de um adolescente 017A equação de uma reta 018Famílias de funções lineares 020
UNIDADE 3 027Funções quadráticas 028Construindo quadrados com varetas 029Viajando com uma laranja 030A fórmula e o gráfico de uma função quadrática 030As raízes ou os zeros de uma função quadrática 031O gráfico da função quadrática 032
UNIDADE 4 038Funções potências e funções polinomiais 039Funções potências 040Funções polinomiais 047
5678
UNIDADE 5 058Funções racionais 059Funções racionais 060Novas funções obtidas a partir de outras funções 064Noções sobre derivadas 067
UNIDADE 6 069Taxa de variação constante 070Crescimento e decrescimento de funções 071Taxa de variação constante 072
UNIDADE 7 078Derivada em um ponto 079Taxa de variação variável 080Taxa de variação média 081Derivada em um ponto ou taxa de variação instantânea 085Exercícios 090
UNIDADE 8 094Cálculo da Derivada 095Velocidade média e velocidade instantânea 096Taxa de variação média e taxa de variação instantânea 097A função derivada 101Duas derivada 103
REFERÊNCIAS 106
unidade 1007
CÁLCULO
FUNÇÕES E MODELOS
A Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer isso
é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos.
Durante todo o estudo de Cálculo, você estará lidando com funções. Vale a pena
saber trabalhar com elas!
As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos mesmo
dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da humanidade, está
todo voltado para o estudo de funções. Durante este curso de Cálculo, lidaremos o tempo
todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a continuidade de uma
função, a derivada e a antiderivada de uma função.
Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja nenhuma
importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de uma
função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e resolver,
de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a chegada
das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou a ter
menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e
como aplicá-los.
Nessa primeira parte, constituída de cinco capítulos, estudaremos o comportamento das
funções algébricas; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e textos descritivos, que
unidade 1008
CÁLCULO
são as maneiras mais comuns de representar funções. Embora esses capítulos abranjam
conteúdos que você certamente já conhece, é bom que os estude de modo a melhorar a
percepção a respeito das funções: isso é fundamental para fazer um bom curso de Cálculo.
O QUE É UMA FUNÇÃO
Na linguagem do dia a dia, dizemos que
o preço de uma corrida de táxi está em
função da distância percorrida. Nesse
caso, a palavra função expressa a ideia de
que o conhecimento de um fato ou de um
valor (a distância percorrida) nos diz algo a
respeito de outro fato ou de outro valor (o
preço de uma corrida).
Em Matemática, estudamos os aspectos
quantitativos de um fenômeno; são
aspectos que podem ser medidos e
expressos por meio de números. Este é um
dos motivos pelos quais as funções mais
importantes, em Matemática, são aquelas
em que o conhecimento de um número
nos fornece informações sobre outro
número. Por exemplo, se conhecemos o
comprimento do lado de um quadrado,
podemos calcular a medida da área desse
quadrado; se soubermos a velocidade
de um carro, podemos estimar quanto
tempo levará para percorrer determinada
distância.
Muitas funções são utilizadas para
descrever fenômenos físicos ou situações
que acontecem em diversos campos da
ciência. Essas funções são chamadas
de modelos matemáticos porque servem
para representar com bastante precisão
o comportamento das grandezas que
interferem numa situação ou fenômeno.
Por meio de um exemplo, vamos estudar
o que é uma função. Descreveremos
também o que é o domínio e o que vem a
ser a variação ou a imagem de uma função.
Tente estudar com detalhes as situações
apresentadas neste texto; essa é uma
oportunidade para você aprender a ler
tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade
de descrever situações e, sobretudo,
desenvolver sua capacidade de pensar,
que aqui é vista como a habilidade de
estabelecer relações.
Exemplo 1
De 10 a 20 de janeiro de 2010, foram
registradas em certa cidade as seguintes
temperaturas máximas:
unidade 1009
CÁLCULO
TABELA 1
Data
Temperatura (ºC)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28
Na Tabela 1, existe uma relação entre as
datas e as temperaturas máximas. A cada
dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada
uma única temperatura máxima. Podemos
observar que, em um mesmo dia, ocorre
apenas uma temperatura máxima.
Este é um exemplo de função. Embora
não exista fórmula para a temperatura
(senão não precisaríamos dos institutos
de meteorologia), a temperatura satisfaz
a definição de função: cada dia t tem uma
única temperatura máxima m associada a
ele.
Uma grandeza m é uma função de outra
grandeza t se, a cada valor de t, estiver
associado um único valor de m. Quando
isso acontece, dizemos que m é o valor da
função ou a variável dependente, e que t é
a variável independente ou argumento da
função. Usando símbolos matemáticos,
escrevemos: m = ƒ(t) , em que ƒ é o nome da
função.
O domínio de uma função é o conjunto dos
possíveis valores da variável independente.
Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos
dias do período de 10 a 20 de janeiro de 2010.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em linguagem matemática, escrevemos:
D (ƒ) = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A variação ou a imagem de uma função
é o conjunto dos valores efetivamente
assumidos pela variável dependente.
Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos
valores da temperatura máxima registrados
no período de 10 a 20 de janeiro de 2010.
Em linguagem matemática, escrevemos:
Im (ƒ) = {22, 23, 24, 25, 26, 28}
A FUNÇÃO É UMA FÁBRICA DE PARES ORDENADOS
Podemos considerar uma função como
uma máquina que fabrica pares ordenados
de números ou de elementos. No exemplo
da Tabela 1, quando colocamos nessa
máquina t = 10 , obtemos m = ƒ(10) = 23;
formamos, assim, o par ordenado (10,
23). Com base nessa ideia, a função é
um conjunto de pares ordenados e, nesse
exemplo da tabela, temos:
F = {(10,23), (11,25), (12,25), (13,26), (14,
28), (15,25), (16,22), (17,24), (18,26), (19,28),
(20,28)}
A tecla ou x de uma calculadora é um
exemplo de função como máquina de fazer
unidade 1010
CÁLCULO
pares ordenados: quando pressionamos a
tecla ou x e damos o input 16, aparecerá
no visor o output 4. Assim, a calculadora
forma o par ordenado (16, 4), ou seja, (16,
16 ). De modo geral, a máquina x fabrica
pares ordenados (x, x ). Na notação
funcional, escrevemos: ƒ(x) = x .
Já tivemos oportunidade de observar que
este operador ou x só pode ser usado
para x ≥ 0. Assim, se digitarmos -9 e, na
sequência, acionarmos o operador ou x ,
a calculadora vai escrever error , indicando
que saímos do domínio da função.
O processo de formar pares ordenados
pode ser representado também por meio de
um diagrama de flechas, como na Figura 1.
1
5
7
2
8
16
FIGURA 1
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio
da função: D(ƒ) = {1,5,7} . De cada elemento
de A sai uma única flecha; isso significa
que um elemento de A está associado a um
único elemento de B. Assim, por exemplo,
ƒ(5) = 8 . Observe também que nenhum
elemento de A é desprovido de flecha.
O conjunto B é o contradomínio da função:
CD(ƒ) = {2, 8, 16}. A um mesmo elemento
de B pode chegar mais de uma flecha; isso
significa que um elemento de B pode ser
imagem de mais de um elemento de A. O
conjunto B pode ter elementos aos quais
não chega nenhuma seta, ou seja, pode
existir elemento de B que não seja imagem
de nenhum elemento de A. O conjunto
dos elementos de B aos quais chega pelo
menos uma flecha é a imagem da função.
No exemplo, temos: Im(ƒ) = {2, 8}. Observe
que sempre o conjunto-imagem é um
subconjunto de B.
De modo geral, o número de elementos
ou de pares ordenados de uma função é
muito grande, o que torna inviável escrever
todos eles; devido a isso, utilizam-se
duas outras formas de representação: os
gráficos e as fórmulas. As fórmulas usadas
para representar funções são também
chamadas de equações, leis de associação
ou leis de formação.
VÁRIAS MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO
As funções podem ser representadas de
maneiras diferentes. Assim, a função que
fornece as temperaturas máximas em
função do tempo, que foi representada
por meio da Tabela 1, também pode ser
unidade 1011
CÁLCULO
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse gráfico, estão representados os pares
ordenados que constituem a função. O gráfico
é formado por pontos separados e cada um
deles representa um elemento da função: F =
{(10, 23), (11,25), (12, 25), (13, 26), (14, 28), (15,
25), (16, 22), (17,24), (18,26), (19,28), (20,28)}
O primeiro termo de cada um desses pares
é medido sobre o eixo horizontal onde
normalmente são colocados os valores do
domínio da função; o segundo termo de
cada um desses pares é medido sobre o eixo
vertical, onde normalmente são colocados os
valores do contradomínio da função.
Nos exemplos seguintes, vamos representar
funções por meio de uma tabela, de um
gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal.
São essas as quatro maneiras mais usuais
de se representar uma função. Em geral,
existe a maneira mais adequada para se
representar uma função, dependendo do uso
que se precisa fazer dela. Assim, por exemplo,
o padrão dos batimentos cardíacos de uma
representada pelo Gráfico 1.
GRÁFICO 1
pessoa é mais facilmente observado em
um eletrocardiograma, que é o gráfico de
uma função, e a distribuição de renda no
Brasil fica melhor evidenciada por meio de
um gráfico em forma de pizza.
Exemplo 2
Quando uma bola é chutada para cima, a
altura da bola depende do tempo decorrido
desde o momento do chute.
a) Esse fato pode ser representado por
meio da seguinte tabela de valores.
TABELA 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Tempo t (em segundos)
Altura ƒ (t) (em metros)
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0
Na Tabela 2, estão indicados sete dentre os
infinitos pares ordenados que constituem
a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5;
11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e (3,0; 0). Os
elementos da primeira linha da tabela são
do domínio da função; os elementos da
segunda linha são do contradomínio da
função.
A representação de uma função por meio
de uma tabela é muito utilizada para indicar
as medidas obtidas em experimentos
científicos.
b) Podemos, também, usar um gráfico para
representar essa função.
unidade 1012
CÁLCULO
Fonte: Elaborada pelo autor.
GRÁFICO 2
Para construir o Gráfico 2, foram plotados
em um sistema de coordenadas cartesianas
três dos pares ordenados da tabela: (0, 0),
(1,5; 10,25) e (3,0; 0). A seguir, esses pontos
foram ligados por meio de uma curva
contínua, traçada sem tirar o lápis do papel
(ou mantendo o mouse pressionado). Fazer
um traço contínuo sugere que, para qualquer
instante considerado entre 0 e 3 segundos,
existe uma altura correspondente para a bola
chutada. O traço contínuo é uma invenção
engenhosa da matemática para representar
fenômenos que ocorrem, aparentemente,
sem dar saltos.
c) Para efeito de manipulação algébrica e de
análise matemática, essa função pode ser
representada pela fórmula.
ƒ (t) = - 5t2 + 15t
A descrição de uma função por meio de uma
fórmula é a mais resumida delas; na fórmula,
utilizamos uma linguagem codificada.
Quando escrevemos ƒ(t) = 5t2 + 15t, estamos
escrevendo uma frase completa por meio de
símbolos matemáticos: o primeiro membro
da equação, ƒ(t), é o sujeito da frase; o
sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo e
o segundo membro da equação, - 5t2 + 15t,
é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma
função é conseguida por meio de muitas
experimentações feitas com o fenômeno
físico que se pretende descrever ou modelar.
d) Além disso, uma função pode ser
representada por meio de descrição verbal.
O fenômeno apreciado nesse exemplo pode
ser descrito verbalmente, como feito a
seguir:
“Quando uma bola é chutada para o alto, a
sua altura em relação ao solo é a função
do tempo decorrido desde o momento do
chute, ou o instante inicial, até o momento
em que toca o solo, ou o instante final. No
caso em estudo, a altura da bola no instante
t = 0 é zero, no instante t = 1,5 é 11,25 e no
instante t = 3 volta a ser zero.”
Das quatro representações propostas para o
exemplo, as de mais fácil leitura são a tabela
e o gráfico. A de mais fácil manipulação
computacional é a fórmula. A descrição
verbal de uma função nem sempre consegue
explicitar todos os detalhes de um fenômeno;
existem situações que só conseguimos
descrever por meio de gráficos, tabelas
ou de fórmulas; isso significa que existem
unidade 1013
CÁLCULO
situações que só podem ser descritas por
meio da linguagem matemática.
Você pode entender melhor esta última
afirmativa se pensar que o computador é
um artefato matemático! Nos programas
para computadores, substituem-se
cores, sons e palavras por sequências
de números formados pelos algarismos
0 e 1; o computador compara e ordena
essas sequências numéricas de acordo
com o programado. Se é verdade que um
gesto vale mais que mil palavras, também é
verdade que uma equação matemática vale
por milhares de palavras.
Exemplo 3
Considere um tanque com 1200l de
capacidade e uma torneira que despeja
nele 40l de água por minuto. O volume de
água despejada é função do tempo em que
a torneira ficar aberta.
a) O fenômeno de enchimento do tanque
em função do tempo pode ser descrito por
meio da tabela a seguir:
TABELA 3
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Tempo t (em minutos)
Volume ѵ (em litros)
0 1 2 3 ... 29 30
0 40 80 120 ... 1160 1200
b) Por meio de um gráfico, a função fica
assim descrita:
c) Por meio de uma fórmula, podemos
escrever:
ƒ(t) = 40t, 0 ≤ t ≤ 30
As variáveis ѵ e t se relacionam pela
igualdade ѵ = 40t, com 0 ≤ t ≤ 30 . Para cada
valor atribuído à variável t, corresponde um
único valor para a variável ѵ. A relação ѵ=40t
é a lei de associação ou a lei de formação
da função.
d) Uma possível descrição verbal dessa
função é a seguinte:
O volume de água despejado no tanque é
função do tempo decorrido desde o instante
em que a torneira foi aberta. A torneira é
aberta quando o tanque está vazio e
despeja no tanque 40 litros a cada minuto.
Como a capacidade do tanque é de 1200
litros, serão necessários 30 minutos para
que essa torneira encha completamente o
tanque.
GRÁFICO 3
unidade 1014
CÁLCULO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos exercícios propostos ou das questões de atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Um radar eletrônico flagra certo automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de Belo
Horizonte, às duas horas da manhã. Considerando que o carro se manteve nessa mesma
velocidade por 1 minuto:
a) construa uma tabela que relacione a distância percorrida por ele em função do tempo
no intervalo entre 02:00 e 2:01;
b) escreva uma fórmula que expresse a relação entre a distância percorrida (em metros)
e o tempo (em segundos) para o carro nesse intervalo de tempo;
c) esboce o gráfico da função obtida no item anterior.
Solução
a) Começamos por expressar a velocidade em metros por segundo
Atribuindo valores ao tempo t e à distância D, temos a tabela a seguir:
==1h
108 km3600 s
108000 m 30 m/s
unidade 1015
CÁLCULO
TABELA 4
Tempo (s)
Distância (m)
0 10 20 30 40 50 60
0 300 600 900 1200 1600 1800
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
b) Considerando que a cada segundo o carro percorre 30m, temos a seguinte equação
que relaciona a distância D com cada instante t do tempo:
D (t) = 30t, 0 ≤ t ≤ 60
c) O gráfico da função foi feito no winplot:
GRÁFICO 4
2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por hora, mas possui uma promoção em que o cliente
pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual passa a pagar apenas R$1,00 por hora.
Com base nessas informações:
a) escreva uma equação para cada situação de pagamento;
b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas;
c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser vantajoso comprar o
selo promocional.
unidade 1016
CÁLCULO
Solução
a) Sendo f a função para situação normal e t o tempo em horas, temos:
ƒ(t) = 7t
Sendo g a função, quando se usa o selo, e t o tempo em horas, temos:
g(t) = 60 + t
b) O Gráfico 5 representa as duas funções.
GRÁFICO 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) Com base no gráfico, podemos concluir que, a partir da décima hora de uso do
estacionamento, comprar o selo promocional se torna mais vantajoso.
3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 12m3 . O comprimento da base é o dobro da
largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das
laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da
largura da base.
Solução
Consideremos a caixa representada no diagrama ao lado, na qual a é a medida da largura da
base, 2a o comprimento e h a altura.
a 2a
h
unidade 1017
CÁLCULO
Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por:
C = (2a • a) 10 + 2a • h • 8 + 2 • 2a • h • 8 → C = 20a2 + 48ah
Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é ѵ = 2a • a • h. Fazendo ѵ = 12,
obtemos 12 = 2a2h → h = 6
Substituindo este valor de h na equação do custo total, C = 20a2 + 48ah, temos:
C = 20a2 + 48ah • → C(a) = 20a2 + a
288
Portanto, a equação C(a) = 20a2 + a
288 expressa o custo C da caixa em função da largura a de
sua base.
d) O gráfico da função foi feito no winplot:
GRÁFICO 6
a2
a26
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 2019
CÁLCULO
Neste capítulo, estudaremos as funções lineares. Elas aparecem com bastante
frequência no dia a dia, como, por exemplo, no cálculo do custo de uma corrida de
táxi, que é proporcional à distância percorrida, e na conta de telefone, cujo valor é
proporcional ao tempo utilizado nas ligações.
As funções lineares são usadas para descrever situações nas quais o crescimento ou
o decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável
independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável
independente provoca uma variação proporcional na variável dependente.
FUNÇÕES LINEARES
unidade 2020
CÁLCULO
COMO CRESCEM OS ADOLESCENTES
Em geral, as meninas crescem de 6 a 8
centímetros por ano entre os 12 e os 16
anos, enquanto os meninos crescem de 8
a 10 centímetros por ano, entre os 13 e os
18 anos. A Tabela 5 mostra a evolução da
altura de certo adolescente dos treze aos
dezoito anos.
TABELA 5
Idade
Altura (em centímetros)
13 14 15 16 17 18
131 140 149 158 167 176
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como, a cada ano, a altura aumenta 9cm,
podemos afirmar que a altura desse
adolescente é uma função linear de sua
idade, na fase dos 13 aos 18 anos.
A fração = 9114 - 13
140 - 131 indica que a altura
aumenta 9cm quando a idade aumenta 1
ano. Essa fração é chamada de taxa de
variação da altura em relação ao tempo.
GRÁFICO 6
Em Matemática, costuma-se representar a
taxa de variação de uma função por meio
da fração ∆x∆y
, em que o numerador ∆y
representa o incremento ou a variação da
variável dependente e o denominador ∆x
representa o incremento ou a variação da
variável independente. O símbolo ∆ é a letra
delta do alfabeto grego, correspondente
ao D do alfabeto latino, sendo usada para
indicar a diferença entre dois valores
da variável que o sucede; ∆y (leia-se
“delta y”), por exemplo, indica a diferença
y1 - y0; pode-se, pois, escrever: ∆y = y1 - y0 ou
∆y = ƒ(x1) - ƒ(x0). Incremento significa uma
variação que pode ser para mais ou para
menos; existe também o caso em que o
incremento da variável dependente é nulo,
situação característica de uma função
constante.
Na função linear, a taxa de variação é
sempre a mesma, quaisquer que sejam os
pontos ou pares ordenados considerados.
No exemplo que estamos estudando,
indicando a altura pela letra h e a idade
pela letra t, podemos escrever:
=149 - 13115 - 13∆t
∆h ==2
1819
A taxa de variação é sempre a razão
entre a variação da variável dependente
(numerador) e a variação da variável
independente (denominador). Para saber
qual é a unidade de medida dessa taxa de
variação, basta verificar qual é a unidade
unidade 2021
CÁLCULO
de medida de cada uma das variáveis nela
envolvidas. Nesse exemplo, temos:
= 9 centímetros 9 centímetros por ano1 ano∆t
∆h =
Observe que , nesse caso, significa dividido
por; de modo semelhante, quando dizemos
10% (dez por cento) estamos nos referindo
à taxa ou à fração 10010 .
O GRÁFICO DO CRESCIMENTO DE UM ADOLESCENTE
A relação existente entre a idade e a altura,
no exemplo que estamos estudando, é uma
função linear que pode ser representada
por meio do Gráfico 7.
GRÁFICO 7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando o domínio e o contradomínio
de uma função ƒ são subconjuntos do
conjunto de números reais R, dizemos
que ƒ é uma função real de variável real
ou, simplesmente, uma função real. Nesse
caso, podemos fazer uma representação
geométrica da função ƒ num sistema
de coordenadas cartesianas: no eixo
horizontal, assinalamos os valores da
variável independente e por eles traçamos
retas paralelas ao eixo vertical; no eixo
vertical, assinalamos os valores da variável
dependente e por eles traçamos retas
paralelas ao eixo horizontal; as interseções
dessas retas são os pares ordenados que
constituem o gráfico da função. Observe
que cada ponto do gráfico da função ƒ é um
par ordenado de números reais.
Podemos considerar o gráfico de uma
função como sendo a trajetória de um
ponto no plano cartesiano. No exemplo
que estamos estudando, a variável
independente t se desloca ao longo do
eixo horizontal da esquerda para a direita,
fazendo com que a variável dependente
h se mova para cima no eixo vertical.
Esse duplo movimento faz com que o par
ordenado (t, h) descreva a linha que é o
gráfico da função h = 131 + 9t.
COMO ACHAR UMA FÓRMULA PARA O CRESCIMENTO DE UM ADOLESCENTE
Podemos estabelecer uma fórmula que nos
dá a altura h, em centímetros, como função
da idade t, em anos, contados a partir de
13 (a idade de 13 anos correspondendo ao
unidade 2022
CÁLCULO
zero, ou seja, 13 é o início da contagem da
idade):
h = 131 + 9t.
A altura, que inicialmente é de 131cm,
aumenta 9cm a cada ano. O coeficiente
9 nos informa a taxa de crescimento da
altura; geometricamente, 9 é a inclinação
da reta de equação h = 131 + 9t; fisicamente,
é a taxa de variação da altura em relação à
idade, ou seja, 9 centímetros por ano.
GRÁFICO 8
Fonte: Elaborada pelo autor.
A EQUAÇÃO DE UMA RETA
Encontrar a equação de uma reta ou a
fórmula da função linear é uma questão
que aparece com muita frequência em
problemas de Cálculo. Vale a pena dominar
bem esse assunto.
Uma função linear é dada pela fórmula
y = mx + b, sendo m e b números reais. Nessa
igualdade, y é a variável dependente e x é a
variável independente; m é a inclinação da
reta ou o coeficiente angular da reta ou a
taxa de variação de y em relação à variação
de x; b é o coeficiente linear da reta ou o
valor de y quando x é zero ou a interseção
vertical. Observe que, se m = 0, a equação
da reta fica sendo y = b, que é uma reta
horizontal. Se a reta não tiver inclinação,
sua equação assume a forma x = k, que é
uma reta vertical; lembre-se de que x = k
não é uma função.
Para chegarmos à fórmula ou à equação
de uma reta, precisamos determinar o valor
de m e o valor de b. Vamos considerar três
maneiras de resolver esse problema.
Exemplo 1
Determinar a equação da reta que passa
pelos pontos A = (-2,7) e B = (1,-4).
a) Cálculo de m (o coeficiente angular ou a
taxa de variação):
=m 7 - (-4)-2-1
==-311
311
-
b) Cálculo de b (interseção vertical ou
coeficiente linear):
Sabendo que m = - , podemos escrever
que a equação da reta é y = - x + b.
Como o ponto B = (1,-4) pertence a essa
=176 - 1315 - 0
==∆t∆h
545 9
unidade 2023
CÁLCULO
reta, temos a igualdade = .1+ b-4
,
obtida substituindo, na equação da reta, x
por 1 e y por – 4. Dessa igualdade, podemos
concluir que b = .
c) Equação da reta ou fórmula da função
linear:
Com os valores de m e de b calculados
anteriormente, a equação da reta fica
sendo: y= - 31
311 x
.
Exemplo 2
Determinar a equação da reta que passa
pelos pontos m = (2, 5) e P = (-3, 7).
Outra maneira de resolver esse problema
é considerar que os pontos m = (2, 5) e
P=(-3,7) pertencem à reta y = mx + b e que,
portanto, suas coordenadas verificam essa
equação. Assim, temos:
a) Se m = (2, 5) pertence à reta y = mx + b,
então, 5 = m • 2 + b , ou seja, 2m + b = 5 .
b) Se P = (-3, 7). pertence à reta y = mx + b,
então, 7 = m(-3) + b, ou seja, -3m + b = 7 .
c) Os valores de m e de b são a solução
do sistema de equações -3m + b = 7 2m + b = 5 , ou
seja, m = - 52 e b = -
529 .
d) Equação da reta ou fórmula da função
linear:
Exemplo 3
Determinar a equação da reta que passa
pelos pontos R = (2, 3) e S = (-4, -7).
Podemos resolver esse problema utilizando a
igualdade y - y1 = m( x - x1) , que é a equação
da reta com inclinação m e que passa pelo
ponto ( x1 - y1) . Para isso, procedemos do
seguinte modo:
a) Cálculo do coeficiente angular m:
35
610
4273
==++
=m
b) Equação da reta que passa pelo ponto R =
(2, 3) e tem inclinação m = 35
:
)2(35
3 = xy ou, na forma explícita,
Se ao invés do ponto R = (2, 3), utilizarmos
as coordenadas do ponto S = (-4, -7) e m = 35
,
chegaremos à equação
ou
, a mesma equação obtida com
as coordenadas de R.
Tal resultado tem por base a ideia da
geometria plana de que por dois pontos
passa uma única reta, ou seja, dois pontos
sempre são colineares.
Com os valores de m e de b calculados
anteriormente, a equação da reta fica sendo
529
52 += xy .
unidade 2024
CÁLCULO
FAMÍLIAS DE FUNÇÕES LINEARES
As funções lineares podem ser descritas
pelas fórmulas y = mx + b, y = mx ou y = b
Nessas fórmulas, as constantes m e b
são chamadas de parâmetros. Atribuindo
a esses parâmetros diversos valores,
podemos gerar famílias de funções.
A Figura 2 representa o que acontece com
uma reta y = mx à medida que fazemos o
parâmetro m assumir diferentes valores.
Essas retas formam uma família de funções
que têm uma característica comum: todas
elas passam pelo ponto (0, 0).
FIGURA 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
O parâmetro m é a taxa de variação da
função linear. Se m for positivo, a função
será crescente e seu gráfico será uma
reta inclinada para a direita (forma um
ângulo agudo com o semieixo horizontal
positivo); se m for negativo, a função será
decrescente e seu gráfico será uma reta
inclinada para a esquerda.
Na Figura 3, está representada outra família
de retas, obtida por meio da variação do
parâmetro b. São retas paralelas, ou seja,
retas que têm a mesma inclinação m = 1 .
FIGURA 3
Retas paralelas não verticais representam
funções lineares que têm a mesma taxa de
variação.
A família de retas representadas na Figura
4 é de retas horizontais. Também essa
família é obtida por meio da variação do
parâmetro b; as retas são paralelas e têm
inclinação m = 0 .
unidade 2025
CÁLCULO
FIGURA 4
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Funções que têm taxa de variação m = 0
são funções constantes.
Na Figura 5, estão representadas retas
verticais. Apesar de constituírem uma
família de retas, elas não são funções.
FIGURA 5
Agrupar em famílias funções com
características comuns é um processo
utilizado na modelagem matemática.
Modelar um fenômeno, no Cálculo, significa
descrever esse fenômeno por meio de uma
função matemática. Para modelar um
fenômeno ou uma situação, escolhe-se
uma família de funções e, depois, por meio
de dados experimentais, ajustam-se os
parâmetros.
unidade 2026
CÁLCULO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos exercícios propostos ou questões de atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, mais
R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais R$60,00 por hora.
Com base nessas informações:
a) escreva a fórmula do preço a ser pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago
ao conjunto B em função do tempo de duração da festa;
b) esboce o gráfico de cada uma dessas funções;
c) observando os gráficos, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam.
Solução
a) Sendo t o tempo em horas e CA o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos
escrever CA(t) = 400 + 90t.
De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e CB o preço em reais a ser pago ao
conjunto B, temos: CB(t) = 600 + 60t.
Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão
definidas para t ≥ 0.
unidade 2027
CÁLCULO
b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir:
GRÁFICO 9
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa
para o qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, CA = CB . Assim,
400 + 90t = 600 + 60t; resolvendo essa equação, temos: t = 6h 40min. Se a festa durar
mais de 6h 40min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de
6h 40min, contratar o conjunto A será mais barato.
2) O custo de uma caixa de uvas frescas, numa viticultura, é de R$15,00, mas o preço cai
R$0,30 a cada dia. Obtenha o custo de uma caixa que já foi colhida há t dias.
Solução
O preço da caixa, em função do número de dias passados depois de colhidas as uvas pode
ser expresso por meio da Tabela 6:
TABELA 6
t (dias)
C(t) (reais)
0 1 2 3 ... ? ?
15,00 14,70 14,40 14,10 ... 0,30 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Essa é uma função linear porque o preço diminui a uma taxa constante. Podemos determinar
a lei de associação dessa função:
unidade 2028
CÁLCULO
a) Cálculo do coeficiente angular ou da taxa de variação:
b) Equação da reta que passa pelo ponto (0, 15) e tem coeficiente angular m = -0,30:
y - 15 = - 0,30 (x - 0) ou, explicitando y, y = - 0,30x + 15
No problema que estamos resolvendo, a variável dependente é o custo C e a variável
independente é o tempo t. Assim a função custo é dada pela equação C(t) = - 0,30t + 15
O gráfico dessa função está representado abaixo:
GRÁFICO 10
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por meio da fórmula C(t) = - 0,30t + 15, fica fácil determinar em quantos dias a caixa de uvas perde
completamente seu valor. Basta fazer C(t) = 0 , condição que leva à igualdade 0 = - 0,30t + 15.
Resolvendo essa equação, obtemos t = 30,0
15
→ t = 50. Assim, podemos afirmar que, depois de
50 dias de colhidas as uvas, a caixa dessas frutas perde completamente seu valor.
3) Um carro parte do ponto P no instante t = 0 e viaja a 80km/h.
a) Escreva uma função y = d(t) para a distância que o carro percorre em t horas saindo
do ponto P.
b) Faça o gráfico de y = d(t).
c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o carro?
d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de y = d(t) valha 30.
unidade 2029
CÁLCULO
Solução
a) A distância percorrida pelo carro em t horas é uma função linear, dada por y = 80t , onde
y é a distância medida em quilômetros e t é o tempo, em horas.
b) O gráfico é uma semirreta com origem no ponto (0, 0) e está representado a seguir:
GRÁFICO 11
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) O coeficiente angular da reta y = 80t é 80 e corresponde à velocidade do carro, que é a
taxa de variação da distância em relação ao tempo.
d) Podemos considerar a função y = 30t que fornece a distância, y, percorrida por um
carro que parte do ponto P no instante t = 0 e anda a uma velocidade de 30km/h
4) Um círculo tem centro na origem e raio 5. Determine a equação da reta tangente a este
círculo no ponto (3, 4).
Solução
A figura abaixo representa a situação considerada no problema.
FIGURA 6
unidade 2030
CÁLCULO
Sejam m o coeficiente angular da reta tangente e m1 o coeficiente angular da reta que contém
o raio do círculo. Como a reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio que termina no
ponto de tangência, o coeficiente angular da reta tangente é:
m = 1
m1 , onde m1 = = 4
34 - 03 - 0 . Assim, m = - 4
3 e a equação da reta tangente ao círculo no
ponto (4, 3) , é y - 4 = - (x - 3) ou 3x + 4y - 25 = 0
unidade 3032
CÁLCULO
FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Neste capítulo, estudaremos a função quadrática ou função do segundo grau. Seu
gráfico é uma parábola, termo de origem grega que significa jogar longe (para –
longe, balein – jogar). Ela aparece na descrição da queda de corpos, no movimento
de projéteis, no estudo de ótica (lentes e espelhos) e de outros fenômenos.
Você já conhece esta função! É dela que vêm as equações e inequações do segundo grau, que
você estuda desde o Ensino Fundamental. É importante que você saiba manipular bem esta
função e, sobretudo, conheça bem o seu gráfico e suas propriedades.
unidade 3033
CÁLCULO
CONSTRUINDO QUADRADOS COM VARETAS
Um artesão constrói quadrados com
varetas cujos comprimentos, medidos em
centímetros, são números inteiros que
variam de um a dez centímetros. A medida
da área A de cada quadrado é função do
comprimento do seu lado l. Na Tabela 7
estão alguns valores do lado l e os valores
correspondentes da medida da área A.
TABELA 7
Idade
A (em centímetros quadrados)
1 2 3 4 5 ... 9 10
1 4 9 16 25 ... 81 100
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observando os valores dessa tabela,
podemos concluir que não se trata de uma
função linear porque a taxa de variação
da medida da área em relação à variação
do comprimento do lado não é constante.
Podemos verificar, por exemplo, que,
quando o comprimento do lado passa
de 2 cm para 3 cm, a medida da área do
quadrado passa de 4cm2 para 9cm2 ,
ou seja, ;
porém, quando o comprimento do lado
vai de 4 cm para 5cm, a medida da área
varia de 16cm2 para 25cm2, ou seja,
. Esses
valores mostram duas variações distintas
da função área: uma de cm1cm5 2
(centímetros
quadrados por centímetro) e outra de cm1cm9 2
.
A variação da área é proporcional à variação
do quadrado do comprimento do lado. Em
matemática, escrevemos: A = kl2 (onde k
é a constante de proporcionalidade). Como
o ponto (3, 9) pertence ao gráfico dessa
função, temos: 9 = k • 32 → k = 1 . Assim, a
função é dada pela fórmula: A = l2.
GRÁFICO 12
No Gráfico 12 da função A = l2 , cujo domínio
é D = {1, 2, 3,...,10} e cujo conjunto imagem
é Im = {1, 4, 9, 16, ..., 100} . Observe que esse
gráfico é constituído de pontos separados
porque no domínio da função aparecem
apenas números inteiros. Ligando esses
pontos por um traço contínuo, obtemos
uma curva que é o segmento de uma
parábola.
unidade 3034
CÁLCULO
VIAJANDO COM UMA LARANJA
Uma laranja é jogada verticalmente para
o alto, com velocidade de 15 metros por
segundo, no instante t = 0 . Sua altura h
(em metros) acima do solo, no instante
t (em segundos), é dada pela equação
h = - 5t2 + 15t .
O gráfico dessa função h é uma parábola
voltada para baixo. Observe, à esquerda
no Gráfico 13, a trajetória da laranja, que
só se movimenta na vertical e cai no
mesmo ponto do qual partiu. A parábola, à
direita na mesma figura, não é o gráfico da
trajetória, mas sim da altura h em função
do tempo t; em outros termos, a parábola
indica a variação da altura em relação à
variação do tempo.
GRÁFICO 13
Fonte: Elaborada pelo autor.
As interseções do gráfico com o eixo
horizontal são obtidas fazendo-se h = 0 na
fórmula da função, ou seja, 0 = - 5t2 + 15t.
Resolvendo essa equação, temos t = 0
ou t = 3 . O movimento da laranja ocorre,
pois, entre t = 0 , instante em que a laranja
é jogada, e t = 3 , momento em que cai no
chão. Na metade de sua viagem, no instante
t = 1,5s , a laranja atinge o ponto mais alto:
h(1,5) = - 5 • (1,5)2 + 15 • 1,5 = 11,25m.
A laranja se encontra a 10 metros do chão
nos instantes t = 1s e t = 2s ; a altura é igual
a 5 metros para t = 0,38s e também para
t = 2,62s . Podemos observar que a taxa
de variação da altura h é positiva quando
a laranja está subindo e negativa quando a
laranja está descendo:
(velocidade média com que a laranja sobe);
(velocidade média com que a laranja desce).
As funções A = l2 e h = - 5t2 + 15t são
exemplos de funções quadráticas, também
chamadas de funções do segundo
grau porque o maior grau da variável
independente é dois.
A FÓRMULA E O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
De modo geral, a função quadrática tem a
forma y = ax + bx2 + c , onde a, b e c são
unidade 3035
CÁLCULO
números reais, com a ≠ 0 . O gráfico da
função quadrática é sempre uma parábola,
côncava para cima ou côncava para baixo.
O Gráfico 14 representa a função quadrática
y = x2 . O valor da variável dependente y
é proporcional ao valor do quadrado da
variável independente x.
GRÁFICO 14
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Tabela 8, estão alguns valores de x e os
correspondentes valores de y; na terceira
linha, estão valores da variação ∆y para
uma variação ∆x = 1.
TABELA 8
x
y = x2
∆y
-3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
-5 -3 -1 1 3 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
A taxa de variação xy
∆∆ é negativa
quando são tomados dois valores de y
correspondentes a valores de x à esquerda
da origem, fato que indica ser essa função
decrescente no intervalo (-∞, 0] ; por outro
lado, a taxa de variação xy
∆∆ é positiva , o
que mostra ser essa função crescente no
intervalo [0, ∞). Lembre-se de que ∆x é
sempre positivo.
AS RAÍZES OU OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma raiz ou um zero de uma função
y = ƒ(x) é o valor de x para o qual ƒ(x) = 0 .
Geometricamente, os zeros de uma função
são os valores de x em que o seu gráfico
cruza ou toca o eixo x (o eixo x é a reta
y = 0). Nem toda função tem gráfico que
toca ou cruza o eixo horizontal; portanto,
nem toda função tem zeros ou raízes. A
função y = x2 + 4, por exemplo, não tem
zeros.
O gráfico da função y = ax + bx2 + c , com
a ≠ 0, é uma parábola, quaisquer que
sejam os valores dos coeficientes a, b e c.
Quando a> 0 , a parábola se abre para cima
e existem três possibilidades para os zeros
dessa função e essas são mostradas na
Figura 7.
unidade 3036
CÁLCULO
FIGURA 7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como já sabemos, as raízes da equação
quadrática y = ax2 + bx + c = 0 são dadas
pela fórmula.
As três possibilidades
mostradas na Figura 7 correspondem,
respectivamente, às condições algébricas:
b2 - 4ac > 0 (duas raízes reais distintas)
b2 - 4ac = 0 (uma raiz real dupla)
b2 - 4ac < 0 (sem raízes reais)
O ponto mais baixo do gráfico da função
quadrática é o vértice da parábola e suas
coordenadas são xv = - 2ab e yv =
4a (onde
b2 - 4ac).
Observe que yv = ƒ ( - 2ab )
O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O problema de construir o gráfico de uma
função quadrática dada por meio de sua
fórmula é bem simples (mesmo sem utilizar
uma calculadora), conforme podemos
verificar nos dois exemplos a seguir.
Exemplo 1
Esboce o gráfico da função ƒ (x) = 3x2 - 2x - 1.
a) Determinamos as coordenadas do
vértice:
b) Determinamos dois pontos da
parábola, um à esquerda do vértice e
outro à direita do vértice:
ƒ (-1) = 3(-1)2 - 2(-1) - 1 = 4 . O ponto (-1,
4) pertence ao gráfico de ƒ
ƒ (2) = 3 • 22 - 2 • 2 - 1 = 7. O ponto (2, 7)
pertence ao gráfico de ƒ.
c) Plotamos os pontos (-1, 4), (2, 7) e
( 31 , -
34 ), ligando-os por meio de
uma curva que tenha a forma de uma
parábola. A reta vertical que passa pelo
vértice é o eixo de simetria da parábola;
ela funciona como um espelho que
reflete à direita o traço desenhado
a sua esquerda e vice-versa. Veja o
unidade 3037
CÁLCULO
Gráfico 15.
GRÁFICO 15
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 2
Uma bola é atirada para cima do topo de
um edifício com 96 pés de altura, com
velocidade inicial de 16 pés por segundo.
Sua altura h (em pés) acima do solo, t
segundos após ser atirada, é dada pela
função h = 96 + 16t - 16t2 . Esboce o gráfico
da altura versus tempo.
a) Determinamos as raízes da função:
16t2 - 16t - 96 = 0 → 32
16 ± 80 → t = -2 ou t = 3.
b) Determinamos o vértice da parábola:
21
232
=+
=Vt (a abscissa do vértice é a
média aritmética das raízes)
hv = h(2
1) = 96 + 8 - 4 =100 (a ordenada do
vértice é h(tv ).
c) Plotando-se os três pontos determinados,
(-2, 0), (3, 0) e (2
1 , 100), e considerando-se
que o domínio dessa função é o intervalo
[0, 3 ], podemos esboçar o gráfico de h.
GRÁFICO 16
Também é bem simples o problema de
achar uma possível fórmula para a função
quadrática dada por meio de seu gráfico ou
de uma tabela de valores. Consideremos
dois exemplos.
Exemplo 3
Determine uma possível fórmula para a
função quadrática do Gráfico 17.
GRÁFICO 17
unidade 3038
CÁLCULO
a) No gráfico, aparecem as raízes da
função x = - 1 e x = 3 . Então, a função
é da forma y =a ( x + 1 ) ( x - 3 ) . Como
a parábola é côncava para baixo, a é
negativo.
b) Não há como calcular o valor
de a porque não foram dadas as
coordenadas de nenhum ponto fora do
eixo x. Assim o problema tem muitas
respostas.
c) Estimando que o gráfico corte o eixo
y no ponto (0, 4), podemos determinar
o valor de a, fazendo y(0) = 4 . Então,
temos: 4 = a ( 0 + 1) (0 - 3) → a = - 3
4 .
d) Assim, a função tem como fórmula
y= - 3
4 (x + 1) (x - 3) ou, efetuando o
produto, y = - .
Neste exemplo, a função quadrática é
dada por meio de um gráfico. No exemplo
seguinte, examinamos uma função do
segundo grau dada por meio de uma tabela.
Exemplo 4
Suponha que uma espaçonave, lançada
do solo, suba até uma altitude de 192 km,
e depois caia no mar, totalizando um voo
de 16 minutos. Determine a fórmula da
função que dá a altitude y (em quilômetros)
em função do tempo, t minutos após a
decolagem.
a) Com os dados do problema,
podemos fazer a seguinte tabela de
valores:
TABELA 9
t (em minutos)
y (em quilômetros)
0 8 16
0 192 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
b) Com os valores da tabela, podemos
escrever y = a(t - 0) (t - 16) e, considerando
que o ponto (8, 192) pertence à curva,
192 = a (8 - 0) (8 - 16) → a = -3.
c) Assim, a função tem como fórmula
y = -3(t - 0) (t - 16) ou, efetuando o
produto, y =-3t2 + 48ƒ, com 0≤ t ≤ 16.
unidade 3039
CÁLCULO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução das questões das atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo correio acadêmico.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola y = x2 - 3x. Determine a equação da reta
r e o valor da ordenada b, sabendo que os pontos de interseção dessas curvas (a reta e a
parábola) são B = (-1, y1) e A = (2, y2).
FIGURA 8
Solução
Os pontos B(-1, y1) e A(2, y2) pertencem à parábola y = x2 - 3x . Portanto, y1 = (-1)2 - 3(-1) = 4 e
y2 = 22 - 3 • 2 = -2.
Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são (-1, 4) e (2, -2) . Então, r é a reta que passa
por esses dois pontos e, em consequência, seu coeficiente angular é e sua
equação é y - 4 = -2(x + 1) ou y = -2x + 2.
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 3040
CÁLCULO
Como o ponto (0, b) está sobre a reta r, temos: b = -2 • 0 + 2 → b =2 .
2) O gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c passa pelo ponto (5, 8) , tem vértice em (2, -1) e corta
o eixo das ordenadas no ponto (0, 3) . Com base nessas informações:
a) estabeleça a equação dessa função;
b) determine as suas raízes;
c) esboce seu gráfico.
Solução
a) Se o ponto (5, 8) pertence ao gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c , podemos escrever:
a • 52 + 5b +c = 8 → 25a + 5b + c = 8.
Como (2, -1) é o vértice da parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c, 2 = - 2ab
→ b = -4a .
Já que o ponto (0, 3) pertence à parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c , temos: a • 02 + b • 0 + c = 3 → c = 3 .
Usando as igualdades encontradas até aqui, podemos achar o valor dos parâmetros da
equação da parábola, conforme indicado a seguir:
Então, a equação da parábola é ƒ(x) = x2 - 4x + 3
b) Para determinar as raízes, resolvemos a equação:
x2 - 4x + 3 = 0 → x = 2
4 ± 2 → x = 1 ou x = 3
c) O gráfico da função ƒ(x) = x2 - 4x + 3 está a seguir:
GRÁFICO 18
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 3041
CÁLCULO
3) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico aparece a seguir:
GRÁFICO 19
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução
Supondo que a função tenha como raízes x = -2 e x = 3 , podemos afirmar que sua equação é
da forma f(x) = k(x + 2)(x - 3) , uma vez que a função é quadrática. Além disso, estimando que
o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto (0, 12) , temos: f(0) = 12 → k(0 + 2) (0 - 3) = 12
→ k = - 2.
Portanto, uma possível fórmula para a função representada nesse gráfico é ƒ(x) = -2x2 + 2x + 12.
unidade 4043
CÁLCULO
FUNÇÕES POTÊNCIAS E FUNÇÕES POLINOMIAIS
Começamos este capítulo com o estudo das funções potências. Preste atenção
na influência que o grau tem na função potência, no formato de seu gráfico, nos
fenômenos que é possível descrever com estas funções e no que ocorre quando a
variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos ou positivos.
A seguir, abordaremos as funções polinomiais. São as funções obtidas a partir das funções
potências. Observe como o termo de maior grau comanda as funções polinomiais e o que
ocorre quando a variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos
ou positivos. Reconhecer o formato dos gráficos dessas funções o ajudará a identificar os
fenômenos ou situações que é possível descrever com as mesmas.
unidade 4044
CÁLCULO
FUNÇÕES POTÊNCIAS
No estudo de Geometria, as funções
potência são utilizadas com bastante
frequência. A título de ilustração, podemos
considerar o perímetro P de um quadrado
como função do comprimento de seu lado
l; essa relação é dada pela fórmula P = 4l
e nos diz que o perímetro é diretamente
proporcional ao comprimento do lado ou
à potência um de seu lado l; significa, por
exemplo, que se dobrarmos a medida do
lado de um quadrado, seu perímetro será
duplicado, ou seja, será multiplicado por 21.
Também a área A de um quadrado é função
do comprimento de seu lado l e pode
ser expressa pela equação A = l2. Essa
igualdade nos diz que a área é diretamente
proporcional ao quadrado do comprimento
do lado; isso significa, por exemplo, que
se dobrarmos o lado de um quadrado, a
medida de sua área ficará quatro vezes
maior, ou seja, será multiplicada por 22.
De modo semelhante, o volume V de um
cubo é função do comprimento de sua
aresta l, função que tem a fórmula V = l3.
Essa equação estabelece que o volume
do cubo é diretamente proporcional ao
cubo de sua aresta; assim, por exemplo,
se dobrarmos a aresta de um cubo, seu
volume ficará oito vezes maior, ou seja, será
multiplicado por 23.
FUNÇÃO POTÊNCIAFunção potência é aquela na qual a
variável dependente é proporcional a
uma potência da variável independente.
As funções potência são uma importante
família de funções; elas aparecem em
muitas situações como as do item 4.1 e as
exemplificadas a seguir.
a) O volume V de uma esfera é proporcional
à terceira potência de seu raio r: V= 3
4�r3.
Desse modo, se dobrarmos o raio de uma
esfera, seu volume aumentará oito vezes:
V= 3
4
� (2r)3 = 8 •
3
4�r3.
b) A medida do lado l de um quadrado é
proporcional à potência 2
1 da medida de sua
área A: A = l1/2 ou A = √l. Se quadruplicarmos
a área de um quadrado, seu lado será
duplicado: l = (4A)1/2 = 2 • A1/2.
c) A Lei de Newton da Gravitação diz que a
força de atração gravitacional g sobre uma
massa unitária a uma distância r da Terra é
proporcional ao inverso da potência dois de
r: g = k • r2
1 , onde k é uma constante positiva.
Podemos escrever g = r2
k ou g = kr-2. Se
dobrarmos a distância r, o valor de g ficará
quatro vezes menor: g = k • .41
unidade 4045
CÁLCULO
A Tabela 10 mostra a influência de potências no valor das funções. Observe como essas
potências interferem na taxa de variação de cada função quando x varia de uma unidade.
TABELA 10
x y = x ∆1y y = x2 ∆2y y=x3 ∆3y
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
012345
11111
13579
012345
0149
1625
018
2764
125
17
193761
Na Figura 9, você pode observar o efeito das potências no gráfico das funções.
FIGURA 9
Em geral, uma função potência tem a forma y = ƒ(x) = kxp, em que k e p são constantes
quaisquer. Nos itens subsequentes, vamos comparar várias funções potências entre si. Se
possível, faça esse estudo comparativo usando uma calculadora ou um software (Yag, winplot)
para traçado de gráficos.
FUNÇÕES COM POTÊNCIAS INTEIRAS E POSITIVAS
Primeiramente, vamos considerar funções
do tipo y = xn, sendo n um número inteiro
positivo. Essas funções se dividem em
dois grupos: o de potências ímpares e o de
potências pares.
unidade 4046
CÁLCULO
Na Figura 10 estão os gráficos das funções
y = x, y = x3 e y = x5. São funções potências
ímpares de graus respectivamente iguais a
1, 2 e 3.
FIGURA 10
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Toda função potência ímpar (y = x, y = x3
e y = x5 ,etc.) é crescente e seu gráfico é
simétrico em relação à origem. Também
podemos notar que o gráfico de toda
função potência ímpar da forma y = xn, com
n> 1 , é “retorcido” na origem; à esquerda
da origem, o gráfico tem concavidade
voltada para baixo e, à direita da origem,
o gráfico é côncavo para cima. Ainda
podemos verificar que os gráficos têm
pontos comuns em x = -1, x = 0 e x = 1;
para 0< x < 1 , o gráfico da função y = x5
está abaixo do gráfico de y = x3 que, por
sua vez, está abaixo do gráfico de y = x ;
quando x é maior do que 1, a ordem em
que estão os gráficos é outra: o gráfico de
y = x5 está acima do gráfico de y = x3 que,
por sua vez, está acima do gráfico de y = x .
As observações feitas anteriormente nos
gráficos podem ser comprovadas por
meio de desigualdades algébricas. Assim,
querendo comparar as funções y = x3 e
y = x5 , podemos investigar as soluções
da inequação x3 ≤ x5. Resolvendo essa
desigualdade, temos:
x3 ≤ x5 → x3 - x5 ≤ 0 → x3 (1 - x2) ≤ 0
→ -1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 1.
O resultado obtido algebricamente indica
que o gráfico de y = x3 está abaixo do
gráfico de y = x5 quando x estiver entre -1 e
0, bem como quando x for maior do que 1.
Consideremos agora as funções potências
pares. Na Figura 11 estão os gráficos
das funções y = x2, y = x4 e y = x6,
que são potências pares com graus
respectivamente iguais a 2, 4 e 6.
FIGURA 11
Toda função potência par (y = x2, y = x4,
y = x6 etc.) é decrescente para x pertencente
ao intervalo (-∞, 0] e é crescente para x
unidade 4047
CÁLCULO
pertencente ao intervalo [0, +∞). Com
isso, o gráfico tem a forma de U e é
simétrico em relação ao eixo y. Todas as
funções potências pares têm gráficos com
concavidade voltada para cima, enquanto
todas as funções potências ímpares (n > 1)
têm gráficos côncavos para baixo se x < 0 e
côncavos para cima se x > 0 .
A Figura 12 mostra um zoom feito no
gráfico de funções potências para valores
de x entre 0 e 1. Nesse intervalo, y = x é
maior que y = x2, que é maior que y = x3, e
assim por diante.
FIGURA 12
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os valores apresentados na Tabela 11
confirmam o que foi observado na Figura 12.
TABELA 11
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.x
y = x
y = x2
y = x3
y = x5
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
10,5
0,5
0,25
0,125
0,03125
3
3
9
27
81
2430,2
0,2
0,04
0,008
0,0032
2
2
4
8
16
320,8
0,8
0,64
0,512
0,32768
4
4
16
64
256
20241
1
1
1
1
5
5
25
125
625
3125
Na Figura 13, aparecem os gráficos de
funções potências para valores de x
maiores que 1. Podemos constatar que,
quanto maior a potência de x, mais rápido
cresce a função. Assim, o gráfico da função
y = x5 está acima do gráfico da função
y = x4 que é maior do que a função y = x2 .
FIGURA 13
O que foi constatado por meio dos gráficos
é confirmado pelos valores da Tabela 12.
TABELA 12
x
y = x
y = x2
y = x3
y = x4
y = x5
Para x > 1, as potências mais altas
crescem de maneira bem rápida e têm
valores comparativamente muito maiores.
Fazendo x = 1000 , por exemplo, x5 = 10005
unidade 4048
CÁLCULO
que é mil vezes maior do que x4 = 10004 .
Por outro lado, para valores de x entre zero
e um, as potências mais altas são bem
menores; fazendo x = 0,001 , por exemplo,
x5 = (0,001)5 é mil vezes menor do que
x4 = (0,001)4.
FUNÇÕES COM POTÊNCIA ZERO OU COM POTÊNCIAS INTEIRAS NEGATIVAS
A função y = x0 é a função constante
y = 1 e seu gráfico é uma reta horizontal.
Dizer que uma função é constante
significa dizer que, para qualquer valor da
variável independente, o valor da variável
dependente é sempre o mesmo. Assim,
se ƒ(x) = 1, podemos escrever ƒ(-5) = ƒ(�) =
ƒ(- √2) =1.
Usualmente, as potências negativas são
escritas de duas maneiras: y = x-1 é a
mesma função potência y = x1
; a fórmula
y = x-2 pode ser escrita na forma y = x2
1 .
Na Figura 14, estão os gráficos das funções
y = x1
e y = x3
1; na Figura 15, estão os gráficos
de y = x2
1 e y =
x4
1.
FIGURA 14
FIGURA 15
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para as potências negativas ímpares
(Figura 14), os gráficos são simétricos
em relação à origem, ao passo que as
potências negativas pares (Figura 15) têm
gráficos simétricos em relação ao eixo y.
Para valores de x maiores que um, o gráfico
da função y = x4
1 está abaixo do gráfico da
função y = x2
1 ; quando x está entre zero e
um, ocorre o contrário, ou seja, o gráfico
da função y = x4
1 está acima do gráfico da
unidade 4049
CÁLCULO
função y = x2
1 .
As funções com potências negativas são
usadas para modelar diversos fenômenos
ou situações, como a lei exibida no exemplo
a seguir.
Exemplo 1
A Lei de Boyle para um gás ideal estabelece
uma relação exata entre a pressão p
e o volume v, dado que a temperatura
permaneça constate: pv = k. Imagine,
por exemplo, uma quantidade fixa de
ar no interior do cilindro de um motor.
Movimentando-se os pistões, o volume
de ar diminui e a pressão aumenta ou,
reciprocamente, o volume aumenta e a
pressão diminui. Reescrevendo a Lei de
Boyle, temos: p = vk
ou p = kv-1. A relação
p = vk
equivale a dizer que p é inversamente
proporcional a v. Para valores positivos de
k, o gráfico da função p = vk
tem a forma
ilustrada a seguir.
GRÁFICO 20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Essa curva é conhecida como uma
hipérbole retangular. Por ser o valor da
pressão sempre maior do que zero, o Gráfico
20 apresenta apenas um ramo dessa
hipérbole. O eixo vertical é uma assíntota
da curva, mostrando que, à medida que o
volume tende para zero, a pressão tende
para infinito; o eixo horizontal também é
uma assíntota da curva, indicando que, à
medida que o volume tende para infinito,
a pressão tende para zero. Para indicar
que o volume tende para infinito, usa-se a
notação v→+∞ (lê-se v tende a infinito);
para indicar que a pressão tende para zero,
escrevemos p → 0 (lê-se p tende a zero).
Uma reta é assíntota de uma curva quando
a distância entre um ponto móvel da curva
e essa reta fica cada vez menor; significa
dizer que a distância entre um ponto móvel
da curva e a assíntota tende para zero.
FUNÇÕES COM POTÊNCIAS FRACIONÁRIAS
Observações feitas por biólogos têm
mostrado que o número de espécies
encontradas em uma ilha varia de acordo
com o tamanho da mesma. Sendo A a área
da ilha e N o número de espécies, tem-
se aproximadamente a função N = k
ou N = kA1/3, onde k é uma constante que
depende da região mundial em que se
encontra a ilha.
unidade 4050
CÁLCULO
A fórmula dessa função envolve uma
potência fracionária de A, que é a variável
independente. As funções potências
fracionárias são da forma y = kxm/n ou
y = k , com m e n inteiros, n > m e n ≠ 0.
Com frequência, restringimos o domínio
dessas funções para x ≥ 0 porque raízes em
que n é par não estão definidas para x < 0.
Muitas calculadoras não nos permitem
elevar um número negativo a uma potência
fracionária.
Na Figura 16, aparecem os gráficos das
funções y = x , y = x1/2 e y = x1/3.
FIGURA 16
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando x está entre 0 e 1, o gráfico da
função y = x1/3 fica acima de y = x1/2 que,
por sua vez, fica acima de y = x. A Tabela 13
confirma essa observação.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
x
0
0,25
0,49
0,64
0,81
1
x
1
25
49
64
81
100
y = x1/2
0
0,5
0,7
0,8
0,9
1
y = x1/2
1
5
7
8
9
10
y = x
0
0,25
0,49
0,64
0,81
1
y = x
1
25
49
64
81
100
y = x1/3 0
1
y = x1/3 1
TABELA 13
Para x > 1, a situação fica invertida: o gráfico
da função y = x1/3 fica abaixo de y = x1/2 que,
por sua vez, fica abaixo de y = x. A Tabela
14 confirma essa observação.
TABELA 14
Na Figura 17, estão os gráficos de y = x,
y = x2 e y = x1/2, com x≥ 0 .
FIGURA 17
unidade 4051
CÁLCULO
O gráfico de y = x2 cresce cada vez mais
depressa quando x aumenta; ele é côncavo
para cima. Enquanto isso, o gráfico de
y = x1/2 cresce cada vez mais devagar e é
côncavo para baixo. A taxa de crescimento
de y = x é sempre a mesma e seu gráfico
não tem concavidade. Mesmo assim,
essas três funções tendem para infinito à
medida que x aumenta.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
As funções potências podem ser
multiplicadas por um escalar e os
resultados, somados. Por meio dessas
duas operações feitas sobre funções
potências com expoentes naturais –
multiplicação por um escalar e adição
– obtemos os polinômios ou as funções
polinomiais da forma y = anxn + an-1xn-1
+...+ a2x2 + a1x + a0, em que n é um número
natural, chamado grau do polinômio (desde
que an ≠ 0). A função linear y = mx + b é a
função polinomial y = a1x + a0 de grau um
ou do primeiro grau; a função quadrática y
= ax2 + bx + c é a função polinomial y = a2x2
+ a1x + a0 de grau dois ou do segundo grau.
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
A forma do gráfico de uma função
polinomial depende de seu grau. Na Figura
18 estão possíveis formas de gráficos de
polinômios com an positivo, ou seja, com o
coeficiente de an maior do que zero.
FIGURA 18
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de polinômio de grau 2 (à
esquerda) só dá uma “volta”; o de grau 3 dá
duas “voltas”; o de grau 4, três “voltas” e o
de grau 5, quatro “voltas”. De modo geral,
o gráfico do polinômio de grau n dá, no
máximo, (n - 1)voltas.
Na Figura 19 estão possíveis formas de
gráficos de polinômios com an negativo, ou
seja, com o coeficiente de xn menor do que
zero.
FIGURA 19
COMO ENCONTRAR A FÓRMULA DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
Por meio de exemplos, vamos estudar
como fazer para encontrar a fórmula ou
a equação de uma função polinomial,
quando conhecemos seu gráfico ou uma
unidade 4052
CÁLCULO
tabela de valores.
Exemplo 2
Encontre uma possível fórmula para
o polinômio que o Gráfico 21 está
representando.
GRÁFICO 21
Fonte: Elaborada pelo autor.
As interseções horizontais indicam os
zeros da função e sugerem que o polinômio
precisa ter os fatores (x + 3) e (x - 3). Então,
podemos escrever: ƒ(x) = k(x + 3) (x - 3)
Para encontrar k, usamos o fato de que
o gráfico de ƒ corta o eixo y no ponto de
ordenada 5, o que nos permite escrever
ƒ(0) = 5. Assim, temos: 5 = k(0 + 3)(0 - 3)
→ k = 95
. Portanto, ƒ(x) = 95
(x + 3) (0 - 3)
ou, efetuando o produto, ƒ(x) = 95
x2 + 5.
Outra maneira de resolver o problema é
considerar o gráfico como sendo o de
uma parábola côncava para baixo e cuja
equação é do tipo ƒ(x) = ax2 + c . Os pontos
(-3, 0), (3, 0) e (0, 5) pertencem ao gráfico de
ƒ; daí podermos escrever ƒ(-3) = 0, ƒ(3) = 0
e ƒ(0) = 5.
Portanto, temos o sistema de equações:
→ c = 5 e a = 95
.
Assim, uma possível fórmula do polinômio
é ƒ(x) = 95
x2 + 5.
Observe que g(x) = 815
x4 + 5 também
satisfaz às condições do problema: seu
gráfico tem concavidade voltada para baixo
e passa pelos pontos (-3, 0), (3, 0) e (0, 5).
Isso nos leva a afirmar que o problema tem
várias respostas e existem muitas funções
polinomiais cujo gráfico se assemelha ao
apresentado neste exemplo.
Exemplo 3
Encontre uma possível fórmula para a função
polinomial dada pela tabela de valores:
TABELA 15
x
ƒ(x)
-3 0 1 2
0 -12 0 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Tabela 15, aparecem três zeros da
função, fato que sugere como possível
fórmula para o polinômio:
ƒ(x) = k(x + 3) (x - 1)(x - 2).
unidade 4053
CÁLCULO
Como (0, -12) é um ponto do gráfico, temos
ƒ(0) = -12. Em consequência, podemos
escrever k(0 + 3) (0 - 1)(0 - 2) = -12 → k = -2.
Assim, uma das possíveis fórmulas para
esse polinômio é:
ƒ(x) = -2(x + 3) (x - 1)(x - 2) ou, resolvendo o
produto, ƒ(x) = -2x3 + 14x -12.
Um esboço do gráfico de f está na Figura 20.
FIGURA 20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 4
Encontre uma possível fórmula para o
polinômio cujo gráfico é apresentado na
Figura 21.
FIGURA 21
O gráfico se assemelha ao de um polinômio
cúbico, ou seja, pode ser o gráfico de uma
função polinomial de grau três, com zeros em
x = -3 e em x = 2. Em x = -3, o gráfico cruza o eixo
horizontal, ao passo que em x = 2, o gráfico toca
o eixo horizontal, mas não o cruza. Dizemos que
x = -3 é um zero simples ou uma raiz simples,
enquanto x = 2 é um zero de segunda ordem ou
uma raiz dupla da função.
Para encontrar uma fórmula para f, imagine
que seu gráfico estivesse um pouco mais
para baixo, de modo que f tivesse um zero
próximo de x = -3 (em x = -2,9 , por exemplo)
e dois zeros perto de x = 2 (por exemplo,
em x = 1,9 e em x = 2,1). Então, poderíamos
escrever ƒ(x) ≈ k(x + 2,9) (x - 1,9) (x - 2,1).
Agora, deslocando o gráfico de f para a posição
original, o zero x = -2,9 se desloca para x = -3; o
zero x = 1,9 vai para x = 2 e o zero x = 2,1 também
chega em x = 2. Assim, podemos escrever:
ƒ(x) = k(x + 3)(x - 2)(x - 2) ou ƒ(x) = k(x + 3) (x - 2)2 .
Não é possível calcular k porque não foram
dadas as coordenadas de outro ponto do
gráfico de f fora do eixo x. Podemos atribuir
a k qualquer valor positivo; com isso, iremos
alongar ou contrair o gráfico, sem alterar os
zeros da função.
Uma raiz dupla gera um fator repetido na
fórmula da função. Observe que, para x > 2, o
fator (x - 2)2 é positivo e, para x < 2, o fator
(x - 2)2 ainda é positivo. Isso significa que a
unidade 4054
CÁLCULO
função f não troca de sinal na vizinhança
de x = 2. Por outro lado, na vizinhança do
zero simples, x = -3, a função f muda de
sinal (no caso, passa de negativa para
positiva).
A VARIAÇÃO DE SINAL DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
Em diversas situações, interessa-nos
saber como é a variação de sinal de uma
função. Estudar o sinal de uma função é
o mesmo do que determinar os valores da
variável independente para os quais essa
função ou a variável dependente é positiva
ou negativa; merecem atenção também
os zeros da função, valores da variável
independente nos quais podem ocorrer
mudanças de sinal da função.
Exemplo 5
A Figura 22 apresenta o gráfico da função
f definida por y = x3 - 4x, cuja fórmula pode
ser reescrita na forma de um produto
y = x(x + 2) (x - 2).
FIGURA 22
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de f e a forma fatorada indicam
que – 2, 0 e 2 são os zeros dessa função.
Os zeros ou as raízes de f dividem o eixo x
em quatro intervalos e, em cada um desses
intervalos, a função tem o sinal indicado na
Tabela 16.
TABELA 16
-2 0 2
-2 0 2
- + - +
- - + +
- + + +
- - - +
- + - +
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nos intervalos em que o gráfico de f está
abaixo de eixo x, o sinal de y é negativo (-);
nos intervalos em que o gráfico de f está
acima do eixo x , o sinal de y é positivo (+).
Podemos fazer o estudo da variação do
sinal de y combinando os sinais dos fatores
em que se decompõe a função polinomial.
Para y = x(x + 2) (x - 2), temos a Tabela 17.
TABELA 17
x
x + 2
x - 2
y=x(x+2)(x-2)
Exemplo 6
A Figura 23 apresenta o gráfico de
y = (x2 + 1) (3 - x) (x + 1) ou, na forma
expandida, ƒ(x) = -x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 3.
unidade 4055
CÁLCULO
FIGURA 23
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por inspeção do gráfico e da forma fatorada,
concluímos que a função f tem dois zeros:
x = -1 e x = 3. Esses zeros dividem o eixo x
em três intervalos e, em cada um deles, f
tem um sinal, conforme indicado na Tabela
18.
TABELA 18
-1 3+ - +
Fonte: Elaborada pelo autor.
Reiterando o que foi dito no Exemplo 6, nos
intervalos em que o gráfico de f está abaixo
do eixo x, o sinal de y é negativo (-); no
intervalo em que o gráfico de f está acima
do eixo x, o sinal de y é positivo (+).
A Tabela 19 traz o estudo da variação de
sinal de f por meio da combinação de sinais
dos fatores presentes na lei de definição da
função.
TABELA 19
-2 0 2
+ + +
+ + -
- + +
- + -
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
x2 + 1
-x + 3
x + 1
y=(x2+1)(3-x)(x+1)
FAZENDO X AUMENTAR ARBITRARIAMENTE
Outro aspecto que interessa no estudo
de funções é saber o que acontece com
a variável dependente quando a variável
independente assume valores cada vez
maiores, negativos ou positivos. Nos
exemplos 6 e 7, abordados a seguir, vamos
estar atentos a esses fatos.
Exemplo 7
O gráfico de ƒ(x) = x3 - 4x + 2 está
representado na Figura 24 juntamente
com o gráfico de g(x) = x3.
FIGURA 24
Quando x é numericamente grande, ou seja,
quando x está bem para a esquerda ou bem
para a direita, os gráficos dessas funções
unidade 4056
CÁLCULO
ficam cada vez mais próximos. Significa que,
à medida que os valores de x aumentam, o
valor de y no gráfico de ƒ tende a ser igual ao
valor de y no gráfico de g.
A fórmula de ƒ pode ser reescrita:
ƒ(x) = x3 • (1 - x2
4 +
x3
2); nessa forma, podemos
observar que, para grandes valores de x,
a expressão entre parênteses está bem
perto de 1 e, portanto, y está bem perto
de x3. Usando símbolos matemáticos,
escrevemos:
(Lê-se: “limite de x3 - 4x + 2, quando x tende
para mais infinito, é igual a limite de x3,
quando x tende para mais infinito”.)
Essa frase nos diz que, para valores de
x numericamente grandes e positivos,
podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função
g(x) = x3.
De modo semelhante, para valores de
x numericamente grandes e negativos,
podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função
g(x) = x3. Usando a sintaxe matemática,
escrevemos:
O código ƒ(x) substitui a pergunta:
“De que valor se aproxima ƒ(x) quando x se
torna arbitrariamente grande?”.
Exemplo 8
Vamos observar os gráficos das funções
ƒ(x) = x4 e g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x, que estão
nas três figuras a seguir.
FIGURA 25
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 26, estamos olhando o gráfico
bem de perto, os gráficos parecem muito
diferentes.
FIGURA 26
Quando nos afastamos um pouco,
mantendo a mesma janela, os gráficos
continuam parecendo bastante diferentes.
FIGURA 27
unidade 4057
CÁLCULO
Entretanto, quando olhamos de longe, na Figura 27, esses dois gráficos são muito parecidos.
Isso acontece porque o termo de maior grau, x4, domina os demais termos para valores
grandes de x.
Na Tabela 20 estão os valores das duas funções e as diferenças entre elas para x = -20,
x = -15, x = 15 e x = 20.
TABELA 20
Fonte: Elaborada pelo autor.
x
ƒ(x) = x4
g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x
ƒ(x) - g(x)
– 20
160 000
142 120
17 880
– 15
50 625
42 840
7 785
15
50 625
56 160
- 5 535
20
160 000
173 880
- 13 880
Apesar das diferenças serem grandes quando vistas na tabela, elas são muito pequenas se
comparadas à escala vertical (-104 a -105) e, por isso, não podem ser vistas no gráfico.
A observação dos gráficos da Figura 27 e dos valores da Tabela 20 nos permite escrever,
usando a simbologia matemática:
O símbolo x → ∞ indica que x tende para valores numericamente muito grandes, positivos
ou negativos.
unidade 5059
CÁLCULO
Começamos este capítulo com o estudo do comportamento de funções racionais.
Poderemos notar que, muitas vezes, fica mais fácil esboçar o gráfico de funções
quando, em vez de fazer uma tabela, observarmos alguns aspectos qualitativos da
função. Entre esses aspectos qualitativos, ocupam lugar de destaque os que se referem ao
comportamento da função para valores próximos dos zeros do denominador e os que indicam
o que acontece com a função quando a variável independente assume valores numericamente
muito grandes.
A seguir, estudaremos como podemos obter novas funções a partir de uma função dada.
Esse processo serve para abordar problemas que envolvem o deslocamento horizontal ou o
deslocamento vertical de uma função, quando seu gráfico está representado em um sistema
de coordenadas cartesianas.
FUNÇÕES RACIONAIS
unidade 5060
CÁLCULO
FUNÇÕES RACIONAIS
As funções racionais resultam da divisão
de polinômios e podem ser escritas na
forma ƒ(x) = q(x)p(x)
, com q(x) ≠ 0. Elas
têm certa semelhança com os números
racionais, números da forma x = qp
, em que
p e q são números inteiros, com q ≠ 0 . Em
ambos os casos, é preciso fazer a ressalva
de que o denominador é diferente de zero,
porque zero não pode ser divisor.
ASSÍNTOTAS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃOA palavra assíntota vem do grego e
significa “que não pode coincidir”. Uma
reta s chama-se assíntota de uma curva
C quando a distância entre a reta s e um
ponto que se move sobre a curva C se
aproxima de zero. Na Figura 28, estão retas
que são assíntotas das curvas dadas.
FIGURA 28
Fonte: Elaborada pelo autor.
Frequentemente, o gráfico de uma função
racional apresenta assíntotas verticais,
assíntotas horizontais ou assíntotas
oblíquas. As assíntotas verticais ocorrem
nos valores de x que anulam o denominador.
As assíntotas horizontais ocorrem quando
f se aproxima de um determinado valor
numérico à medida que x tende para um
número arbitrariamente grande, positivo
ou negativo. As assíntotas oblíquas
ocorrem quando a diferença entre o grau
do numerador e o grau do denominador,
nessa ordem, for igual a um.
Como saber se existe assíntota horizontal?
Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se aproxima de uma reta horizontal y = c quando x assume valores muito grandes, positivos ou negativos, dizemos que a reta y = c é uma assíntota horizontal.
Em linguagem matemática, escrevemos:
Se ƒ(x) → c, quando x → +∞ ou ƒ(x) → c, quando x → -∞, então y = c é uma assíntota horizontal.
Outro modo de escrever é:
Se ou , então y = c é uma assíntota horizontal.
unidade 5061
CÁLCULO
Como saber se existe assíntota vertical?
Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se aproxima de uma reta vertical x = d quando x assume valores muito próximos de d, pela direita ou pela esquerda, dizemos que a reta x = d é uma assíntota vertical.
Em linguagem matemática, escrevemos:
Se ƒ(x) → +∞ ou ƒ(x) → -∞, quando x →
d+ ou x → d-, então x = d é uma assíntota vertical.
Outro modo de escrever é:
Se ou , então x = d é uma assíntota vertical.
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES RACIONAIS
Na sequência, analisamos o
comportamento de funções racionais, por
meio de exemplos.
Exemplo 1
A Figura 29 apresenta o gráfico da função
racional ƒ(x) = x2 - 4x2 - 9 . O gráfico da função
tem três ramos: um está à esquerda da reta
x = -2 e abaixo da reta y = 1; outro está à
direita da reta x = 2 e abaixo da reta y = 1;
o terceiro desses ramos está entre as
retas x = -2 e x = 2, é côncavo para cima e
seu ponto mais baixo é (0, 49
). O domínio
da função é D = - { -2, 2} e a variação é
Im = ] -∞, 1 [U [ 49
, +∞[ . À esquerda de zero,
a função é decrescente e, à direita de zero,
a função é crescente.
FIGURA 29
Fonte: Elaborada pelo autor.
a) A equação da função na forma de
produto, ƒ(x) = x2 - 4x2 - 9
=
(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)
, nos
possibilita verificar que o denominador se
anula para x = -2 e para x = 2.
Os zeros do denominador sugerem a
existência de assíntotas verticais. No
gráfico, podemos observar que, quando
x se aproxima de -2 pela esquerda (ou
por valores menores do que - 2), o valor
de ƒ vai se tornando cada vez maior e
negativo. Usando símbolos matemáticos,
escrevemos:
= -∞
De modo análogo, quando x se aproxima
de -2 por valores maiores do que -2 (ou pela
direita de -2), o valor de ƒ vai se tornando
cada vez maior e positivo. Usando a
sintaxe matemática, escrevemos:
unidade 5062
CÁLCULO
= -∞
Esse comportamento da função para
valores muito próximos de -2 indica que
a reta x = -2 é uma assíntota vertical do
gráfico de ƒ.
Também a reta x = 2 é uma assíntota
vertical do gráfico de ƒ, conforme podemos
constatar na Figura 29 e por meio dos
limites:
= +∞ e = -∞
Considerar o comportamento de f, quando
x se aproxima de -2 ou de 2, mostrando
que as retas x = -2 e x = 2 são assíntotas
verticais, é de grande valia para o traçado
de um esboço do gráfico da função.
b) Para ver o que acontece quando x
assume valores grandes, positivos ou
negativos, vamos observar a Tabela 21:
TABELA 21
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
± 10
± 100
± 1000
0,94895
0,99949
0,99999
negativos, a função se
aproxima arbitrariamente da reta y = 1,
escrevemos: = 1.
De modo análogo, quando x tende
para valores numericamente grandes
e positivos, a função se
aproxima arbitrariamente da reta y = 1.
Usando a notação de limite, escrevemos:
No cálculo desses limites, levamos
em consideração que o numerador e o
denominador são funções polinomiais;
nesse caso, quando x → ±∞, somente as
potências mais altas realmente importam.
Assim, podemos escrever:
O comportamento de f, quando x se torna
arbitrariamente grande, indica que a reta
y = 1 é assíntota horizontal do gráfico
dessa função, aspecto que nos permite
fazer um esboço do gráfico sem recorrer a
tabelas de valores.
c) Os zeros do numerador dão origem às
interseções com o eixo horizontal. Fazendo
x2 - 9 = 0, obtemos os zeros do numerador:
x = -3 ou x = 3 . Então, os pontos (-3, 0) e
(3, 0) são as interseções do gráfico de f
com o eixo x.
À medida que x assume valores grandes,
negativos ou positivos, y se aproxima de 1.
Para indicar que, quando x tende para
valores numericamente grandes e
unidade 5063
CÁLCULO
Ao fazer x = 0, temos: ƒ(0) = 02 - 902 - 4
→ƒ(0) =
94
; assim, o ponto (0, 94
) é a interseção do
gráfico de f com o eixo vertical.
d) Para valores de x maiores do que 2 ou para
valores de x menores do que -2, o gráfico de ƒ
fica sempre abaixo de y = 1. Algebricamente,
podemos mostrar isso fazendo ƒ(x) < 1 , ou
seja, resolvendo a desigualdade 2 - 92 - 4
< 1 .
2 - 92 - 4
< 1→ 2 - 92 - 4
< 0 → < 0
→ < 0 → x < -2 ou x > 2
Para -2 < x < 2, o gráfico da função f está
acima de y = 94
, o que podemos mostrar
resolvendo a desigualdade 2 - 92 - 4
> 94
.
Exemplo 2
Vamos estudar, neste exemplo, as assíntotas
do gráfico da função ƒ(x) = , que está
apresentado na Figura 30.
FIGURA 30
Fonte: Elaborada pelo autor.
obtida por meio da divisão do numerador
pelo denominador da função racional.
O que está entre parênteses indica que
a reta y = x + 1 é uma assíntota oblíqua
do gráfico de f. Tal aspecto pode ser
constatado algebricamente; para isso,
basta considerar que, quando x assume
valores arbitrariamente grandes, negativos
ou positivos, o termo 1x - 2
tende para zero,
ou seja, que
; assim, a distância
entre o gráfico de f e a reta y = x + 1 se
aproxima arbitrariamente de zero.
O denominador x - 2 se anula para x = 2, o
que sugere a existência de uma assíntota
vertical. Usando a notação de limite,
podemos escrever:
= -∞
e = ∞
Nesses limites, -ε indica um número
negativo arbitrariamente próximo de zero,
enquanto +ε indica um número positivo
tão próximo de zero quanto se queira.
Esses limites mostram que a reta x = 2 é
uma assíntota vertical do gráfico de f.
Exemplo 3
Na Figura 31 está o gráfico da função
f(x) = x2 + 3x
x2 + 1
A fórmula da função pode ser reescrita
na forma ƒ(x) = = (x + 1) + 1
x - 2,
unidade 5064
CÁLCULO
FIGURA 31
A análise do gráfico nos permite afirmar
que a reta y = 1 é uma assíntota do gráfico
da função f. Também podemos verificar
isso algebricamente por meio do limite:
O denominador dessa função racional não
tem zeros, o que faz com que não existam
assíntotas verticais. A função tem como
raízes x = -3 e x = 0; é negativa no intervalo
] -3, 0[ e positiva quando x está no intervalo
]- ∞, -3[ ou em ]0, +∞[ .
NOVAS FUNÇÕES OBTIDAS A PARTIR DE OUTRAS FUNÇÕES
Na função linear y = x, a variável
independente está elevada à potência um
(x = x1). Se multiplicarmos x pelo parâmetro
m obteremos a função y = mx; se, na mesma
função, trocarmos x por x + b, obteremos a
função y = x + b. De modo geral, podemos
perceber a função y = mx + b como uma nova
função obtida por meio de uma sequência
de operações sobre a função y = x. Assim,
por exemplo, a função y = 3x - 8 pode ser
vista como resultante de operações sobre
y = x:
1) Multiplicando x por 3, temos y1 = 3x .
2)Somando ( – 8 ) a 3x, temos y1= 3x - 8.
No gráfico, essas operações assumem
o aspecto de movimentos feitos com a
função y = x, conforme apresentado na
Figura 32.
FIGURA 32
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 5065
CÁLCULO
Na função y = x2, a variável independente
está elevada à potência dois. Ao multiplicar
x2 pelo parâmetro m, obteremos a função
y = mx2; se trocarmos x por x + n, obteremos
a nova função y = (x + n)2 ou y = x2 + 2nx + n2 .
De modo geral, podemos enxergar a função
y = ax2 + bx + c como uma nova função
obtida por meio de uma sequência de
operações sobre y = x2. Assim, por exemplo,
a função y = 3x2 - 6x + 2 pode ser vista como
resultante de operações sobre y = x2:
1) Multiplicando x2 por 3, temos y1 = 3x2.
2) Trocando x por x - 1, temos y2 = 3(x - 1)2,
ou seja, y2 = 3x2 - 6x + 3 .
3) Somando (- 1) a 3(x - 1)2, temos
y3 = 3(x - 1)2 - 1 ou y3 = 3x2 - 6x + 2.
Na Figura 33, aparecem essas operações
como movimentos feitos com o gráfico da
função y = x2.
FIGURA 33
Em geral, multiplicar uma função por uma
constante expande ou contrai seu gráfico
verticalmente. Podemos verificar isso
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
comparando os gráficos de y = x2, y = 3x2
e, y = 13
x2 representados, nessa ordem, na
Figura 34.
FIGURA 34
Um sinal negativo realiza uma reflexão do
gráfico em torno do eixo x. Um exemplo
desse movimento está na Figura 35, onde
aparecem os gráficos de y = x2 - 2x e
y = -(x2 - 2x) .
FIGURA 35
unidade 5066
CÁLCULO
Substituir x por x - a translada o gráfico
para a direita, em a unidades (ou para a
esquerda se a for negativo). Na Figura 36
estão, respectivamente, os gráficos das
funções y = , y = e y = .
FIGURA 36
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Substituir y por y - b translada o gráfico
para cima, em b unidades (ou para baixo,
se b for negativo). O efeito dessa troca
pode ser visto na Figura 37 onde estão os
gráficos das funções y = x3 - x, y - 2 = x3 - x
e y + 2 = x3 - x.
FIGURA 37
unidade 5067
CÁLCULO
Nos três capítulos desta segunda parte da apostila, começamos o estudo de Cálculo.
Essa disciplina é um conteúdo de Matemática, usualmente chamado de Cálculo
Diferencial e Integral. Este cálculo é diferencial porque trata de questões relacionadas
à rapidez com que as coisas se movem, aumentam ou diminuem: como aumenta ou diminui,
por exemplo, a área de um quadrado, quando seu lado muda de valor; como aumenta ou
diminui o montante de uma aplicação à medida que o tempo passa. Por abordar questões que
envolvem certos tipos de somas que apresentam um número cada vez maior de parcelas, as
quais vão se tornando cada vez menores, este cálculo é também chamado de cálculo integral.
Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos,
apresentados de maneira simples na Figura 38.
FIGURA 38
NOÇÕES SOBRE DERIVADAS
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 5068
CÁLCULO
PROBLEMA 1
O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular a inclinação da
reta tangente ao gráfico da curva y = f(x) no ponto P.
PROBLEMA 2
O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas: calcular a medida da área da
região limitada pelos gráficos de y = f(x), y = 0, x = a e x = b.
O problema da inclinação da tangente leva a medir a rapidez de variação de uma grandeza em
relação à variação de outra grandeza e conduz à ideia de derivada ou diferencial. Por sua vez,
o estudo da medida de áreas leva a considerar somas com muitas parcelas, que ficam cada
vez menores à medida que seu número aumenta, e conduz ao conceito de integral.
O problema do cálculo de áreas por meio de somas de infinitas pequenas parcelas foi utilizado
por Arquimedes (287 – 212 a.C.), a quem muitos historiadores atribuem a origem dos métodos
de integração. Também Kepler (1571 – 1630), Galileu (1564 – 1642) e Cavalieri (1598 – 1647),
entre outros, empregaram métodos semelhantes ao de Arquimedes para calcular áreas e
volumes. O problema envolvendo tangentes e curvas foi estudado no início do século XVII,
por Descartes (1596 – 1650) e Fermat (1601 – 1665).
Até a segunda metade do século XVII, os dois processos – o de calcular áreas e o de aproximar
curvas por meio de tangentes – foram estudados separadamente, como se diferenciação e
integração fossem questões independentes. A partir dos trabalhos de Newton (1642 – 1727)
e Leibniz (1646 – 1716), as relações de interdependência entre esses dois processos foram
reconhecidas, fazendo surgir uma nova disciplina, o Cálculo Diferencial e Integral.
Nesta parte da apostila, optamos por fazer uma apresentação do Problema 1, dando ênfase
às noções de derivada, explicadas de modo intuitivo, sem maiores compromissos com a
formalização. Consideramos que, após essa visão geral, estaremos mais bem preparados
para uma abordagem do Cálculo Diferencial, ficando em condições de compreender as
inúmeras aplicações dessa disciplina nas diferentes áreas científicas e tecnológicas.
unidade 6070
CÁLCULO
No estudo de Cálculo, vamos trabalhar com funções reais de variáveis reais, aquelas
que têm como domínio e como imagem um subconjunto de números reais.
Consideramos que as grandezas são representadas por números e que as relações
de interdependência entre grandezas são traduzidas matematicamente por funções.
Dizemos que uma grandeza y é uma função de outra grandeza x quando os valores de x e de
y estão relacionados de tal forma que a cada valor de x corresponde um único valor de y. Para
representar funções, utilizam-se tabelas, gráficos, descrições verbais ou, quando possível,
fórmulas matemáticas.
TAXA DE VARIAÇÃO CONSTANTE
unidade 6071
CÁLCULO
As funções se caracterizam pela maneira
de variar, ou seja, pela forma como crescem
ou decrescem. Quando conhecemos o
gráfico de uma função, fica fácil identificar
os intervalos nos quais essa função está
crescendo (aumentando) ou decrescendo
(diminuindo).
FIGURA 39
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
A função representada na Figura 39 é
crescente no intervalo [a, b] e é decrescente
no intervalo [b, c]. Lembre-se de que x varia
sempre da esquerda para a direita. Assim,
dizemos que uma função é crescente se,
a um aumento no valor de x no intervalo
considerado, corresponder um aumento no
valor de y. Por outro lado, dizemos que uma
função é decrescente se, a um aumento
no valor de x no intervalo considerado,
corresponder uma diminuição no valor de y.
A Figura 40, onde estão seis funções,
sugere que existem diferentes formas de
crescimento ou de decrescimento.
FIGURA 40
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
As que estão à esquerda são crescentes no
intervalo [a, b]:
• z cresce cada vez mais
rapidamente;
• w cresce cada vez mais
lentamente;
• y cresce com uma rapidez
constante.
Já as funções da direita são decrescentes
no intervalo [c, d]:
• v decresce cada vez mais
rapidamente;
• u decresce cada vez mais
lentamente;
• t decresce com uma rapidez
constante.
Observe como ficaria a variação de cada
uma das funções que estão à esquerda na
Figura 41.
unidade 6072
CÁLCULO
FIGURA 41
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para indicar a rapidez com que uma função
cresce ou decresce, utilizamos a ideia de
taxa de variação, conceito que passamos
a estudar. Desde já, podemos ter em mente
que derivada é uma taxa de variação e a
inclinação de uma tangente.
A função linear y=mx+b é um modelo
matemático que serve para descrever a
interdependência entre duas grandezas
que são diretamente proporcionais. Nesse
tipo de relação, quando x varia de uma
unidade, a partir de um ponto qualquer, o
valor de y varia de unidades. Isso significa
que y varia a uma taxa constante, sempre
igual a m. O gráfico dessa função linear
TAXA DE VARIAÇÃO CONSTANTE
é uma reta ou um segmento de reta,
conforme podemos observar na Figura 42.
FIGURA 42
Na função linear y = mx + b, o número m
é a taxa de variação de y em relação a x.
Indicamos essa taxa de variação pela
fração ∆x∆y. Essa fração tem o nome de taxa
de variação porque seu numerador, ∆y,
indica a variação de y e seu denominador,
∆x, indica a variação de x. Tanto para y
quanto para x, a variação é a diferença
entre um valor final e um valor inicial.
Escrevemos isso da seguinte forma:
variação de y = ∆y = ƒ(x2) - ƒ(x1)
variação de x = ∆x = x2 - x1
taxa de variação de y em relação a
x = ∆x∆y =
ƒ(x2) - ƒ(x1) x2 - x1
.
No lugar da expressão taxa de variação,
podemos usar razão de variação ou
quociente de variação.
unidade 6073
CÁLCULO
Do exame atento da Figura 42 e com o uso da ideia de taxa de variação, podemos estabelecer
algumas conclusões a respeito da função linear y = mx + b :
• Quando m é positivo, a função é crescente para todo x; quando m é negativo, a
função é decrescente.
• Uma função é crescente quando sua taxa de variação é positiva; uma função é
decrescente se sua taxa de variação é negativa.
• Quando x aumenta 1 → y aumenta ou diminui m.
Quando x aumenta 2 → y aumenta ou diminui 2m.
Quando x aumenta k → y aumenta ou diminui k•m.
m = ∆x∆y
→ taxa de variação de y em relação a x.
m > 0 indica função crescente.
m < 0 indica função decrescente.
m = 0 indica função comstante
A taxa de variação da função linear y = mx + b é m = ∆x∆y
. Essa taxa de variação é constante,
ou seja, tem sempre o mesmo valor. Isso quer dizer que, quaisquer que sejam os valores de x1
e x2, ou seja, qualquer que seja o intervalo de variação de x, ƒ(x2) - ƒ(x1)
x2 - x1 =
∆x∆y
= m.
Pensando na Geometria, o gráfico de uma função linear é uma reta. Essa taxa de variação da
função linear y = mx + b, m = ∆x∆y , é a inclinação dessa reta. Chamada de coeficiente angular
da reta, essa inclinação pode ser calculada pela tangente trigonométrica do ângulo que a reta
forma com o eixo das abscissas, conforme indicado na Figura 43.
FIGURA 43
y = mx + b
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 6074
CÁLCULO
Exemplo 1
Em certa cidade, a quantia C, em reais, a ser paga por uma corrida de táxi de x quilômetros é
dada pela função C(x) = 7 + 4x. Com base nessas informações:
a) estabeleça a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de x1 = 3 a x2 = 8;
b) determine o custo de uma corrida de 12km;
c) calcule quantos quilômetros são percorridos quando uma corrida sai por R$49,00;
d) esboce o gráfico da função, supondo que seu domínio é [0, 20].
Solução
a) Para estabelecer a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de x1 = 3 a x2 = 8,
fazemos:
variação de C = ∆C = C(x2) - C(x1) = C(8) - C(3) = 39 - 19 = 20 reais.
variação de x = ∆x = x2 - x1 = 8 - 3 = 5 quilômetros
Assim, temos:
variação de C em relação a x = ∆x∆C = = 4R$/km
Nessa taxa de variação, o numerador é medido em reais e o denominador é medido em
quilômetros. Por isso a unidade de medida da taxa de variação é reais por quilômetro:
∆x∆C = 4R$/km.
b) Determinar o custo de uma corrida de 12 km significa determinar o valor da função
C(x) = 7 + 4x quando x = 12. Para isso, fazemos:
C(12) = 7 + 4 • 12 = 55 reais.
c) Calcular o número de quilômetros percorridos em uma corrida que custa R$49,00 significa
achar o valor de x para o qual C(x) = 49. Para isso, fazemos:
c(x) = 7 + 4x = 49 → 4x = 41 → x = 4
41 = 10,25 quilômetros.
d) A Figura 44 traz um esboço do gráfico de C(x) = 7 + 4x.
unidade 6075
CÁLCULO
FIGURA 44
Exemplo 2
Certa gráfica compra um sistema de
impressão por R$27.000,00. Após nove
anos, o sistema está obsoleto e não tem
mais nenhum valor comercial. Com base
nessas informações e supondo que a
depreciação desse sistema seja linear:
a) escreva uma equação que relacione
o valor v desse sistema e o tempo t
transcorrido após a compra;
b) estime o valor desse sistema após cinco
anos de uso;
c) estabeleça após quanto tempo o valor
do sistema será igual a 30% do valor de
compra;
d) esboce o gráfico da função obtida no
item (a).
Solução
a) A equação que relaciona o valor V desse
sistema e o tempo t transcorrido após a
compra é da forma: V(t) = at + b . Como o
valor de compra é R$27.000,00, podemos
Fonte: Elaborada pelo autor.
escrever: v(0) = a • 0 + b= 27.000 →
b = 27.000 e, assim, v(t) = at + 27.000.
De acordo com o enunciado do problema,
o sistema tem valor zero após nove anos
de uso; assim, podemos escrever:
V(9) = 0 → a • 9 + 27.000 = 0 → a = -3.000
Desse modo, a equação é
V(t) = - 3.000t + 27.000.
b) O valor desse sistema, após cinco anos
de uso é:
V(5) = - 3.000 • 5 + 27.000 = 12.000 reais.
c) Para estimar após quanto tempo o valor
desse sistema será igual a 30% do valor
de compra, fazemos: 0,30 • 27.000 =
- 3.000x + 27.000 → x = 6,3 anos.
d) A Figura 45 traz o gráfico da função
V(t) = - 3.000x + 27.000.
FIGURA 45
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 6076
CÁLCULO
Na função V(t) = - 3.000x + 27.000, a taxa
de variação de V em relação a t é negativa
e é medida em reais por ano: ∆t∆V
= - 3.000
reais/ ano . Dizer que a taxa de variação
é negativa significa dizer que a função é
decrescente; nesse caso, significa que
o preço do sistema diminui R$3.000,00
quando o tempo aumenta de um ano.
Geometricamente, a taxa de variação
negativa indica que o coeficiente angular
da reta é negativo e que ela está inclinada
para a esquerda.
Exemplo 3
Primeiramente, determine a taxa de
variação da função representada na Figura
46. A seguir, estabeleça a equação dessa
função.
FIGURA 46
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução
a) Esse gráfico, por ser uma reta, indica
que as grandezas x e y têm variações
proporcionais. Como, quando x aumenta
de 0 até 3, y aumenta de 5 até 17,
podemos escrever:
taxa de variação de y em relação a
x = 3 - 017- 5 =
312 = 4
b) A função representada é linear e sua
equação é da forma y = mx + b , em que
é a taxa de variação e b é o valor inicial de
y, ou seja, m = 4 e b = 5. Assim, a equação
dessa função é y = 4x + 5
Exemplo 4
Em certa residência, um botijão, que contém
13 kg de gás de cozinha, é comprado por
R$74,00, sendo consumido à razão de
0,5 kg por dia. Do valor total pago por esse
botijão, cerca de 30% (R$22,00) cobrem
os custos operacionais e os outros 70%
(R$52,00) se referem ao preço do gás nele
contido. Com base nessas informações:
a) escreva uma função M = ƒ(t) que forneça
a massa M de gás no botijão, medida em
quilogramas, após t dias de uso;
b) escreva uma função C = g(t) que
represente o gasto C, em reais, somente
com o gás, durante t dias de uso;
c) esboce em um mesmo sistema de
coordenadas os gráficos dessas duas
funções;
unidade 6077
CÁLCULO
d) determine as coordenadas do ponto de
interseção desses gráficos e escreva a
unidade de medida de cada uma dessas
coordenadas.
Solução
a) A massa M de gás no botijão, após t dias
de uso, é dada por: M(t) = - 0,5t + 13.
Nessa equação, a taxa de variação de
M em relação a t é - 0,5t kg/dia. O valor
negativo indica que a massa diminui de
quando t aumenta de 1 dia.
b) O custo C do gás consumido durante t
dias é dado por: C (t) = 2t . Nessa equação,
a taxa de variação de C em relação a t
é kg
4 reais •
dia0,5 kg = 2 reais/dia. Essa taxa
indica que o custo aumenta de R$2,00
quando t aumenta de 1 dia.
c) A Figura 47 traz um esboço dos gráficos
dessas funções:
FIGURA 47
Fonte: Elaborada pelo autor.
d) O ponto de interseção desses gráficos
é P (5,2; 10,4). A unidade de medida
da abscissa 5,2 é dia; a unidade de
medida da ordenada 10,4 é reais quando
consideramos a função C(t) = 2t e é
quilogramas quando nos referimos à
função M(t) = - 0,5t + 13.
unidade 7079
CÁLCULO
As funções lineares da forma y = mx + b crescem ou decrescem a uma taxa de variação
constante. Isso quer dizer que as duas grandezas x e y, relacionadas por essa lei,
têm variações proporcionais, ou seja, que a taxa de variação de y em relação a x é
constante e, ainda, que o gráfico correspondente é uma reta de inclinação m.
DERIVADA EM UM PONTO
unidade 7080
CÁLCULO
TAXA DE VARIAÇÃO VARIÁVEL
Se duas grandezas x e y não têm variações
proporcionais, a lei que estabelece a
interdependência entre elas não é mais
da forma y = mx + b, a taxa de variação
de y em relação a x é variável e o gráfico
não é uma reta. Nesse caso, dizemos
que as grandezas x e y, relacionadas pela
lei y = ƒ(x) têm taxa de variação variável.
Na sequência, vamos observar algumas
dessas funções.
Exemplo 1
Consideremos que o valor V de uma ação,
medido em reais, varia ao longo do tempo t,
medido em meses, de acordo com a função
V(t) = t2 + 7. Essa função pode ser descrita
por meio da Tabela 22.
TABELA 22
t 0 1 2 3 4 5 6 7 L
t 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
V 7 8 11 16 23 32 43 56 L
T 7,0 8,0 8,4 8,7 9,0 9,2 9,5 9,7 ...
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de V(t) = t2 + 7 está na Figura 48.
FIGURA 48
Podemos observar que a variação de V por
unidade de t é positiva e aumenta à medida
que t aumenta. Em outros termos, o valor
dessas ações aumenta cada vez mais
depressa, ou seja, a função V(t) = t2 + 7
cresce cada vez mais rapidamente.
Isso que percebemos pelo exame do gráfico
pode ser descrito algebricamente por meio
de taxas de variação de V em relação a t:
= 1 real/ mês.
= 11 reais/ mês.
= 13 reais/ mês.
Exemplo 2
Consideremos que a temperatura T, medida
em graus centígrados, varie no decorrer do
tempo t, medido em horas, de acordo com
a função T(t) = t + 7. Essa função pode
ser descrita por meio da Tabela 23.
TABELA 23
O gráfico de T(t) = t + 7 está na Figura 49.
FIGURA 49
unidade 7081
CÁLCULO
Podemos observar que a variação de T por
unidade de t é positiva e diminui à medida que
t aumenta. A função T(t) = t + 7 cresce cada
vez mais lentamente. No gráfico, percebemos
que os “degraus” têm alturas cada vez
menores. Algebricamente, as taxas de
variação, embora permaneçam positivas, vão
diminuindo à medida que o tempo aumenta:
= 1 grau / hora.
= 0,3 grau / hora.
= 0,2 grau / hora.
Exemplo 3
Consideremos que a demanda Q de um
produto, medida em milhares de unidades
comercializadas, em função do preço p,
medido em reais, seja dada pela função
Q(p) = p2
+ 7, p > 0 Essa relação entre Q e p
pode ser descrita pela Tabela 24.
TABELA 24
p 1 2 3 4 5 6 7 ...Q 9,00 8,00 7,67 7,50 7,40 7,33 7,29 ...
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de Q(p) = p2
+ 7 está na Figura 50.
FIGURA 50
Podemos observar que a variação de Q
por unidade de p é negativa e tem valor
absoluto cada vez menor. Dito de outra
maneira, a função Q(p) = p2
+ 7 decresce
cada vez mais lentamente.
Esse decrescimento cada vez mais lento
pode ser visto nas taxas de variação:
= -1 milhar de
unidades/ real = -1.000 unidades/ real
= - 0,17milhar
de unidades/ real = -170 unidades/ real
= -0,04 milhar
de unidades/ real = -40 unidades/ real
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
Nos exemplos do item anterior, estudamos
a variação da variável dependente quando
a variável independente varia de uma
unidade. Nos gráficos, os “degraus”
aparecem com larguras iguais e medindo
uma unidade. Nas taxas de variação
calculadas, o denominador é sempre 1.
Vamos examinar agora o que acontece com
a taxa de variação quando consideramos
intervalos maiores do que 1, ou seja,
unidade 7082
CÁLCULO
quando aumentamos a largura do “degrau”.
Essa análise nos levará ao conceito de taxa
de variação média.
Dados uma função qualquer y = ƒ(x) e um
intervalo I = [x1, x2], chamamos de taxa de
variação média de y em relação a x, quando
x varia de x1 até x2, com x2 > x1, à razão
ƒ(x2) - ƒ(x1) x2 - x1
.
Considerando y1 = ƒ(x1) e y2 = ƒ(x2), temos as
seguintes igualdades:
• variação de y = ∆y = y2 - y1 = ƒ(x2) - ƒ(x1)
• variação de x = ∆x = x2 - x1
• taxa de variação média de y em relação
a x = ∆x∆y = x2 - x1
y2 - y1
=
ƒ(x2) - ƒ(x1) x2 - x1
FIGURA 51
O exame atento do gráfico da Figura 51 nos
permite perceber o significado geométrico
da taxa de variação média.
• A taxa de variação média
corresponde à variação de y por
unidade de x, em média, entre x1 e x2.
• Podemos observar que essa razão
é a inclinação da reta que passa
pelos pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)).
• A taxa de variação média é a
taxa de variação da função linear
determinada pela reta que passa
pelos pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)) .
• A equação dessa reta é da forma
y - ƒ(x1) = ∆x∆y (x - x1).
Vamos detalhar essas ideias por meio de
exemplos.
Exemplo 4
Retomemos a função V(t) = t2 + 7, estudada
no Exemplo 1 do item anterior e cujo gráfico
está na Figura 52.
FIGURA 52
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Entre os instantes t1 = 1 e t2 = 5, temos as
seguintes variações:
unidade 7083
CÁLCULO
variação de t = ∆t = 5 - 1 = 4 meses
variação de V = ∆V = V(5) - V(1) = 32 - 8 =
24 reais
taxa de variação média = Tm =
∆t∆V
5 - 1V(5) - V(1)
4 meses24 reais== = 6 reais/ mês
A taxa média encontrada, Tm = 6 reais/ mês ,
indica que, entre t1 = 1 e t2 = 5 , a variação do
valor V das ações por unidade de tempo t foi,
em média, igual a 6 reais. É como se, a cada
mês, o valor das ações aumentasse 6 reais.
Sob o aspecto gráfico, a taxa média
encontrada, ∆t∆V= 6, é a taxa de variação
da função linear determinada pela reta que
passa pelos pontos (1, 8) e (5, 32). Escrever
a equação dessa reta é escrever a equação
de uma reta que passa pelo ponto (1, 8) e
tem inclinação ∆t∆V= 6:
V - 8 = 6(t - 1) ou V = 6t + 2
Chegamos ao mesmo resultado ao escrever
a equação da reta que passa pelo ponto
(5, 32) e tem inclinação ∆t∆V= 6:
V - 32 = 6(t - 5) ou V = 6t + 2
Exemplo 5
Consideremos uma partícula que se desloca
em linha reta, de modo que sua posição
em relação a 10, marco inicial de seu de
seu movimento, seja dada pela função
S(t) = t2 + 10, sendo a distância S medida
em metros e o tempo t, em segundos.
A função S(t) = t2 + 10 pode ser descrita por
meio da Tabela 25.
TABELA 25
t 0 1 2 3 4 5 6 7 ...S 10 11 14 19 26 35 46 59 ...
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
A Figura 53 traz o gráfico da função
S(t) = t2 + 10.
FIGURA 53
Entre os instantes t1 = 1 e t2 = 6, temos as
seguintes variações:
variação de t = ∆t = 6 - 1 = 5 segundos
variação de S = ∆S = S(6) - S(1) = 46 - 11
= 35 metros
taxa de variação média = Tm =
∆t∆S
6 - 1V(6) - V(1)
5 segundos35 metros==
= 7m/s
A taxa média encontrada, Tm = 5 m/s, indica
que entre, t1 = 1 e t2 = 5, a variação do valor
da distância S percorrida pela partícula por
unidade 7084
CÁLCULO
unidade de tempo t foi, em média, igual a 5
metros.
Como ∆S é a variação da distância, medida
em metros, e ∆t é a variação do tempo,
medido em segundos, a taxa média de
variação ∆t∆S indica a velocidade média da
partícula, em metros por segundo. Desse
modo, podemos escrever:
velocidade média da partícula = ∆t∆S =
5 segundos35 metros
= 7 m/s.
Geometricamente ou, sob o aspecto
gráfico, a taxa média encontrada, ∆t∆S = 7,
é a inclinação da que passa pelos pontos
(1, 11) e (6, 46). A equação dessa reta é
S - 11 = 5(t - 1) ou S = 5t+ 6.
Exemplo 6
Consideremos um carro que, entre os
instantes t1 e t2, se desloca do marco
quilométrico S1 ao marco quilométrico S2,
segundo a equação da função posição
y = S(t), cujo gráfico está na Figura 54.
FIGURA 54
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
A taxa de variação média da posição em
relação ao tempo, ou seja, a velocidade
média desse carro é igual à velocidade que
ele deveria ter em movimento uniforme
para realizar o mesmo percurso. É como
se o carro “seguisse”, entre os instantes t1
e t2, a reta secante, em vez de “seguir” o
gráfico da curva y = S(t) .
Para indicar algebricamente a velocidade
média, escrevemos:
vm = ∆t∆S
= t2 - t 1
S2 - S1 =
A equação da reta que passa pelos pontos
(t1, ƒ(t1)) e (t2, ƒ(t2)) é da forma:
S - S(t1) = ∆t∆S
(t - t1) ou S - S(t1) = vm
(t - t1)
Exemplo 7
Consideremos uma função qualquer
y = ƒ(x), representada na Figura 55.
FIGURA 55
A partir das informações contidas nessa
figura, podemos estabelecer as seguintes
variações:
unidade 7085
CÁLCULO
∆y = ƒ(3 + h) - ƒ (3)
∆x = (3 + h) - 3 = h
Tm = ∆x∆y =
hf(3 + h) - f(3)
A reta de inclinação ∆x∆y e que passa
pelos pontos (3, ƒ(3)) e (3+ h, ƒ(3 + h)) tem
equação:
y - ƒ(3) = ∆x∆y (x - 3)
O gráfico de y = ƒ(x) em um intervalo pode
ter diferentes aspectos, conforme podemos
ver na Figura 56.
FIGURA 56
Fonte: Elaborada pelo autor.
No entanto, podemos observar que, para
qualquer uma dessas funções, a taxa de
variação média, quando x varia de 3 até 8,
é a mesma: Tm = ∆x∆y = = = 2,4.
A unidade de medida dessa taxa de
variação média é a unidade de medida do
numerador sobre a unidade de medida de
denominador. Assim, por exemplo, se y for
medido em reais e x, em dias, temos:
Tm = = = 2,4 reais/ dia
A taxa de variação média de uma função
entre os pontos (x1, ƒ(x1)) e (x2, ƒ(x2)) é o
número real m = ∆x∆y = .
Esse número é a inclinação da reta y = mx + b, determinada por esses pontos.
A equação dessa reta é y - ƒ(x1) = ∆x∆y (x - x1).
A taxa de variação média nos fornece
informações sobre a rapidez com que a
função varia em um determinado intervalo.
Ela não nos informa sobre como a função
está variando em um ponto específico,
ou seja, ela não nos informa com que
rapidez a função y está aumentando ou
diminuindo para um determinado valor de
x. Utilizando o que foi visto no Exemplo
5, a taxa de variação média nos fornece a
velocidade média entre os instantes t1 e t2;
mas nada nos diz a respeito da velocidade
no instante t1 ou no instante t2 . É isso que
vamos estudar a seguir: o que vem a ser
velocidade instantânea ou taxa de variação
instantânea?
DERIVADA EM UM PONTO OU TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
A noção de taxa de variação instantânea
ou derivada em um ponto se fundamenta
na ideia de que uma curva pode parecer
uma reta nas proximidades de um ponto.
unidade 7086
CÁLCULO
Podemos perceber isso ao fazer um zoom
na parte do gráfico de uma curva que
contém o ponto P, conforme mostrado na
Figura 57.
FIGURA 57
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim, a rapidez com que uma função
varia em um ponto pode ser associada à
taxa de variação da função y = mx + b que
melhor se aproxima da função dada no
ponto P(x0, ƒ(x0)).
RETA TANGENTEDe todas as retas que passam pelo ponto
P(x0, ƒ(x0)), a que mais se aproxima do
gráfico da curva y = ƒ(x) no ponto de
abscissa x0 é a reta tangente à curva nesse
ponto, conforme podemos observar na
Figura 58.
FIGURA 58
As situações apresentadas nos gráficos da
Figura 59 podem nos ajudar a perceber o
que significa dizer que uma reta é tangente
a uma curva em um ponto P.
FIGURA 59 – Situações em que a reta tangente ou não
r
PC
r
PC
rP
C
rP
C
rPC
P
Cr
A reta r é tangente à curva C no ponto P.
A reta r não é tangente à curva C no ponto P.
Por ora, tomamos essa noção intuitiva de
reta tangente para estudarmos as taxas de
variação de uma função qualquer.
unidade 7087
CÁLCULO
Para caracterizar a rapidez com que uma
função y = ƒ(x) varia em um ponto x0,
utilizamos a ideia de taxa de variação de
y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Essa taxa de
variação é a inclinação da curva y = ƒ(x)
no ponto (x0, ƒ(x0)). Também chamada de
taxa de variação instantânea de y = ƒ(x) no
ponto (x0, ƒ(x0)), essa taxa é a inclinação
da tangente ao gráfico da curva y = ƒ(x)
no ponto (x0, ƒ(x0)). Podemos verificar o
sentido gráfico dessas ideias na Figura 60.
FIGURA 60
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
DERIVADA EM UM PONTOA taxa de variação instantânea da função
y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)) é chamada
de derivada da função y = ƒ(x) no ponto
de abscissa x0. Seu valor é usualmente
indicado por ƒ'(x0) . (Lê-se: “efe linha de xis
zero”.)
Como fizemos para a taxa de variação
média, também associamos a taxa de
variação instantânea de uma função à
inclinação de uma reta, conforme indicado
no quadro a seguir.
A taxa de variação instantânea de y = ƒ(x)
no ponto x0 é o númeto real m = ƒ '(x0).
Esse número real é a inclinação da reta
y = mx + b, que é a reta tangente ao gráfico
da curva y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)).
A equação dessa reta tangente é y - ƒ '(x0)
= ƒ '(x0)(x - x0).
Para detalhar as ideias estudadas, vamos
considerar alguns exemplos.
Exemplo 7
Consideremos, na Figura 61 e na Figura
62, cada gráfico da função y = ƒ(x) e o
respectivo gráfico da reta tangente no
ponto (x0, ƒ(x0)).
FIGURA 61
Na Figura 61, a derivada ou a taxa de
variação de y = ƒ(x) é ƒ'(x0) = m.
Aqui temos ƒ'(x0) > 0.
unidade 7088
CÁLCULO
FIGURA 62
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 62, a derivada ou a taxa de
variação de y = ƒ(x) é ƒ'(x0) = m.
Aqui temos ƒ'(x0) < 0.
Exemplo 8
Consideremos uma partícula com
movimento não uniforme. A função posição
dessa partícula é dada pela função S = ƒ(t),
cujo gráfico está na Figura 63.
FIGURA 63
A velocidade em um movimento uniforme
é um valor constante; esse valor é a razão
constante da distância percorrida pela
partícula em cada unidade de tempo. Já em
um movimento não-uniforme, a velocidade
da partícula varia de um instante para
o outro. Assim sendo, entendemos por
velocidade da partícula no instante t1 a
velocidade que ela teria se seu movimento
se tornasse, a partir desse instante, um
movimento uniforme.
A velocidade da partícula no instante t1 é a
taxa de variação da posição S em relação
ao tempo t, ou seja, é a derivada de S em
relação a t no instante t1. Podemos, pois,
escrever:
v(t1) = S'(t1) ou v(t1) = m
Desse modo, podemos dizer que a
velocidade no instante t1 é a velocidade
do movimento uniforme que melhor se
aproximaria, nesse instante, do movimento
considerado. Graficamente, é como se a
partícula, a partir desse instante, em vez
de seguir o gráfico da função posição,
passasse a seguir o gráfico da reta
tangente S = mt + b.
Exemplo 9
Consideremos o gráfico de y = ƒ(x) na Figura
64 e as retas tangentes a esse gráfico nos
pontos x1, x2 e x3.
FIGURA 64
unidade 7089
CÁLCULO
Nos pontos de abscissas x1 e x3, a
taxa de variação de y = ƒ(x) é positiva
e as respectivas retas tangentes estão
inclinadas para a direita; no ponto de
abscissa x2, a taxa de variação de y = ƒ(x) é
negativa e a respectiva reta tangente está
inclinada para a esquerda.
Exemplo 10
Analisemos as funções da Figura 65 e
as tangentes a seus gráficos no ponto
(x0, ƒ(x0)).
FIGURA 65
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nessas duas funções, a taxa de variação
no ponto (x0, ƒ(x0)) é nula.
A derivada no ponto (x0, ƒ(x0)) vale zero, ou
seja, ƒ'(x0) = 0.
As tangentes aos respectivos gráficos são
horizontais: isso significa que a inclinação
dessas tangentes é zero. A equação de
cada uma dessas tangentes é y = ƒ(x0).
Exemplo 11
Examinemos os gráficos da Figura 66.
FIGURA 66
O gráfico da esquerda apresenta uma
função que não é contínua no ponto
(x0, ƒ(x0)).
Os dois outros gráficos são angulosos
(pontudos) nos respectivos pontos
(x0, ƒ(x0)).
Nesses três casos, não existe a derivada
nos respectivos pontos (x0, ƒ(x0)), ou seja,
não existe ƒ'(x0).
Para que exista derivada em (x0, ƒ(x0)),
é necessário que o gráfico admita uma
reta tangente nesse ponto. Isso ocorre
somente quando a curva for suave (não tem
alterações bruscas) no ponto considerado.
unidade 7090
CÁLCULO
Exemplo 12
Observemos os gráficos da Figura 67.
FIGURA 67
Fonte: Elaborada pelo autor.
Não existe derivada dessas funções nos
respectivos pontos (x0, ƒ(x0)), porque a reta
tangente, em cada um desses pontos, é
vertical (paralela ao eixo y) e sua equação
não é da forma y = mx + b. Nos dois casos
apresentados na Figura 67, as retas
tangentes têm equação x = x0.
1. Primeiramente, construa uma tabela para
cada uma das funções dadas, indicando
os valores de y quando x assume valores
inteiros de 0 a 4; observe a variação de y
por unidade de variação de x no intervalo
considerado. A seguir, calcule a taxa de
variação média entre x1 = 1 e x2 = 4 para
cada uma delas.
a. y = 3x2 - 7
b. y = x3 + 7
c. y = x + 5
EXERCÍCIOS
d. y = x
2 + 5
e. y = 72 - 8x
2. Determine a velocidade média de um
carro entre as e as 8h e as 10h de um
dia, sabendo que às 8h ele estava
no quilômetro 50 e às 10h estava no
quilômetro 220 da mesma rodovia. Após
isso, responda às perguntas seguintes:
a. É possível afirmar que o carro não
ultrapassou os 85 km/ h? Justifique
sua resposta.
b. Supondo que durante esse percurso
o carro esteve parado durante 10
minutos, o que se pode afirmar
sobre sua velocidade máxima em
relação a sua velocidade média no
intervalo considerado? Justifique
sua resposta.
3. A inclinação do gráfico de uma função
y = ƒ(x) no ponto x0 é a inclinação da
reta tangente a esse gráfico no ponto
(x0, ƒ(x0)). Essa inclinação é a taxa de
variação da função y = ƒ(x) no ponto
(x0, ƒ(x0)) e essa taxa de variação
é chamada de derivada da função
y = ƒ(x) no ponto (x0, ƒ(x0)). Com base
nessa informação, determine o sinal da
derivada no ponto de abscissa x0 para
cada uma das funções cujos gráficos
aparecem a seguir.
unidade 7091
CÁLCULO
FIGURA 68
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
4. Dados os pontos de abscissas x1, x2,
x3, x4, x5, x6, x7, x8 e x9 que pertencem
ao gráfico de y = ƒ(x), determine o sinal
da derivada dessa função em cada um
desses pontos e indique os pontos onde
a derivada se anula.
FIGURA 69
5. O gráfico de y = ƒ(x) está representado
abaixo. Determine o valor da derivada
dessa função nos pontos de abscissas
x1 = 7 e x2 = 3 .
FIGURA 70
6. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto
de abscissa x0, sabendo que a reta
tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é
paralela à reta y = 2x - 6.
7. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto
de abscissa x0, sabendo que a reta
unidade 7092
CÁLCULO
tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é
perpendicular à reta y = 5 - 3
1x.
8. Determine a derivada de y = ƒ(x) no ponto
de abscissa x0, sabendo que a reta
tangente ao gráfico no ponto (x0, ƒ(x0)) é
paralela à reta que passa por A(2 , -3) e
B(1, -5).
9. Determine a equação das retas r e s,
tangentes ao gráfico de y = ƒ(x).
FIGURA 71
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
10. Determine a taxa de variação de cada
função y = ƒ(x) no ponto indicado e
escreva a equação da tangente de cada
uma delas nesse ponto.
FIGURA 72
11. Na figura, as retas r e s são tangentes à
curva de equação y = ƒ(x) e, além disso,
são paralelas à reta t, de equação
y = 3x + 9.
FIGURA 73
Com base nessas informações, determine
o valor da derivada dessa função em cada
um dos pontos assinalados.
unidade 7093
CÁLCULO
12. Calcule, nos pontos de abscissas
5, -5, 13 e -13, a derivada da função
y = ƒ(x), cujo gráfico é o semicírculo
representado.
FIGURA 74
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
13. Em cada caso, indique se existe ou
não, no ponto indicado, a derivada da
função representada.
FIGURA 75
unidade 8095
CÁLCULO
Até agora, calculamos a derivada de uma função em um ponto determinado por meio
da análise do gráfico. Para issso, consideramos a derivada de uma função y = ƒ(x) no
ponto (x1 ƒ(x1)) como a inclinação da reta tangente a seu gráfico e também como a
inclinação da curva nesse ponto. Examinar como é a inclinação de uma curva ou a inclinação
da tangente a essa curva em um ponto determinado pode ser feito quando a função é dada
por meio de uma tabela ou de seu gráfico.FIGURA 76
CÁLCULO DA DERIVADA
Fonte: Elaborada pelo autor.
Estudaremos neste capítulo como podemos calcular a derivada de uma função y = ƒ(x) no ponto
(x1, ƒ(x1)) quando essa função é dada por meio de uma equação. Procuraremos, em outros
termos, responder à pergunta que está posta na Figura 76: como calcular m = ƒ'(x1)? Admitimos
que a reta tangente ao gráfico existe e que sua equação é da forma y = mx + b, sendo a = ƒ'(x1).
Vamos, pois, procurar um jeito de calcular o valor de m a partir da lei que define y = ƒ(x).
Como calcular ƒ'(x0) = m?
unidade 8096
CÁLCULO
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Vamos analisar o caso de um carro em
movimento não uniforme. Queremos
determinar a velocidade do carro, em hm/h,
no instante t1. Essa é a velocidade que o
carro teria se seu movimento se tornasse
uniforme a partir do instante t1. Podemos
vizualizar isso no gráfico da Figura 77.
FIGURA 77
Se deixarmos transcorrer uma hora a partir
de t1 e constatarmos que, nesse intervalo,
o carro percorreu, por exemplo, 80 km,
isso não é suficiente para concluir que a
velocidade no instante t1 é de 80km/h.
Podemos, simplesmente, dizer que o carro
andou em velocidade média de 80km/h no
intervalo considerado. No intervalo de uma
hora, a velocidade média é o valor da fração
.
Durante essa hora, a velocidade em cada
instante pode ter variado bastante.
Para obter uma aproximação melhor da
velocidade do carro no instante t1, podemos
dividir uma hora em sessenta minutos e
observar a distância percorrida em um
minuto a partir de t1, sendo 1min = 601
h. No
intervalo de um minuto, contado a partir de
t1, a velocidade média é o valor da fração
.
Multiplicando a distância percorrida em um
minuto por 60, temos o percurso esperado
em uma hora, caso o carro continue com
a mesma velocidade observada durante
esse minuto. Essa situação vem ilustrada
na Figura 78.
FIGURA 78
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 8097
CÁLCULO
Obtemos uma aproximação ainda melhor
observando a variação da distância percorrida
em um segundo, a partir de t1, sendo 1s = 3600
1
h . No intervalo de um segundo, contado a partir
de t1, a velocidade média é o valor da fração
.
Multiplicando a distância percorrida em um
segundo por 3.600, obtemos o percurso
esperado em uma hora, caso o carro continue
a se deslocar com a mesma velocidade
observada durante esse segundo.
Obtemos uma aproximação mais precisa se,
dividindo uma hora em n pequenos intervalos,
observarmos a distância percorrida na
enésima parte da hora, a partir de t1, sendo
essa enésima parte igual a n
1h. No intervalo
de n
1 , contado a partir de t1, a velocidade
média é o valor da fração
.
Multiplicando a distância percorrida na
enésima parte de uma hora por n, obtemos
o percurso esperado em uma hora, caso o
carro continue a se deslocar com a mesma
velocidade observada durante essa enésima
parte.
Se considerarmos n suficiente grande,
podemos afirmar que a velocidade média
no intervalo n
1 é a velocidade no instante t1.
Podemos escrever:
v(t1).
Quanto menor o intervalo de tempo
considerado para, a partir dele,
fazermos a projeção do percurso que
seria realizado em uma hora, mais o
valor obtido se aproxima do valor da
velocidade no instante t1. Para efeito de
cálculo, usaremos a igualdade:
v(t1) , para n
arbitrariamente grande.
Usando a ideia de que a velocidade
no instante t1 é a derivada da função
posição, podemos escrever:
S'(t1) ≈ , para n
arbitrariamente grande.
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEAO processo utilizado para estimar a
velocidade do carro em um instante t1,
pode ser aplicado no caso de uma função
qualquer y = ƒ(x).
unidade 8098
CÁLCULO
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para calcular ƒ'(x1), podemos considerar,
inicialmente, a taxa de varição média
mostrada na Figura 79:
.
O valor obtido para essa taxa de variação
média pode diferir muito da derivada ƒ'(x1),
uma vez que a reta tangente no ponto (x1, ƒ(x1))
pode estar muito afastada do gráfico de y =
ƒ(x) no ponto de abscissa x1 + 1.
Para obter um valor aproximado da derivada,
podemos fazer x variar não de 1, mas de
n
1 , a partir de x1, e calcular a variação
correspondente de y = ƒ(x), conforme ilustrado
na Figura 80.
FIGURA 80
A taxa de variação média no intervalo n
1 é o
valor da fração:
.
Se considerarmos n suficiente grande,
podemos afirmar que a taxa de variação
média no intervalo n
1 é a taxa de variação
no ponto de abscissa x1, ou seja, é a
derivada da função y = ƒ(x) nesse ponto.
Escrevemos:
ƒ'(x1).
Quanto menor o intervalo considerado
para, a partir dele, fazermos a projeção
da variação da função y = ƒ(x) para cada
unidade de variação de x, mais o valor
obtido se aproxima do valor da taxa de
variação no ponto de abscissa x1, que é a
derivada ƒ'(x1).
No cálculo da derivada em um ponto,
usaremos a igualdade:
ƒ'(x1) =
, para n
arbitrariamente grande.
FIGURA 79
Chamando de An a diferença ,
unidade 8099
CÁLCULO
ou seja, fazendo
= An
podemos escrever n • An ƒ'(x1).
Esse fato é apresentado na Figura 81.
FIGURA 81
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
A aproximação n • An ƒ'(x1) pode ser
percebida considerando-se a variação
proporcional da reta y = mx + b, tangente à
curva y = ƒ(x) no ponto (x1, ƒ(x1)):
m = ƒ'(x1) = → m = ƒ'(x1) = n• An
Quanto maior o valor de n, menor será o
intervalo n
1 e melhor será a aproximação
entre o o valor de m e o valor de ƒ'(x1).
Para obter o valor exato de ƒ'(x1), analisamos
o valor de n • An, procurando descobrir de
que valor n • An se aproxima quando n se
torna arbitrariamente grande.
Tentamos responder à pergunta: de que
valor se aproxima n • An quando n assume
valores arbitrariamente grandes?
Se, para valores de n cada vez maiores, os
valores de n • An se aproximam cada vez
mais de um valor fixo m, então ƒ'(x1) = m.
Usando a notação de limite, escrevemos:
Por questão de economia, vamos fazer, na
expressão ƒ'(x1) n • ,
n
1 = h. Com essa troca, temos:
ƒ'(x1) n
1 • [ƒ (x1 + h) - ƒ(x1)] =
Podemos observar que, se n → ∞, h → 0.
Com isso, em vez de dizer que se torna
arbitrariamente grande, podemos dizer que
se torna bem próximo de zero.
Usando a notação de limite, escrevemos:
Exemplo 1
Consideremos a função ƒ(x) = 3x2 + 7.
FIGURA 82
unidade 8100
CÁLCULO
Vamos calcular sua derivada em cada um
dos pontos de abscissas x1 = 2, x2 = -3 e x3 = 0
a) Cálculo de ƒ'(2) :
Usando a notação de limite, podemos
escrever:
Quanto mais o valor de h fica próximo de
zero, mais o valor de (12 + 3h) se aproxima de
12. Por isso, podemos concluir que ƒ'(2) = 12.
A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,
no ponto de abscissa x1 = 2, tem inclinação
ƒ'(2) = 12 e passa pelo ponto (2, ƒ(2)) = (2, 19).
A equação dessa tangente é y - 19 = 12(x- 2)
ou y = 12x - 5.
ƒ(2) = 3 • 22 + 7ƒ(2 + h) = 3(2 + h)2 + 7 = 3 • 22 +12h + 3h2 + 7
ƒ(-3) = 3 • (-3)2 + 7ƒ(-3 + h) = 3(-3 + h)2 + 7 = 3 • (-3)2 -18h + 3h2 + 7
An = ƒ(2 + h) - ƒ(2) = 12h + 3h2
ƒ'(2) n
1 (12h + 3h2) = 12 + 3h
An = ƒ(-3 + h) - ƒ(-3) = -18h + 3h2
ƒ'(-3) n
1 (-18h + 3h2) = -18 + 3h
Usando a notação de limite, podemos
escrever:
Se o valor de h fica bem próximo de zero, o
valor de (-18 + 3h) fica muito próximo de -18.
Assim, podemos concluir que ƒ'(- 3) = -18.
A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,
no ponto de abscissa x2 = -3, tem inclinação
ƒ'(- 3) = -18 e passa pelo ponto (-3, ƒ(-3)) =
(-3, 34).
A equação dessa tangente é y - 34 =
-18(x + 3) ou y = -18x + 20.
b) Cálculo de ƒ'(-3):
unidade 8101
CÁLCULO
c) Cáclulo de ƒ'(0):
Usando a notação de limite, podemos
escrever:
Quanto mais o valor de h fica próximo de
zero, mais o valor de (3h) se aproxima de 0.
Assim, podemos concluir que ƒ'(0) = 0.
A reta tangente ao gráfico de ƒ(x) = 3x2 + 7,
no ponto de abscissa x3 = 0, tem inclinação
ƒ'(0) = 0 e passa pelo ponto (0, ƒ(0)) = (0, 7).
A equação dessa tangente é y - 7 = 0(x - 0)
ou y = 7.
Exemplo 2
A altura de uma bola largada do alto de um
edifício, em relação à rua, é dada pela pela
função S(t) = -4,9t2 + 98, em que S é medida
em metros e t, em segundos.
Vamos calcular a velocidade dessa bola no
instante t1 = 3.
A velocidade no instante t1 = 3 é o valor
da derivada de S(t) = -4,9t2 + 98 nesse
instante.
An = ƒ(0 + h) - ƒ(0) = 3h2
ƒ'(0) ≈ n
1 (3h2) = 3h
ƒ(0) = 3 • 02 + 7ƒ(0 + h) = 3(0 + h)2 + 7 = 3h2 + 7
S(3) = -4,9 • 32 + 98S(3 + h) = -4,9(3 + h)2 + 98 = -4,9 • 32 -29,4h - 4,9h2 + 98
An = S(3 + h) - S(3) = -29,4h - 4,9h2
v(3) = S'(3) n
1 (-29,4h - 4,9h2) = -29,4 - 4,9h
Usando a notação de limite, podemos
escrever:
Quanto mais o valor de h se aproxima
de zero, mais o valor de (-29,12 - 4,9h) se
aproxima de -29,4.
Assim, podemos concluir que v(3) = S'(3)
= - 29,4m/s.
A FUNÇÃO DERIVADA
Nos itens anteriores, calculamos a
derivada da função y = ƒ(x) em um ponto
unidade 8102
CÁLCULO
de abscissa x = x1. Como resultado dessa
operação, encontramos o número real
ƒ'(x1) = m. Neste item, vamos calcular a
derivada de uma função em um ponto
qualquer de abscissa x. Como resultado
dessa operação, vamos encontrar uma
nova função, chamada função derivada.
Exemplo 3
Determinar a derivada de ƒ(x) = x3 em um
ponto genérico de abscissa x.
Como fizemos para um ponto de abscissa
determinada, fazemos para um ponto de
abscissa x:
ƒ(x) = x3
ƒ(x + h) = (x+ h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3
An = ƒ(x + h) - ƒ(x) = 3x2h + 3xh2 + h3
ƒ'(x) x1 n
1 (3x2h + 3xh2 + h3) = 3x2 + 3xh + h2
Usando a notação de limite, podemos
escrever:
Se o valor de h fica bem próximo de zero, o
valor de (3x2 + 3xh + h2) fica muito próximo
de 3x2. Assim, podemos concluir que
ƒ'(x) = 3x2.
A derivada de uma função em um ponto
genérico (x, ƒ(x)) é também uma função,
representada por ƒ'(x). Nesse caso que
estamos analisando, ƒ'(x) = 3x2 é a função
derivada da função ƒ(x) = x3
A Figura 83 apresenta o gráfico de cada
uma dessas funções.
FIGURA 83
O valor da função derivada ƒ'(x) em um
ponto qualquer é a inclinação da reta
tangente ao gráfico da função ƒ(x) . Assim,
no caso das funções da Figura 83, a
Fonte: Elaborada pelo autor.
f’(x)
f’(x) = 3x2
y
x
0 x
f’(x)
f’(x) = 3x3
y
x0 x
unidade 8103
CÁLCULO
inclinação da reta tangente ao gráfico de
ƒ(x) = x3, no ponto (2, ƒ(2)) = (2, 8), é ƒ `(2)=
3 • 22 = 12.
A equação dessa reta tangente é y - 8 =
12(x - 2) ou y = 12x - 16.
Em geral, para calcular a derivada em um
ponto de abscissa x0, é melhor calcular,
primeiro, a derivada em um ponto qualquer,
de abscissa x , obtendo a função derivada
ƒ`(x). A seguir, calculamos o valor ƒ`(x0).
Isso ficará mais claro nos exemplos que
vêm a seguir.
Exemplo 4
A Figura 84 traz o gráfico da função
y = x3 - 3x e o de sua derivada y’ = 3x2 - 3.
FIGURA 84
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos observar que o gráfico da
derivada y’ = 3x2 - 3 está acima do eixo
horizontal no intervalo ]-∞, -1[ e no intervalo
]1, +∞[ ; nesses dois intervalos, a derivada
é positiva e, em consequência, a função
y = x3 - 3x é crescente.
No intervalo ]-1, 1[ , a derivada y’ = 3x2 - 3
é negativa (seu gráfico está abaixo do
eixo horizontal); nesse intervalo a função
y = x3 - 3x é decrescente.
DUAS DERIVADA
Nos estudos sobre a função y = ƒ(x),
feitos até agora, trabalhamos com duas
derivadas: a derivada em um ponto de
abscissa x1 e a derivada em um ponto
qualquer.
• A derivada em um ponto de
abscissa x1 é um número real m tal
que ƒ'(x1) = h
1 • [ƒ (x1 + h) - ƒ(x1)] = m,
quando h fica bem próximo de zero.
Ou, usando a notação de limite:
O número real m = ƒ'(x1) é sempre a
inclinação da reta tangente ao gráfico de
y = ƒ(x) no ponto (x1 ƒ(x1)).
A equação dessa reta tangente é
y - ƒ(x1) = m • (x - x1) ou y - ƒ(x1) = ƒ'(x1) • (x - x1)
Esse número real m = ƒ'(x1) é, também, uma
taxa de variação instantânea, formada
pela razão entre a variação da grandeza
unidade 8104
CÁLCULO
representada por e a variação da grandeza
representada por x.
• A derivada em um ponto qualquer
é uma função ƒ'(x) tal que
ƒ'(x) = h
1 • [ƒ (x + h) - ƒ(x)] , quando h fica bem
próximo de zero.
Ou, usando a notação de limite:
Dizemos que a função y = ƒ(x) é derivável
em um ponto de abscissa x se ƒ'(x),
nesse ponto, for um número real. Se isso
acontecer para todo ponto do domínio de
y = ƒ(x), dizemos que y = ƒ(x) é derivável em
todo seu domínio.
Em geral, as funções com as quais lidamos
no Cálculo são deriváveis em todo seu
domínio; algumas dessas funções não são
deriváveis em pontos isolados.
Podemos pensar que a derivada de y = ƒ(x)
é a função que associa a cada valor de do
domínio de y = ƒ(x) um único número real
ƒ'(x).
1. Primeiramente, esboce o gráfico da
função ƒ(x) = 5x2 - 3. A seguir calcule a
derivada dessa função nos pontos onde
x1 = 2, x2 = -2 e x3 = 0. Por fim, escreva a
equação da tangente ao gráfico de ƒ nesses
mesmos pontos.
2. Primeiramente, calcule a derivada no
ponto de abscissa x1 = 1, de cada uma
das funções ƒ(x) = x2 e g(x) = x3. Depois
disso, escreva a equação de cada uma das
tangentes a ƒ e g no ponto de abscissa
x1 = 1. Por fim, esboce os gráficos de ƒ e g
em um mesmo sistema de coordenadas e
trace as tangentes encontradas.
3. Calcule a derivada de cada uma das
funções no ponto de abscissa x1 ou t1:
a. ƒ(x) = -3x2 + 12; x1 = 7
b. g(x) = x2 -7x; x1 = 4
c. h(x) = 3x2 + 2x - 1; x1 = 4
d.ƒ(t) = 3t2; t1 = 5
e. g(t) = 3t2 + 7; t1 = 5
f. h(t) = 3t2 -7' t1 = 5
4. Calcule a derivada de cada uma das
funções em um ponto genérico de abscissa x:
a. ƒ(x) = 3x2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
unidade 8105
CÁLCULO
b. g(x) = 11 - x2
c. h(x) = x3 +5
5. Para cada uma das funções a seguir,
calcule a derivada ƒ'(x), esboce os gráficos
de ƒ(x) e de ƒ'(x) em um mesmo sistema e
compare essas duplas de gráficos:
a. ƒ(x) = x2
b. ƒ(x) = x2 + �
c. ƒ(x) = x2 - 1
6. Uma partícula desloca-se obedecendo à
função horária s(t) = 5t2 + 15t + 30, sendo
a distância medida em quilômetros e o
tempo, em horas. Determine a velocidade
dessa partícula no instante t = 3h.
7. A velocidade de uma partícula no
instante t é dada pela função v(t) = t2 + 2t - 8,
sendo a velocidade medida em metros por
segundo. Com base nessas informações:
a) determine a aceleração média dessa
partícula no intervalo 2 ≤ t ≤ 5 ;
b) determine a aceleração dessa partícula
em um instante t;
c) calcule a aceleração dessa partícula no
instante t = 3s.
O que vem depois
Na sequência do trabalho com o Cálculo
Diferencial e Integral, você terá possibilidade
de estudar regras práticas de derivação, o
que simplificará o aspecto operatório para
determinar derivadas. Você deverá abordar
novas funções, além das algébricas vistas
nesta apostila; são algumas das funções
transcendentes – as funções exponenciais,
as funções logarítmicas e as funções
trigonométricas. A mais disso, certamente
ficará entusiasmado ao perceber as inúmeras
aplicações das derivadas em problemas que
aparecem em quase todas as ciências e nas
diferentes tecnologias desenvolvidas e que
têm por base o Cálculo.
Para quem pretende ser um profissional
competente, vale a pena investir tempo no
estudo de Cálculo: é uma disciplina que ajuda
a ler e descrever fenômenos e situações,
encontradas no trabalho com tecnologias; é,
sobretudo, uma disciplina que pode ser decisiva
no aprender a pensar e a tomar decisões, duas
competências consideradas como as mais
importantes para o profissional do Século XXI,
de acordo com pessoas que atuam na área de
recursos humanos de empresas.
Agradecemos pelas críticas e sugestões, se
feitas no intuito de melhorar esta apostila e o
material disponibilizado no Curso. Para tanto,
deixamos à disposição o endereço eletrônico
unidade 8106
CÁLCULO
REFERÊNCIAS
HUGHES-HALLET, Deborah et al. Cálculo de
uma variável. Rio de Janeiro: LTC Editora,
2007.
LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo
com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC Editora,
2005.
MACHADO, Nilson José. Noções de Cálculo.
São Paulo: Scipione, 1988.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria
Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
Site “E-calculo”. Disponibiliza aulas de
cálculo. USP. Disponível em: <http://
ecalculo.if.usp.br/>. Acesso em: 05 fev.
2014.
Site “Khan Academy”. Disponibiliza aulas
de cálculo e outras disciplinas. Disponível
em: <http://www.khanacademy.org/>.
Acesso em: 05 fev. 2014.
SOUZA, Sérgio de Albuquerque. Usando o
Winplot [Tutorial]. Disponível em: <http://
goo.gl/3xngPw>. Acesso em: 05 fev. 2014.
STEWART, James. Cálculo. 6 ed. São Paulo:
Cengage Learning, 2010.
WINPLOT. Software gratuito. Aplicativo
computacional para a construção de
gráficos. Disponível em: <http://math.
exeter.edu/rparris/winplot.html>. Acesso
em: 05 fev. 2014.