LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN
DOMINANTE PARA EL SISTEMA DE FLUJO CUADRÁTICO
Lady Estefania Murcia Lozano
Universidad Nacional De Colombia
Facultad De Ciencias
Departamento De Matemáticas
Bogotá D.C., Colombia
2018
LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN
DOMINANTE PARA EL SISTEMA DE FLUJO CUADRÁTICO
Lady Estefania Murcia Lozano
Trabajo de Grado presentado para optar al título de Magíster en Ciencias Matemáticas
Director
Juan Carlos Hernández Rincón
Doctor en Matemáticas
Universidad Nacional De Colombia
Facultad De Ciencias
Departamento De Matemáticas
Bogotá D.C., Colombia
2018
Resumen: En este trabajo se presenta en detalle algunos resultados del artículo CONSERVATION
LAWS III:relaxation limit (ver [17]), en relación al estudio del límite singular de relajación rígida y
difusión dominante para el problema de Cauchy de un sistema de Flujo Cuadrático. Se realizaron
algunas modicaciones respecto al artículo, particularmente en el estudio de la región invariante,
ya que no usamos el principio del máximo para establecer dicha región. Además se comprueba en
detalle la última observación del artículo, la cual se reere a la inclusión de una función α(v, u)
Lipchitz continua positiva en el término de relajación del sistema, vericando la adecuada inclusión
de este término mediante la demostración de los resultados del artículo bajo esta nueva condición.
Palabras Claves: Sistema de Flujo Cuadrático, Región Invariante, Límite de Relajación, Difusión
Dominante.
Abstract: In this work, it has been presented in detail some results of the article CONSERVA-
TION LAWS III: relaxation limit (see [17]), in relation to the study of the singular limits of sti
relaxation and dominant diusion for the Cauchy problem of the System of Quadratic Flux. Some
modications were made from the article, particularly in the study of the invariant region, beacuse
we didn't use the maximum principle to construct this region. In addition, the last observation of
the article is developed in detail, which refers to the inclusion of a positive α(v, u) Lipchitz function
in the term of relaxation of the system, verifying the adequate inclusion of this term through the
demonstration of the results of the article under this new condition.
Key Words: System of Quadratic Flux, Invariant Region, Relaxation Limit, Dominant Diusion.
Nota de Aceptación 4
Bogotá, 2018
Nota de aceptación
Firma
Nombre:
Jurado
Firma
Juan Carlos Hernández Rincón
Director
Índice general
1. INTRODUCCIÓN 3
2. PRELIMINARES 7
2.1. Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Problema de Cauchy de un sistema de leyes de conservación con relajación y difusión 8
2.2.1. Regiones Invariantes Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Compacidad Compensada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. LÍMITE SINGULAR DE RELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓN DOMINAN-
TE PARA EL SISTEMA DE FLUJO CUADRÁTICO 13
3.1. Acotación a priori de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Estudio de los pares de entropía-ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Convergencia débil de la solución viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. COMENTARIOS FINALES 37
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
Introducción 2
Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales
Ut + F (U)x +1
τR(U) = 0 , (1.0.1)
donde U = U(x, t) es un N−vector de cantidades físicas, F (U) es el vector ujo y R(U) es un
término de relajación que representa la fuerza que impulsa el sistema perturbado hacia el estado
de equilibrio. τ , el cual es pequeño en muchas aplicaciones, es el tiempo de relajación y puede verse
como un tiempo escala característico en el proceso de relajación. Un sistema de la forma (1.0.1) es
un sistema de leyes de balance con relajación.
Los sistemas de relajación (1.0.1) surgen en el modelamiento físico de diferentes fenómenos como la
teoría de combustión [21,22,26], cromatografía [33,39], viscoelasticidad [5,29], teoría cinética [24],
ujo en ríos [12,39] y ujo de tráco [19,20,32,35,39].
El correspondiente sistema disipativo asociado a (1.0.1)
Ut + F (U)x +1
τR(U) = εUxx , (1.0.2)
donde ε es el coeciente de difusión o parámetro articial de viscosidad. El comportamiento de
las soluciones U τ,ε(x, t) del sistema (1.0.2) cuando el tiempo de relajación τ y el coeciente de
viscosidad ε tienden a 0 es un hecho interesante tanto en física como en matemáticas, este tipo de
límite singular ha sido estudiado por ejemplo en [6, 13,23].
El fenómeno de relajación se presenta en muchas situaciones físicas, la primera aproximación a este
tipo de problemas fue hecha por Whitham en su libro Linear and Nonlinear Waves [39], quien in-
troduce la llamada condición subcaracterística en el caso lineal, condición validada posteriormente
para sistemas no lineales 2× 2 por Tai-Ping Liu en [18].
En 1993, con [6], Chen y Liu despertaron el interés sobre el problema del límite de relajación
y disipación cero para sistemas de leyes de conservación con relajación y disipación, es decir, el
3
Introducción 4
estudio cuando el tiempo de relajación y la viscosidad tienden a cero. En su artículo, Chen y Liu
consideran los modelos viscosos de elasticidad y de transición de fase y estudian su límite de re-
lajación y disipación, para este n aplican el método de la región invariante [7] y la teoría de la
compacidad compensada, originalmente introducida en [28,38].
Los dos autores de [6] junto con David Levermore publicaron el artículo [5] en 1994, cuya principal
contribución es el desarrollo de resultados para tratar con n×n sistemas hiperbólicos con relajación.
En [16] Shi Jin y Zhouping Xin proponen una nueva clase de esquema numérico para una elección
especíca del sistema de relajación, el cual es dado porut + vx = 0
vt + aux = 1τ
(v∗(u)− v
), (a, τ > 0) .
(1.0.3)
En [29], Roberto Natalini mostró que el modelo de relajación (1.0.3) bajo la condición subcaracte-
rística
−√a < v′∗(u) <
√a ,
goza de una serie de propiedades.
Para las soluciones viscosas del sistema del gas dinámico isentrópico en coordenadas Eulerianas
con término de relajación ρt +mx = ερxx
mt +(m2
ρ + p(ρ))x
+ m−h(ρ)τ = εmxx ,
(1.0.4)
con valor inicial acotado (ρ(x, 0),m(x, 0)
)=(ρ0(x) + ε,m0(x)
), (1.0.5)
Lattanzio y Marcati [27] obtienen una estimativa a priori en L∞ para h(ρ) = cρ(1 − ρ), c > 0
y consideran el límite cuando el término de relajación τ → 0. Lu [23] obtiene la convergencia
de las soluciones del problema de Cauchy (1.0.4)-(1.0.5) para casos más generales que el conside-
rado en [27] cuando el término de relajación τ tiende a cero más rápido que el parámetro de difusión.
El estudio cuando τ → 0 para el modelo extendido de ujo de trácoρt + (ρu)x = 0
ut +(u2
2 + g(ρ))x
+ u−h(ρ)τ = 0 ,
(1.0.6)
fue iniciado por Schochet [35]. Esta clase de modelo fue introducido en [39] con el n de estudiar
el ujo de tráco de vehículos.
En [23] se estudia el límite singular de relajación rígida y difusión dominante, esto es, τ = o(ε)
cuando ε→ 0 para el problema de Cauchy de un sistema 2× 2 de leyes de balance con relajación
Introducción 5
y difusión: vt + f(v, u)x = εvxx
ut + g(v, u)x + 1τ α(v, u)
(u− h(v)
)= εuxx ,
(1.0.7)
con valor inicial acotado y medible(v(x, 0), u(x, 0)
)=(v0(x), u0(x)
), (1.0.8)
donde τ es el término de relajación, α(v, u) > 0 y ε es el coeciente de difusión. En [23] se
establece que si τ = o(ε) cuando ε → 0 y existe una cota a priori en L∞ para las soluciones(vε, uε
)≡(vε,τ(ε), uε,τ(ε)
)del problema (1.0.7)-(1.0.8) entonces existe una subsucesión
(vεk , uεk
)convergente a la solución de estado de equilibrio del sistema, mostrando la aplicación de este resul-
tado al sistema de elasticidad, al sistema del gas dinámico isentrópico en coordenadas Eulerianas
y al modelo extendido de ujo de tráco. También se considera el límite de relajación rígida y
difusión dominante sin el uso de una estimativa a priori en L∞ para los problemas de Cauchy del
sistema de uído dinámico en coordenadas Lagrangianas y el modelo de ujo de tráco.
El límite de relajación rígida y difusión dominante para el problema de Cauchy de las ecuaciones
no homogéneas del sistema de elasticidad con relajación y difusiónvt − ux + g(v, u) = εvxx
ut − s(v)x + f(v, u)u−h(v)τ = εuxx ,
(1.0.9)
con valor inicial acotado (v(x, 0), u(x, 0)
)=(v0(x), u0(x)
), (1.0.10)
es estudiado en [25] usando el esquema dado en [23] o [24].
Teniendo ya referencias sobre el estudio de estos Sistemas de Cauchy con relajación y difusión
dominante, seguiremos el esquema dado en [17]. Se estudiará el límite singular de relajación rígida
y difusión dominante para el problema de Cauchy con relajación y difusión, asociado al sistema de
ujo cuadrático (1.0.11) y (1.0.12):
vt + (uv)x = εvxx
ut + 12
(3u2 + v2
)x
+ 1τ α(v, u)
(u− h(v)
)= εuxx ,
(1.0.11)
con valor inicial acotado y medible(v(x, 0), u(x, 0)
)=(v0(x), u0(x)
), (1.0.12)
donde α(v, u) es positiva y Lipchitz continua.
En la primera parte, mediante algunos lemas se muestra la región invariante que existe para las
soluciones viscosas, dando estimaciones a priori de las mismas. Seguido de la acotación sobre
Introducción 6
compactos para las derivadas de las soluciones viscosas y el término de relajación α(v, u)u− h(v)
τ.
En la siguiente subsección, utilizamos esto para aplicar el lema de Murat a la expresión η(v)t+q(v)xque involucra al par de entoropía (η, q) con η de clase C2 y obtener en la siguiente sección un
estudio más detallado que involucra cierto par de entropía-ujo. Siguiendo esto, en la tercera
parte, utilizamos el lema del Divergente Rotacional para demostrar la convergencia fuerte de las
soluciones viscosas, nalizando con la demostración de que v es además solución entrópica en el
sentido de Lax del problema de Cauchy
vt + (vh(v))x = 0, v(x, 0) = v0(x).
Para el problema de Cauchy (1.0.11), (1.0.12), el límite de relajación rígida y difusión dominante
es tratado en [17] cuando α(v, u) = 1.
Capítulo 2
PRELIMINARES
2.1. Análisis Funcional
Las siguientes deniciones y resultados se tomaron principalmente de [37]. Además, se utilizan
algunos resultados sobre espacios Lp que no fueron citados, los cuales pueden revisarse en la teoría
general sobre estos espacios en Brezis [1].
Denición 1 (Pré-compacto). Sea X un espacio métrico. Un subconjuntoM se dice pré-compacto
o totalmente acotado si para todo ε > 0, existe un subconjunto nito J de M tal que
M ⊂⋃α∈J
B(a, ε).
Teorema 2.1.1. Sea A un subconjunto de un espacio métrico X. Entonces los siguientes enuncia-
dos son equivalentes:
a.) A es compacto.
b.) A es completo y pré-compacto.
Demostración:
La demostración de este resultado puede verse en [37, pág 28].
Denición 2 (Convergencia Débil-Estrella (Débil*)). Sea E un espacio normado y un una
sucesión en el espacio dual E′. La sucesión un se dice convergente débil-estrella al límite débil
estrella v ∈ E′ si para todo x ∈ E, se tiene un(x)→ v(x).
Para los espacios Lp, se tomará en cuenta la denición que da Smoller en [36, pág 570]. Si fn es
una sucesión en Lp(Ω), y 1 < p < ∞, entonces fn converge débilmente a f , si
∫Ωfmφ →
∫Ωfφ,
para todo φ ∈ Lp′(Ω), con 1/p+ 1/p′ = 1. Para p =∞, se toma φ ∈ L1.
El siguiente teorema es una importante consecuencia del teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki.
Puede revisarse este resultado en [34, pág 7], sin embargo se presenta un esbozo de la demostración.
Teorema 2.1.2. En un espacio de Banach X∗ con predual X separable, toda sucesión acotada
contiene una subsucesión convergente débil*.
7
Preliminares 8
Demostración:
Consideremos los siguientes hechos:
1. Banach-Alaoglu-Bourbaki: la bola unitaria BX∗ es débil* compacta para todo espacio nor-
mado X.
2. Si X es un espacio separable, la bola unitaria BX∗ es débil* metrizable.
En efecto, si (xn)∞n=0 es una sucesión acotada en X∗, entonces existe M > 0 tal que la sucesión
(xn/M)∞n=0 está en BX∗ . Por la compacidad y metrización de BX∗ con respecto a la topología
débil*, se tiene la compacidad secuencial. Esto es, existe una subsucesión (xnk/M)∞k=0 tal que
xnk/M → x débil*, para algún x ∈ BX∗ . Luego xnk
→Mx.
2.2. Problema de Cauchy de un sistema de leyes de conservación
con relajación y difusión
Considerando la ecuación
Ut + F (U)x +1
τR(U) = εUxx , (2.2.1)
y su sistema asociado, discriminando la relajación y disipación, se obtiene
Ut + dF (U)Ux = 0, (2.2.2)
donde dF (U) es la Matriz Jacobiana de F . Se tienen las siguientes deniciones.
Denición 3 (Sistema Hiperbólico y Estrictamente Hiperbólico). Decimos que el sistema (2.2.2)
es Hiperbólico si dF tiene dos autovalores reales λ1 y λ2. Se dice Estrictamente Hiperbólico si λ1
y λ2 son distintos, es decir λ1 < λ2. Si λ1 y λ2 coinciden en algunos puntos del dominio, el sistema
es llamado Hiperbólicamente Degenerado.
La demostración del siguiente teorema se puede encontrar en el artículo [40].
Teorema 2.2.1 (Existencia de las soluciones viscosas). Consideremos el siguiente problema de
Cauchy para el sistema parabólico:ut
1 + f1
(u1, u2, . . . , un
)x
+ g1(u1, u2, . . . , un) = εu1xx
...
utn + fn
(u1, u2, . . . , un
)x
+ gn(u1, u2, . . . , un) = εunxx
(2.2.3)
con dato inicial
u1(x, 0) = u01(x), . . . , un(x, 0) = u0
n(x), (2.2.4)
acotado y medible: ∣∣u01(x)
∣∣ ≤M, . . . , |u0n(x)| ≤M.
Preliminares 9
i) Suponga que fi ∈ C1(Rn) y gi son funciones localmente Lipchitz, para i = 1, 2, . . . , n. Entonces
el problema de Cauchy (2.2.3)-(2.2.4) tiene una única solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)
)∈ C∞ (R× (0, τ0)) para τ0 > 0 el cual depende únicamente de la
norma en L∞ del dato inicial, y∣∣u1ε(x, t)∣∣ ≤ 2M, . . . , |unε(x, t)| ≤ 2M, ∀(x, t) ∈ R× [0, τ0) .
ii) Más aún, si la solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)
)tiene una estimativa a priori∣∣u1ε(x, t)
∣∣ ≤M(T ), . . . , |unε(x, t)| ≤M(T ), ∀t ∈ [0, T ] ,
entonces la solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)
)existe en R× [0, T ].
Particularmente, si existe N > 0 tal que∥∥u1ε(x, t)∥∥L∞(R×[0,+∞])
≤ N, . . . , ‖unε(x, t)‖L∞(R×[0,+∞]) ≤ N
entonces la solución(u1ε(x, t), . . . , unε(x, t)
)∈ C∞(R× (0,+∞)).
Denición 4 (Invariantes de Riemann). Las funciones W = W (u, v), Z = Z(u, v) son llama-
das Invariantes de Riemann del sistema (2.2.2) correspondiente a λ1 y λ2, si ellas satisfacen las
ecuaciones
∇W · rλ1 = 0 , ∇Z · rλ2 = 0.
Donde rλ1 y rλ2 , denotan los autovectores derechos.
Denición 5 (Par de entropía). Un par de funciones (η(u), q(u)) es llamado un par de
entropía-ujo del sistema (2.2.2), si (η(u), q(u)) satisfacen
∇q(u) = ∇η(u)∇f(u).
Denición 6 (Solución entrópica en sentido de Lax). Sean (η(u), q(u)) el par de funciones de clase
C2 que satisface q′ = η′f ′, η′′ ≥ 0, y φ ∈ C∞0 (R×R+) una función positiva, v es solución entrópica
en el sentido de Lax, si ∫∫R×R+
η(v)φt + q(u)φxdxdt ≥ 0.
2.2.1. Regiones Invariantes Positivas
El estudio de las regiones invariantes es muy importante, en el sentido que permite resultados sobre
el comportamiento de las soluciones en tiempos largos. Estos resultados fueron tomados del texto
de Smoller en [36].
Consideremos el sistema con valor inicial;
∂ϑ
∂t= εDϑxx +Mϑx + f(ϑ, t) (x, t) ∈ Ω× R+, (2.2.5)
ϑ(x, 0) = ϑ0(x), x ∈ Ω.
Preliminares 10
Aquí, ε > 0, Ω es un intervalo abierto en R, D = D(ϑ, x) y M = M(ϑ, x), son funciones de valor
matricial denidas en un subconjunto abierto U × V ⊂ Rn × Ω, D ≥ 0, ϑ = (ϑ1, ϑ2, ..., ϑn) y si f
es una función suave de U × R+ en Rn.
Denición 7. (Región Invariante) Un subconjunto cerrado Σ ⊂ Rn es llamado una Región Positiva
Invariante para la solución local denida por (2.2.5), si cualquier solución ϑ(x, t) teniendo todos
su valores frontera e iniciales en Σ, satisface ϑ(x, t) ∈ Σ para todo x ∈ Ω y para todo t ∈ [0, δ).
Estas regiones pueden ser descritas en términos de una colección nita G1, G2, ..., Gn de funciones
suaves denidas en U , como se sigue:
Σ =n⋂i=1
ϑ ∈ V : Gi(ϑ) ≤ 0, i = 1, ..., n . (2.2.6)
Denición 8. (Función Quasi-Convexa) La función suave G : Rn −→ R es llamada Quasi-Convexa
en ϑ si siempre que dGϑ(η) = 0, entonces d2Gϑ(η, η) ≥ 0.
A continuación, el principal resultado de esta sección, que permitirá determinar que condiciones
sobre las funciones Gi son necesarias, para establecer la región invariante.
Teorema 2.2.2. [Región Invariante] Sea Σ, como se dene en (2.2.6), y suponga que para todo
t ∈ R+ y para todo ϑ ∈ ∂Σ, las siguientes condiciones se tienen:
1. dGi en ϑ es un autovalor izquierdo de D(ϑ, x) y M(ϑ, x), para todo x ∈ Ω.
2. Gi es quasi-convexo en ϑ.
3. dGi(f) < 0 en ϑ, para todo t ∈ R+.
Entonces Σ es invariante para el sistema (2.2.5), y todo ε > 0.
2.3. Compacidad Compensada
En esta sección se presentan algunos resultados sobre compacidad compensada, tomados del texto
de Hermano Frid [30].
Lema 1 (Murat). Si fk∞k=1 una sucesión acotada en W−1,rloc (Ω) para alguna r, con 2 < r ≤ ∞,
tal que fk = gk +hk (k = 1, 2, ...) donde gk es una sucesión pre-compacta en Wloc−1,2(Ω), y hk
es una sucesión acotada en M(Ω) (espacio de medidas de Radón) entonces fk es pre-compacta
en Wloc−1,2(Ω).
Preliminares 11
Demostración:
Se puede ver la demostración en [30, pág 33].
Como ya se mencionó, el siguiente resultado debido a Tartar y Murat constituye el núcleo de la
teoría de la compacidad compensada y será de especial utilidad para demostrar la convergencia
de las soluciones asociadas al sistema con relajación rígida y difusión dominante. Su demostración
puede verse en [30, pág 21].
Teorema 2.3.1 (Divergente Rotacional). Sean Ω ⊂ Rn abierto y acotado y las sucesiones vεε,wεε acotadas en L2(Ω;Rn) tales que;
i.) div vε es pré-compacto en W−1,2(Ω)
ii.) rot wε es pré-compacto en W−1,2(Ω;Mn×n),
donde Mn×n es el espacio de las matrices n× n y denotamos
(rot)ij =∂
∂xjwi − ∂
∂xiwj ,
1 ≤ i, j ≤ n.Supongamos además que vε v y wε w en L2(Ω;Rn).
Entonces
vε · wε v · w
en el sentido de las distribuciones.
Preliminares 12
Capítulo 3
LÍMITE SINGULAR DERELAJACIÓN RÍGIDA Y DIFUSIÓNDOMINANTE PARA EL SISTEMA DEFLUJO CUADRÁTICO
Dado el sistema de Flujo Cuadrático con relajación rígida y difusión dominantevt + (uv)x = εvxx,
ut + 12
(3u2 + v2
)x
+ 1τ α(v, u)
(u− h(v)
)= εuxx
(3.0.1)
con valor inicial acotado y medible(v(x, 0), u(x, 0)
)=(v0(x), u0(x)
). (3.0.2)
En aplicación del Teorema 2.2.1, sabemos que las soluciones existen localmente en el tiempo. Ade-
más, si encontraramos estimativas a priori para estas soluciones, podremos extenderlas globalmente,
siendo este el propósito de la siguiente sección.
Observación 1 (Notación de las soluciones del sistema). Para mayor precisión, u y v, en el sistema
anterior, debiesen ser reemplazadas por uε y vε. Sin embargo, se utilizarán u y v, para indicar estas
soluciones en tanto no hayan confusiones.
3.1. Acotación a priori de las soluciones
Para demostrar el siguiente Lema sobre la acotación de las soluciones, debemos establecer primero
los Invariantes de Riemann. Ciertas curvas de nivel de estas funciones nos ayudaran a delimitar la
región de acotación.
Escribimos el sistema hiperbólico asociado:
13
Acotación a priori de las soluciones 14
vt + (uv)x = 0.
ut + 12
(3u2 + v2
)x
= 0(3.1.1)
de la forma
Ut + dF (U)Ux = 0,
donde U =
(v
u
)y F (U) =
(uv
12
(3u2 + v2
)).La matriz Jacobiana asociada a F (U) está dada por
dF (U) =
(u v
v 3u
)cuyos autovalores son
λ1 = 2u+ s1/2 y λ2 = 2u− s1/2,
con s = u2 + v2, y autovectores respectivos
r1 =
(s1/2 − u−v
)y r2 =
(s1/2 + u
v
).
A este sistema hiperbólico, se calculan los Invariantes de Riemann asociados a los autovalores, es
decir, las funciones W (v, u) y Z(v, u) que satisfacen,
Wu(s1/2 − u)−Wvv = 0
Zu(s1/2 + u) + Zvv = 0.
Solucionando el sistema, se obtiene
W (u, v) = s1/2 + u
Z(u, v) = s1/2 − u.
Lema 2. (Acotación de las soluciones uε y vε) Sea h(v) ∈ C(R). Si N y L son constantes positivas,
tal que la curva u = h(v) y los datos iniciales (v0(x), u0(x)) están dentro de la región
Σ = (v, u) : W (v, u) ≤ N ∩ (v, u) : Z(v, u) ≥ −L
y u = h(v) pasa por las dos intersecciones (v1, u1) y (v2, u2) de las curvas W (v, u) = N y
Z(v, u) = −L, entonces las soluciones (ϑε) =(vε,τ(ε), uε,τ(ε)
)del problema de Cauchy (3.0.1)-
(3.0.2) satisfacen
|uε(x, t)| ≤M, |vε(x, t)| ≤M, (x, t) ∈ R× R+,
donde M es independiente de ε.
Acotación a priori de las soluciones 15
Demostración:
Tomando los invariantes de Riemann del sistema, se obtienen las siguientes expresiones
Wu = 1 +u√s, Wv =
v√s, Wuu =
v2
s32
, Wuv = −uvs
32
, Wvv =u2
s32
;
Zu = 1− u√s, Zv = − v√
s, Zuu = − v
2
s32
, Zuv =uv
s32
, Zvv = −u2
s32
.
Consideremos las curvas W (v, u) = u+ s1/2 = N , donde N > 0, esto es
u =N
2− v2
2N,
en este sentido, estamos hablando de parábolas que abren hacia abajo con vértice en
(0,N
2
).
Similarmente las curvas Z(v, u) = u− s1/2 = −L, donde L > 0, esto es
u =v2
2L− L
2,
en este sentido, estamos hablando de parábolas que abren hacia arriba con vértice en
(0,−L
2
).
Ya que el dato inicial ϑo(x) = (v0(x), u0(x)) es acotado y h(v) ∈ C(R), escogemos las constantes
N y L, de tal manera que ϑo y u = h(v), esten en la región Σ, dada por:
Σ = (v, u) : W (v, u) ≤ N ∩ (v, u) : Z(v, u) ≥ −L
= (v, u) : W (v, u)−N ≤ 0 ∩ (v, u) : −Z(v, u)− L ≤ 0 .
Si la curva u = h(v) pasa los dos puntos de intersección (v1, u1), (v2, u2) de las curvas
W = N,Z = −L y está por encima de la curva Z = −L y debajo de la curva W = N cuan-
do v1 ≤ v ≤ v2, como se muestra en la gura 3.1:
Acotación a priori de las soluciones 16
Figura 3.1: Región Invariante Σ.
Veamos que en efecto, Σ es una región invariante en aplicación del Teorema 2.2.2, tomando
ϑ = (v, u), D =
(1 0
0 1
), M =
(−u −v−v −3u
)y f =
(0
−α(v, u)(u−h(v)
τ
))En términos del teorema, tenemos las funciones suaves:
G1(v, u) = W (v, u)−N G2(v, u) = −Z(u, v)− L.
Con primeras y segundas derivadas como sigue:
dG1(v, u) = Wv(v, u)ı+Wu(v, u) =v√sı+
(1 +
u√s
)
dG2(v, u) = −Zv(v, u)ı− Zu(v, u) =v√sı+
(u√s− 1
),
d2G1 =
∂2
∂v2G1
∂2
∂v∂uG1
∂2
∂u∂vG1∂2
∂u2G1
=
Wvv(v, u) Wvu(v, u)
Wuv(v, u) Wuu(v, u)
=
u2
s3/2− uvs3/2
− uvs3/2
v2
s3/2
d2G2 =
∂2
∂v2G2
∂2
∂v∂uG2
∂2
∂u∂vG2∂2
∂u2G2
=
−Zvv(v, u) −Zvu(v, u)
−Zuv(v, u) −Zuu(v, u)
=
u2
s3/2− uvs3/2
− uvs3/2
v2
s3/2
Veamos que en efecto verican las hipótesis, para todo t ∈ R+ y ϑ = (v, u) ∈ ∂Σ.
Acotación a priori de las soluciones 17
1. dG1 y dG2 en ϑ, son vectores propios a izquierda de D(ϑ, x) y M(ϑ, x).
Dado que D((v, u), x) =
(1 0
0 1
), trivialmente dG1 y dG2 son autovectores propios.
Solucionando la ecuación Det (M − µI) = 0, para µ se obtienen los siguientes valores propios:
µ1 = −2u−√s, µ2 = −2u+
√s.
Para abreviar la notación, denimos s = u2 + v2.
dG1(v, u) es autovector izquierdo de M((v, u), x) =
(−u −v−v −3u
).
dG1(v, u)M((v, u), x) =(Wv(v, u) Wu(v, u)
)(−u −v−v −3u
)
=(v√s
1 + u√s
)(−u −v−v −3u
)
=([−u(v√s
)+(
1 + u√s
)(−v)
] [−v(v√s
)+(
1 + u√s
)(−3u)
])
=([− uv√
s− v − vu√
s
] [(− v2√
s
)− 3u− 3u2√
s
])
=([−2uv√
s− v] [
−√s− 3u− 2u2√
s
])
=([−2uv√
s− v] [(
−2u−√s)
+ 2u2√s− u])
=([(−2u−
√s)
v√s
] [(−2u−
√s) (
1 + u√s
)])
=(−2u−
√s)(
v√s
1 + u√s
)= µ1 (dG1)
dG2(v, u) es autovector izquierdo de M((v, u), x) =
(−u −v−v −3u
).
Acotación a priori de las soluciones 18
dG2(v, u)M((v, u), x) =(−Zv(v, u) −Zu(v, u)
)(−u −v−v −3u
)
=(v√s
u√s− 1)(−u −v−v −3u
)
=([−u(v√s
)+(u√s− 1)
(−v)] [
−v(v√s
)+(u√s− 1)
(−3u)])
=([− uv√
s+ v − vu√
s
] [−(v2√s
)+ 3u− 3u2√
s
])
=([−2uv√
s+ v] [
−√s+ 3u− 2u2√
s
])
=([−2uv√
s+ v] [
−(−2u+
√s)− 2u2√
s+ u])
=([(−2u+
√s) (
v√s
)] [(−2u+
√s) (
u√s− 1)])
=(−2u+
√s)(
v√s
u√s− 1)
= µ2 (dG2) .
G1 y G2 son cuasi-convexas en ϑ. Según la Denición 8, tomamos η = (η1, η2).
Caso G1: La conclusión se sigue pues;
d2G1ϑ(η) =(η1 η2
) u2
s3/2− uvs3/2
− uvs3/2
v2
s3/2
η1
η2
=
(u2
s3/2
)(η2
1
)− 2
uv
s3/2(η1η2) +
(v2
s3/2
)(η2
2
)=
(1
s3/2
)(u2η1
2 − 2uv(η1η2) + v2η22)
=
(1
s3/2
)(uη1 − vη2)2 ≥ 0
Acotación a priori de las soluciones 19
Caso G2: La conclusión se sigue pues;
d2G2ϑ(η) =(η1 η2
) u2
s3/2− uvs3/2
− uvs3/2
v2
s3/2
η1
η2
=
(u2
s3/2
)(η2
1
)− 2
uv
s3/2(η1η2) +
(v2
s3/2
)(η2
2
)
=
(1
s3/2
)(u2η1
2 − 2uv(η1η2) + v2η22)
=
(1
s3/2
)(uη1 − vη2)2 ≥ 0
dG1(f) < 0 y dG2(f) < 0 en ϑ, para todo t ∈ R+.
•
dG1 (f) = (Wv (v, u) ,Wu(v, u)) ·(
0,−α(v, u)
(u− h(v)
τ
))= Wu(v, u)
(−α(v, u)
(u− h(v)
τ
)).
Ya que α(v,u)τ > 0, nos concentraremos en el signo de la expresión Wu(v, u) (u− h(v)):
Si ϑ ∈ ∂Σ ∩W (v, u) = N , entonces (u− h(v)) > 0. Además, Wu(v, u) > 0, para todo
(v, u) ∈ R2, entonces la expresión tomada inicialmente es positiva.
Así, puede concluirse que
dG1(f) = Wu(v, u)
(−α(v, u)
(u− h(v)
τ
))< 0.
•
dG2 (f) = (−Zv (v, u) ,−Zu(v, u)) ·(
0,−α(v, u)
(u− h(v)
τ
))= −Zu(v, u)
(−α(v, u)
(u− h(v)
τ
)).
Análogamente, si ϑ ∈ ∂Σ ∩ Z(v, u) = −L, entonces (u− h(v)) < 0. Además,
Zu(v, u) > 0, para todo (v, u) ∈ R2, luego −Zu(v, u) (u− h(v)) > 0. Luego, puede
concluirse
Acotación a priori de las soluciones 20
dG2(f) = −Zu(v, u)
(−α(v, u)
(u− h(v)
τ
))< 0.
Ya que el dato inicial ϑo(x) = (v0(x), u0(x)) y la curva u = h(v) ∈ C(R) están en Σ, en aplicación
del Teorema 2.2.2, está región es invariante positiva, y por lo tanto las soluciones ϑε = (vε, uε)
están en Σ. Así, obtenemos una estimación a priori para las soluciones:
|uε(x, t)| ≤M, |vε(x, t)| ≤M
donde M es independiente de ε.
Luego las soluciones uε(x, t) y vε(x, t) son uniformemente acotadas en L∞ respecto a ε. Además,
en aplicación del Teorema 2.1.2 existe una subsucesión (uε, vε) convergente débil*, notado
W ∗ − lım(uε(x, t), vε(x, t)) = (u(x, t), v(x, t)). (3.1.2)
Lema 3. Para el sistema de Flujo Cuadático (3.0.1) si 0 < α0 ≤ α(v, u) y h(v) ∈ C2(R) entonces
ε(uεx)2, ε(vεx)2 y (uε−h(vε))2
τ son acotados en L1loc(R× R+).
Demostración:
Por simplicidad, omitiremos el superíndice ε en la demostración.
Consideremos la función p(u, v) = u2
2 − h(v)u + C1v2
2 . Para esta función p(v, u), se tienen las
siguientes expresiones:
pu(v, u) = u− h(v) pv(v, u) = −uh′(v) + C1v puu(v, u) = 1 pvv(v, u) = −uh′′(v) + C1
puv(v, u) = −h′(v).
Consideremos la expresión
puuu2x + 2puvuxvx + pvvv
2x = 1 · (u2
x) + 2(−h′(v))uxvx + (−uh′′(v) + C1)v2x. (3.1.3)
Acotación a priori de las soluciones 21
Ya que h(v) ∈ C2(R), y v es acotada. Entonces h′(v), y h′′(v) son acotadas, luego satisface
puuu2x + 2puvuxvx + pvvv
2x ≥ C2(u2
x + v2x) (3.1.4)
para alguna constante C2 > 0.
Multiplicando el sistema (3.0.1) por (pv, pu), tenemos
pv(v, u)vt(x, t) + pv(v, u)(uv)x = pv(v, u)εvxx (3.1.5)
pu(v, u)ut(x, t) +pu(v, u)
2(3u2 + v2) + pu(v, u)α(v, u)
(u− h(v))
τ= pu(v, u)εuxx. (3.1.6)
Adicionamos las ecuaciones (3.1.5) y (3.1.6)
(pv(v, u)vt(x, t) + pu(v, u)ut(x, t)) +pu(v, u)
2(3u2 + v2) + pv(v, u)(uv)x + pu(v, u)α(v, u)
(u− h(v))
τ
= pv(v, u)εvxx + pu(v, u)εuxx. (3.1.7)
Ya que
pxx(v, u) = puuux2 + 2puvuxvx + puuxx + pvvvx
2 + pvvxx,
de esta ecuación en (3.1.7) y usando la desigualdad (3.1.4), se obtiene;
p(v, u)t + pu(v, u)
(3
2u2 +
1
2v2
)x
+ pv(v, u)(uv)x + pu(v, u)α(v, u)(u− h(v))2
τ(3.1.8)
= ε[pxx(v, u)−
(puuux
2 + 2puvuxvx + pvvvx2)]
≤ ε[pxx(v, u)− C2(u2x + v2
x)]. (3.1.9)
Analizando el segundo sumando de la expresión (3.1.8), se obtiene:
Acotación a priori de las soluciones 22
pu(v, u)
(3
2u2 +
1
2v2
)x
= pu(v, u)
(3
2u2 +
1
2v2
)x
+ pu(v, h(v))
(3
2h2(v) +
1
2v2
)− pu(v, h(v))
(3
2h2(v) +
1
2v2
)+ pu(v, u)
(3
2h2(v) +
1
2v2
)− pu(v, u)
(3
2h2(v) +
1
2v2
)+
3
2(pux(v, u)(u2 − h2(v)))− 3
2(pux(v, u)(u2 − h2(v)))
=
[pu(v, u)
(3
2u2 +
1
2v2
)x
− pu(v, u)
(3
2h2(v) +
1
2v2
)]+
[pu(v, u)
(3
2h2(v) +
1
2v2
)− pu(v, h(v))
(3
2h2(v) +
1
2v2
)]+
[3
2
(pux(v, u)(u2 − h2(v))
)− 3
2(pux(v, u)(u2 − h2(v)))
]+ pu(v, h(v))
(3
2h2(v) +
1
2v2
)x
=3
2(pu(v, u)(u2 − h2(v))) + pu(v, h(v))
(3
2h2(v) +
1
2v2
)x
− 3
2pux(v, u)(u2 − h2(v)) + (pu(v, u)− pu(v, h(v)))
(3
2h2(v) +
1
2v2
)x
.
Aplicamos el Teorema del Valor Medio para pu(v, u), luego existe β1 ∈ (h(v), u), tal que
puu(v, β1) =pu(v, u)− pu(v, h(v))
u− h(v),
pu(v, u)
(3
2u2 +
1
2v2
)x
=
(3
2pu(v, u)(u2 − h2(v))
)x
+
(∫ v
pu(s, h(s))(3h(s)h′(s) + s)ds
)x
− 3
2(puuux + puvvx)(u+ h(v))(u− h(v))
+ puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx
pu(v, u)
(3
2u2 +
1
2v2
)x
=
[3
2pu(u, v)(u2 − h2(v)) +
∫ v
pu(s, h(s))(3h(s)h′(s) + s)ds
]x
+
[−3
2(puuux + puvvx)(u+ h(v))(u− h(v))
](3.1.10)
+[puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx
].
Acotación a priori de las soluciones 23
En la expresión (3.1.10), asignamos la siguiente notación:
T1 =
[3
2pu(u, v)(u2 − h2(v)) +
∫ v
pu(s, h(s))(3h(s)h′(s) + s)ds
]x
. (3.1.11)
T2 =
[−3
2(puuux + puvvx)(u+ h(v))(u− h(v))
]. (3.1.12)
T3 =[puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx
]. (3.1.13)
Por otro lado, para el tercer término de la expresión (3.1.8), obtenemos
pv(v, u)(uv)x = pv(v, u)(uv)x + pv(v, u)(vh(v))x − pv(v, u)(vh(v))x
+ pv(v, h(v))(vh(v))x − pv(v, h(v))(vh(v))x
+ pvx(v, u)v(u− h(v))− pvx(v, u)v(u− h(v))
= pv(v, u) [(uv)x − (vh(v))x] + pv(v, h(v))(vh(v))x
+ (pv(v, u)− pv(v, h(v))) (vh(v))x
+ pvx(v, u)v(u− h(v))− pvx(v, u)v(u− h(v)) .
Aplicamos el Teorema del Valor Medio para pv(v, u), luego existe β2 ∈ (h(v), u), tal que
pvu(v, β2) =pv(v, u)− pv(v, h(v))
u− h(v).
pv(v, u)(uv)x =
(pv(v, u)v(u− h(v)) +
∫ v
pv(s, h(s))(h(s) + h′(s)s)ds
)x
+ [−pvx(v, u)v(u− h(v))] (3.1.14)
+ puv(β2, v)(u− h(v))(h(v) + h′(v)v)vx.
En la expresión (3.1.14), asignamos la siguiente notación:
T1 =
(pv(v, u)v(u− h(v)) +
∫ v
pv(s, h(s))(h(s) + h′(s)s)ds
)x
. (3.1.15)
T2 = [−pvx(v, u)v(u− h(v))] . (3.1.16)
T3 = puv(β2, v)(u− h(v))(h(v) + h′(v)v)vx. (3.1.17)
Ya que puu, puv y (u+ h(v)) son acotadas, podemos tomar max(|puu| , |puv| , |u+ h(v)|) = C. Así,
de (3.1.12)
|T2| ≤ C√
2√τ (|ux|+ |vx|)
|u− h(v)|√2√τ
= C√
2√τ |ux|
|u− h(v)|√2√τ
+ C√
2√τ |vx|
|u− h(v)|√2√τ
. (3.1.18)
Acotación a priori de las soluciones 24
Consideremos la desigualdad
δa2 +b2
4δ≥ |ab| con δ > 0, (3.1.19)
Tomamos el primer sumando de la expresión (3.1.18), y la desigualdad anterior (3.1.19), sea
a =|u− h(v)|√
2√τ
y b = C√
2√τ |ux| .
Obtenemos
C√
2√τ |ux|
|u− h(v)|√2√τ≤ δ |u− h(v)|2
2τ+K2τ |ux|2
4δ. (3.1.20)
Similarmente, tomamos el segundo sumando de la expresión (3.1.18), y la desigualdad (3.1.19),
asignamos
a =|u− h(v)|√
2√τ
y b = C√
2√τ |vx| .
Obtenemos
C√
2√τ |vx|
|u− h(v)|√2√τ≤ δ |u− h(v)|2
2τ+K2τ |vx|2
4δ. (3.1.21)
Tomando las desigualdades (3.1.20) y (3.1.21) en (3.1.18), resulta:
|T2| ≤ δ(u− h(v))2
τ+ C1(δ)τ(u2
x + v2x), C1(δ) es una constante que depende de δ.
(3.1.22)
Análogamente, de (3.1.16), se obtiene
|T2| ≤ δ(u− h(v))2
τ+ C2(δ)τ(u2
x + v2x), C2(δ) es una constante que depende de δ.
(3.1.23)
Ahora, consideremos el caso T3. Teniendo en cuenta que puu = 1 y el término (3h(v)h′(v) + v) es
acotado.
|T3| =∣∣puu(β1, v)(u− h(v))(3h(v)h′(v) + v)vx
∣∣ ≤ ∣∣∣∣(u− h(v))√τ
C4
√τvx
∣∣∣∣ (3.1.24)
Con C4 que depende de la expresión (3h(v)h′(v) + v).
Tomamos la expresión anterior (3.1.24), y la desigualdad (3.1.19), asignamos
a =|u− h(v)|√
τy b = C4
√τ |vx| .
Para obtener:
Estudio de los pares de entropía-ujo 25
|T3| ≤ δ(u− h(v))2
τ+ C5
τv2x
4δ, con C5 constante. (3.1.25)
Análogamente, de (3.1.27), se obtiene
|T3| ≤ δ(u− h(v))2
τ+ C6
τv2x
4δ, con C6 constante. (3.1.26)
Denase q(u, v)x = T1 + T1. En (3.1.8), se obtiene.
p(u, v)t + T1 + T2 + T3 + T1 + T2 + T3 + α(v, u)(u− h(v))2
τ= p(u, v)t + q(u, v)x
+ T2 + T3 + T2 + T3 (3.1.27)
+ α(v, u)(u− h(v))2
τ
≤ ε[pxx(u, v)− C2(u2x + v2
x)].
Además, reemplazando (3.1.22),(3.1.23),(3.1.25),(3.1.26) en (3.1.27) resulta
p(u, v)t + q(u, v)x − 4δ(u− h(v))2
τ+ α(v, u)
(u− h(v))2
2τ+ (εC2 − τC3)(u2
x + v2x) (3.1.28)
≤ εpxx(u, v)− α(v, u)(u− h(v))2
2τ. (3.1.29)
Si tomamos δ =α0
8en la desigualdad (3.1.28), obtenemos
p(u, v)t + q(u, v)x +(−(α0
2
)+ α0
) (u− h(v))2
2τ+ (εC2 − τC3)(u2
x + v2x) ≤ εpxx(u, v), (3.1.30)
para una constante positiva C3 dependiendo de las cotas de las segundas derivadas de p(u, v).
Además τ = o(ε) cuando ε → 0, luego 2τC3 ≤ εC2 si ε es sucientemente pequeño. Luego, de la
desigualdad (3.1.30), resulta
α0(u− h(v))2
2τ+(C2ε
2
)(u2x + v2
x) ≤ εpxx(u, v)− p(u, v)t − q(u, v)x. (3.1.31)
Sea K ⊂ R × R+ un conjunto compacto arbitrario. Escojamos φ ∈ C∞0 (R × R+) tal que φK = 1,
0 ≤ φ ≤ 1 y escribamos S = sopφ. Entonces, multiplicando (3.1.31) por φ e integrando por partes
sobre R× R+, tenemos∫∫K
(C2
2ε(u2
x + v2x)φ+ α0
(u− h(v))2
τφ
)dxdt
≤∫∫
S
(C2
2ε(u2
x + v2x)φ+ α0
(u− h(v))2
τφ
)dxdt
≤∫ ∞−∞
∫ ∞0
(C2
2ε(u2
x + v2x)φ+ α0
(u− h(v))2
τφ
)dxdt
≤∫ ∞−∞
∫ ∞0
(pφt + qφx + εpφxx) dxdt ≤M(φ),
Estudio de los pares de entropía-ujo 26
es decir, εu2x, εv
2x y (u−h(v))2
τ son acotadas en L1loc(R× R+).
3.2. Estudio de los pares de entropía-ujo
Para ver la existencia de los pares de entropía ujo de nuestro sistema, se requiere escribir la
condición de entropía ujo ∇q(U) = ∇η(U)∇F (U), comoqu = 3uηu + vηv
qv = vηu + uηv.
Eliminando q se obtiene
v(ηvv − ηuu) + 2uηuv = 0.
Mediante la sustitución η(v, u) = η(s, u) y q(v, u) = q(s, u) se tiene las siguiente ecuación diferencial
parcial
ηss =1
4sηuu,
cuya solución está dada por η(s, u) = h(s)eku para k constante y h(s) que satisface
h′′(s)− k2
4sh(s) = 0.
Además si en esta última ecuación hacemos a(s) = s1/4, r = ks1/2, h(s) = a(s)φ(r), se puede
transformar en
φ′′(r)−(
1 +3
4r2
)φ(r) = 0,
cuya solución en serie existe y nos conduce a la existencia de los pares de entropía-ujo.
A continuación se estudiará la compacidad de un par arbitrario de entropía-ujo asociado a la
ecuación escalar
vt + (h(v)v)x = 0. (3.2.1)
Teorema 3.2.1. Si (η(v), q(v)) es un par de entropía-ujo de la ecuación escalar
vt + (h(v)v)x = 0, (3.2.2)
con η de clase C2 entonces η(v)t + q(v)x es compacto H−1loc .
Demostración:
Reescribimos la primera ecuación en (3.0.1) como sigue:
vt + (h(v)v)x = εvxx + ((h(v)v)− (uv))x. (3.2.3)
Sea (η(v), q(v)) cualquier par de ujo-entropía de entropía de (3.2.2). Entonces multiplicando
(3.2.3) por η′(v), tenemos
Estudio de los pares de entropía-ujo 27
η(v)t + q(v)x = −η′(v)((uv)− (h(v)v))x + εη′(v)vxx
= −(η′(v)v(u− h(v)))x + εη(v)xx (3.2.4)
+ vη′′(v)(u− h(v))vx − η′′(v)v2x.
En sentido de la aplicación del Lema de Murat 1, debemos dar los siguientes pasos, para Ω conjunto
abierto y acotado de R× R+:
a) η(vε)t + q(vε)xε es acotada en W−1,rloc (Ω), para algún r, con 2 < r ≤ ∞.
b) −(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + εη(vε)xxε es una sucesión precompacta en W−1,2loc (Ω).
c)vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2
εes una sucesión acotada en M(Ω), donde M(Ω) son las
medidas acotadas de Radon.
Procedemos a estas demostraciones, con ayuda del hecho de que una sucesión uniformemente
acotada en L∞(Ω), lo es también en W−1,∞.
a) Ya que η y q están en C2(Ω), y vε es acotada, entonces η(vε)t + q(vε)xε es uniformemente
acotada en L∞(K), para K compacto arbitrario en Ω, luego lo es en W−1,∞loc (Ω).
b) Podemos ver que −(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + εη(vε)xxε es convergente enW−1,2loc (Ω) = H−1
loc (Ω),
luego precompacta en H−1loc(Ω).
Sea φ ∈ H10 (R× R+).
∣∣∣∣∫Ω
[(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + (εη(vε)xx)
]φdxdt
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫Ω
(η′(vε)vε(uε − h(vε)))xφdxdt+
∫Ω
(εη(vε)xx)φdxdt
∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫
Ω(η′(vε)vε(uε − h(vε)))xφdxdt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫Ω
(εη(vε)xx)φdxdt
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫Ωη′(vε)vε(uε − h(vε))φxdxdt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫Ω
(ε
12 η′(vε)vεx
)(ε
12φx
)dxdt
∣∣∣∣ ,ya que η′(vε) es acotada. Si c es esta constante de acotación, resulta∣∣∣∣∫
Ω
[(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + (εη(vε)xx)
]φdxdt
∣∣∣∣≤∣∣∣∣c∫
Ωvε(uε − h(vε))φxdxdt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣c∫Ω
(ε12 vεx)(ε
12φx)dxdt
∣∣∣∣
Estudio de los pares de entropía-ujo 28
Aplicando la desigualdad de Hölder,∣∣∣∣∫Ω
[(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + (εη(vε)xx)
]φdxdt
∣∣∣∣≤ c
(∫Ωτφ2
xdxdt
) 12(∫
Ω
(uε − h(vε))2
τdxdt
) 12
+ c
(∫Ωεvεx
2
) 12(∫
Ωεφx
2dxdt
) 12
y como (uε−h(vε))2
τ , vεx2 ∈ L1
loc(Ω)∣∣∣∣∫Ω
[(η′(vε)vε(uε − h(vε)))x + (εη(vε)xx)
]φdxdt
∣∣∣∣≤ cK
(∫Ωτφ2
xdxdt
) 12
+ cK1
(∫Ωεφx
2dxdt
) 12
→ 0 cuando ε→ 0.
Donde K y K1 son constantes.
Como la sucesión es convergente, resulta compacta en W−1,2loc (Ω).
c) Para ver quevεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2
εes una sucesión acotada en M(Ω), basta
ver que es uniformemente acotada en L1loc(Ω).
Sea K un compacto arbitrario en R× R+.
∫K
∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2∣∣ dxdt (3.2.5)
≤∫K
[∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε)vεx)∣∣+∣∣η′′(v)vεx
2∣∣] dxdt (3.2.6)
=
∫K
∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx∣∣ dxdt+
∫K
∣∣η′′(v)vεx2∣∣ dxdt, (3.2.7)
como η′′(vε) es acotada, digamos por una constante K2, resulta∫K
∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2∣∣ dxdt (3.2.8)
≤ K2
∫K|vε(uε − h(vε))vεx| dxdt+K2
∫K
∣∣vεx2∣∣ dxdt, (3.2.9)
aplicando la desigualdad de Hölder, y el hecho de que ε (vεx)2 es acotado∫K
∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2∣∣ dxdt (3.2.10)
≤ K2
(∫K
(uε − h(vε))2
τdxdt
) 12((τ
ε
)∫Kεvεx
2dxdt
) 12
+K3 (3.2.11)
Convergencia débil de la solución viscosa 29
y como (uε−h(vε))2
τ , εvεx2 ∈ L1
loc(Ω)∫K
∣∣vεη′′(vε)(uε − h(vε))vεx − η′′(vε)vεx2∣∣ dxdt ≤ K4
(τε
) 12
+K3 → K3 cuando ε→ 0.
(3.2.12)
K3 y K4 son constantes.
3.3. Convergencia débil de la solución viscosa
Finalizamos el estudio del Sistema de Flujo Cuadrático, con el siguiente Teorema sobre la conver-
gencia de las soluciones viscosas.
Teorema 3.3.1. Para el problema de Cauchy (1.0.11)-(1.0.12), si g(v) = vh(v), con
µv : g′′(v) = 0
= 0, (µ medida de Lebesgue) entonces existe una subsucesión (vε, uε) que con-
verge a las funciones (v, u) cuando ε→ 0, las cuales son los estados de equilibrio determinados de
manera única por (E1)− (E2):
(E1) u(x, t) = h(v(x, t)), para casi todo (x, t) ∈ Ω un conjunto abierto y acotado;
(E2) v(x, t) es la L∞ solución entrópica de el problema de Cauchy
vt + (vh(v))x = 0, v(x, 0) = v0(x).
Demostración:
Consideremos los pares de entropía-ujo de la ecuación escalar
vt + (h(v)v)x = 0, (3.3.1)
como se sigue:
(η1(θ), q1(θ)) = (θ − k, g(θ)− g(k)) (3.3.2)
(η2(θ), q2(θ)) =
(g(θ)− g(k),
∫ θ
k(g′(s))2ds
)(3.3.3)
donde k es una constante arbitraria y g(θ) = θh(θ).
Notemos además los límites débil* de los pares de ujo-entropía evaluados en las subsucesiones de
soluciones viscosas halladas en (3.1.2):
ηi(vε) = w∗ − lım ηi(vε) qi(vε) = w∗ − lım qi(v
ε) para i = 1, 2.
Veamos convenientemente el producto η1q2 − q1η2:
Convergencia débil de la solución viscosa 30
η1q2 − q1η2 = (vε − k)
∫ vε
k(g′(s))2ds− (g(vε)− g(k))2
+ (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds
+ (g(vε)− g(v))2 − (g(vε)− g(v))2
+ k
∫ k
v(g′(s))2ds− k
∫ k
v(g′(s))2ds
+ (g(v)− g(k))2 − (g(v)− g(k))2
= (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− g(vε)2 + 2g(vε)g(k)− g(k)2
+ g(vε)2 − 2g(vε)g(v) + g(v)2 − (g(vε)− g(v))2
+ v
∫ vε
v(g′(s))2ds− k
∫ vε
k(g′(s))2ds− k
∫ k
v(g′(s))2ds
+ vε∫ v
k(g′(s))2ds− k
∫ v
k(g′(s))2ds
+ (g(v)− g(k))2 − (g(v)− g(k))2
= (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
+ (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds
− (g(v)− g(k))2 − g(vε)2 + 2g(vε)g(k)− g(k)2
+ g(v)2 − 2g(v)g(k) + g(k)2 + g(vε)2 − 2g(vε)g(v) + g(v)2
= (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
+ (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds
− (g(v)− g(k))2
+ 2g(vε)g(k) + 2g(v)2 − 2g(v)g(k)− 2g(vε)g(v)
= (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
+ (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds (3.3.4)
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)).
Convergencia débil de la solución viscosa 31
Aplicando el límite débil* a η1q2 − q1η2, se obtiene de (3.3.4):
η1q2 − q1η2 = (vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
+ (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds (3.3.5)
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v))
por Teorema del Divergente Rotacional 2.3.1
(vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
+ (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds (3.3.6)
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)) = η1 q2 − q1 η2. (3.3.7)
Analicemos ahora la expresión (3.3.7):
η1 q2 − q1 η2 = (vε − k)
∫ vε
k(g′(s))2ds−
(g(vε)− g(k)
)2
= (vε − k)
∫ vε
k(g′(s))2ds−
(g(vε)
)2+ 2g(vε)g(k)− g(k)2
+(g(vε)− g(v)
)2−(g(vε)− g(v)
)2
+ (g(v)− g(k))2 − (g(v)− g(k))2
= (vε − k)
∫ vε
k(g′(s))2ds−
(g(vε)− g(v)
)2
− (g(v)− g(k))2 + 2g(vε)g(k)− 2g(vε)g(v) + 2g(v)2 − 2g(v)g(k).
= (vε − k)
∫ vε
k(g′(s))2ds−
(g(vε)− g(v)
)2
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)
). (3.3.8)
De las ecuaciones (3.3.6),(3.3.7) y (3.3.8), se tiene:
Convergencia débil de la solución viscosa 32
(vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
+ (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v))
= (vε − k)
∫ vε
k(g′(s))2ds−
(g(vε)− g(v)
)2
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)
).
Estudiamos el primer sumando para obtener
= (vε − v)
∫ vε
k(g′(s))2ds
+(v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds
−(g(vε)− g(v)
)2
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)
).
= (v − k)
∫ vε
v(g′(s))2ds+ (vε − k)
∫ v
k(g′(s))2ds
−(g(vε)− g(v)
)2(3.3.9)
− (g(v)− g(k))2 − 2(g(v)− g(k))(g(vε)− g(v)
).
Conjugando las expresiones (3.3.6) y (3.3.9), se obtiene:
(vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2 = −
(g(vε)− g(v)
)2
equivalente a:
(vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2 +
(g(vε)− g(v)
)2= 0. (3.3.10)
Veamos que el primer sumando de esta expresión es positivo:
Convergencia débil de la solución viscosa 33
d
dθ
((θ − v)
∫ θ
v(g′(s))2ds− (g(θ)− g(v))2
)=
∫ θ
v(g′(s))2ds+ (θ − v)(g′(θ))2 − 2(g(θ)− g(v))g′(θ)
=
∫ θ
v(g′(s))2ds+
∫ θ
vg′(θ)ds− 2g′(θ)
∫ θ
vg′(s)ds
=
∫ θ
v
(g′(θ)− g′(s)
)2ds > 0, para todo θ.
ya que g′′(v) 6= 0 en casi toda parte.
Así, la función
(θ − v)
∫ θ
v(g′(s))2ds− (g(θ)− g(v))2
es convexa, y como en v esta se anula, entonces la función debe ser positiva. Esto es
(θ − v)
∫ θ
v(g′(s))2ds− (g(θ)− g(v))2 > 0. (3.3.11)
De este resultado en (3.3.10), se tiene que
(vε − v)
∫ vε
v(g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2 = 0 (3.3.12)(g(vε)− g(v)
)2= 0 (3.3.13)
Consideremos un conjunto Ω, cualquier abierto y acotado de R × R+. De la ecuación 3.3.12, se
tiene que
lımε→0
∫Ω
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)dxdt = 0. (3.3.14)
Por otro lado, de (3.3.11) en el conjunto Ω1 = Ω ∩ (x, y) : (vε(x, t)− v(x, t)) > α, es decir para(vε(x, t)− v(x, t)) > α > 0,
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)> Cα, (3.3.15)
sobre Ω1, con Cα > 0 independiente de ε, luego∫Ω1
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)dxdt ≥ Cαµ (Ω1) . (3.3.16)
Convergencia débil de la solución viscosa 34
y análogamente si Ω2 = Ω∩(x, y) : (vε(x, t)− v(x, t)) < −α = Ω∩(x, y) : (v(x, t)− vε(x, t)) > α,el mismo razonamiento conducente a (3.3.15), llevaría a que
(v − vε)∫ v
vε
((g′(s))2ds− (g(v)− g(vε))2
)> Cα, (3.3.17)
de aquí, que
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)> Cα, (3.3.18)
sobre Ω2. Así, nuevamente se obtiene∫Ω2
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)dxdt ≥ Cαµ (Ω2) . (3.3.19)
Así, tomando el conjunto Ω3 = Ω1 ∩ Ω2 = (x, y) : |vε(x, t)− v(x, t)| > α,∫Ω3
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)dxdt ≥ Cαµ (Ω3) > 0, (3.3.20)
lo que implica que de (3.3.14),
lımε→0
∫Ω3
(vε − v)
∫ vε
v
((g′(s))2ds− (g(vε)− g(v))2
)dxdt = 0, (3.3.21)
así, para toda constante α, de (3.3.20) y (3.3.21):
lımε→0
µ (Ω ∩ (x, t) : |vε − v| > α) = 0,
es decir vε converge en medida a v, luego existe una subsucesión vεε que converge en casi toda
parte a v.
Veamos ahora que uε converge a u = h(v) en casí toda parte sobre Ω.
Ya que(uε − h(vε))2
τ∈ L1
loc(R× R+), para todo K compacto se tiene∫∫K
(uε − h(vε))2 dxdt −→ 0,
luego, si tomamos el compacto K de tal manera que Ω ⊆ K, entonces, :∫∫Ω
(uε − h(vε))2 φdxdt −→ 0,
de lo que se concluye
uε −→ h(v) casi toda parte en Ω. (3.3.22)
Convergencia débil de la solución viscosa 35
Por otra parte uε∗ u. Luego, para φ de soporte compacto S, tal que φK = 1, se tiene
∫∫Ω|uε − u| dxdt ≤
∫∫K|uε − u| dxdt ≤
∫∫S|uε − u|φdxdt→ 0 (3.3.23)
cuando ε→ 0.
Conjugando (3.3.22) y (3.3.23), se obtiene
∫∫Ω|u− h(v)| dxdt =
∫∫Ω|u− uε + uε − h(v)| dxdt (3.3.24)
≤∫∫
Ω|u− uε| dxdt+
∫∫Ω|uε − h(v)| dxdt −→ 0,
demostrandóse que u = h(v) en casi toda parte sobre Ω.
Veamos a continuación la propiedad E2, utilizando la Denición 6, para ver que v(x, t) es una
solución entrópica en el sentido de Lax del problema de Cauchy
vt + (vh(v))x = 0, v(x, 0) = v0(x). (3.3.25)
Tomando la expresión (3.2.4) y el hecho de que η′′(vε) > 0, para φ ∈ C∞0 (R× R+), se tiene
∫∫R×R+
η(vε)tφ+ q(vε)xφdxdt ≤∫∫
R×R+
−(η′(vε)vε(uε − h(vε)))xφ+ εη(vε)xxφ
+ vη′′(v)(u− h(v))vxφ
=
∫∫R×R+
(η′(vε)vε(uε − h(vε)))φx + εη(vε)φxx
+ vη′′(v)(u− h(v))vxφdxdt.
≤∫∫
R×R+
(η′(vε)vε(uε − h(vε)))φx + εη(vε)φxx (3.3.26)
+K
(∫R×R+
(uε − h(vε))2
τdxdt
) 12((τ
ε
)∫R×R+
εvεx2dxdt
) 12
.
(3.3.27)
Si hacemos ε→ 0 en (3.3.26) y (3.3.27), se obtiene:
∫∫R×R+
η(v)tφ+ q(v)xφdxdt ≤ 0,
Convergencia débil de la solución viscosa 36
de donde ∫∫R×R+
η(v)φt + q(v)φxdxdt ≥ 0.
En general la condición de solución entrópica en el sentido de Lax puede llevar a la unicidad de
soluciones o conducir a soluciones físicamente realistas. Para ver en detalle esta condición de Lax,
se puede ver su artículo orginal [14] o consultar [8, pág 220], [10, pág 341], [11, pág 508] para mayor
detalle sobre su signicado físico.
Capítulo 4
COMENTARIOS FINALES
El estudio de este trabajo pretendia ver la última conclusión de Liu y Cheng en el artícu-
lo [17], sobre la inclusión en el término de relajación, de una función Lipchitz continua positiva
α(v, u), de la que además se asumió la existencia de su mínimo. Así, el desarrollo del trabajo
concluye la aceptación de este término, bajo las hipótesis ya mencionadas que resultan nece-
sarias tanto para la existencia de las soluciones viscosas, como para la acotación del término
de mecanismo de relajación en L2loc.
En el artículo [17] estudiado, se hallan las estimativas a priori en L∞ debido al principio del
máximo. Este no se aplicó en el trabajo debido a la falta de acotación de los autovalores
asociados a los Invariantes de Riemann del sistema. En este caso, debemos asegurar inicial-
mente que la función u = h(v) esta en cierta región limitada por las curvas W (v, u) = N y
Z(v, u) = −L. Esto conociendo que la naturaleza de las mismas son parabólas (convexas).
Es interesante preguntarse para que otro tipo de sistemas se puede aplicar el razonamiento del
trabajo, es decir adicionar al término fuente, una función α(v, u) Lipchitz continua positiva.
Esto en sentido de ampliar aplicaciones del método aquí utilizado. Para responder este tipo de
interrogantes, podríamos empezar mirando el límite del sistema AW-Rascle, estudiado por De
La Cruz, Rendón y Juajibioy en el artículo RELAXATION LIMIT FOR AW- RASCLE, [9].
Consideramos el problema de Cauchy para el sistema Aw-Rascle:
pt + (m− ρP (ρ))x = ερxx
mt +(m2
ρ +mP (ρ))x
+ α(p,m)m−h(p)τ = εmxx .
(4.0.1)
este queda como una pregunta abierta de este trabajo, con posible indagación en estudios
posteriores.
37
Convergencia débil de la solución viscosa 38
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