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Lgica
Instituto de Matemtica
Universidad Austral de Chile
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Hay un cierto animal - animalito - que cuando lo
mencionamos no tenemos otro remedio que
meter la a, e, i, o, u por medio. O sea, que es un
nombre que se ha apropiado de todas las vocales
inventadas. Cul es el nombre del bicho?.
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2) El amigo Jacinto tiene doce monedas, pero sabe que una de ellas es falsa, esto
es, que tiene un peso mayor que el peso de cada una de las restantes. Le dicen
que use una balanza y que con solo tres pesadas averige cul es la moneda de
peso diferente, Cmo es posible?
1) Sin acertar con ninguna de las tres, un empleado etiquet errneamente tres cajas
que contenan lpices, bolgrafos y grapas. Cuando alguien le comunica el error, dice:
"no hay problema, con solo abrir una de las tres caja y mirar su contenido, ya podr
colocar las tres etiquetas correctamente". Cmo lo hace?
3)
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4) Se pretende dividir el pastel
cilndrico de la figura en 8 trozos
iguales, pero solamente con tres
cortes. Cmo seran esos cortes?
5) La Reina Isabel ha matado ya varios jardineros por
que ninguno de ellos ha sido capaz de cumplir con
sus instrucciones precisas, las cuales consisten que
con solo 10 rboles sean capaces de hacer 5 lneas
rectas de 4 rboles cada una. Fracasara tambin?
6) Tenemos aqu tres enunciados falsos. Ser capaz de descubrir
cules son?
1. 2+2=4
2. 3x6=17
3. 8/4=2
4. 13-6=5
5. 5+4=9
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5
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Estudia la estructura de las aseveraciones con el fin de determinar si stas son vlidas o no.
El enunciado:
Estamos en clases de lgebra
Salgamos a carretear!!
Es una proposicin
No es una proposicin
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Otros ejemplos:
Hoy es Martes
Qu da es hoy?
3+1=5
Dos es par
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Clasificacin de proposiciones
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Una proposicin es simple o atmica, si ninguna
parte de ella es a su vez una proposicin.
Ejemplos:
Dos es un nmero par".
"Tres es mayor que cuatro".
"Tres ms cinco es mayor que cuatro".
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2 es un nmero entero y es positivo
Si llueve, el piso se moja
Si es un entero, entonces es real
Si estudio y hago los ejercicios, entonces apruebo
y paso de curso
Una proposicin es compuesta si est formado de
proposiciones simples y de conectivos que los unen.
Ejemplos:
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Alfabeto de la lgica proposicional
El lenguaje de la lgica proposicional necesita tres tipos distintos de smbolos:
CONSTANTES PROPOSICIONALES
CONECTIVOS LGICOS
SMBOLOS AUXILIARES
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- Simbolizan oraciones o proposiciones
- Se utilizan las siguientes letras minsculas: p, q, r, s, t, u - Si necesitamos simbolizar ms oraciones (un
nmero infinito de ellas), recurrimos a subndices numricos:
p1, p2, p3, p4, p5
CONSTANTES PROPOSICIONALES
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Conectivos lgicos
, , p
Smbolo Operacin asociada
Negacin (no)
Conjuncin (y)
Disyuncin inclusiva (o, y/o)
Implicacin (condicional)
Doble implicacin (bicondicional)
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SMBOLOS AUXILIARES Son parntesis y corchetes, que sirven para agrupar los otros smbolos de manera que se puedan evitar ambigedades:
( ) [ ]
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Conectivos y tablas de verdad
Un arreglo que muestra los posibles valores de verdad de una proposicin compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples, se llama tabla de verdad.
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Construccin tablas de verdad
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El dinero es la felicidad
No es cierto que el dinero es la felicidad
Verdad Falso
Falso Verdad
Negacin
p p
V F
F V
p Representa la proposicin compuesta no p
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Dos es par
Tres es impar Dos es par y
tres es impar
V V V
V F F
F V F
F F F
p: Dos es par y tres es impar.
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Conjuncin ( )
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Dos es par El tres es impar Dos es par o el tres es
impar
V V V V F V F V V F F F
p: Dos es par o el tres es impar.
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Disyuncin ( )
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Paso el ao
nuevo en casa
con la familia
Me voy a
carretear con
mis amigos
paso el ao nuevo en casa
con la familia o me voy a
carretear con mis amigos
V V V F F V F F
q: paso el ao nuevo en casa con la
familia o me voy a carretear con mis
amigos..
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Disyuncin exclusiva ( )
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
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r:Si me saco el loto entonces te regalo un
auto
Me saco el
loto
Te regalo un
auto
Si me saco el loto
entonces te regalo un
auto
V V V F F V F F
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Implicacin o condicional ( )
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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Algo ms sobre el condicional
hiptesis o antecedente
tesis, conclusin consecuente
p q
Formas de Lectura: a) si p entonces q
b) p implica q
c) q si p
d) q solo si p
e) p es condicin suficiente para q
f) q es condicin necesaria para p
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r:"dos es mayor que cuatro si y slo si siete es
menor que dos".
Dos es mayor
que siete
Siete es
menor que dos
"dos es mayor que
siete si y slo si
siete es menor que
dos".
V V V F F V F F
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Bicondicional ( )
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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Resumen Tablas de Verdad.
P Q P P Q P Q P Q P Q
F F V F F V V
F V V F V V F
V F F F V F F
V V F V V V V
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Tautologa, contradiccin Una Tautologa es una proposicin compuesta que es verdadera (V ) siempre, independiente de los valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la forman.
Una Contradiccin es una proposicin compuesta que es falsa (F ) siempre, independiente de los valores de verdad que tengan las proposiciones simples que la forman.
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Dos proposiciones se dirn equivalentes si y solo si sus tablas de verdad son idnticas.
p q p p q p q
V V F V V
V F F F F
F V V V V
F F V V
V
p q p q
Proposiciones lgicamente equivalentes
p q
,p q
Notacin:
Ejemplo:
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Ejemplos ( )p p1.
2. ; p p p p p p
3. ; p t p p c c
4. ; p t t p c p
5. ( )p q p q
6. ( )p q q p Contra recproca
7. p c p Reduccin al absurdo
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Bivalencia T F
F T
Doble negacin (Involucin) p p
Idempotencia p p p
p V p p
Identidad p T p p F F
p V T T p V F p
No Contradiccin p p F
( p p ) T
Complemento (exclusin media) p V p T p p F
( p V p ) F
Absorcin (contraccin) p ( p V q ) p
p V ( p q ) p
Conmutatividad p q q p
p V q q V p
Leyes de Morgan (dualidad) ( p q ) p V q
( p V q ) p q
Asociatividad p ( q r ) ( p q ) r
p V ( q V r ) ( p V q ) V r
Distributiva p ( q V r ) ( p q ) V ( p r )
p V ( q r ) ( p V q ) ( p V r )
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Ejercicios: Construya las tablas de verdad de la siguientes proposiciones. Hay algunas de ellas que sean equivalentes?
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Escriba en lenguaje simblico las siguientes proposiciones, definiendo las proposiciones simples que la componen.
a) El 7 es primo por consiguiente, tiene solo dos divisores.
b) Tu nota es roja, aunque la ma no es roja.
c) Luis juega con su perro, Luca con nmeros.
d) No es cierto que: a Mara no le gusta Pedro o a Pedro le
gusta macarena.
e) Si tu me molestas, te invitar a comer.
f) No es cierto que a Pamela se le cay un vaso, fue a
Mara.
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