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Pedro Teixeira
Lógica e Teoria de Conjuntos
Matemática 10º ANO
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1.1. Introdução à lógica Bivalente
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Pedro Teixeira
Designações / termos
Proposição
Designação correta é toda a expressão com significado que representa um objeto.
Composição de termos / designações, apresentando um nexo entre eles
Maneira de perceber na lógica matemática
São palavras (nomes + advérbios)
Ligação entre termos através de um verbo (ex: “é”) são frases
Exemplos 3; ; “pato”; “galinha”; “ovo”;
; =5; 2+9=7; a galinha pôs o ovo.
Distinção entre termos/ designações e proposições
“x é igual a 3”
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Pedro Teixeira
Uma proposição é toda a expressão suscitável de um valor lógico
proposição
Lógica Bivalente
2 valências = 2 valores
VERDADE
FALSIDADE
V ou 1
F ou 0O universo dos valores lógicos é o conjunto:{V; F} ou {1;
0}
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Qualquer proposição obedece aos seguintes princípios:
Princípio da não contradição:Uma proposição não pode ser verdadeira nem
falsa em simultâneo.Princípio do terceiro excluído:
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa; isto é: verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro
Princípios gerais das proposições
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Proposições equivalentes são proposições que apresentam o mesmo valor lógico Às vezes, quando estamos a indicar o valor
lógico das proposições podemos usar o símbolo da equivalência (⟺): , ⟺ ;
Sendo V e F proposições Verdadeira e Falsa, respetivamente
Proposições equivalentes
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Operações com proposições
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Para demonstrar propriedades das operações com proposições , podem usar-se diferentes técnicas tais como: tabelas de verdade, argumentos que envolvam apenas as definições das operações, ou ainda, recorrendo a propriedades já verificadas.
Tabelas de verdade
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“não é verdade …” Representa-se pelo símbolo . Forma simplificada: inverte o valor lógico da
proposição a que está a ser implicada.
Negação ()
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Sejam e dois números pertencentes a , tais que:
Negação aplicada a operações numéricas
⟺
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Lei da dupla negação
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“a negação da negação de uma proposição apresenta o mesmo valor lógico que a dita proposição”.
Lei da Dupla negação
⟺
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Pedro Teixeira
A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p Ʌ q .
A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem ambas verdadeiras.
Conjunção
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A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p Ʌ q .
A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem ambas verdadeiras.
Conjunção
Já se utilizava a conjunção quando resolvíamos
sistemas de equações.Exemplo:
Ʌ
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Pedro Teixeira
A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p V q .
A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas falsas.
Disjunção
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Pedro Teixeira
A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova proposição que se representa por p V q .
A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas falsas.
Disjunção
Já se utilizava a disjunção, quando resolvíamos uma
equação pela lei do anulamento do produto.
Exemplo:V
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Pedro Teixeira
Recorda: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa
Desse modo, a conjunção de uma proposição e a sua negação será sempre falsa.
Principio da não contradição
O resultado é sempre F
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Recorda: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Desse modo, a disjunção de uma proposição com a sua negação é sempre verdadeira.
Principio do terceiro excluído
O resultado é sempre V
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Pedro Teixeira
Tautologia / contradição
Tautologia Uma proposição que tem
sempre o valor lógico de verdade, independentemente do valor lógico das proposições que a compõe, chama-se tautologia.
principio do terceiro excluído
Contradição Uma proposição que tem
sempre o valor lógico de falsidade, independentemente do valor lógico das proposições que a compõe, chama-se contradição.
Principio da não contradição
São proposições “especiais”
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Pedro Teixeira
Dadas as proposições p e q, chama-se implicação a proposição representada por p⟹q
Implicação
Antecedente da implicação
Consequente da implicação
Conhecer apenas o valor lógico do consequente não é suficiente para concluir o valor lógico da implicação
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implicação
A implicação p q entre duas proposições p e q é uma nova proposição que é falsa se, e só se, o antecedente p é verdadeiro e o consequente q é falso.
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Recorda: Duas proposições são equivalentes se tiverem
o mesmo valor lógico Desse modo, pode-se dizer que a equivalência é
verdadeira quando as proposições sujeitas a esta tiverem o mesmo valor lógico.
Equivalência
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Operações numéricas Operações Lógicas
Importância das operações
Impor tânc i a
Impor tânc i a
Multiplicação e divisão
Soma e subtração
Negação
Conjunção e disjunção
Implicação e equivalência
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Propriedades comutativas:
Propriedades associativas:
Propriedades das conjunções e disjunções
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Propriedades distributivas: A conjunção é distributiva em relação à
disjunção:
A disjunção é distributiva em relação à conjunção:
Propriedades das conjunções e disjunções
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Elementos neutros e Elementos absorventes V é o elemento absorvente da disjunção o elemento neutro na conjunção.
F é o elemento neutro da disjunção o elemento absorvente da conjunção.
Propriedades das conjunções e das disjunções
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Pedro Teixeira
Em linguagem recorrente: Negar que as duas proposições são
simultaneamente verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa.
Negar que pelo menos uma das proposições é verdadeira equivale a afirmar que as duas são simultaneamente falsas
Em linguagem matemática
Leis de Morgan
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Relação entre a implicação e a disjunção
Propriedades da implicação
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Negação de uma implicação
Repara que: Desse modo, )
Logo, )
Propriedades da implicação
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Implicação contrarrecíproca:
Propriedades da implicação
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Propriedade transitiva da implicação
“se p implica q e q implica r, então p implica r”
Propriedades da implicação
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Dupla implicação
Propriedades da implicação
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1.2. Condições e conjuntos
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Uma expressão proposicional ou condição é uma expressão envolvendo a variável , tal que, substituindo por um objeto , se obtém a proposição .
Expressão proposicional ou condição
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Quantificadores
Quantificador universal Dada uma condição , é
uma proposição verdadeira se e só se se obtiver sempre uma proposição verdadeira aquando a substituição de por um número arbitrário.
Num dado conjunto , a proposição é uma proposição verdadeira se e só se se obtiver sempre uma proposição verdadeira aquando a substituição de por um elemento de .
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Quantificadores
Quantificador existencial ∃
Dada uma condição , é uma proposição verdadeira se e só se, para pelo menos um objeto , seja verdadeira.
Num dado conjunto , a proposição é uma proposição verdadeira quando e apenas quando, para pelo menos um objeto , que pertença a , seja verdadeira.
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Classificação de condições
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Uma condição p(x) é possível se a proposição for verdadeira.
Uma condição p(x) é possível num conjunto U se for verdadeira
Uma condição que não é possível é uma condição impossível:
Condição possível e condição impossível
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Uma condição p(x) é universal se a proposição for verdadeira.
Uma condição p(x) é universal num conjunto U se a proposição for verdadeira.
Condições universais
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Sejam uma condição possível; uma condição universal; uma condição impossível; uma condição qualquer.
Propriedades da disjunção e conjunção de condições
Propriedades das disjunções Propriedades das conjunções
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Segundas leis de Morgan
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A negação de uma condição universal é uma condição impossível. Se , então
A negação de uma condição impossível é uma condição universal. Se , então
Negação de uma condição
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Negação de uma implicação
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Negação de proposições quantificadas num conjunto U
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A definição de um conjunto em extensão baseia-se na discriminação de todos os elementos que o compõem.
A definição de um conjunto em compreensão é determinar esse conjunto por meio de uma condição
sendo p(x) uma condição definida em U
Conjuntos: extensão / compreensão
.
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Dois conjuntos, ,
Igualdade de conjuntos
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Duas condições são equivalentes no mesmo conjunto se e somente se definirem o mesmo conjunto em U
se e somente se
Condições equivalentes
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A intercessão de A com B corresponde ao conjunto de todos os elementos que pertençam, em simultâneo, em A e B.
Intercessão de dois conjuntos
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A intercessão de A com B corresponde ao conjunto de todos os elementos que pertençam a pelo menos a um dos conjuntos, A ou B
(Re)união de dois conjuntos
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Dois conjuntos A e B, diz-se A está contido em B ou que A é um subconjunto de B quando todos os elementos de A pertencerem a B
Relação de inclusão de dois conjuntos
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Dados dois conjuntos, A e B, chama-se diferença entre A e B (A\B) ao conjunto dos elementos de A que não pertencem a B:
Diferença de conjuntos
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Seja : um conjunto
Complementaridade de conjuntos – Leis de Morgan
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Pedro Teixeira
Dupla Implicação
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Principio da dupla inclusão
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Contrarreciproco
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Correspondência entre proposições e conjuntos
Proposições Conjuntosequivalência
igualdade
negação complementaridade
disjunção reunião
conjunção intersecção
implicação inclusão