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LOS NUMEROS
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NUMEROS ENTEROS
Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia de números negativos. Los llamaban números absurdos.
La necesidad de los números negativos pudo haber surgido por pérdidas en el comercio y…
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NUMEROS ENTEROS
Por dividir la Tierra en pedacitos:
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NUMEROS ENTEROS
Medir el ángulo de inclinación de la Tierra que da origen a las estaciones:
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NUMEROS ENTEROS
Por medir las temperaturas en desiertos, mares, montañas, ….
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NUMEROS ENTEROS
Se fijó el nivel del mar para realizar medidas submarinas y sobre la tierra.
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NUMEROS ENTEROS
Todo número natural tendrá un simétrico en el conjunto de los números enteros. (Z)
Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
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NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros se describe como:
Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
Representación gráfica de los números enteros:
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NUMEROS ENTEROS
¿Qué existe entre el -3 y el -2?
¿Qué existe entre el 3 y el 4?
No existe nada
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NUMEROS ENTEROS
Con los números enteros se cumple:
La igualdad =
Se pueden ordenar:
El antecesor de un número es el menor (<)
Así -5 < -4, -4 < -3, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1
El sucesor de un número es el mayor (>)
Así -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0
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NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno solo.
Cantidades del mismo signo se suman manteniendo su signo.
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NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno solo.
La suma de dos números enteros es siempre un número entero.
-8, 8 y 2 pertenecen a los enteros
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NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:Propiedades: CONMUTATIVA
Al sumar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro
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NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA
Para sumar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.
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NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un número entero 0, que al ser sumado a cualquier otro número entero da como resultado ese mismo número.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/propieda.htm
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NUMEROS ENTEROS
Multiplicación (*) de números enterosAl multiplicar sumamos reiteradamente la
primera (multiplicando) tantas veces como indica la segunda (multiplicador) dando un solo resultado (producto).
4 * 3 = 4 + 4+ 4A la operación multiplicar también se le
llama producto.La multiplicación está asociada al concepto de
área geométrica.A
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NUMEROS ENTEROS
Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar dos números de signo contrario el resultado es un número negativo.
(+)(-) = (-)
Al multiplicar dos números del mismo signo el resultado es un número positivo.
(-)(-) = (+)
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NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros Propiedades:
La Multiplicación de dos números enteros es siempre un número entero.
4 * 7 = 2828 pertenece a N
-9 * 5 = -45-45 pertenece a N
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NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros Propiedades: CONMUTATIVA
Al multiplicar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro
4 * 7 = 287 * 4 = 28
-2 * 5 = -105 * -2 = -10
-2 * -8 = 16-8 * -2 = 16
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NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA
Para multiplicar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.
3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84(3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84
6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270(-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270
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NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un número entero 1, que al ser multiplicado a cualquier otro número natural da como resultado ese mismo número.
4 * 1 = 4 -25 * 1 = -25
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NUMEROS ENTEROS
Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma
Se multiplica el multiplicando por cada uno de los sumandos y se simplifica.
-4 * (1 + 4) = -4 * 1 - 4 * 4 = -4 - 16 = - 20
(3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2 = 6 + 10 = 16
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NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros
Ejercicios:
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NUMEROS ENTEROS
Exponenciación
Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo
3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5
En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:
1. La base es el número que se multiplica por sí mismo (en este caso: 3 ó -3)
2. El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor. (en este caso 5)
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NUMEROS ENTEROS
Exponenciación
(-3)(-3)(-3) = (-3)3
(-3)3 ≠ -33
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NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Producto de potencias de la misma base.
Para multiplicar varias potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/producto.htm
![Page 27: LOS NUMEROS. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061300/54d0707a4979592e558b4902/html5/thumbnails/27.jpg)
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Cociente de potencias de la misma base.
Para dividir dos potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia.
La potencia del numerador debe ser mayor o igual a la potencia del denominador.
![Page 28: LOS NUMEROS. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061300/54d0707a4979592e558b4902/html5/thumbnails/28.jpg)
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de exponente 0.
Una potencia de exponente 0 vale 1.
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NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de exponente negativo.
Una potencia de exponente negativo equivale al inverso de esa potencia con exponente positivo.
No esta definida dentro del conjunto de los Naturales
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NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a otra potencia podemos transformarlo en una sola potencia simple.
![Page 31: LOS NUMEROS. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061300/54d0707a4979592e558b4902/html5/thumbnails/31.jpg)
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de un producto.
Un exponente afecta globalmente a un producto de varios factores
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NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de una división.
Si a, n, m son un números naturales entonces:
(Si se dividen dos bases distintas a la misma potencia se puede factorizar la potencia)
![Page 33: LOS NUMEROS. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061300/54d0707a4979592e558b4902/html5/thumbnails/33.jpg)
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Ejercicios
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/prueba.htm
![Page 34: LOS NUMEROS. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061300/54d0707a4979592e558b4902/html5/thumbnails/34.jpg)
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Ejercicios
Efectuar:
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NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enterosLa resta es la operación contraria a la suma. No está completamente definida dentro del
conjunto de los números naturalesLos términos de la resta se llaman
minuendo y substraendo, el resultado se llama diferencia.
Minuendo- Sustraendo
Diferencia
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NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la resta (-) de números enteros.
La resta no tiene las propiedades de la suma.
La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
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NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/restas.htm
INTERPRETACION GRAFICA DE LA RESTA
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NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3arn.htm
![Page 39: LOS NUMEROS. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061300/54d0707a4979592e558b4902/html5/thumbnails/39.jpg)
NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3rn3x3.htm
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NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enterosLa división es la operación contraria a la
multiplicación. No está completamente definida dentro del
conjunto de los números naturalesLa división es la operación que tenemos que
hacer para repartir un numero de cosas entre un número de cosas.
NACE POR LA NECESIDAD DE REPARTIR
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NUMEROS ENTEROSDivisión (/ ó :) de números enteros
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas) y divisor (no nulo) (se reparten), el resultado se llama cociente (número que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o no un residuo (lo que sobra) cuando la división no es exacta.
Para que la división de números naturales se pueda realizar debe cumplirse:
Dividendo > Divisor
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NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la División (/ ó :) de números enteros.
La división no tiene las propiedades de la multiplicación.
La división no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
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NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Dividendo > Divisor
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NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4 personas. ¿Cómo lo harías?
REPARTO
División exacta
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NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Hay que repartir 17 lapiceros entre 3 personas. ¿Cómo lo harías?
REPARTO
División inexacta
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NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Realizar la división e indicar si es exacta o inexacta.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/division.htm
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NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
La radicación es la operación contraria a la exponenciación
La radicación no está completamente definida dentro de los números naturales.
La radicación no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
3 5
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NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
3 es el índice 8 es el radicando y 2 es el resultado de la radicación.
3 5
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NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
Propiedad distributiva.
3 5
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NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
Tabla de potencias / radicacion.
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NUMEROS ENTEROS
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NUMEROS ENTEROS
De los números Enteros a los números Racionales
A pesar de que muchas actividades del Hpmbre quedaron cubiertas con los números naturales, quedaron muchas actividades que necesitan un nuevo conjunto de números: los números
RACIONALES
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http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index1.htm
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BIBLIOGRAFIA
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index1.htm
http://www.rena.edu.ve/