![Page 1: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/1.jpg)
Metodos Numericos Aplicados a Problemas deEngenharia
Anderson Gabriel [email protected]
Hospital das Clınicas - Instituto do Coracao
1 / 44
![Page 2: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/2.jpg)
Objetivos
Objetivos
Introducao ao tema;
Caracterısticas de cada metodo (DF, MEF, MEC);
Metodo dos Elementos de Contorno;
Formulacao; Aplicacao;
2 / 44
![Page 3: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/3.jpg)
Objetivos
Objetivos
Introducao ao tema;
Caracterısticas de cada metodo (DF, MEF, MEC);
Metodo dos Elementos de Contorno;
Formulacao; Aplicacao;
2 / 44
![Page 4: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/4.jpg)
Objetivos
Objetivos
Introducao ao tema;
Caracterısticas de cada metodo (DF, MEF, MEC);
Metodo dos Elementos de Contorno;
Formulacao; Aplicacao;
2 / 44
![Page 5: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/5.jpg)
Objetivos
Objetivos
Introducao ao tema;
Caracterısticas de cada metodo (DF, MEF, MEC);
Metodo dos Elementos de Contorno;
Formulacao; Aplicacao;
2 / 44
![Page 6: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/6.jpg)
Objetivos
Objetivos
Introducao ao tema;
Caracterısticas de cada metodo (DF, MEF, MEC);
Metodo dos Elementos de Contorno;
Formulacao; Aplicacao;
2 / 44
![Page 7: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/7.jpg)
Introducao
Para que servem?
Solucao de Equacoes Diferenciais Parciais (EDP) e Ordinarias(EDO):
Lf (~x) = b (~x) L· operador diferencial; f (~x) e a funcao incognita; b (~x) e a fonte de campo presente no domınio;
3 / 44
![Page 8: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/8.jpg)
Introducao
Para que servem?
Solucao de Equacoes Diferenciais Parciais (EDP) e Ordinarias(EDO):
Lf (~x) = b (~x) L· operador diferencial; f (~x) e a funcao incognita; b (~x) e a fonte de campo presente no domınio;
3 / 44
![Page 9: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/9.jpg)
Introducao
Para que servem?
Solucao de Equacoes Diferenciais Parciais (EDP) e Ordinarias(EDO):
Lf (~x) = b (~x) L· operador diferencial; f (~x) e a funcao incognita; b (~x) e a fonte de campo presente no domınio;
3 / 44
![Page 10: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/10.jpg)
Introducao
Para que servem?
Solucao de Equacoes Diferenciais Parciais (EDP) e Ordinarias(EDO):
Lf (~x) = b (~x) L· operador diferencial; f (~x) e a funcao incognita; b (~x) e a fonte de campo presente no domınio;
3 / 44
![Page 11: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/11.jpg)
Introducao
Para que servem?
Analise de problemas complexos: grande quantidade devariaveis e domınios irregulares;
Em geral, transformam uma equacao diferencial ouintegro-diferencial em um sistema de equacoes lineares([A] ~y = ~p);
Formulacao diferencial: Forma forte;
Formulacao integral: Forma fraca;
Utiliza funcoes de teste para relaxamento da ordem da ED.
4 / 44
![Page 12: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/12.jpg)
Introducao
Para que servem?
Analise de problemas complexos: grande quantidade devariaveis e domınios irregulares;
Em geral, transformam uma equacao diferencial ouintegro-diferencial em um sistema de equacoes lineares([A] ~y = ~p);
Formulacao diferencial: Forma forte;
Formulacao integral: Forma fraca;
Utiliza funcoes de teste para relaxamento da ordem da ED.
4 / 44
![Page 13: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/13.jpg)
Introducao
Para que servem?
Analise de problemas complexos: grande quantidade devariaveis e domınios irregulares;
Em geral, transformam uma equacao diferencial ouintegro-diferencial em um sistema de equacoes lineares([A] ~y = ~p);
Formulacao diferencial: Forma forte;
Formulacao integral: Forma fraca;
Utiliza funcoes de teste para relaxamento da ordem da ED.
4 / 44
![Page 14: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/14.jpg)
Introducao
Para que servem?
Analise de problemas complexos: grande quantidade devariaveis e domınios irregulares;
Em geral, transformam uma equacao diferencial ouintegro-diferencial em um sistema de equacoes lineares([A] ~y = ~p);
Formulacao diferencial: Forma forte;
Formulacao integral: Forma fraca;
Utiliza funcoes de teste para relaxamento da ordem da ED.
4 / 44
![Page 15: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/15.jpg)
Introducao
Para que servem?
Analise de problemas complexos: grande quantidade devariaveis e domınios irregulares;
Em geral, transformam uma equacao diferencial ouintegro-diferencial em um sistema de equacoes lineares([A] ~y = ~p);
Formulacao diferencial: Forma forte;
Formulacao integral: Forma fraca;
Utiliza funcoes de teste para relaxamento da ordem da ED.
4 / 44
![Page 16: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/16.jpg)
Introducao
Onde sao aplicados?
Eletromagnetismo:
Projeto de antenas, maquinas eletricas, problemas deaterramento, etc...
Mecanica das Estruturas:
Projetos de estruturas, estudo de casos estaticos e dinamicos,aeronautica, etc...
Bioengenharia:
Projeto de proteses, simulacao de tecidos vivos, etc...
Mecanica dos Fluıdos:
Transporte de massa e calor, problemas de conveccao, etc...
5 / 44
![Page 17: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/17.jpg)
Introducao
Onde sao aplicados?
Eletromagnetismo:
Projeto de antenas, maquinas eletricas, problemas deaterramento, etc...
Mecanica das Estruturas:
Projetos de estruturas, estudo de casos estaticos e dinamicos,aeronautica, etc...
Bioengenharia:
Projeto de proteses, simulacao de tecidos vivos, etc...
Mecanica dos Fluıdos:
Transporte de massa e calor, problemas de conveccao, etc...
5 / 44
![Page 18: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/18.jpg)
Introducao
Onde sao aplicados?
Eletromagnetismo:
Projeto de antenas, maquinas eletricas, problemas deaterramento, etc...
Mecanica das Estruturas:
Projetos de estruturas, estudo de casos estaticos e dinamicos,aeronautica, etc...
Bioengenharia:
Projeto de proteses, simulacao de tecidos vivos, etc...
Mecanica dos Fluıdos:
Transporte de massa e calor, problemas de conveccao, etc...
5 / 44
![Page 19: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/19.jpg)
Introducao
Onde sao aplicados?
Eletromagnetismo:
Projeto de antenas, maquinas eletricas, problemas deaterramento, etc...
Mecanica das Estruturas:
Projetos de estruturas, estudo de casos estaticos e dinamicos,aeronautica, etc...
Bioengenharia:
Projeto de proteses, simulacao de tecidos vivos, etc...
Mecanica dos Fluıdos:
Transporte de massa e calor, problemas de conveccao, etc...
5 / 44
![Page 20: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/20.jpg)
Introducao
Onde sao aplicados?
Eletromagnetismo:
Projeto de antenas, maquinas eletricas, problemas deaterramento, etc...
Mecanica das Estruturas:
Projetos de estruturas, estudo de casos estaticos e dinamicos,aeronautica, etc...
Bioengenharia:
Projeto de proteses, simulacao de tecidos vivos, etc...
Mecanica dos Fluıdos:
Transporte de massa e calor, problemas de conveccao, etc...
5 / 44
![Page 21: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/21.jpg)
Exemplo
(a) Modelo fısico. (b) Resultado para o campode deslocamentos na direcao“y”.
Figure: Modelagem de um humero por elementos de contorno 3D.
6 / 44
![Page 22: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/22.jpg)
Exemplo
Figure: Remodelagem ossea utilizando elementos finitos.
7 / 44
![Page 23: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/23.jpg)
Exemplo
(a) Esfera com malha coesa. (b) Esfera com malha densa.
Figure: Distribuicao da densidade de corrente eletrica para umaesfera iluminada por uma onda plana.
8 / 44
![Page 24: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/24.jpg)
Exemplo
Figure: Modelo de propagacao “indoor” usando DF e Ray Tracing.
9 / 44
![Page 25: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/25.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas Finitas
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.
Contras:
Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.
10 / 44
![Page 26: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/26.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas Finitas
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.
Contras:
Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.
10 / 44
![Page 27: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/27.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas Finitas
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.
Contras:
Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.
10 / 44
![Page 28: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/28.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas Finitas
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.
Contras:
Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.
10 / 44
![Page 29: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/29.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas Finitas
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.
Contras:
Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.
10 / 44
![Page 30: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/30.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas Finitas
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.
Contras:
Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.
10 / 44
![Page 31: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/31.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 32: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/32.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 33: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/33.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 34: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/34.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 35: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/35.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 36: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/36.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 37: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/37.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 38: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/38.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos Finitos
Pros:
Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.
11 / 44
![Page 39: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/39.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 40: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/40.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 41: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/41.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 42: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/42.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 43: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/43.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 44: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/44.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 45: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/45.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Elementos de Contorno
Pros:
Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.
Contras:
Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).
12 / 44
![Page 46: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/46.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Exemplo de malhas para cada metodo:
Figure: Malha para diferencas finitas.
13 / 44
![Page 47: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/47.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Exemplo de malhas para cada metodo:
Figure: Malha para elementos finitos.
14 / 44
![Page 48: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/48.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Exemplo de malhas para cada metodo:
Figure: Malha para elementos de contorno.
15 / 44
![Page 49: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/49.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 50: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/50.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 51: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/51.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 52: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/52.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 53: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/53.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 54: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/54.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 55: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/55.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 56: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/56.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Diferencas finitas:
Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:
dfdx ≈
f (xi )−f (xi−∆x)∆x
Elementos Finitos:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de teste;
Elementos de contorno:
Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;
Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);
ξ e o ponto onde esta localizada a carga;
16 / 44
![Page 57: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/57.jpg)
Caracterısticas de cada metodo
Propriedades do Delta de Dirac δ(x, ξ):
δ(~x − ~ξ
)=
0 ~x 6= ~ξ
∞ ~x = ~ξ
´∞−∞ δ (x − a) dx = 1
´δ (x − a) f (x) dx = f (a)
17 / 44
![Page 58: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/58.jpg)
Elementos de Contorno
Definicao do problema escalar potencial:
Campo escalar u;
Equacao diferencial homogenea;
∇2u (~x) = 0
Equacao Integral de Contorno (Boundary Integral Equation -BIE):
´Γu (~x)
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u
(~ξ)
=´Γw(~x , ~ξ)
[∇u (~x) · ~n] dΓ
Ponderacao da equacao de Laplace pela funcao de Green eaplicacao da segunda identidade de Green;
Γ: contorno do domınio Ω;~ξ: ponto fonte;
~x : ponto campo; ~n: versor normal a superfıcie Γ
18 / 44
![Page 59: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/59.jpg)
Elementos de Contorno
Definicao do problema escalar potencial:
Campo escalar u;
Equacao diferencial homogenea;
∇2u (~x) = 0
Equacao Integral de Contorno (Boundary Integral Equation -BIE):
´Γu (~x)
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u
(~ξ)
=´Γw(~x , ~ξ)
[∇u (~x) · ~n] dΓ
Ponderacao da equacao de Laplace pela funcao de Green eaplicacao da segunda identidade de Green;
Γ: contorno do domınio Ω;~ξ: ponto fonte;
~x : ponto campo; ~n: versor normal a superfıcie Γ
18 / 44
![Page 60: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/60.jpg)
Elementos de Contorno
Definicao do problema escalar potencial:
Campo escalar u;
Equacao diferencial homogenea;
∇2u (~x) = 0
Equacao Integral de Contorno (Boundary Integral Equation -BIE):
´Γu (~x)
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u
(~ξ)
=´Γw(~x , ~ξ)
[∇u (~x) · ~n] dΓ
Ponderacao da equacao de Laplace pela funcao de Green eaplicacao da segunda identidade de Green;
Γ: contorno do domınio Ω;~ξ: ponto fonte;
~x : ponto campo; ~n: versor normal a superfıcie Γ
18 / 44
![Page 61: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/61.jpg)
Elementos de Contorno
Definicao do problema escalar potencial:
Campo escalar u;
Equacao diferencial homogenea;
∇2u (~x) = 0
Equacao Integral de Contorno (Boundary Integral Equation -BIE):
´Γu (~x)
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u
(~ξ)
=´Γw(~x , ~ξ)
[∇u (~x) · ~n] dΓ
Ponderacao da equacao de Laplace pela funcao de Green eaplicacao da segunda identidade de Green;
Γ: contorno do domınio Ω;~ξ: ponto fonte;
~x : ponto campo; ~n: versor normal a superfıcie Γ
18 / 44
![Page 62: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/62.jpg)
Elementos de Contorno
Princıpio da superposicao:
Assume a superposicao do efeito de uma quantidade finita defontes distribuıdas sobre a superfıcie do corpo;
O efeito (potencial e fluxo) de cada fonte e calculado em todoo contorno do corpo;
19 / 44
![Page 63: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/63.jpg)
Elementos de Contorno
Sobre a funcao de Green:
Funcao de Green e seu gradiente possuem singularidades(fraca e forte);
Representam o campo potencial e fluxo produzido por umafonte pontual em qualquer ponto dos espaco;
Ex.: Potencial e fluxo eletrico produzido por uma cargapontual.
20 / 44
![Page 64: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/64.jpg)
Elementos de Contorno
Sobre a funcao de Green:
Funcao de Green e seu gradiente possuem singularidades(fraca e forte);
Representam o campo potencial e fluxo produzido por umafonte pontual em qualquer ponto dos espaco;
Ex.: Potencial e fluxo eletrico produzido por uma cargapontual.
20 / 44
![Page 65: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/65.jpg)
Elementos de Contorno
Sobre a funcao de Green:
Funcao de Green e seu gradiente possuem singularidades(fraca e forte);
Representam o campo potencial e fluxo produzido por umafonte pontual em qualquer ponto dos espaco;
Ex.: Potencial e fluxo eletrico produzido por uma cargapontual.
20 / 44
![Page 66: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/66.jpg)
Elementos de Contorno
Figure: Campo criado por uma carga pontual.
21 / 44
![Page 67: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/67.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplo de funcoes de Green:
Potencial 2D:
w(~x , ~ξ)
= − 14πε ln
[r(~x , ~ξ)]
Gradiente do potencial 2D (fluxo):
∇w(~x , ~ξ)
= 1
4πεr(~x,~ξ)
[∂r(~x,~ξ)∂x
~ax +∂r(~x,~ξ)∂y
~ay
] r(~x , ~ξ)
=√
[x (η)− ξ1] ² + [y (η)− ξ2] ²
22 / 44
![Page 68: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/68.jpg)
Elementos de Contorno
Figure: Comportamento singular de w(~x , ~ξ)
23 / 44
![Page 69: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/69.jpg)
Elementos de Contorno
Calculo das integrais:
As integracoes sao realizadas numericamente (ex.:Gauss-Legendre);
Integracao singular e realizada numericamente por metodosespeciais ou analiticamente;
24 / 44
![Page 70: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/70.jpg)
Elementos de Contorno
Calculo das integrais:
As integracoes sao realizadas numericamente (ex.:Gauss-Legendre);
Integracao singular e realizada numericamente por metodosespeciais ou analiticamente;
24 / 44
![Page 71: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/71.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Interpolacao das grandezas fısicas e geometricas;
Funcoes de base, funcoes de forma, etc...
Contorno e discretizado (dividido) em elementos;
Grandesas fısicas e geometricas sao aproximadas por funcoesde interpolacao:
ν (~x) =∑
i Ni (~x) νi O conjunto de funcoes e definido por elemento:
Ni [~x (η)] =
Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi
0 ~x /∈ Γi
25 / 44
![Page 72: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/72.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Interpolacao das grandezas fısicas e geometricas;
Funcoes de base, funcoes de forma, etc...
Contorno e discretizado (dividido) em elementos;
Grandesas fısicas e geometricas sao aproximadas por funcoesde interpolacao:
ν (~x) =∑
i Ni (~x) νi O conjunto de funcoes e definido por elemento:
Ni [~x (η)] =
Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi
0 ~x /∈ Γi
25 / 44
![Page 73: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/73.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Interpolacao das grandezas fısicas e geometricas;
Funcoes de base, funcoes de forma, etc...
Contorno e discretizado (dividido) em elementos;
Grandesas fısicas e geometricas sao aproximadas por funcoesde interpolacao:
ν (~x) =∑
i Ni (~x) νi O conjunto de funcoes e definido por elemento:
Ni [~x (η)] =
Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi
0 ~x /∈ Γi
25 / 44
![Page 74: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/74.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Interpolacao das grandezas fısicas e geometricas;
Funcoes de base, funcoes de forma, etc...
Contorno e discretizado (dividido) em elementos;
Grandesas fısicas e geometricas sao aproximadas por funcoesde interpolacao:
ν (~x) =∑
i Ni (~x) νi O conjunto de funcoes e definido por elemento:
Ni [~x (η)] =
Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi
0 ~x /∈ Γi
25 / 44
![Page 75: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/75.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma:
Funcoes para interpolacao de geometria;
Funcoes para interpolacao do fenomeno fısico;
Funcoes contınuas:
Impoe continuidade do fenomeno ou da geometria entre oselementos;
Funcoes descontınuas:
Fenomeno/ geometria nao e contınuo entre elementos;
26 / 44
![Page 76: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/76.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma:
Funcoes para interpolacao de geometria;
Funcoes para interpolacao do fenomeno fısico;
Funcoes contınuas:
Impoe continuidade do fenomeno ou da geometria entre oselementos;
Funcoes descontınuas:
Fenomeno/ geometria nao e contınuo entre elementos;
26 / 44
![Page 77: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/77.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma:
Funcoes para interpolacao de geometria;
Funcoes para interpolacao do fenomeno fısico;
Funcoes contınuas:
Impoe continuidade do fenomeno ou da geometria entre oselementos;
Funcoes descontınuas:
Fenomeno/ geometria nao e contınuo entre elementos;
26 / 44
![Page 78: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/78.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma:
Funcoes para interpolacao de geometria;
Funcoes para interpolacao do fenomeno fısico;
Funcoes contınuas:
Impoe continuidade do fenomeno ou da geometria entre oselementos;
Funcoes descontınuas:
Fenomeno/ geometria nao e contınuo entre elementos;
26 / 44
![Page 79: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/79.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma (descontınua):
Funcao constante∗:
N (η) = 1
Funcao linear descontınua:
N1 (η) = 12 − η, N2 (η) = 1
2 + η
Funcao quadratica descontınua:
N1 (η) = 98η(η − 2
3
), N2 (η) = 9
4
(49 − η
2),
N3 (η) = 98η(η + 2
3
)
27 / 44
![Page 80: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/80.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma (descontınua):
Funcao constante∗:
N (η) = 1
Funcao linear descontınua:
N1 (η) = 12 − η, N2 (η) = 1
2 + η
Funcao quadratica descontınua:
N1 (η) = 98η(η − 2
3
), N2 (η) = 9
4
(49 − η
2),
N3 (η) = 98η(η + 2
3
)
27 / 44
![Page 81: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/81.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma (descontınua):
Funcao constante∗:
N (η) = 1
Funcao linear descontınua:
N1 (η) = 12 − η, N2 (η) = 1
2 + η
Funcao quadratica descontınua:
N1 (η) = 98η(η − 2
3
), N2 (η) = 9
4
(49 − η
2),
N3 (η) = 98η(η + 2
3
)
27 / 44
![Page 82: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/82.jpg)
Elementos de Contorno
Figure: Funcao de interpolacao descontınua.
28 / 44
![Page 83: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/83.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma (contınua):
Funcao linear contınua:
N1 (η) = 12 (1− η), N2 (η) = 1
2 (1 + η)
Funcao quadratica contınua:
N1 (η) = 12η (η − 1), N2 (η) = (1− η) (1 + η),
N3 (η) = 12η (η + 1)
29 / 44
![Page 84: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/84.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplos de funcao de forma (contınua):
Funcao linear contınua:
N1 (η) = 12 (1− η), N2 (η) = 1
2 (1 + η)
Funcao quadratica contınua:
N1 (η) = 12η (η − 1), N2 (η) = (1− η) (1 + η),
N3 (η) = 12η (η + 1)
29 / 44
![Page 85: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/85.jpg)
Elementos de Contorno
Figure: Funcao de interpolacao contınua.
30 / 44
![Page 86: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/86.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
u (η) ≈∑
j Nj (η) uj i 6= j
´Γ
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑
j
ˆΓj
[∇w
(~xj , ~ξi
)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Hij
uj
Campo de fluxo normal:
∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑
j Nj (η) qj i 6= j
´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈
∑j
ˆΓj
w(~xj,~ξi
)Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Gij
qj
31 / 44
![Page 87: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/87.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
u (η) ≈∑
j Nj (η) uj i 6= j
´Γ
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑
j
ˆΓj
[∇w
(~xj , ~ξi
)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Hij
uj
Campo de fluxo normal:
∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑
j Nj (η) qj i 6= j
´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈
∑j
ˆΓj
w(~xj,~ξi
)Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Gij
qj
31 / 44
![Page 88: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/88.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
u (η) ≈∑
j Nj (η) uj i 6= j
´Γ
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑
j
ˆΓj
[∇w
(~xj , ~ξi
)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Hij
uj
Campo de fluxo normal:
∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑
j Nj (η) qj i 6= j
´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈
∑j
ˆΓj
w(~xj,~ξi
)Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Gij
qj
31 / 44
![Page 89: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/89.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
u (η) ≈∑
j Nj (η) uj i 6= j
´Γ
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑
j
ˆΓj
[∇w
(~xj , ~ξi
)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Hij
uj
Campo de fluxo normal:
∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑
j Nj (η) qj i 6= j
´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈
∑j
ˆΓj
w(~xj,~ξi
)Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Gij
qj
31 / 44
![Page 90: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/90.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
u (η) ≈∑
j Nj (η) uj i 6= j
´Γ
[∇w
(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑
j
ˆΓj
[∇w
(~xj , ~ξi
)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Hij
uj
Campo de fluxo normal:
∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑
j Nj (η) qj i 6= j
´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈
∑j
ˆΓj
w(~xj,~ξi
)Nj (η) dΓj (η)︸ ︷︷ ︸
Gij
qj
31 / 44
![Page 91: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/91.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
i = j Hii = −
∑i 6=j Hij (princıpio de “corpo rıgido”);
Campo de fluxo normal:
i = j Gii = solucao analıtica
32 / 44
![Page 92: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/92.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
i = j Hii = −
∑i 6=j Hij (princıpio de “corpo rıgido”);
Campo de fluxo normal:
i = j Gii = solucao analıtica
32 / 44
![Page 93: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/93.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC:
Campo potencial:
i = j Hii = −
∑i 6=j Hij (princıpio de “corpo rıgido”);
Campo de fluxo normal:
i = j Gii = solucao analıtica
32 / 44
![Page 94: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/94.jpg)
Elementos de Contorno
Figure: Contorno discretizado.33 / 44
![Page 95: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/95.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares
Funcoes descontınuas:
Sistema linear, com (L + 1)× e incognitas; L grau da funcao de forma utilizada; e quantidade de elementos na malha.
Sistema linear bem condicionado (possıvel de ser resvolvido):
Matriz quadrada; Linhas obtidas variando-se a localizacao do ponto fonte sobre a
malha; (L + 1) pontos fontes para cada elemento;
34 / 44
![Page 96: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/96.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares
Funcoes descontınuas:
Sistema linear, com (L + 1)× e incognitas; L grau da funcao de forma utilizada; e quantidade de elementos na malha.
Sistema linear bem condicionado (possıvel de ser resvolvido):
Matriz quadrada; Linhas obtidas variando-se a localizacao do ponto fonte sobre a
malha; (L + 1) pontos fontes para cada elemento;
34 / 44
![Page 97: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/97.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares
Funcoes descontınuas:
Sistema linear, com (L + 1)× e incognitas; L grau da funcao de forma utilizada; e quantidade de elementos na malha.
Sistema linear bem condicionado (possıvel de ser resvolvido):
Matriz quadrada; Linhas obtidas variando-se a localizacao do ponto fonte sobre a
malha; (L + 1) pontos fontes para cada elemento;
34 / 44
![Page 98: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/98.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares
Funcoes descontınuas:
Sistema linear, com (L + 1)× e incognitas; L grau da funcao de forma utilizada; e quantidade de elementos na malha.
Sistema linear bem condicionado (possıvel de ser resvolvido):
Matriz quadrada; Linhas obtidas variando-se a localizacao do ponto fonte sobre a
malha; (L + 1) pontos fontes para cada elemento;
34 / 44
![Page 99: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/99.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares
Funcoes descontınuas:
Sistema linear, com (L + 1)× e incognitas; L grau da funcao de forma utilizada; e quantidade de elementos na malha.
Sistema linear bem condicionado (possıvel de ser resvolvido):
Matriz quadrada; Linhas obtidas variando-se a localizacao do ponto fonte sobre a
malha; (L + 1) pontos fontes para cada elemento;
34 / 44
![Page 100: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/100.jpg)
Elementos de Contorno
Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares
1 < i , j ≤ (L + 1)× e
Gij =´
Γj
[∇w
(~xj , ~ξi
)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)
Hij =´
Γjw(~xj , ~ξi
)Nj (η) dΓj (η)
[G ] u = [H] q
35 / 44
![Page 101: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/101.jpg)
Elementos de Contorno
Condicoes de contorno da EDP:
∇2u (~x) = 0
u (~x) = u, ~x ∈ ΓE
∇u (~x) = q, ~x ∈ ΓN
ΓE ∪ ΓN = Γ ΓE ∩ ΓN = ∅
36 / 44
![Page 102: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/102.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplo:
Capacitor de placas paralelas;
Dieletrico perfeito:
Sem perdas.
Dimensoes:
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
Condicoes de contorno:
u (x , y = 0) = 0 [V ], u (x , y = 1) = 100 [V ] q (x = 0, y) = 0
[Vm
], q (x = 1, y) = 0
[Vm
]
37 / 44
![Page 103: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/103.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplo:
Capacitor de placas paralelas;
Dieletrico perfeito:
Sem perdas.
Dimensoes:
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
Condicoes de contorno:
u (x , y = 0) = 0 [V ], u (x , y = 1) = 100 [V ] q (x = 0, y) = 0
[Vm
], q (x = 1, y) = 0
[Vm
]
37 / 44
![Page 104: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/104.jpg)
Elementos de Contorno
Exemplo:
Capacitor de placas paralelas;
Dieletrico perfeito:
Sem perdas.
Dimensoes:
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
Condicoes de contorno:
u (x , y = 0) = 0 [V ], u (x , y = 1) = 100 [V ] q (x = 0, y) = 0
[Vm
], q (x = 1, y) = 0
[Vm
]
37 / 44
![Page 105: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/105.jpg)
Elementos de Contorno
Figure: Geometria e condicoes de contorno para uma malha dequatro elementos.
38 / 44
![Page 106: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/106.jpg)
Elementos de Contorno
H11 H12 H13 H14
H21 H22 H23 H24
H31 H32 H33 H34
H41 H42 H43 H44
u1 = 10u2 =?u3 = 0u4 =?
=
G11 G12 G13 G14
G21 G22 G23 G24
G31 G32 G33 G34
G41 G42 G43 G44
q1 =?q2 = 0q3 =?q4 = 0
39 / 44
![Page 107: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/107.jpg)
Elementos de Contorno
−G11 H12 −G13 H14
−G21 H22 −G23 H24
−G31 H32 −G33 H34
−G41 H42 −G43 H44
︸ ︷︷ ︸
[A]
q1
u2
q3
u4
︸ ︷︷ ︸~y
= −10
H11
H21
H31
H41
︸ ︷︷ ︸~p
40 / 44
![Page 108: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/108.jpg)
Elementos de Contorno
(a) Distribuicao de potencialeletrico.
(b) Distribuicao de campo eletriconormal.
Figure: Solucao do problema de capacitor de placas paralelas.
41 / 44
![Page 109: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/109.jpg)
Para saber mais...
Metodos Numericos em geral:
Numerical Techniques in Electromagnetis, Second Edition;Matthew N. O. Sadiku, 2001, CRC Press.
Diferencas Finitas:
Finite Difference Methods for Ordinary and Partial DifferentialEquations: Steady-State and Time-Dependent Problems;Randall LeVeque, 2007, SIAM.
42 / 44
![Page 110: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/110.jpg)
Para saber mais...
Elementos Finitos:
The Finite Element Method Using MATLAB, Second Edition;Young W. Kwon & Hyoochong Bang, 2000, CRC Press.
Finite Element Procedures; Karl J. Bathe, 1996, Prentice Hall.
The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic FiniteElement Analysis; Thomas J. R. Hughes, 2000, Dover.
43 / 44
![Page 111: M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · Elementos Finitos Pr os: M etodo geral; Matrizes esparsas; Integra˘c~ao de funcoes simples; Malhas podem conter v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081402/607a0749939ed843be1a7986/html5/thumbnails/111.jpg)
Para saber mais...
Elementos de Contorno/ Metodo dos Momentos:
Boundary Element Methods for Engineers and Scientists: AnIntroductory Course with Advanced Topics; Lothar Gaul,Martin Kogl & Marcus Wagner, 2003, Springer.
Boundary Element Analysis in Engeneering ContinuumMechanics; James H. Kane, 1994, Prentice Hall.
The Method of Moments in Electromagnetics; Walton C.Gibson, 2008, Chapman & Hall/CRC.
Computational Methods for Electromagnetics; Andrew F.Peterson, Scott L. Ray & Raj Mittra, 1997, IEEE Press.
44 / 44