Bab Sebelumnya
7. Teknik Pengintegralan
7.1 Aturan Dasar Pengintegralan
7.2 Pengintegralan Parsial
7.3 Integral Trigonometrik
7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
7.5 Integral Fungsi Rasional
7.6 Strategi Pengintegralan
2/5/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopital
8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya
Menghitung limit bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/5/2014 4(c) Hendra Gunawan
8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0MA1201 MATEMATIKA 2A
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopital
Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Di Semester I, kita pernah membahas limit-limit berikut:
Ketiga bentuk limit ini mempunyai kemiripan: baik pembilang maupun penyebutnya sama-sama menuju 0. Ketiga limit tsb merupakan limit bentuk tak tentu tipe 0/0.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 6
.)()(
lim,1
1lim,
sinlim
3
10 cx
cfxf
x
x
x
x
cxxx
Catatan
• Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan.
• Yang sedang kita bahas adalah limit “bentuktak tentu 0/0”, bukan 0/0.
• Limit tsb disebut “bentuk tak tentu”, karenanilainya memang tak tentu (bisa ada, bisatidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antarasatu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya).
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Aturan L’Hôpital
Misalkan . Jika
ada (terhingga) atau tak terhingga,
maka
Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c-, ∞ atau -∞.
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 8
.)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cxcx
0)(lim)(lim
xgxfcxcx
)('
)('lim
xg
xf
cx
Contoh/Latihan
1. Hitung
Jawab:
Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0. Dengan Aturan L’Hopital:
Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakanAturan L’Hopital.
2/5/2014 9(c) Hendra Gunawan
.1
1lim
3
1
x
x
x
.31
1.3
1
3lim
1
1lim
22
1
)(3
1
x
x
x
x
L
x
Bahan Diskusi
Perhatikan bentuk limit berikut:
• Apakah limit ini merupakan bentuk 0/0?
• Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan?
• Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengancara apa).
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 14
.tan
)sin(lim
12
0 x
xx
x
8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Menghitung limit bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞
Bentuk Tak Tentu Tipe ∞/∞
Selain bentuk tipe 0/0, limit berbentuk seperti
juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baikpembilang maupun penyebut sama-samamenuju tak hingga. Bentuk limit ini merupakanbentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagaibentuk tak tentu tipe ∞/∞.
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 16
xx e
x2
lim
Aturan L’Hôpital utk Bentuk ∞/∞
Misalkan . Jika
ada (terhingga) atau tak terhingga,
maka
Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c-, ∞ atau -∞.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 17
.)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cxcx
)(lim)(lim xgxfcxcx
)('
)('lim
xg
xf
cx
Contoh/Latihan
1. Hitung
Jawab:
Bentuk limit di atas merupakan bentuk ∞/∞. Dengan Aturan L’Hopital:
Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kitamenggunakan Aturan L’Hopital.
2/5/2014 18(c) Hendra Gunawan
.2
limx
e x
x
.2
lim2
lim)(
x
x
Lx
x
e
x
e
Bahan Diskusi
Perhatikan bentuk limit berikut:
• Apakah limit ini merupakan bentuk ∞/∞?
• Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan?
• Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengan caraapa).
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 20
2lim .
1x
x
x
Bentuk 0.∞
3. Hitung
Jawab: Di sini x 0+ dan ln x -∞ bila x 0+. Untuk menghitung limit ini, kita tuliskan
Perhatikan bahwa bentuk di ruas kananmerupakan bentuk ∞/∞. Karena itu
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 21
.lnlim0
xxx
./1
lnlimlnlim
00 x
xxx
xx
.0)(lim/1
/1lim
/1
lnlimlnlim
02
0
)(
00
x
x
x
x
xxx
xx
L
xx
Bentuk ∞ – ∞
5. Hitung
Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di ataske bentuk 0/0 atau ∞/∞.
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 23
0
1 1lim .
sinx x x