Download - Magični kvadrat
![Page 1: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/1.jpg)
Magični kvadrat
lo shu
![Page 2: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/2.jpg)
LO SHU
4 9 2
3 5 7
8 1 6
![Page 3: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/3.jpg)
Magični kvadrat
Katerakoli ureditev mreže kvadratov, kjer je:
•vsota števil po vrsticah•vsota števil po stolpcih•vsota števil po diagonalah vedno enaka konstanti Sn.
Kvadrat, ki vsebuje n vrstic in n stolpcev, se imenuje
magični kvadrat reda n.
![Page 4: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/4.jpg)
Tradicionalna oblika
Posamezna celica magičnega kvadrata vsebuje števila od
1, 2,..., n².
konst. Kvadrata, ki vsebuje n vrstic je: Sn = (1+2+...+ n²)/ n = n(n²+1)/2
Vsota vseh teh števil je n²(n²+1)/2.
![Page 5: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/5.jpg)
METODA OKVIRJANJA Az-Zinjani (13.stoletje)
Metoda deluje na kvadratih lihega reda.
Kvadrat gradimo od zunanjega okvirja proti notranjemu.
1. okvir
2. okvir
3.okvir
![Page 6: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/6.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Stolpce štejemo vedno od desne proti levi.
1 postavimo na sredino 1. stolpca.
2 pod 1 in tako naprej do predzadnjega polja nad diagonalo.
1
2
3
![Page 7: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/7.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
V zadnji stolpec in zadnjo vrstico zapišemo naslednika prejšnjega.
Nadaljujemo z zapisom naslednikov v vsa polja do srednjega stolpca, ki ostane prazen.
1
2
3
4 5 6
![Page 8: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/8.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
V srednje polje 1. vrstice zapišemo naslednje število.
7
1
2
3
4 5 6
![Page 9: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/9.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Premaknemo se v polje zadnjega (skrajno levega) stolpca nad vrstico v sredini.
Nadaljujemo z zapisom števil po stolpcu navzgor.
10 7
9
8
1
2
3
4 5 6
![Page 10: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/10.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Nadalje vpišemo števila v polja med srednjim in prvim (skrajno desnim) poljem prve vrstice.
10 7 11 12
9
8
1
2
3
4 5 6
![Page 11: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/11.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Pri konstruiranju kvadrata reda n, dopolnimo ostala polja okvirja tako, da bo vsota medsebojno nasproti ležečih polj = n²+1.
Poljema v kotih predpišemo polji v nasprotnem kotu kvadrata.
10 45 44 7 11 12 46
9 41
8 42
49 1
48 2
47 3
4 5 6 43 39 38 40
![Page 12: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/12.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Naslednji okvir zapolnimo po istem postopku kot prej.
Začnemo z naslednikom zadnjega uporabljenega števila v prejšnem okvirju.
10 45 44 7 11 12 46
9 19 17 20 41
8 18 42
49 13 1
48 14 2
47 15 16 3
4 5 6 43 39 38 40
![Page 13: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/13.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Na isti način kot prej zapolnemo okvir tako, da bo vsota nasproti ležečih polj enaka n²+1, pri čemer je n red kvadrata.
10 45 44 7 11 12 46
9 19 34 17 20 35 41
8 18 32 42
49 37 13 1
48 36 14 2
47 15 16 33 30 31 3
4 5 6 43 39 38 40
![Page 14: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/14.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Enako nadaljujemo v naslednjem okviru in tako vse do zadnjega, ki vsebuje samo še eno prosto polje.
V to polje zapišemo naslednika števila pri katerem smo končali šteti v predzadnjem okviru.
10 45 44 7 11 12 46
9 19 34 17 20 35 41
8 18 24 23 28 32 42
49 37 29 25 21 13 1
48 36 22 27 26 14 2
47 15 16 33 30 31 3
4 5 6 43 39 38 40
![Page 15: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/15.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
Hitro vidimo, da je zaradi konstrukcije preko okvirjev in določanja nasprotnih vrednosti polj vsota po vrsticah, diagonalah in po stolpcih enaka n(n²+1)/2.
Problematična sta le stolpca in vrstici na robu kvadrata.
10 45 44 7 11 12 46
9 41
8 42
49 1
48 2
47 3
4 5 6 43 39 38 40
![Page 16: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/16.jpg)
Metoda okvirjanja (lihih kvadratov)
3k+1 2k+1 3k+2 ...4k
...
2k+2
n² 1
...
n²-k+1 k
k+1 ... 2k n²-2k
NAMIG:
(n=2k+1)
![Page 17: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/17.jpg)
Diagram 9 mest
4 9 2
3 5 7
8 1 6
![Page 18: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/18.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
Osnovna zahteva pri označevanju polj je, da se polovico polj v vrstici oz. stolpcu označi in polovico pusti neoznačenih.
X X
X X
X X
X X
![Page 19: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/19.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
n = 8 n = 12
![Page 20: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/20.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
Če je kvadrat reda 16 ali več, ga razdelimo na kvadrate 4.reda in te označimo na že znani način.
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
![Page 21: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/21.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
Števila vpisujemo, tako da štejemo polja z desne proti levi po vrsticah.
Če je polje označeno, število vpišemo, sicer ga pustimo praznega.
4 1
7 6
11 10
16 13
4 1
7 6
11 10
16 13
![Page 22: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/22.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
Kvadrat dopolnimo na enak način s štetjem, le da začnemo šteti skrajno levo v zadnji vrstici in zapolnjujemo le polja, ki so ostala prazna.
4 14 15 1
9 7 6 12
5 11 10 8
16 2 3 13
![Page 23: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/23.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
Najpomembneje pri tej konstrukciji:
- polovica polj označenih in polovica neoznačenih
- simetija označenih polj glede na horizontalno in vertikalno os
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
![Page 24: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/24.jpg)
Metoda označevanja polj(magični kvadrati sodega reda, deljivega s 4)
c-ti stolpec ... 2. 1.
v-ta vrstica n(n-v)+n-
c+1
p-ta vrstica n(p-1)+c
...
...
q-ta vrstica n(q-1)+c
u-ta vrstica n(n-u)+n-
c+1
NAMIG:
p+q = n+1u+v = n+1
![Page 25: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/25.jpg)
Dürer-jeva Melanholija 1
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
![Page 26: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/26.jpg)
n = 2(2k+1) V tem primeru je potrebno združiti več metod
označevanja (v primeru n = 6 so potrebne 3 metode)
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
X
X
X
X
X
X X
X X
X X
Metoda označevanja polj(magični kvadrati reda n=2(2k+1) )
![Page 27: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/27.jpg)
6 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31
1.
2.
3.
4.
Metoda označevanja polj(magični kvadrati reda n=2(2k+1) )
![Page 28: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/28.jpg)
Železna spominska plošča
![Page 29: Magični kvadrat](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061416/56814ff8550346895dbdc0bd/html5/thumbnails/29.jpg)
1. A History of Algorithms, avtor: Jean-Luc Chabert
2. http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L263
HVALA!