UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in računalništvo
MAGISTRSKO DELO
Marija Vavdi
Maribor, 2015
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in računalništvo
Magistrsko delo
ŠTIRIKOTNIKI Z ENAKO DOLGIMA
DIAGONALAMA
na študijskem programu 2. stopnje Izobraževalna matematika – dvopredmetna
Mentor: Kandidatka:
doc. dr. Bojan Hvala Marija Vavdi
Maribor, 2015
iii
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Bojanu Hvali za vse spodbude in nasvete pri nastajanju
magistrskega dela.
Posebna zahvala gre mojim domačim, ki so mi vedno stali ob strani, me spodbujali in
podpirali pri mojem delu. Hvala vam za vso vašo potrpežljivost.
iv
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
IZJAVA
Podpisana Marija Vavdi, rojena 26.1.1990, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko
Univerze v Mariboru, študijskega programa 2. stopnje Izobraževalna matematika –
dvopredmetna, izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom
ŠTIRIKOTNIKI Z ENAKO DOLGIMA DIAGONALAMA
pri mentorju doc. dr. Bojanu Hvali avtorsko delo. V magistrskem delu so uporabljeni viri in
literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.
_______________________
(podpis študenta-ke)
Maribor, 2015
v
Program magistrskega dela
Štirikotniki z enako dolgima diagonalama
V magistrskem delu predstavite nekatere karakteristične lastnosti konveksnih štirikotnikov z
enako dolgima diagonalama. Izpeljite obrazec za ploščino takega štirikotnika (kot funkcija
štirih stranic in razdalje med razpoloviščema diagonal oz. kot funkcija obeh srednjic) in
obrazec za izračun njegove diagonale (kot funkcija stranic). Obravnavajte tudi (dualno)
povezavo s štirikotniki s pravokotnima diagonalama.
Literatura:
[1] M. Josefsson, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geom., Vol. 14 (2014),
str. 129 – 144. Dostopno na spletu:
http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf
[2] M. Josefsson, Characterizations of orthodiagonal quadrilaterals, Forum Geom., 12
(2012) 13–25. Dostopno na spletu:
http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
Mentor:
doc. dr. Bojan Hvala
vi
VAVDI, M.: Štirikotniki z enako dolgima diagonalama
Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko,
Oddelek za matematiko in računalništvo, 2015.
IZVLEČEK
Diagonali v konveksnem štirikotniku sta lahko enako dolgi. V magistrskem delu bomo
predstavili nekaj lastnosti konveksnih štirikotnikov z enako dolgima diagonalama. Izpeljali
bomo obrazec za izračun ploščine štirikotnika z enako dolgima diagonalama in obrazec za
izračun dolžine diagonale v štirikotniku z enako dolgima diagonalama. Posvetili se bomo tudi
štirikotnikom z enako dolgima in pravokotnima diagonalama.
Ključne besede: konveksni štirikotnik, enako dolgi diagonali, pravokotni diagonali, ploščina,
Varignonov paralelogram, diagonali Varignonovega paralelograma.
Math. Subj. Class. (2010): 51M04
vii
VAVDI, M.: Equidiagonal quadrilaterals
Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics,
Department of Mathematics and Computer Science, 2015.
ABSTRACT
The diagonals of convex quadrilateral may be the same length. In this thesis we present some
properties of convex quadrilaterals with equal length diagonals. We will derive a formula for
the area of equidiagonal quadrilateral and a formula for the length of diagonal in equidiagonal
quadrilateral. We will also discuss quadrilaterals with congruent and perpendicular diagonals.
Key words: convex quadrilateral, congruent diagonals, perpendicular diagonals, area,
Varignon parallelogram, diagonals of Varignon parallelogram.
Math. Subj. Class. (2010): 51M04
viii
Kazalo
Uvod ........................................................................................................................................... 1
1. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama ......................................................................... 2
2. Karakterizacije štirikotnikov z enako dolgima diagonalama .............................................. 4
3. Ploščina štirikotnika z enako dolgima diagonalama ......................................................... 21
4. Štirikotniki z enako dolgima in pravokotnima diagonalama ............................................ 30
5. Kdaj imajo osnovni štirikotniki enako dolgi diagonali? ................................................... 37
6. Dolžina diagonale v štirikotniku z enako dolgima diagonalama ...................................... 43
7. Zaključek ........................................................................................................................... 52
8. Literatura ........................................................................................................................... 53
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
1
Uvod
V tem magistrskem delu se bomo posvetili diagonalam v konveksnih štirikotnikih. Če se
spomnimo znanih osnovnih štirikotnikov, kot so pravokotnik, kvadrat, trapez, paralelogram,
romb in deltoid ugotovimo, da za diagonali v teh štirikotnikih veljajo različne lastnosti.
Diagonali v deltoidu sta pravokotni, v paralelogramu se razpolavljata, v enakokrakem trapezu
pa sta enako dolgi. V pravokotniku sta diagonali enako dolgi in se razpolavljata, medtem ko
za diagonali v kvadratu veljajo vse tri naštete lastnosti. V našem delu se bomo posebej
posvetili eni izmed zgoraj naštetih lastnosti diagonal, in sicer enakosti dolžin. Izkaže pa se,
da je ta lastnost tesno povezana tudi s pravokotnostjo diagonal. V enem izmed poglavij se
bomo posvetili štirikotnikom, ki imajo hkrati enako dolgi in pravokotni diagonali. Spoznali
bomo tudi postopek, kako štirikotniku s konstrukcijo središč enakostraničnih trikotnikov nad
njegovimi stranicami priredimo nov štirikotnik. Pri tem bomo opazili, da enako dolgi
diagonali prvotnega štirikotnika zagotavljata pravokotnost diagonal prirejenega štirikotnika in
obratno.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
2
1. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama
Znani štirikotniki, ki imajo enako dolgi diagonali so enakokraki trapez, pravokotnik in
kvadrat. Lahko pa vsak konveksni štirikotnik preoblikujemo v konveksni štirikotnik z enako
dolgima diagonalama. To naredimo tako, da eno od oglišč štirikotnika premaknemo po nosilki
diagonale za dolžino druge diagonale od nasprotnega oglišča (slika 1).
Slika 1
V tem delu bomo uporabljali naslednje oznake. Stranice štirikotnika označimo z ,
, in , diagonali štirikotnika bomo označevali z in .
Kote v štirikotniku bomo označevali kar z , , in . Daljico, ki povezuje razpolovišči
stranic in bomo označili z , daljico, ki povezuje razpolovišči stranic in pa z .
Razpolovišča stranic konveksnega štirikotnika so oglišča njegovega Varignonovega
paralelograma, stranice tega paralelograma označimo z in (slika 2). Za Varignonov
paralelogram velja, da je dolžina njegovih stranic enaka polovici dolžine diagonale
originalnega štirikotnika s katero je posamezna stranica vzporedna. Torej velja
in
.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
3
Slika 2
Z uporabo paralelogramskega pravila v Varignonovem paralelogramu dobimo naslednjo
zvezo
Od tod pa sledi:
(1)
Enakost (1) bomo kasneje večkrat uporabili pri dokazovanju.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
4
2. Karakterizacije štirikotnikov z enako dolgima diagonalama
V tem poglavju bomo predstavili in dokazali nekaj karakterizacij konveksnih štirikotnikov, ki
imajo enako dolgi diagonali.
Trditev 1: V konveksnem štirikotniku velja
Enakost velja natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
Dokaz:
V enakosti (1) na obeh straneh odštejemo .
Na levi strani enakosti dobimo kvadrat razlike, nato enakosti prištejemo .
Iz enakosti izrazimo .
Od tod sledi iskana neenakost
Če primerjamo zadnji dve formuli vidimo, da v neenakosti velja enakost natanko tedaj, ko je
torej ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
□
Sledita dva rezultata, ki govorita o tem, kdaj ima štirikotnik pravokotni diagonali. Ta rezultata
bomo potrebovali v nekaterih kasnejših dokazih.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
5
Trditev 2: Štirikotnik ima pravokotni diagonali natanko tedaj, ko velja
Dokaz:
Diagonali štirikotnika sta vzporedni s stranicami njegovega Varignonovega paralelograma.
Torej sta diagonali štirikotnika pravokotni natanko tedaj, ko je njegov Varignonov
paralelogram pravokotnik. To pa je natanko tedaj, ko sta diagonali Varignonovega
paralelograma in enako dolgi.
□
Izrek 3: Štirikotnik ima pravokotni diagonali natanko tedaj, ko je vsota kvadratov nasprotnih
dveh stranic enaka vsoti kvadratov drugih dveh stranic:
Dokaz:
Iz oglišč in narišemo pravokotnici na diagonalo . Presečišči, ki ju dobimo, označimo z
in . S pomočjo Pitagorovega izreka izrazimo stranice štirikotnika (slika 3).
Slika 3
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
6
Tako izražene stranice vstavimo v izraz in dobljen izraz
poenostavimo.
Ko pravokotnici na diagonalo , ki smo ju narisali iz oglišč in , tvorita diagonalo , sta
diagonali v štirikotniku pravokotni. Takrat je razdalja med presečiščema in enaka
( ) (slika 3). Štirikotnik ima torej pravokotni diagonali natanko tedaj, ko velja X=Y
oz. |XY|=0.
Če upoštevamo to v zgornji enakosti dobimo, da ima štirikotnik pravokotni diagonali natanko
tedaj, ko velja
to pa velja natanko tedaj, ko je
□
Izrek 4: Konveksni štirikotnik ima enako dolgi diagonali natanko tedaj, ko
i) sta daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic pravokotni,
ii) so razpolovišča njegovih stranic oglišča romba.
Dokaz:
i) Daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic originalnega štirikotnika sta
diagonali Varignonovega paralelograma. Če je torej izpolnjen pogoj (i), ima
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
7
Varignonov paralelogram štirikotnika pravokotni diagonali in zanj velja izrek 3.
Dobimo
od koder sledi . Torej ima originalni štirikotnik enako dolgi diagonali.
Obratno implikacijo dobimo povsem enako.
ii) Paralelogram je romb natanko tedaj, ko sta njegovi diagonali pravokotni.
Razpolovišča stranic konveksnega štirikotnika so oglišča njegovega
Varignonovega paralelograma. Ker diagonali Varignonovega paralelograma v
originalnem štirikotniku povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic, sta (i) in (ii)
ekvivalentni.
□
V nadaljevanju bomo dokazali še par pogojev, ki veljajo za konveksne štirikotnike z enako
dolgima diagonalama.
Trditev 5: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami , , , ima enako dolgi
diagonali, natanko tedaj, ko
Dokaz:
V štirikotniku izrazimo diagonali s pomočjo kosinusnega izreka (slika 4).
Slika 4
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
8
Štirikotnik ima enako dolgi diagonali, če .
Enakost delimo na obeh straneh z in tako dobimo iskano enakost
□
Lema 6: V konveksnem štirikotniku s stranicami , , , velja
Dokaz:
Z diagonalo razdelimo štirikotnik na trikotnika in . Izrazimo njuno ploščino, pri
tem pa višino trikotnika izračunamo s pomočjo funkcije sinus.
Slika 5
Nato razdelimo štirikotnik še z diagonalo na trikotnika in ter izrazimo njuni
ploščini.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
9
Slika 6
Seštevek prvih dveh ploščin nam da ploščino štirikotnika, enako tudi seštevek drugih dveh
ploščin.
Enakost pomnožimo z , da odpravimo ulomke in dobimo iskano enakost
□
Izrek 7: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami , , , ima enako dolgi
diagonali natanko tedaj, ko velja
Dokaz:
Uporabimo enakost, ki smo jo dobili v lemi 6 in jo kvadriramo.
Štirikotnik ima enako dolgi diagonali natanko tedaj, ko velja enakost, ki smo jo dobili v trditvi
5:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
10
Enakost najprej kvadriramo:
Nato obe enakosti seštejmo in poenostavimo.
Upoštevamo povezavo .
Enakost delimo z .
Uporabimo adicijski izrek za kosinus razlike .
Na levi strani enakosti izpostavimo in na desni strani pa . Tako dobimo, da v
primeru, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali, velja
Še dokaz v nasprotno smer.
Enakost v izreku 7 dobimo tako, da enakosti iz trditve 5, ki velja le za štirikotnike z enako
dolgima diagonalama, prištejemo enakost iz leme 6 in dobljeno enakost preoblikujemo.
Zaradi lastnosti natanko tedaj, ko za poljubni velja je enakost v izreku
7 ekvivalentna enakosti v trditvi 5. Torej, če v štirikotniku velja enakost
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
11
ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
□
Posledica 8: Nasprotni stranici štirikotnika z enakima diagonalama se ujemata natanko tedaj,
ko je štirikotnik enakokraki trapez.
Dokaz:
Najprej dokažimo v desno. Če ima štirikotnik enako dolgi diagonali, potem zanj velja
izrek 7.
V enakosti, ki smo jo dobili pri izreku 7, uporabimo zvezo za razliko kosinusov in dobimo
Enakost preoblikujemo
Če se nasprotni stranici ujemata, je leva stran enaka . Potem mora biti tudi desna stran enaka
, torej je izraz s sinusi enak
Ker je , je oziroma –
in
oziroma –
. Zato je prvi sinus enak , če
in je drugi sinus enak , če .
Štirikotnik z enako dolgima nasprotnima stranicama ima enako dolgi diagonali natanko tedaj,
ko
ali
Če upoštevamo, da v vsakem štirikotniku velja , dobimo v prvem
primeru in v drugem primeru .
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
12
Od tod sledi, da je v prvem primeru stranica vzporedna stranici in v drugem primeru
stranica vzporedna stranici . Torej je štirikotnik trapez. Ker sta po predpostavki
nasprotni stranici enaki, gre za enakokraki trapez.
Dokaz v nasprotno smer je očiten.
Če je štirikotnik enakokraki trapez se v njem ujemata nasprotni stranici in ima enako dolgi
diagonali.
□
S pomočjo kotnih funkcij in kompleksnih števil bomo dokazali še eno karakterizacijo
konveksnega štirikotnika z enako dolgima diagonalama.
Izrek 9: Nad stranicami konveksnega štirikotnika z zunanje strani narišemo
enakostranične trikotnike (slika 7). Potem drži naslednja karakterizacija:
i) štirikotnik ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko so središča
trikotnikov oglišča štirikotnika s pravokotnima diagonalama
ii) štirikotnik ima pravokotni diagonali, natanko tedaj, ko so središča
trikotnikov oglišča štirikotnika z enako dolgima diagonalama.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
13
Slika 7
Dokaz:
i) Središča trikotnikov označimo z tako, kot je na sliki 7. V
enakostraničnem trikotniku s stranico je razdalja od središča do oglišča enaka
radiju trikotniku očrtane krožnice
. V trikotnikih , , in
z uporabo kosinusnega izreka izrazimo stranice, ki povezujejo središča
enakostraničnih trikotnikov.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
14
Štirikotnik ima pravokotni diagonali natanko tedaj, ko velja
V levo stran enakosti vstavimo izražene stranice in poenostavimo:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
15
Uporabimo lemo 6, ki pravi, da v vsakem konveksnem štirikotniku velja:
To pomeni, da je
Zato enakost
velja natanko tedaj, ko velja
Po trditvi 5 vemo, da velja v konveksnem štirikotniku ABCD enakost
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
16
natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
□
ii) Drugi del izreka bomo dokazali s pomočjo kompleksnih števil. Oglišča , , ,
naj zastopajo kompleksna števila . Središča trikotnikov
pa naj zastopajo kompleksna števila . Za ta števila veljajo naslednje
zveze:
Kako dobimo te zveze, bomo ponazorili na primeru prve zveze, ostale zveze
sledijo na enak način.
Naj bo taka točka, da bo enakostranični trikotnik in njegovo težišče.
Težišče v enakostraničnem trikotniku je podano z naslednjo zvezo
.
Da dobimo zavrtimo okrog za kot . Vrtenje izvedemo v treh korakih:
1. premaknemo v 0:
2. zavrtimo okrog 0 za :
3. premaknemo nazaj:
Sedaj s pomočjo zveze za težišče enakostraničnega trikotnika in enakosti
, izračunamo
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
17
Dokaz izvedemo v dve smeri.
Najprej dokažimo v desno smer. Če je štirikotnik s pravokotnima
diagonalama, velja
za realno število .
Pri tem sta in dolžini diagonal štirikotnika, množenje z pa nam
predstavlja vrtenje diagonale v pozitivni smeri za in razteg za faktor
.
Uporabimo izraze za središča trikotnikov.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
18
Od tod sledi
kar pomeni, da sta diagonali štirikotnika enako dolgi.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
19
Dokažimo še v levo smer. Če ima štirikotnik enako dolgi diagonali,
velja
pri čemer kompleksna števila zastopajo središča trikotnikov in so
izražena z oglišči štirikotnika (glej začetek dokaza ii).
.
Dokazati moramo, da to pomeni, da sta in pravokotni.
Uvedemo novi kompleksni števili in .
Dokazujemo, da če velja potem je .
Za števili in uporabimo njuna polarna zapisa.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
20
Od koder sledi, da sta in pravokotni, kar pomeni, da ima štirikotnik
pravokotni diagonali.
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
21
3. Ploščina štirikotnika z enako dolgima diagonalama
V tem poglavju bomo dokazali izrek o ploščini konveksnega štirikotnika in njegovi posledici,
ki se nanašata na ploščino konveksnega štirikotnika z enako dolgima diagonalama.
Trditev 10: Ploščina konveksnega štirikotnika z diagonalama in daljicama, ki povezujeta
razpolovišči nasprotnih stranic, in je
Dokaz:
Ploščina konveksnega štirikotnika je dvakratnik ploščine njegovega Varignonovega
paralelograma s stranicama
in
:
kjer je kot med diagonalama in .
Za izračun najprej izračunamo s pomočjo kosinusnega izreka v trikotnikih
in (slika 8).
Slika 8
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
22
Enakosti odštejemo in izrazimo
Sedaj uporabimo zvezo in izrazimo
Tako izražen vstavimo v dvakratnik ploščine Varignonovega paralelograma in dobimo
iskano enakost:
□
Izrek 11: Konveksni štirikotnik z diagonalama in daljicama, ki povezujeta razpolovišči
nasprotnih stranic, in ima ploščino
Dokaz:
Enakost (1) najprej delimo z in nato kvadriramo
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
23
Levo stran enakosti spremenimo v kvadrat razlike in dobimo naslednjo enakost
(2)
Uporabimo enakost za ploščino konveksnega štirikotnika, ki smo jo dobili v trditvi 10:
To enakost kvadriramo in pomnožimo tako, da odpravimo ulomke
Iz enakosti (2) izrazimo ( in vstavimo v zgornjo enakost ter jo poenostavimo:
Tako dobimo naslednjo enakost, ki jo z deljenjem in korenjenjem preoblikujemo v iskano
enakost.
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
24
Posledica 12: Ploščina konveksnega štirikotnika je enaka produktu daljic, ki povezujeta
razpolovišči nasprotnih stranic natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
Dokaz:
Najprej dokažimo v desno. Uporabimo enakost za ploščino konveksnega štirikotnika, ki smo
jo dobili v izreku 11 in jo enačimo s produktom daljic, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih
stranic
Enakost kvadriramo, da odpravimo koren
Odštejemo in dobimo
Enakost korenimo in pomnožimo s 4
Od tod sledi
kar pomeni, da ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
Dokažimo še v drugo smer.
V enakosti, ki smo jo dobili v izreku 11 upoštevamo, da ima štirikotnik enako dolgi diagonali
.
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
25
Za dokaz posledice 15 bomo potrebovali enačbi za izračun dolžin daljic, ki povezujeta
razpolovišči nasprotnih stranic in Eulerjevo razširitev paralelogramskega pravila, zato
moramo prej dokazati naslednjo lemo in trditev.
Lema 13: (Eulerjeva razširitev paralelogramskega pravila) V konveksnem štirikotniku velja
Dokaz:
Daljica je težiščnica v trikotniku (slika 9) in jo izrazimo z enakostjo za težiščnico v
trikotniku
Slika 9
Dobljeno enakost pomnožimo s , da odpravimo ulomek
Opazimo, da je daljica težiščnica v trikotniku in daljica težiščnica v trikotniku
. Izrazimo ju z enakostjo za težiščnico v trikotniku
Ti enakosti za daljici vstavimo v zgornjo enakost in po preoblikovanju dobimo iskano enakost
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
26
□
Trditev 14: Dolžini daljic in , ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic v
konveksnem štirikotniku zadoščata
kjer je razdalja med razpoloviščema diagonal.
Dokaz:
V konveksnem štirikotniku označimo razpolovišča stranic z , , in . Izrazimo daljici
in , ki sta težiščnici trikotnikov in (slika 10). Težiščnica v trikotniku je podana z
zvezo
.
Slika 10
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
27
Nato izrazimo še dolžino daljice , ki je težiščnica v trikotniku in hkrati daljica v
štirikotniku
Enakost kvadriramo in nato vanjo vstavimo izraza za in .
Uporabimo Eulerjevo razširitev paralelogramskega pravila na konveksni štirikotnik (lema 13)
Iz te enakosti izrazimo vsoto kvadratov diagonal
To vstavimo v enakost za
Po korenjenju dobimo iskano enakost za
Na podoben način izpeljimo še enakost za . Izrazimo daljici in , ki sta težiščnici v
trikotnikih in (slika 11).
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
28
Slika 11
Izrazimo še daljico , ki je hkrati težiščnica v trikotniku in daljica v štirikotniku
Zgornjo enakost kvadriramo in vanjo vstavimo enakosti za in .
V enakosti uporabimo Eulerjevo razširitev paralelogramskega pravila na konveksni štirikotnik
(lema 13)
Po korenjenju dobimo iskano enakost za
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
29
Posledica 15: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami ima enako dolgi
diagonali, natanko tedaj, ko ima ploščino
pri čemer je razdalja med razpoloviščema diagonal.
Dokaz:
Daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic izrazimo s pomočjo stranic in razdalje
med razpoloviščema diagonal
Če upoštevamo zgornji enakosti za in , enakost v posledici 15 dejansko pomeni
Po posledici 12 je to natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
30
4. Štirikotniki z enako dolgima in pravokotnima diagonalama
Diagonali v štirikotniku se lahko razpolavljata, sta enako dolgi ali sta pravokotni. Razmislimo
o teh lastnostih v osnovnih konveksnih štirikotnikih, ki jih poznamo (tabela 1).
Tabela 1: Lastnosti diagonal v osnovnih štirikotnikih
štirikotnik diagonali se
razpolavljata
diagonali sta enako
dolgi
diagonali sta
pravokotni
trapez NE NE NE
enakokraki trapez NE DA NE
deltoid NE NE DA
paralelogram DA NE NE
romb DA NE DA
pravokotnik DA DA NE
kvadrat DA DA DA
Posebno pozornost bomo namenili štirikotnikom, ki imajo hkrati enako dolgi in pravokotni
diagonali. Med osnovnimi štirikotniki ima hkrati ti dve lastnosti le kvadrat, zagotovo pa
obstaja še kakšen konveksni štirikotnik s tema lastnostma. Kdaj ima konveksni štirikotnik
hkrati enako dolgi in pravokotni diagonali, si bomo ogledali v tem poglavju.
Izrek 16: Konveksni štirikotnik ima enako dolgi in pravokotni diagonali, natanko tedaj, ko
i) sta daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic, pravokotni in enako
dolgi,
ii) so razpolovišča njegovih stranic oglišča kvadrata.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
31
Slika 12
Dokaz:
i) Dokažimo najprej v levo. Ker sta in pravokotni po izreku 4 sledi, da ima
konveksni štirikotnik enako dolgi diagonali. Ker sta diagonali Varignonovega
paralelograma tudi enako dolgi po trditvi 2 sledi, da ima konveksni štirikotnik tudi
pravokotni diagonali.
Dokažimo še v desno. Diagonali konveksnega štirikotnika in sta po izreku 4 enako
dolgi natanko tedaj, ko sta daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic in
pravokotni. Ker sta diagonali in enako dolgi, so tudi stranice Varignonovega
paralelograma enako dolge, kar pomeni, da je le ta romb. Diagonali in sta tudi
pravokotni, kar pomeni, da so tudi stranice romba pravokotne. To je natanko tedaj, ko
je romb kvadrat. Torej je Varignonov paralelogram celo kvadrat, ki ima enako dolgi
diagonali. Diagonali Varignonovega paralelograma in sta torej enako dolgi.
ii) Razpolovišča stranic so oglišča Varignonovega paralelograma. Če ima paralelogram
enako dolgi in pravokotni diagonali, je kvadrat. Zato sledi, da je ii) ekvivalentno i).
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
32
Trditev 17: Štirikotnik z enako dolgima in pravokotnima diagonalama je kvadrat natanko
tedaj, ko se njegovi diagonali razpolavljata.
Dokaz:
Najprej dokažimo v levo. Štirikotnik katerega diagonali sta enako dolgi, pravokotni ter se
razpolavljata delita štirikotnik na štiri skladne enakokrake pravokotne trikotnike. Ker so
osnovnice teh enakokrakih trikotnikov enako dolge, gre za romb, in ker so koti pravi, je to
kvadrat.
Dokaz v desno je lahek, saj vemo, da se diagonali v kvadratu razpolavljata.
□
Trditev 18: Konveksni štirikotnik z diagonalama in daljicama, ki povezujeta razpolovišči
nasprotnih stranic, in ima enako dolgi in pravokotni diagonali natanko tedaj, ko je
njegova ploščina enaka
Dokaz:
Ploščina konveksnega štirikotnika je enaka dvakratniku ploščine njegovega Varignonovega
paralelograma s stranicama
in
. Ploščina Varignonovega paralelograma je tako podana z
enakostjo
kjer je kot med stranicama.
Torej je ploščina konveksnega štirikotnika
Z uporabo enakosti ploščina konveksnega štirikotnika zadošča
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
33
Enakost velja natanko tedaj, ko je in
, kar pomeni, da sta diagonali pravokotni in
enako dolgi.
Enakost zgornjih izrazov sledi iz enakosti (1):
□
Trditev 19: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami ima enako dolgi in
pravokotni diagonali, natanko tedaj, ko je njegova ploščina dana z:
kjer je razdalja med razpoloviščema diagonal.
Dokaz:
Konveksni štirikotnik ima enako dolgi diagonali, če je njegova ploščina enaka produktu
daljic, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic (posledica 12).
Diagonali sta pravokotni po trditvi 2, natanko tedaj, ko sta daljici, ki povezujeta razpolovišči
nasprotnih stranic, enaki.
Uporabimo naslednji enakosti za izračun teh daljic:
Upoštevamo, da sta daljici enako dolgi
Uporabimo enakost za ploščino konveksnega štirikotnika, ki smo jo dobili pri posledici 12 in
v to enakost vstavimo zgornji enakosti za izračun daljic. Iskana enakost sledi
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
34
Posledica 20: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami je kvadrat, natanko
tedaj, ko je njegova ploščina
Dokaz:
Enakosti sta direktna posledica trditve 19. Po trditvi 17 je namreč konveksni štirikotnik
kvadrat, natanko tedaj, ko je štirikotnik z enakima in pravokotnima diagonalama, ki se
razpolavljata ( ).
□
Izrek 21: Štirikotnik z enako dolgima in pravokotnima diagonalama z zaporednimi stranicami
ima ploščino
Dokaz:
Uporabimo naslednji lastnosti (slika 13)
Slika 13
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
35
Izrazimo diagonalo s stranicami, s pomočjo Pitagorovega izreka.
Enakosti najprej kvadriramo in nato še seštejemo:
Enakost poenostavimo
Rešimo kvadratno enačbo.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
36
Izraz pod korenom poenostavimo
Uporabimo zvezo: .
(3)
Da, določimo predznak rešitve uporabimo poseben primer: kvadrat ( ):
V enakosti moramo torej uporabiti . Enakost (3) vstavimo v
in dobimo iskano
enakost
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
37
5. Kdaj imajo osnovni štirikotniki enako dolgi diagonali?
Izrek 22: Velja:
i) paralelogram ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je pravokotnik;
ii) romb ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je kvadrat;
iii) trapez ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je enakokraki trapez;
iv) tetivni štirikotnik ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je enakokraki trapez.
Dokaz:
i) Imamo paralelogram s stranicama in . Paralelogram ima enako dolgi diagonali, ko
velja
Od tod sledi
Kota in sta v paralelogramu enaka le, če je ta pravokotnik.
□
ii) Dokažemo na enak način kot i), le da tokrat velja a=b. Spet dobimo A=B.
Kota in sta v rombu enaka le če je kvadrat.
□
iii) Za dokaz te točke bomo potrebovali enačbi za izračun dolžin diagonal v trapezu, zato
bomo najprej dokazali naslednji izrek.
Izrek 23: Konveksni štirikotnik s stranicami je trapez z vzporednima
stranicama in pri čemer natanko tedaj, ko je dolžina diagonal in enaka:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
38
Slika 14
Dokaz:
Kosinusni izrek v trikotnikih ABD in DBC nam da:
Stranici in sta vzporedni samo, če je , kar je natanko tedaj, ko je :
Ker , dobimo:
Na enak način dokažemo tudi enakost za .
Kosinusni izrek v trikotnikih in nam da:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
39
Slika 15
Stranic sta vzporedni samo, če je , kar je natanko tedaj, ko je :
Ker , dobimo:
□
Sedaj lahko s pomočjo teh dveh enakosti dokažemo točko iii.
Upoštevamo:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
40
pri čemer sta in vzporedni in različno dolgi.
Diagonali sta enako dolgi natanko tedaj, ko velja:
Ker sta kraka trapeza in enaka, sledi da je trapez enakokrak.
□
iv) Za dokaz te točke bomo potrebovali Ptolomejev drugi izrek zato bomo najprej
dokazali tega.
Izrek 24: V tetivnem štirikotniku z diagonalama in velja
Dokaz:
V tetivnem štirikotniku označimo presečišče diagonal s in kot med diagonalama s (slika
16). Konstruiramo višini na : v trikotniku in v trikotniku in višini na AC:
v trikotniku in v trikotniku .
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
41
Slika 16
Uporabimo enakost za višino v trikotniku in z njeno pomočjo izrazimo
in
Sedaj izrazimo višine s pomočjo enakosti za višino v trikotniku , in sicer in
v trikotniku ter in v trikotniku .
Dobljeni enakosti vstavimo količnik in . Po preoblikovanju dobimo iskano
enakost
□
Sedaj lahko dokažemo točko iv.
Uporabimo Ptolomejev drugi izrek:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
42
Od tod sledi, da ima tetivni štirikotnik enako dolgi diagonali natanko tedaj, ko je
To je natanko tedaj, ko velja
Prva možnost:
Druga možnost:
Slika 17
V štirikotniku z enako dolgima diagonalama se po posledici 8 nasprotni stranici
ujemata natanko tedaj, ko je štirikotnik enakokraki trapez. Tetivni štirikotnik z
enakima nasprotnima stranicama je enakokraki trapez.
□
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
43
6. Dolžina diagonale v štirikotniku z enako dolgima diagonalama
V tem poglavju bomo izpeljali obrazec za izračun dolžine diagonale v štirikotniku z enako
dolgima diagonalama. Za potrebe tega dokaza moramo najprej dokazati naslednjo lemo.
Lema 25: Za poljubna dva kota in velja
Dokaz:
Uporabimo adicijski izrek za kosinus vsote
Enakost kvadriramo
Uporabimo zvezo med funkcijama sinus in kosinus:
To vstavimo v zgornjo enakost in iskano enakost dobimo po poenostavitvi:
□
Izrek 26: V konveksnem štirikotniku s stranicami in diagonalama velja:
Ista enakost velja tudi v vbočenem štirikotniku in celo v prekrižanem štiriciklu.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
44
Dokaz:
V štirikotniku z diagonalama uporabimo naslednji oznaki in . S
pomočjo kosinusnega izreka v trikotnikih , in izrazimo kosinuse kotov
.
Slika 18
Dobimo:
Sedaj uporabimo lemo 25 in vanjo vstavimo dobljene kosinuse:
Enakost pomnožimo s številom , da odpravimo ulomke
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
45
Člene v enakosti kvadriramo in pomnožimo tako, da odpravimo oklepaje. Po krajšanju enakih
členov dobimo naslednjo enakost
Po izpostavljanju in preoblikovanju dobimo iskano enakost
Enakost pomnožimo z ( , da odpravimo negativni predznak pri prvem členu
Tako smo dobili enakost s pomočjo katere lahko izračunamo manjkajočo dolžino stranice ali
diagonale v poljubnem konveksnem štirikotniku.
Enakost velja tudi za vbočen štirikotnik.
Na sliki 18 premaknemo točko po daljici proti točki tako da dobimo vbočen
štirikotnik . Tako ena diagonala leži znotraj štirikotnika in deli kot pri ustreznem
oglišču na in . Če sedaj izrazimo kosinuse kotov , kot smo to naredili pri
konveksnem štirikotniku, ugotovimo, da dobimo enake izraze. Torej vsi izračuni veljajo tudi v
tem primeru.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
46
Enakost velja celo za prekrižani štiricikel.
Slika 19
V prekrižanem štiriciklu sta obe diagonali zunaj štiricikla (slika 19). Če kota in
definiramo enako, kot smo ju pri konveksnem štirikotniku, ugotovimo, da imamo sedaj
namesto kota kot . Vendar enakost, ki jo dobimo v lemi
25 in uporabimo za dokaz izreka 26, zaradi kvadriranja v dokazu leme 25 velja tudi za
. Torej vsi izračuni veljajo tudi za prekrižani štiricikel.
□
To enakost lahko z upoštevanjem lastnosti, da ima konveksni štirikotnik enako dolgi
diagonali, preoblikujemo tako, da bomo z njeno pomočjo lahko izračunali dolžino diagonale v
štirikotniku z enako dolgima diagonalama v katerem imamo znane le stranice.
V zgornji enakosti upoštevamo
To enakost preoblikujemo v kubično enačbo za
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
47
Poenostavimo vsebino oklepaja pri
Poenostavljen izraz v oklepaju vstavimo v enakost
Enakost pomnožimo z , da odpravimo negativni predznak pri prvem členu
S pomočjo danih dolžin stranic in dobljene enakosti lahko sedaj izračunamo dolžino
diagonale v konveksnem štirikotniku z enako dolgima diagonalama.
S tem smo izpeljali naslednji izrek:
Izrek 27: V konveksnem štirikotniku z enako dolgima diagonalama in stranicami
velja
Kubična enačba za lahko ima tri, dve ali eno pozitivno realno rešitev, kar pomeni, da lahko
pri računanju dolžine diagonale pri danih dobimo tri, dva ali en pozitiven . Na
primerih si poglejmo, kakšne štiricikle nam dajo različne vrednosti izračunane po enakosti
iz izreka 27.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
48
Primer 28: Z GeoGebro konstruirajmo konveksni štirikotnik z enako dolgima
diagonalama. Dolžina diagonale je , stranice štirikotnika pa imajo naslednje dolžine
, , in . Za dan konveksni štirikotnik izračunamo dolžino
diagonale z uporabo enakosti za dolžino diagonale v konveksnem štirikotniku z enako
dolgima diagonalama
S pomočjo žepnega računala izračunamo vrednosti v oklepajih
Enačbo zapišemo v kubični obliki za
Na žepnem računalu vklopimo funkcijo reševanja kubične enačbe in rešimo enačbo. Dobimo
naslednje tri rešitve
Da bomo dobili dolžino diagonale, moramo te rešitve koreniti, dobimo:
Dobili smo dve realni rešitvi naše kubične enačbe. Ker smo na začetku konstruirali konveksni
štirikotnik z diagonalama , vemo, da nam rešitev da konveksni štirikotnik. Kaj
pa rešitev ? To bomo preverili s pomočjo GeoGebre (slika 20).
Za dane in lahko narišemo štirikotnik in je določen. Ker ima enačba za
dve pozitivni rešitvi, konstruiramo na isti sliki še štirikotnik s podatki in .
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
49
Ugotovimo, da nam rešitev da dve različni sliki, in sicer prekrižani štiricikel
in prekrižani štiricikel . Pri tem ima prekrižani štiricikel
enak kot
konveksni štirikotnik , prekrižani štiricikel pa ne.
Slika 20
Primer 29: Z GeoGebro konstruirajmo enakokraki trapez kot primer štirikotnika z
enako dolgima diagonalama. Dolžina diagonale je , stranice štirikotnika pa imajo
naslednje dolžine , in . Tako kot pri primeru 28 izračunajmo
dolžino diagonale s pomočjo enakosti, ki smo jo izpeljali v izreku 27.
Dobimo:
Po korenjenju, dobimo:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
50
Z GeoGebro preverimo, tako kot pri primeru 28, kakšno rešitev nam da (slika 21).
Ugotovimo, da nam ta rešitev da dve različni sliki, in sicer prekrižani štiricikel in
vbočeni štirikotnik . Pri tem ima prekrižani štiricikel enak kot enakokraki
trapez , vbočeni štirikotnik pa ne.
Slika 21
Razmislimo, zakaj smo pri dobili v obeh primerih dve različni sliki. Enakost iz izreka 27
nam pri danih predstavlja kvadratno enačbo za . Ta lahko ima dve pozitivni realni
rešitvi, tako dobimo poleg začetnega še en in posledično dve različni sliki.
Primer 30: Z GeoGebro konstruirajmo konveksni štirikotnik kot primer štirikotnika z
enako dolgima diagonalama. Dolžina diagonale je , stranice štirikotnika pa imajo
naslednje dolžine , in . Tako kot pri prejšnjih primerih
izračunajmo dolžino diagonale s pomočjo enakosti, ki smo jo izpeljali v izreku 27.
Dobimo:
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
51
Po korenjenju, dobimo:
Slika 22
Z GeoGebro preverimo, kakšno rešitev nam da (slika 22). Ugotovimo, da nam ta
rešitev da dve različni sliki, in sicer vbočeni štirikotnik in prekrižani štiricikel
. Pri tem ima vbočeni štirikotnik enak kot konveksni štirikotnik ,
prekrižani štiricikel pa ne.
Torej pri predpostavki, da ima štirikotnik enako dolgi diagonali, pri danih lahko
dobimo različne vrednosti za dolžino (obeh) diagonal , pri konstrukciji ustreznih
štirikotnikov pa se izkaže, da včasih kot rezultat dobimo konveksne štirikotnike, včasih
vbočene, včasih pa celo prekrižane štiricikle.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
52
7. Zaključek
V magistrskem delu smo spoznali in dokazali nekaj lastnosti konveksnih štirikotnikov z enako
dolgima diagonalama. Pri dokazovanju smo si pomagali z napotki v članku [1]. Izrek 3 smo
dokazali s pomočjo članka [3], izrek 23 s pomočjo članka [4], izrek 24 pa s pomočjo spletne
strani [6]. Trditev 14 smo dokazali s pomočjo članka [2] in spletne strani [5]. Lemo 13 smo
dokazali s pomočjo zapiskov pri predmetu Ravninska in prostorska geometrija.
Vse slike so narisane s programom GeoGebra 5.0.
Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015
53
8. Literatura
[1] M. Josefsson, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geometricorum, Vol. 14
(2014), str. 129–144. Dostopno na spletu, povzeto 20.1.2015:
http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf
[2] M. Josefsson, The area of a bicentric quadrilateral, Forum Geom., 11 (2011) 155–164.
Dostopno na spletu, povzeto 3.2.2015:
http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
[3] M. Josefsson, Characterizations of orthodiagonal quadrilaterals, Forum Geom., 12 (2012)
13–25. Dostopno na spletu, povzeto 3.2.2015:
http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
[4] M. Josefsson, Characterizations of trapezoids, Forum Geom., 13 (2013) 23–35. Dostopno
na spletu, povzeto 3.2.2015:
http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201305.pdf
[5] Headhunter (uporabniško ime) in M. Constantin, Inequality Of Diagonal, spletni vir,
povzeto 15.5.2015 http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h363253
[6] Ptolemy's Theorems, spletni vir, povzeto 12.6.2015
https://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/