Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL1
Estatística Básica Utilizando o Excel
Delamaro e Marins
5a. Aula – Distribuições de Probabilidade -
Contínuas
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Tópicos
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida
Avaliando a Normalidade dos Dados
Distribuição Exponential
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Variável Aleatória Contínua
Uma Variável Aleatória Contínua é uma variável que pode assumir valores num intervalo definido.
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Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas
Tempo para realizar uma tarefa
Taxas Financeiras
Pesos (volumes) de produtos
Distância entre dois pontos
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Distribuição de Probabilidades Contínuas
A Distribuição de Probabilidades de uma Variável Aleatória Contínua é representada por uma função densidade de probabilidade f(X) que define uma curva.
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Função Densidade de ProbabilidadePropriedades
f(X) 0, para todo X
1)(
dxXf
b
a
dxXfbXaP )()(
0 P(X=x) 1
x
xXP 1)(
b
ai
iXPbXaP )()(
Discretas
Contínuas
© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 5-7
Distribuição de Probabilidades Discretas
versus Contínuas
x
f(X)P(X)
Valores possíveis de X
x
Valores possíveis de X
(a) Distribuição de Probabilidades
Discreta
(b) Função Densidade de Probabilidade
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Distribuição Normal
“Em forma de Sino” Unimodal Simétrica Média, mediana e
moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Amplitude Interquartil
é 1,33
Média,
Mediana Moda
X
f(X)
Q1 Q3
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Modelo Matemático
X: valores da variável aleatória ( )
F(X):função densidade probabilidade da variável aleatória X
média da população desvio padrão da população
222
1-
2
2
1
XeXf
X
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Distribuição Normal
Variando os parâmetros e , obtém-se diferentes formas de distribuições
normal
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Cálculo de Probabilidades
Probabilidade é a área sob a curva!
c dX
f(X)
?P c X d
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Cálculo de Probabilidades
Qual a área total abaixo da curva?
f(X)
X
Área = 1
P(- < X < + )
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Qual Tabela usar?
Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par e !
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Solução: Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
0,5478.02
0.1 .5478
Distribuição Normal Padronizada Tabela (Parte)
Probabilidades
Uma única Tabela basta!
0 1Z Z
Z = 0,12
0
© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 5-15
Distribuição Normal Padronizada
Valor da V. A. Normal Z Padronizada:Valor da V. A. Normal Z Padronizada:
onde:
x = valor da V. A. Normal X = Desvio padrão da V. A. Normal X = Média da V. A. Normal Xz = valor padronizado de x (número de desvios padrão com relação à Média)
x
z
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Exemplo
6.2 50.12
10
XZ
X: Distribuição Normal
Z: Distribuição Normal
Padronizada 10 1Z
5 6.2 X Z0Z
0.12
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Exemplo:
X: Distribuição Normal
Z: Distribuição Normal
Padronizada10 1Z
5 7.1 X Z0Z
0.21
2.9 5 7.1 5.21 .21
10 10
X XZ Z
2.9 0.21
.0832
2.9 7.1 .1664P X
.0832
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Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
0,5832.02
0.1 .5478
Distribuição Normal
Tabela (Parte)
0 1Z Z
Z = 0,21
Exemplo: 2.9 7.1 .1664P X
(continuação)
0
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Z .00 .01
-03 .3821 .3783 .3745
.4207 .4168
-0.1.4602 .4562 .4522
0.0 .5000 .4960 .4920
0,4168.02
-02 .4129
Distribuição Normal
Tabela (Parte)
0 1Z Z
Z = -0,21
Exemplo: 2.9 7.1 .1664P X
(continuação)
0
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Exemplo: 8 .3821P X
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Padronizada10 1Z
5 8 X Z0Z
0.30
8 5.30
10
XZ
.3821
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Exemplo: 8 .3821P X
(continuação)
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
0,6179.02
0.1 .5478
Distribuição Normal
Tabela (Parte)
0 1Z Z
Z = 0,30
0
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0,6217
Encontrando Valores de Z para Probabilidades
conhecidas
Z .00 0.2
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
.6179 .6255
.01
0.3
Distribuição Normal
Tabela (Parte)Qual é Z associado à Probabilidade= 0,6217 ?
.6217
0 1Z Z
.31Z 0
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Recuperando Valores de X para Probabilidades
Conhecidas
5 .30 10 8X Z
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Padronizada10 1Z
5 ? X Z0Z 0.30
.3821.1179
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Avaliando Normalidade
Na prática é importante saber avaliar quanto (quão bem) um conjunto de dados pode ser adequadamente aproximado por uma distribuição normal
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Avaliando Normalidade Construir gráficos
Para conjuntos pequenos ou moderados de dados, o stem-and-leaf display e o box-and-whisker plot apresentam simetria?
Para conjuntos com muitos dados, o histograma ou o polígono apresentam a forma de sino?
Calcular medidas descritivas dos dados A média, mediana e moda têm valores similares?
A amplitude interquartil é aproximadamente 1,33 ?
(continuação)
© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 5-26
Uniform Probability Distribution
Distribuição de Probabilidades Uniforme
A Distribuição Uniforme é uma distribuição de probabilidades na qual a probabilidade de ocorrer um valor entre dois pontos, a e b, é a mesma de ocorrer um valor entre dois outros pontos, c e d,
se a distância entre a and b é igual a distância entre c e d.
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© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 5-27
Distribuição de Probabilidades Uniforme
Distribuição de Probabilidades UniformeDistribuição de Probabilidades Uniforme
onde:f(x) = Função Densidade de Probabilidade de Xa = Limite Inferior de intervalo de definição de Xb = Limite Superior de intervalo de definição de XParâmetros: = (a+b)/2 e 2 = (b – a)2/12
..0)(
1)(
ccxf
bxaifab
xf
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Distribuição de Probabilidades Uniforme
f(x)
2 5a b
f(x)
a b
3 8
33,03
1
25
1)(
xf
para 2 x 5
20,05
1
38
1)(
xf
para 3 x 8
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Cálculo de Probabilidades na Uniforme
f(x)
1 6a b
0,25
0,50
33,03
1
25
1)(
xf
para 2 x 5
P(3 X 5) = ?
P(3 X 5) =
(5 – 3)/(6 – 1) =
2/5 = 0,4
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Distribuição de Probabilidades Exponencial
T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828
P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t
: taxa média de chegadas
1/ : intervalo médio entre chegadasExemplos: Carros chegando num pedágio; Clientes chegando num caixa eletrônico
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Distribuição de Probabilidades Exponencial
Usada para estudos de Sistemas de Filas Função densidade de probabilidade
Parâmetros
(continuação)
1 x
f x e
1 1
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Distribuição de Probabilidades Exponencial
Valores of X
f(x) Lambda = 3,0 (Média = 0,333)
Lambda = 2,0 (Média = 0,5)
Lambda = 1,0 (Média = 1,0)
Lambda = 0,50 (Média = 2,0)
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Exemplo
Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5’ ?
e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas
P(intervalo entre chegadas > t) =
1 – P(intervalo entre chegadas t) =
1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821