MAKALAH MATA KULIAH METODE NUMERIK
INTERPOLASI FRAKTAL
Disusun oleh :
1. Maria Arditira Yolandari (H1L011060)
2. Kuswidianti D. P. (H1L011061)
3. Eri Faisol (H1L011062)
4. Tito Hartawan (H1L011065)
5. Niken Hananti P. (H1L011069)
UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN
FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
PURWOKERTO
2013
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala Rahmat dan karuniaNya
sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini dapat
dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca. Harapan
penulis semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para
pembaca, sehingga penulis dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga ke
depannya dapat lebih baik.
Makalah ini pasti masih memiliki banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis
harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat
membangun makalah ini.
Purwokerto, Maret 2013
Penulis,
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .....................................................................................i
DAFTAR ISI....................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................1
A. Latar Belakang Masalah ...........................................................................1
B. Rumusan Masalah......................................................................................2
C. Maksud dan Tujuan...................................................................................2
BAB II PEMBAHASAN..................................................................................3
A. Pengertian Fraktal......................................................................................3
B. Konstruksi Ruang Fraktal..........................................................................4
C. Pemetaan Kontraktif dan Iterasi................................................................5
D. Sistem Fungsi Iterasi.................................................................................5
E. Interpolasi Fraktal......................................................................................6
BAB III PENUTUP..........................................................................................15
Kesimpulan.......................................................................................................15
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Pada masa lalu, matematika memberikan perhatian sangat besar pada himpunan
dan fungsi yang mulus yang dapat dipelajari dengan kalkulus klasik. Sedangkan
himpunan dan fungsi yang tidak mulus dan tidak teratur cenderung diabaikan dan
dijauhkan dari pembicaraan. Namun pada 2 dasawarsa terakhir ini anggapan tersebut
telah berubah. Perhatian orang mulai ditunjukkan pula kepada himpunan-himpunan
yang tidak mulus. Lebih jauh lagi, himpunan yang tidak teratur memberikan penyajian
yang lebih baik untuk fenomena alam dibandingkan dengan gambar-gambar dalam
geometri klasik (tradisional). Geometri fraktal memberikan kerangka umum untuk
mempelajari himpunan yang tidak teratur. Obyek-obyek alam, seperti gunung, pantai,
awan, dan pohon tidak dapat digambarkan baik secara tradisional, yaitu dengan
menggunakan Geometri Euclides. Akhirnya disadari bahwa Geometri Ecluides hanya
mampu mempresentasikan obyek-obyek buatan manusia, seperti garis, segitiga,
segiempat, lingkaran, dll. Sedangkan Geometri Fraktal dapat mempresentasikan
obyek-obyek yang muncul dalam alam dengan baik.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah sebagai berikut :
1. Apakah fraktal itu?
2. Apakah dimensi fraktal itu?
3. Bagaimana cara menghitung dimensi fraktal?
4. Apakah interpolasi fraktal itu?
C. Maksud dan Tujuan
Maksud pembuatan makalah ini adalah untuk :
1. Memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik Program Studi Teknik Informatika
Universitas Negeri Jenderal Soedirman.
2. Mempelajari metode numerik khususnya Interpolasi Fraktal
Tujuan :
1. Menambah pengetahuan bagi penulis, khususnya bagi pembaca pada umumnya.
2. Menambah wawasan penulis dalam bidang matematika.
BAB II
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN FRAKTAL
Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-
bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian
yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya (Wikipedia).
Kata fraktal berasal dari kata laint fractus yang artinya patah atau putus untuk
menyatakan benda-benda yang sangat tidak teratur. Mandelbrot mengatakan bahwa
fraktal adalah himpunan yang mempunyai dimensi tak bulat atau dimensi Hausdorffnya
lebih besar daripada dimensi topologisnya. Dimensi topologis suatu himpunan selalu
bulat, bernilai 0 jika himpunan itu tak terhubung total (totally disconnected), dan bernilai
1 jika setiap titiknya mempunyai suatu persekitaran dengan perbatasan yang berdimensi
0, dst (Devaney, 1992:186). Falconer (1990:xx) lebih suka memberikan definisi fraktal
secara deskriptif, dan tidak memberikan definisi secara eksplisit. Falconer mendefinisikan
fraktal sebagai suatu himpunan dengan sifat-sifat sebagai berikut :
(i) mempunyai struktur halus (fine structure), yakni terinci pada skala yang
sembarang kecilnya,
(ii) terlalu tak teratur untuk dinyatakan dalam geometri tradisional,
(iii) sering mempunyai bentuk yang berkesebangunan diri (self similarity),
(iv) dimensi fraktal biasanya lebih besar daripada dimensi topologisnya, dan
(v) dalam banyak hal fraktal didefinisikan sangat sederhana, sering secara rekursif.
Diberikan bilangan asli N>1 dan data {(x i , F i)≔0 ,1 , 2 , …,N }. Interpolasi adalah suatu
proses menentukan suatu fungsi kontinu f yang grafiknya melewati data
{(x i , F i)≔0 ,1 , 2 , …,N }. Metode interpolasi paling sederhana adalah dengan menarik
garis lurus dari masing-masing data, tersebut ke titik yang berdekatan. Selain metode
sederhana diatas, kita mempunyai metode lain yaitu dengan membentuk polinomial
dengan derajat yang terendah sehingga polinomial tersebut merupakan grafik yang paling
sesuai dengan grafik data dalam selang [ X 0 , X N ]
B. KONSTRUKSI RUANG FRAKTAL
Diberikan ruang metrik (X,d). Ruang metrik (X,d) dikatakan lengkap jika setiap barisan
Cauchy dari titik-titik di dalam (X,a) konvergen ke suatu titik di dalam X. Diberikan
(X,d) ruang metrik lengkap. Didefinisikan H(X) sebagai koleksi semua subhimpunan
kompak tak kosong dari X, i.e.
H ( X )≔ { A : A X , A ≠∅ dan A kompak }.
Didefinisikan d (a , B)=Min {d (a ,b ) :b∈B } adalah jarak titik a ke himpunan B dan
d ( A , B )=Maks {Min {d ( a ,b ): bB }: a∈ A }=Maks{d (a ,B): a∈ A } adalah jarak himpunan
A ke himpunan B. Disini d(A,B) belum tentu sama dengan d(B,A).
Untuk semua A , B ,C∈H (X )berlaku :
(i) A ≠ B → d ( A ,B ) ≠ 0dan d ( B , A )≠ 0
(ii) A B→ d ( A , B )=0
(iii) A B→ d (C , B )≤ d (C , A )
(iv) d ( A∪B ,C )=d ( A , C ) vd ( B ,C ) denganv y=max {x , y }
Metrik Hausdroff h(A,B) dengan A dan B dalam H(X) didefinisikan sebagai :
h(A,B) = Maks{d(A,B), d(B,A)}.
Untuk A, B, C, D ∈H (X ) berlaku :
h ( A∪B ,C∪D )≤ H ( A ,C ) vh ( B , D ) .
Mudah dibuktikan bahwa fungsi h : H ( X ) x H ( X ) → R di atas merupakan metrik sehingga
(H ( X ) , h) adalah suatu metrik. Metrik h yang didefinisikan pada H(X) ini disebut metrik
Hausdroff. Dalam hal ini (H(X), h) disebut ruang faktral dan setiap anggotanya disebut
fraktal.
Teorema 1.1 (Barnsley, 1988:37)
Jika (X,d) ruang metrik lengkap, maka ruang fraktal (H(X), h) juga ruang metrik lengkap,
i.e. setiap barisan Cauchy { An} dalam H(X) terdapat A∈H ( X ) sehingga A limN →∞
An.
C. PEMETAAN KONTRAKTIF DAN ITERASI
Definisi 1.1 (Barnsley, 1988:80) Pemetaan f : ( X ,d )→ ( X , d ) , disebut pemetaan kontraktif
jika terdapat suatu konstanta s dengan 0 ≤ s≤ 1 sehingga
d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ sd ( x , y ) ,∀ x , y∈ X .
Konstanta s dinamakan faktor kontraktivitas.
Mudah dibuktikan bahwa jika f pemetaan kontraktif, maka f fungsi kontinu. Suatu titik
x f ∈ X disebut titik tetap dari transformasi f jika x f =f (x f ).
Definisi 1.2 (Devaney, 1992:17) Diberikan pemetaan f : ( X ,d )→(X ,d ). Untuk semua
bilangan bulat tak negatif n ≥ 0 , iterasi dari f, i.e. f n: X → X didefinisikan dengan
f 0 ( x )≔ x , f 1 ( x )≔ f ( x ) , f 2 (x )≔ f ° f ( x ) ,…, f n+1 ( x )≔ f ° f n (x )=f ( f n (x ) ) ,Untuk semua x∈ X .
Teorema 1.2 (Barnsley, 1988:76)
Jika(X,d) ruang metrik lengkap dan f pemetaan kontraktif dari X ke X dengan faktor
kontraktivitas s, maka f mempunyai tepat satu tetap x f ∈ X, barisan { f n ( x ):n=1,2 …}
konvergen ke x f . i.e.limn → ∞
f n ( x )=x f .
D. SISTEM FUNGSI ITERASI (Barnsley, 1988:82)
Sistem Fungsi Iterasi (SFI) didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri dari ruang
metrik lengkap (X,d) dan pemetaan-pemetaan kontraksi yang berhingga banyaknya, i.e.
wn: X → X dengan faktor kontraktivitas sn untuk n = 1, 2, ..., N. Dalam hal ini SFI diberi
notasi { X : wn ,w2 ,…, wN } dengan faktor kontraktivitas s=maks {sn=:1 , 2 ,3 ,…, N } seperti
tertuang dalam teorema berikut :
Teorema 1.3 (Barnsley, 1988:82)
Diberikan SFI { X : w1 , w2 , …, wN } dengan sn faktor kontraktifitas wn ,n=1 ,2 ,3 , …, N .
Jika transformasi W : H ( X ) → H ( X ) didefinisikan sebagai
W ( B )=¿n=1¿N wn (B ) , ∀B∈H (X ) ,
Maka W merupakan pemetaan konstraksi pada (H(X), h) dengan faktor kontraktivitas
s=maks {sn=:1 , 2 ,3 ,…, N }, i.e.
h (W ( B ) ,W (C ) ) ≤ sh , ∀B ,C∈H (X ).
SFI seperti itu disebut SFI hiperbolik. Akibatnya, dari Teorema 1.3 dan Teorema 1.2
(Teorema titik tetap), terdapat dengan tunggal titik tetap A∈H , i . e .
A=W ( A )=¿n=1¿N wn ( A )
dan A ditentukan secara iteratif oleh
A= limN → ∞
W n ( B ) ,∀ B∈H ( X ) .
Titik tetap A ini disebut atraktor (attractor) SFI tersebut.
E. INTERPOLASI FRAKTAL
Definisi 1.3 (Barnsley 1986:305).
Fungsi interpolasi suatu data { ( xi , Fi )∈R2: i=0 ,1 , …, N }, x0< x1<x2<. . .< xN,
didefinisikan sebagai suatu fungsi kontinu f : [ x0 , xN ]→ R sehingga f ( x i )=Fi untuk
i=0 , 1 , …, N .
Titik-titik ( x i , F i)∈R2 untuk i=0 , 1 , …, N , disebut titik-titik interpolasi dan dikatakan
bahwa fungsi f menginterpolasikan data tersebut.
Definisi 1.4 (Barnsley 1986:305).
Fungsi interpolasi suatu data { ( xi , Fi )∈R2: i=0 ,1 , …, N }, x0< x1<x2<. . .< xN,
didefinisikan sebagai suatu fungsi interpolasi f : [ x0 , xN ]→ R yang grafiknya merupakan
atraktor dari suatu SFI.
Dalam pembahasan interpolasi fraktal akan dikonstruksikan suatu SFI
{R2:wn , n=1 ,2, …, N } sehingga eksistensi atraktornya terjamin dan merupakan grafik
dari suatu fungsi kontinu f : [ x0 , xN ]→ R yang menginterpolasikan data
{ ( xi F i)∈ R2: i=0 ,1 , …, N }, dengan wn tranformasi affine yang berbentuk khusus, i.e.
(1.1) wn( xy )=( an
cn0dn
)(xy )+(en
f n)
yang dibatasi oleh
(1.2) wn( x0
F0)=( xn−1
Fn−1) dan wn( x N
FN)=( xn
Fn)untuk n = 1, 2, …, N.
Dari (1.1) dan (1.2) diperoleh :
(1.3) an x0+cn=xn−1
(1.4) an xN +en=xn
(1.5) cn x0+dn F0+f n=Fn−1
(1.6) cn xN+dn FN+ f n=Fn ,
Untuk n = 1, 2, …, N.
Kemudian dari (1.3) dan (1.4) diperoleh :
(1.7) an=( xn−xn−1)( xN−x0 )
,
(1.8) en=( xN xn−1−x0 xn )
( xN−x0 ),
Untuk n = 1, 2, …, N. Dan dari (1.5) dan (1.6) kita mendapatkan dua persamaan dengan 3
variabel yang belum diketahui, dengan mengambil dnsebagai variable bebas, yang disebut
factor penyala vertical dan diperoleh :
(1.9) cn=Fn−Fn−1
xN −x0
−dn
F N−F0
x N−x0,
(1.10) f n=X N Fn−1−x0 Fn
x N− x0
−dn
X N F0−x0 Fn
xN−x0,
Dari uraian di atas, dapat dipertanyakan berbagai macam hal, seperti kenapa kita
menggunakan transformasi affine dan mengapa kita mengambil dn sebagai parameter
bebas. Penggunaan transformasi affine tidak akan merubah bentuk dan struktur, pemilihan
transformasi affine di atas dan pengambil dnsebagai variabel bebas kedua pertanyaan tersebut
akan terjawab setelah membuktikan teorema-teorema di bawah ini
Teorema 1.3 Diberikan bilangan asli N > 1 dan SFI {R2:wn , n−1 ,2, …, N } yang telah
dikonstruksikan pada (4,1) dan (4,2), yang berkaitan dengan data {(xn,
Fn¿ :n=0 , 1 ,2 , …, N ¿ . Jika faktor penyekala vertikal dn memenuhi 0 ≤|dn|≤1 , untuk n =
1, 2, ..., N, maka terdapat suatu metrik d pada R2, yang equivalen dengan metrik Euclides,
sehingga SFInya hiperbolik terhadap metrik d. Khususnya terdapat dengan tunggal suatu
atraktor G, i.e. G subhimpunan kompak tak kosong dalam R2 yang memenuhi
G=¿n=1¿ N wn (G )
Bukti : didefiniskan suatu metrik d pada R2 :
d ((x1 , y1) ,(x2 , y2))=|x1−x2|+θ|y1− y2|,
untuk semua ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 )∈R2, dengan θ suatu bilangan positif yang akan ditentukan
kemudian. Mudah dibuktikan d merupakan metrik pada R2 yang equivalen dengan metrik
Euclides. Ambil n ∈ {1 , 2 ,3 ,…, N }dan an , cn, en , f n, yang telah ditentukan berdasarkan
pada persamaan (1.7), (1.8), (1.9), (1.10). Maka diperoleh :
d (wn(x1 , y1) ,wn(x2 , y2))
=d (( an x1+en , cn x1+dn y1+ f n ) , (an x2+en , cn x2+dn y2+f n ))
= |an x1+en – (an x2+en)|+θ|cn x1+dn y1+ f n−(cn x2+dn y2+ f n)|
= an|x1−x2|+θ|cn ( x1−x2 )|+|dn( y1− y2)|≤ ¿an|x1−x2|+θ|cn ( x1−x2 )|+θ|dn( y1− y2)|
=¿an|x1−x2|+θ|cn∨x1− x2|+θ|dn∨¿ y1− y2| = ¿
Karena N ≥ 2, diperoleh
|an|=|xn−xn−1||XN−X 0|
<1
Jika c1=c2=c3=…=cn=0, dipilih θ=1, sehingga didapat
d(wn(x1,y1),wn(x2,y2))
≤ ¿¿|(y1-y2)|
≤|an||x 1−x 2|+¿dn|(y1-y2)|
¿ sd (( x1 , y 1 ) , ( x 2, y 2 )),
Dengan s = Maks {¿an∨,¿dn| : n =1,2,......,N} <1, i.e {R2 :W n,n = 1,2,.....,N} SFI
hiperbolik terhadapat metrik d
Untuk yang lain di pilih
θ=Min {1−|an|:n=1,2 , ………N }
Max {2|cn|:n=1,2 , ……. N }
Maka di dapat
d(wn(x1,y1),wn(x2,y2))
≤ ¿¿||y1-y2|
≤ a|x1−x2|+θδ∨ y 1− y 2∨¿
≤ Maks {a , δ } d ¿
¿ sd (( x1 , y 1 ) , ( x 2, y 2 )),
Dengan
a=( 12+
Maks {|an|:n=1,2 ,…… …N }2 )<1
Nilai a diperoleh dari
¿an∨+θ∨cn|
=¿an|+Min{1−|an|: n=1,2 , ……… N
Max {2|cn|:n=1,2 ,……. N∨cn|
≤ ¿an∨+Min {1−|an|:n=1,2 ,… ……N }
2
¿¿an∨+1−Maks{1−|an|:n=1,2 ,……… N }
2
≤ Maks{¿an }∨+1−Maks {1−|an|:n=1,2, ……… N }
2
¿ 12+
Maks{|an|: n=1,2 ,……… N }2
Sehingga dapat di ambil
a=( 12+
Maks {|an|:n=1,2 ,…… …N }2
<1)δ=Maks ¿dn| : n =1,2,......,N}<1 dan s=Maks{a,δ }.
Jadi {R2 :W n,n = 1,2,.....,N} SFI hiperbolik terhadap metrik d. Menurut Teorema
3.1,terdapat dengan satu tunggal atraktor G∈H ¿),i.e. G subhimpunan kompak tak
kosong dalam R² yang memenuhi :
G=¿n=1¿ N W n(G).q.e.d
Teorema 1.4
Diberikan bilangan asli N>1 dan SFI {R2 :W n,n = 1,2,.....,N} yang telah dikonstruksikan
pada (1.1) dan (1.2) yang berkaitan dengan data {{Xn,Fn}}:n= 0,1,2....N}. Andaikan dn
faktor penyekala vertikal yang memenuhi 0 ≤∨dn|<1 untuk n=1,2,.....N.sehingga SFI
hiperbolik.Jika G atraktor dari SFI maka G merupakan grafik dari suatu fungsi kontinu
f 0 :¿]→R yang menginterpolasikan data{(Xn,Fn) : n=1,2,.....N} dapat ditulis :
G={¿(x)): x∈ ¿]}
dengan f0(xi)=Fi untuk i=0,1,2,....N
Bukti : Didefinisikan
C*¿] : = {f:¿] →R:f kontinu sehingga f(x0)=F0 dan f(XN=FN}.
Jika C*¿] dilengkapi dengan d: d(f,g) : = Maks{|f ( x )−g ( x )|: xϵ [ X0 , X n ] },untuk semua f, g
ϵ C*¿],
maka telah dikenal dengan baik (C*¿],d) ruang metrik lengkap. Diberikan an , cn , en , f n
seperti pada persamaaan (1.7),(1.8),(1.9),(1.10) dan didefinisikan suatu
operator(pemetaan)
T: C*¿]→ C*¿],
dengan (Tf)(x)=cn 1n−1(x)+dn f ¿(x))+f n,∇xϵ [Xn-1,Xn],dan 1n: ¿] →¿], dengan 1n(x)=
an X+ , en,n=1,2,.....N. Pertama akan ditunjukan T memetakan C*¿] ke dirinya sendiri,i.e
(Tf)∈C*¿] untuk semua f∈C*¿]. Perhatikan bahwa 1n mempunyai invers1n−1 : ¿]→¿], i.e.
1n−1=
x−en
an, an 0. Ambil sembarang f∈C*¿]. Dari kesamaan (1.3) dan (1.4), didapat ln
−1
(x0)=x0 dan ln−1(xN)=xN , sehingga diperoleh :
(Tf)(x0) = C1 I 1−1(xo)+d1 f ¿¿(x0)+f1
= C1(xo)+d1 f (xo)+f1
= C1xo+d1 Fo+f1
= Fo
(Tf)(xN) = CN I N−1(xN)+d N f ¿¿(xN)+fN
= CN(xN)+d N f (xN)+fN
= CNxN+d1 FN+f1
= FN
Dari definisinya, jelas Tf kontinu pada setiap interveal (Xn-1,Xn) untuk n=1,2,....N.
Tinggal ditunjukan Tf kontinu di titik x1,x2,.....,XN-1.Ambil sembarang n∈
{1,2,.......,N-1}. Dari (1.3) dan (1.4), dipunyai 1n+1−1 (Xn) = X0 dan 1n
−1(Xn) = XN dan
akibatnya dari (1.5) didapatkan limit kanan
limX→ xn
+¿¿¿(Tf)(x)
=Cn+1 I N−1(Xn)+d N f ¿¿(Xn)+fn
=Cn+1(x0)+dn+1 f (x0)+f n+1
=Cn+1x0+dn+1 F 0+f n+1
= Fn
Dan dari (1.6) diperoleh limit kiri
limX→ xn
−¿ ¿¿(Tf)(x)
=C❑ I N−1(Xn)+d N f ¿¿(Xn)+f n
=C❑(xN)+dn f (xN)+f n
=C❑xN+dn Fn+f n
= Fn
Sehingga berlaku
limX→ xn
−¿ ¿¿(Tf)(x)= lim
X→ xn+¿¿
¿(Tf)(x)=(Tf)(Xn),
i.e Tf kontinu di Xn.Jadi Tf ∈ C*¿],i.e. T memetakan C*¿] ke dirinya
sendiri.Selanjutnya ditunjukan T pemetaan kontraksi pada (C*¿],d).Ambil sembarang f.
G ∈C*¿].Jika n ∈ {1,2 ,… .. ,N }dan x∈ [X n−1 , Xn ,] maka
|(Tf)(x)-(Tg)(x)|
=¿Cn I N−1(Xn)+d N f ¿¿(x))+f n
(Cn I N−1(x)+d N g¿¿(x))+f n|
=¿dn f (1n−1(x ))-d N g¿(x))|
≤|dn|d(f.g).
Akibatnya d(Tf,Tg) ≤ δ d(f,g). Dengan δ=Maks{|dn|:n=1,2,....,N}<1, i.e.T pemetaan
kontraksi pada (C*¿]],d).Karena itu menurut Teorema 2.2.2(Teorema titik tetap).T
mempunyai tepat satu titik tetap katakan fo ϵ C*¿],i.e. fo memenuhi (Tfo)(x)=fo(x)
untuk semua x ϵ C*¿].
Dari definisi (Tfo) dan persamaan (4.6) diperoleh
f 0 ( Xn )=(Tf 0 )(Xn)
= Cn I N−1(Xn)+d N fo ¿(Xn))+f n
=Cn(xN)+dn fo(xN)+f n
=CnxN+dn Fn+f n
= Fn
Untuk n = 0,1,2....,N sehingga fo melalui semua titik {(Xn,Fn):n=0,1,2,....N}.Misalkan
G grafik fungsi fo,.i.e.
G = {(x,fo(x)): x ϵ *¿]}
Akhirnya ditunjukan G merupakan atraktor SFI {R2 :W n,n = 1,2,.....,N}.dari definisi T,
diperoleh
(Tfo)(anx+en)=cn x+dn fo ( x )+ fn , untuk x ϵ ¿],untuk n=1,2,.... N
Akan ditunjukan
G=¿n=1¿ N W n(G)
Dari (1.1) dan persamaan terakhir,diperoleh untuk setiap x ϵ ¿] untuk n = 1,2,.... N
berlaku :
Wn( xfo (x))=¿
=( an x+en
Tfo (an x+en)) = ( an x+en
fo (an x+en))
Ambil sembarang (u,v) ϵ ¿n=1¿ N W n(G) maka (u,v) ϵ W n(G) untuk suatu n
ϵ {1,2 ,…. , N } , .i . e .
(u,v) = Wn((x,fo(x)) untuk suatu (x,fo(x)) ϵ G.
Dari persamaan terakhir didapatkan :
(u,v)=Wn((x,fo(x))=an x+en , fo(an x+en)¿ ,i.e. (u,v) ϵ G dan karena (u,v) di ambil
sembarang di peroleh ¿n=1¿ N W n (G ) ∁G.
Sebaliknya ambil sembarang (x,fo(x)) ϵ G,maka terdapat r =1n−1 ( x )= x−en
an ϵ ¿],untuk
suatu n ϵ {1,2 ,… .. , N } sehingga berlaku :
Wn( rfo (r ))
= ¿
=¿
=( ¿ (r )Tfo (x))
=( xfo (x))
=(x,fo(x))
i.e. (x,fo(x))∈ Wn(G) dan karena (x,fo(x)) dipilih sembarang di dapat G ∁ ¿n=1¿ N W n
(G).Jadi G=¿n=1¿ N W n(G) menurut Teorema 4.3 terdapat dengan tunggal atraktor G
untuk SFI {R2 :W n,n = 1,2,.....,N},i.e. G ∈ H(R²),G subhimpunan kompak tak kosong
dalam R² sehingga G=¿n=1¿ N W n (G ) .Karena fo kontinu dan [Xo,Xn] kompak di
R,maka G=fo([Xo,Xn]) kompak tak kosong di R².Karena G tak kosong,maka dari
ketunggalan atraktor,disimpulkan G=G, i.e. G merupakan grafik dari fo
CONTOH
Parabola f(x)=2x-x² pada interval [0,2] adalah fungsi interpolasi untuk suatu data {(0,0),
(1,3),(2,0)}.Jika Gf adalah grafik fungsi f
Gr={(x,2x-x²): x ∈ [0,2]}
Maka dapat dibuktikan G merupakan atraktor dari SFI{R² : w1,w2},dengan
w1( xy ) = (0.5 0
0.5 0.25)( xy ) dan
w2( xy ) = ( 0.5 0
−0.5 0.25)( xy )+(1
1) dan
Pembuktian G atraktor dari SFI {R²:w1,w2} di atas dapat kita buktikan secara langsung
w1( xf (x )) =( 1 /2 x
2( 12
x )−(12
x)2)=( 1/2 x
f ( 12
x))w2( x
f (x ))=( 1+1/2 x
2(1+1
2 x )−(1+1
2 x)2) = ( 1+1 /2 x
f (1+12
X ))
Dari hasil diatas jelas terlihat untuk x ∈ [0,2], w1 akan membawa f(x) pada interval[0,1]
dan w2 akan membawa f(x) pada interval [1,2].Berarti G = w1(G) w2(G) dan karena G
∈ H (R²),berdasarkan teorema 1.3, berarti G merupakan atraktor dari SFI diatas.
Berdasarkan Definisi 1.4 ,f(x) fungsi interpolasi fraktal.
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Dalam makalah ini dipelajari Sistem Fungsi Iterasi (SFI) pada suatu ruang metrik
lengkap (X,d). Beberapa sifat penting SFI, khususnya Teorema Titik Tetap pada ruang
fraktal H(X) digunakan untuk membuktikan teorema eksistensi interpolasi fraktal suatu
data terdiri dari pasangan bilangan real {(x i,F i¿=0 ,1, 2 , …, N }. Bila diberikan bilangan
asli N>1 dan data {(x i,F i¿=0 ,1, 2 , …, N }, maka terjamin ada dengan tunggal fungsi
interpolasi fraktal f 0: [ x0 , xN ]R, yang grafiknya merupakan atraktor dari SFI {R2 : wn, n =
1,2, ..., N}. Fungsi interpolasi fraktal f 0 dapat diperoleh secara iteratif setelah
memasukkan data faktor penyekala vertikal |dn| < 1, n=1, 2, ..., N. Grafik fungsi
interpolasi f 0 pada umumnya tidak teratur dan tidak diketahui rumusnya secara eksplisit.
Nilai faktor penyekala dn turut menentukan kekasaran dan kehalusan grafik fungsi
interpolasi fraktal.
DAFTAR PUSTAKA
http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal
Widodo. SISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI FRAKTAL. Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains.