Download - malha de controle por realimentação
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Controle e Instrumentação de Processos - Profa. Ofélia de Q.F. Araújo [email protected]
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MALHA DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO
Uma malha de controle por realimentação tem a sua representação em blocos dada
por:
Controlador Elemento final de controle
Processo
Elemento de
+ _ SP E P M C
Medição
C m
Processo: representa o processo controlado (por exemplo um tanque). Traduz o
impacto sobre o processo (representado pela sua saída controlada) da variável de
estímulo manipulada pelo controlador.
Comparador: Determina o desvio entre a variável controlada e o seu valor de
referência.
Controlador: produz um sinal de saída (P) baseado no sinal de erro (E=SP-M) para
corrigir o desvio entre a variável controlada e seu valor de referência (set-point, SP).
Este desvio é referido como erro de realimentação por ter sido realimentado do
processo (a saída do processo decorrente da ação do controlador é realimentada ao
controlador).
Elemento Primário: O elemento de medição ligado ao processo (sensor) e o
transmissor, que padroniza o sinal medido (para padrão pneumático, analógico ou
digital).
Elemento Final de Controle (ou atuador): elemento atuando diretamente sobre o
processo (quase sempre uma válvula), de acordo com o sinal proveniente do
controlador (P). A saída do atuador é a variável de estímulo para o processo
(freqüentemente uma vazão), M.
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O sensor, transmissor e elemento final de controle estão, normalmente localizados no
campo enquanto o controlador é localizado na sala de controle.
INSTRUMENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Sistema de Medição:
A variável controlada precisa ser medida para que uma ação de controle possa ser
tomada, já que só se pode controlar o que se pode medir. Esta tarefa é executada por
um transdutor. Este consiste de um elemento sensor aliado a um acionador que
converte a grandeza medida do processo em um sinal padronizado enviado ao
controlador (transmissor).
Um sensor está definido pelo princípio físico de medição, pelas faixas e pelo seu
comportamento dinâmico.
Sinais de Transmissão:
Os sinais transmitidos pelo transdutor e recebidos pelos demais elementos da malha
de controle devem estar padronizados. O padrão mais antigo utilizado industrialmente
é o pneumático, na faixa de 3 a 15 psig. Atualmente, os projetos utilizam sinais
eletrônicos padronizados na faixa de 4 a 20 mA (analógicos) ou 0 a 5 V (digitais).
Terminologia de Controle:
Utiliza-se frequentemente a seguinte terminologia:
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alcance (“range”): limites máximo e mínimo de variáveis de processo. Exemplo:
50ºC-250ºC.
faixa (“span”): intervalo entre os limites máximo e mínimo do alcance. Do
exemplo anterior, 200ºC.
sensibilidade (ganho): razão da variação no sinal de saída (leitura) para variação
no sinal de entrada, após atingir estado estacionário.
repetibilidade: obtenção do mesmo valor de saída para leituras repetidas do
mesmo sinal de entrada
calibração: conjunto de testes para determinação dos valores de saída
correspondentes a vários valores de entrada, dentro do alcance dos
instrumentos, gerando uma curva de calibração.
x
x x
xmV
ºC
K
erro: diferença algébrica entre a leitura e o valor real do sinal de medida.
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erro percentual: erro relacionado à faixa de medição do instrumento, em relação
à entrada ou à saída. É dado fornecido pelo fabricante.
sinaldofaixa
valorvalorerro idealreal
%
−=
linearidade: grau de afastamento da curva de calibração da linha reta. É desejável
em qualquer instrumento por implicar em ganho constante.
correção ou compensação: diferença entre o valor lido em condições de
processo e o valor calibrado em T e P padrão.
características dinâmicas: o tempo de resposta do instrumento (dado fornecido
pelo fabricante) sofre influência de características de construção, do
fluido medido (fase e velocidade), do tipo de proteção e material.
t(min)
63.2%isolado, com junção soldadasem solda
Termopar
1 14
t(min)
63.2% líquido em movimento ar em movimento
0.2 1
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t(min)
63.2%sem poçocom poço em aço
0.6 2.0
tempo de resposta (min)
velocidade do fluido (ft/min)20 40
0.120.04
Elementos de Medição:
São instrumentos para medição on-line de variáveis de processo. A tabela abaixo
resume os principais sensores empregados na indústria química/petroquímica:
VARIÁVEL DE
PROCESSO
SENSOR
SÍMBOLO
TEMPERATURA termopares,
termorresistências, etc TT
PRESSÃO tubos de bourdon, foles,
diafragmas PT
NÍVEL bóias, dispositivos de
deslocamento LT
VAZÃO placas de orifício, Venturi,
turbinas, ultrassom, etc. FT
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COMPOSIÇÃO cromatógrafos, UV, IV,
paramagnéticos,
potenciometros,
condutímetros, pHmetros,
espectrômetros, etc.
AT
Transmissores:
É um dispositivo que traduz o seu sinal de entrada em sinal padrão para a
instrumentação (pneumático, analógico ou digital), com dinâmica desprezível. É a
interface entre o controle e o processo. Convertem o sinal dos sensores (milivolt,
movimento mecânico, etc) em sinal de controle (3 a 15 psig, 4 a 20 mA, 1a 5 V, etc),
com dinâmica quase sempre desprezível, sendo considerado apenas como um
ganho. O ganho de um transmissor de pressão, por exemplo, é:
psipsi
psigpsigpsigpsig
K50012
0500315
=−
−=
Entrada Saída
50ºC 4 mA
150ºC 20 mA
50 150
4
20
Tm (mA)
T(ºC)
zero
span/faixa
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)(ˆ16.0)(ˆ
4)(*16.0)(
16.050150420
4)50()(
CTmAT
mACTC
mAmAT
CmAK
mATKmAT
m
mm
°=
+°°
=
°=
−−=
+−=
Aplicando Transformada de Laplace:
mK== 16.0(s)T̂
(s)T̂m
São considerados, nas condições de operação, lineares. Um exemplo de um
transmissor não linear está esquematizado abaixo:
50 150
4
20
Tm (mA)
T(ºC)
Km1
Km2Km3
Conversores:
São dispositivos para converter o sinal analógico em pneumático, normalmente
utilizados para acionamento de válvulas.
mApsig
K PI 75.0420315
/ =−−=
DIAGRAMA P&I
A simbologia adotada na representação dos instrumentos segue padronização da ISA.
A Tabela a seguir apresenta os principais símbolos empregados na construção destes
diagramas:
LT
TT
FT
PT
AT
LC
TC
FC
PC
AC
Sensor de Nível Controlador de Nível
Sensor de Temperatura
Sensor de Vazão
Sensor de Pressão
Sensor de Composição
Controlador de Temperatura
Controlador de Vazão
Controlador de Pressão
Controlador deComposição
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AÇÕES DE CONTROLE
A ação do controlador feedback pode ser composta por combinações de três ações:
proporcional, integral e derivativa.
FT
FC
Transmissor Controlador
P (Ação)
C (variável controlada, medida)
R (Set point)
m
C (variável controlada)
C=vazão
Os controladores de 3 ações respondem pela maioria das malhas de controle industrial,
tendo sido introduzido no mercado nos anos 40, na versão pneumática. O APÊNDICE 3 é
um artigo de Astrom et al., 2001 que apresenta este controlador ainda como o mais usado
em controle de processos.
.Ação Proporcional
Atua assim que identifica o sinal de erro:
rcontroladodoganhoK
biasPtEKPtP
tCtRtE
c
s
cs
m
"")()(
)()()(
=
=+=
−=
Para obter-se a função de transferência, define-se:
sPtPtP −= )()(ˆ
Não há necessidade de definir desvio do erro pois o erro no estado inicial é zero. Logo:
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cKsEsP
=)()(ˆ
O sinal do ganho determinará a ação do controlador. Para ganhos positivos, o controlador
é dito de ação reversa (a saída do controlador aumenta com a redução do sinal da
variável medida). Em caso contrário, o controlador é dito de ação direta.
A saída do controlador em função do erro tem o comportamento ideal limitado por efeitos
de saturação do controlador.
COMPORTAMENTO IDEAL: COMPORTAMENTO REAL:
P s
E(t)
P(t)
P s
E(t)
P(t) P
max P
min
Por sua simplicidade, sempre que adequado emprega-se o controlador proporcional.
Contudo, este controle apresenta a desvantagem de não anular o sinal de erro
restringindo o seu emprego.
.Ação Integral
É muito empregada pela sua capacidade de eliminar o sinal de erro, pois, enquanto
persistir o sinal de erro, haverá mudança da ação:
')'(1
)(0
dttEPtPt
Is ∫+=
τ
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Esta ação, ao contrário da proporcional, não pode ser usada isoladamente pois a saída do
controlador só será significativa após o erro persistir por um certo intervalo de tempo.
Conseqüentemente, a ação integral é usada com a ação proporcional e é a forma mais
comum de controladores feedback, conhecida como controle PI:
}')'(1
)({)(0
dttEtEKPtPt
Ics ∫+=
τ
A função de transferência do controlador PI é:
)1
1()()(ˆ
sK
sEsP
Ic τ
+=
A saída do controlador muda assim que for detectada variação no erro devido à ação
proporcional. Quando t I= τ , a ação integral terá "repetido" a ação proporcional. Esta
terminologia é usada em alguns controladores comerciais que têm a ação integral
sintonizada como "repetições por min".
E(t)
t
K c
K c t I
P(t)
t
.Ação Derivativa
A ação derivativa contribui para a saída do controlador sempre que houver variação no
erro (derivada do erro com o tempo). Esta característica torna inapropriado o seu uso em
sinais com ruídos (a exemplo de sinais de nível e de vazão). Por outro lado, é muito
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usada em variáveis lentas como temperatura e composição, já que antecipa a saída do
controlador.
Esta ação é usada junto com a ação proporcional (controle PD) ou com a ação
proporcional e integral (controle PID), quando tem a seguinte expressão matemática:
})(')'(1)({)(0 dt
tdEdttEtEKPtP D
t
Ics τ
τ++= ∫
A função de transferência do controlador PID é:
)11()()(ˆ
ss
KsEsP
DI
c ττ
++=
Em diagrama de blocos:
1
t s I
D
K c
t s
E ( s )
P ( s ) + +
+
1
Observa-se pela função de transferência que a ação derivativa ideal não é fisicamente
realizável. Os controladores comerciais aproximam a ação derivativa usando a seguinte
função de transferência:
0.2<<0.05 ),1
1)(
11(
)()(ˆ
ααττ
τ ++
+=s
ss
KsEsP
D
D
Ic
Na expressão acima, as três ações são aplicadas em série:
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1τ s
I
1 + + 1 s
DΚ c ατ
D
s + 1τ
E(s) P(s)
.Ações e Sintonia
A adição da ação proporcional atua no sentido de corrigir o erro. Quanto maior o ganho
menor o desvio permanente ou off-set sem, contudo, conseguir anulá-lo. A ação integral
garante eliminar o off-set mas introduz oscilação no sistema. Finalmente, a ação
derivativa reduz as oscilações e acelera a resposta. O efeito das ações é apresentado
graficamente abaixo:
PPI PID
SEM
Na ação proporcional, o efeito do ganho é reduzir o off-set:
Kc
y(t)
t
off-set
Na sintonia do controlador PI, um aumento de Kc introduz mais oscilação no sistema
enquanto acelera a resposta. Para um mesmo ganho, a redução da constante integral
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aumenta a ação integral do controlador acentuando a característica oscilatória ao mesmo
tempo que acelera a resposta:
Kc
y(t)
t
y(t)
t
τI
No controlador PID, o efeito do tempo derivativo é acelerar a resposta:
y(t)
t
τD
Em resumo, um aumento do ganho acelera a resposta e reduz o off-set (desvio
permanente). Se sintonizado muito alto fará a resposta muito oscilatória (indesejável)
levando, inclusive, à instabilidade. Por outro lado, o aumento do tempo integral torna o
controle mais "conservador" (lento) (aumento da constante integral equivale a redução da
ação integral). Por último, a ação derivativa reduz o "overshoot", o grau de oscilação e o
tempo de resposta mas, em contra-partida, amplifica os ruídos de medição. A escolha do
conjunto de valores assumidos por estes parâmetros é chamado de sintonia do
controlador e determina o comportamento dinâmico da malha.
.Aplicação das Ações
As ações são determinadas pela aplicação, como apresentado no quadro a seguir:
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PROPRIE-DADE
VAZÃO E PRESSÃO
DE LÍQUIDO
PRESSÃO DE GÁS
NÍVEL TEMPERATURA COMPOSIÇÃO
Tempo morto Não Não Não Variável Constante Tempo 1-10 seg zero 1-10 seg min - hr min - hr Ruído Sempre Não Sempre Não Freqüente Proporcional 50-200% 0-5% 5-50% 10-100% 100-1000% Integral (75 % das malhas)
Essencial Desneces-sária
Rara-mente
Sim Essencial
Derivativa Não Desneces-sária
Não Essencial Aconselhável
.Controle ON-OFF
Um caso limite do controlador proporcional é o controle ON-OFF (ou bang-bang),
equivalente a um ganho infinito. São controladores baratos usados, normalmente, em
termostatos. Matematicamente, é descrito como:
)0)((
)0)(()(
min
max
≤
≥=
tEP
tEPtP
É usado pela sua simplicidade mas oferece desvantagens como produzir um ciclo
contínuo na resposta e o desgastar o elemento final de controle.
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P(t)
C(t)
E
E min
max
P
P
max
min
C med
Os controladores PID são, normalmente, de uma das três formas mostradas na Figura a
seguir (Kc é o ganho, I é a constante de tempo integral e D a constante de tempo
derivativa):
Algoritmos utilizados em controladores comerciais podem ser obtidos no site
http://bestune.50megs.com. (reproduzido nas páginas 12 a 7 deste documento).
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DINÂMICA DE MALHA FECHADA
A resposta dinâmica de uma malha de controle é exemplificada com tanque de nível
representado a seguir:
h
LC
q3
q1 q2
1)(ˆ)(ˆ
)(
1)(ˆ)(ˆ
)(
:
e :
)()(
)()()()(
1
2
3
321
+==
+==
−
==
=
−+=
s
K
sQ
sHsG
s
K
sQ
sHsG
seTem
RKRADefinindo
Rth
tq
tqtqtqdt
tdhA
p
pL
p
pp
pp
τ
τ
τ
As duas funções de transferência são idênticas pois o efeito na altura é o mesmo para
qualquer das duas entradas. O diagrama de blocos para o processo é:
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+ - G (s)
cG (s)
vG (s)
p
G (s)m
H(s) H(s)
+ +
G (s)L
Q(s)1
~
Km
H(s)^^
(m) (psi) (psi) (psi) (psi)
(psi)
E(s) P(s)^ Q(s)3
H(s)^m
Para:
vv
mm
KsGKsG
==
)()(
e um controlador puramente proporcional, um problema servo terá a seguinte função de
transferência:
cpvmmamama
ma
cpvm
cpvm
sp
KKKKKKK
KK
onde
sK
sKKKK
sKKKK
sH
sH
=+
=+
=
+=
++
+=
1
1
1)1/(1
)1/(
)(ˆ)(ˆ
11
1
1
ττ
ττ
τ
A malha fechada é um sistema de primeira ordem com τ τ1 < . Ou seja, o sistema
controlado responde mais rapidamente que o sistema sem controle.
Para uma perturbação degrau no set-point de magnitude M, tem-se:
)1()(ˆ )1(
)(ˆ 1/1
1
1 τ
τteMKth
ssK
sH −−=∴+
=
O off-set, definido como o erro de estado estacionário, será:
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ma
sp KM
MKMhhsetoff+
=−=∞−∞=−1
)(ˆ)(ˆ1
ou seja, a ação proporcional não anula o off-set. A mesma análise pode ser desenvolvida
para um problema regulador.
Quando utilizado um controlador PI no problema regulador, obtém-se a seguinte função
de transferência:
0)}/1sen(1
{lim0
12)(ˆ
1)(ˆ
)+1
(21
=
:
12)1/()1
1(1
)1/(
)(ˆ)(ˆ
2/
23
3
32
3
3
1
I33
32
3
3
3 =−−
−=−
++=
=
===
++=
+++
+=
−∞→ τξ
ξτ
ξττ
τττ
ττ
ξτ
ξττττ
τ
τξ teK
setoff
ess
KsH
ssQpara
KKKKKKK
KKKK
K
onde
sssK
ss
KKKK
sK
sH
sH
tt
cpvmmama
I
ma
ma
mvc
I
Icpvm
p
sp
Logo, a ação integral elimina o off-set (tanto para problemas servo quanto reguladores).
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PID Controllers in BESTune The following PID controllers can be optimized by using the excellent PID auto-
tuning software BESTune (see http://bestune.50megs.com for details).
Theoretically, BESTune is able to optimize any PID controllers, as long as the PID
equations implemented in them are known. In order to include more PID controllers
in BESTune, I am asking you to give me more information about other well-known
brands of industrial PID controllers (brand names, PID equations implemented,
units of the three PID constants, etc). Your help will be very much appreciated.
The actual PID equations that are implemented inside these PLCs are all in
discrete time or digital form. One example of the discrete time form of "Allen
Bradley Logix5550 Independent PID" can be found on the web page
http://bestune.50megs.com/typeABC.htm.
Allen Bradley Logix5550 Independent PID
where
Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral gain (1/second) Kd: Derivative gain (seconds)
Allen Bradley Logix5550 Dependent PID
where
Kc: Proportional gain No unit Ti: Reset time (min/rep) Td: Rate time (min)
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Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using Integer Blocks
where
Kp: Proportional gain (0.01) Ki: Integral gain (0.001/ second) Kd: Derivative gain (seconds)
Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using PD Blocks
where
Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral gain (1/ second) Kd: Derivative gain (seconds)
Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using Integer Blocks
where
Kc: Proportional gain (0.01) Ti: Reset time (0.01min/rep) Td: Rate time (0.01min)
Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using PD Blocks
where
Kc: Proportional gain No unit Ti: Reset time (min/rep)
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Td: Rate time (min)
Allen Bradley SLC5/02,SLC5/03 and SLC5/04 ISA PID
where
Kc: Proportional gain (0.1) Ti: Reset time (0.1min/rep) Td: Rate time (0.01min)
Bailey Function Code FC19 with K=1
where
K: Gain multiplier No unit Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral reset 1/min Kd: Derivative rate action Min
Bailey Function Code FC156 Independent Form with K=1
where
K: Gain multiplier No unit Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral reset Resets/min Kd: Derivative rate action Min
¡¡ Concept PID1 - PID Controller
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where
Gain: Proportional gain No unit TI: Reset time (milliseconds) TD: Derivative Action
time (milliseconds)
Concept PID1P - PID Controller with parallel structure
where
KP: Proportional gain No unit KI: Integral rate (1/milliseconds) KD: Differentiation
rate (milliseconds)
Fischer & Porter DCU 3200 CON Ideal with KP = 1
If Kp = 1, the above equation reduces to:
where
KC: Gain constant No unit TR: Reset time (min/rep) TD: Derivative term (min)
Fischer & Porter DCU 3200 CON Parallel KP variable with KC=1
If KC=1, the above equation reduces to:
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where
KP: Proportional gain No unit TR: Reset time (min/rep) TD: Derivative term (min)
GE Fanuc Series 90-30 and 90-70 Independent Form PID
where
Kp: Proportional gain (0.01) Ki: Reset time (0.001rep/second) Kd: Derivative gain (0.01 seconds)
Hartmann & Braun Freelance 2000 PID
where
CP: Proportional correction value No unit TR: Reset time (milliseconds) TD: Rate time (milliseconds)
Honeywell TDC 3000 APM Non - Interactive PID
where
K: Gain No unit T1: Integral time constant (min/rep) T2: Derivative time constant (min)
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Modicon 984 PLC PID2 Equation
where
PB: Proportional band No unit K2: Integral mode gain constant (0.01min/rep) K3: Derivative mode gain constant (0.01min)
Siemens S7 PB41 CONT_C PID
where
Gain: Proportional gain
No unit
TI: Reset time (seconds) TD: Derivative time (seconds)
Yokogawa Field Control Station (FCS) PID
where
PB: Proportional band No unit Ti: Integral time (seconds) Td: Derivative time (seconds)
Escola de Química da UFRJ Profa. Ofélia de Q.F. Araújo – [email protected]
1/1
Exemplo
)(88126
8)( 23 sL
KssssC
C++++=
( )228
11+
====s
GGGG LPMV
CC KsG =)( .
Seja
CKssssB 88126)( 23 ++++=
• Se KC=1
( )( ) ( )( )( )jsjssssssB 31314424)( 2 −++++=+++=
Lembrem-se:
=
+−ate
as1
Logo
A resposta ao degrau seá a soma de exponenciais negativos
• Se KC=27
( )( ) ( )( )( )jsjsssssssssB 33133182828224126)( 223 −−+−+=+−+=+++=
O ganho do controlador afetou as raízes da malha fechada.
• Off-set para perturbação de carga
ssL
1)( = :
CCs
C
KKssYty
sKssssC
+=
+==∞=
⋅++++
=
→ 11
888
)(lim)(
188126
8)(
0
23
Escola de Química da UFRJ Profa. Ofélia de Q.F. Araújo – [email protected]
2/2
Com KC grande, 0)( →ty mas não atinge zero. Há offset com o controlador proporcional,
que pode ser bastante grande se um aumento de KC estiver limitado por problemas de
instabilidade.
PID (ideal):
++= s
sKsG D
ICC τ
τ1
1)(
• Não gera offset;
• Ajustar KC , Iτ e Dτ , para obter resultados satisfatórios.
• Análise das raízes da Equação Característica é uma forma de estudar o
comportamento da malha, e definir região de estabilidade.
• 01 =+ MPVC GGGG
De acordo com a posição das raízes no plano Re x Im, diferentes padrões de respostas dinâmicas são
alcançados.
Escola de Química da UFRJ Profa. Ofélia de Q.F. Araújo – [email protected]
3/3
Regra heurística: A resposta de malha fechada se torna menos oscilatória e mais estável
diminuindo-se KC ou aumentando Iτ .
Considerações de estabilidade:
• Controle Feedback pode resuoltar em malhas fechadas oscilatórias e até mesmo
instáveis.
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4/4
• Comportamento típico(para diferentes valores de KC)
Escola de Química da UFRJ Profa. Ofélia de Q.F. Araújo – [email protected]
5/5
• ESTABILIDADE
Estabilidade BIBO Há várias definições de estabilidade de um sistema dinâmico, uma muito utilizada é a de
estabilidade BIBO (Bounded Input Bounded Output), isto é, um sistema dinâmico é dito ESTÁVEL
se uma perturbação finita produz uma saída finita, independente do seu estado inicial. Uma
perturbação finita é aquela que sempre permanece entre um limite superior e um limite inferior (e.g.
senóide e degrau).
Critério de Estabilidade de Routh
A estabilidade do processo pode ser testada sem que seja necessário resolver a equação
característica para obtenção dos polos. O método de Routh indicará a existente de polos positivos, e
é aplicável tanto a malhas fechadas quanto abertas, bastando, apenas, utilizar a equação
característica apropriada.
Para um processo de ordem N, tem-se a seguinte equação característica:
a s a s a s aNN
NN+ + + =−
−1
11 0 0...
onde aN é positivo. Uma condição necessária (mas não suficiente) para estabilidade do processo é
que todos os coeficientes na equação característica sejam positivos e não nulos. Caso esta condição
seja obedecida, constrói-se a MATRIZ DE ROUTH ({n+1} linhas):
a a a
a a a
b b b
c c
n n n
n n n
b
− −
− − −
2 4
1 3 5
1 2
1 2
...
...
...
... ...
...
onde
ba a a a
ac
b a a b
bn n n n
n
n n
:
11 2 3
11
1 3 1 2
1
=−
=−− − −
−
− −
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6/6
ba a a a
ac
b a a b
b
etc
n n n n
n
n n2
1 4 5
12
1 5 1 3
1
=−
=−− − −
−
− −
.
O Critério de Estabilidade de Routh é uma condição necessária e suficente para que todas as raízes
da equação característica se encontrem no SPE. Esta condição é que todos os elementos da 1ª
coluna da Matriz de Routh sejam positivos.
Exemplo
CCMVLP KGGGs
GG ===+
== 1)2(
83
Equação característica para)()(
sLsC
é 01 =+ MPVC GGGG
088126
08)2(
0)2(
81
23
3
3
=++++
=++
=+
+
C
C
Ksss
Ks
s
Queremos saber que valor de KC causa instabilidade
( )( )
088
06
881)12(6886
3121
C
C
C
K
KK
n
+
+−+
=
Condições de estabilidade:
( )1088
808872−>>+
<>+−
CC
CC
KKKK
A restrição mais importante é KC < 8. Qualquer KC ≥ 8 causará instabilidade.
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(Fonte: Seborg)
Método da Substituição Direta
O eixo imaginário é a fronteira entre as regiões de estabilidade (SPE e SPD). Este eixo
corresponde a s=ωi. Logo, substituindo s por ωi na equação característica do processo
fornece o limite de estabilidade para ω e outros parâmetros (e.g. ganho do controlador) de
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8/8
forma a satisfazer as equações resultantes da substituição. O Apêndice 12 ilustra tanto o
Critério de Routh quanto o Método da Substituição Direta na análise de estabilidade de um
sistema.
Exemplo
Voltando ao mesmo exemplo utilizado com Routh
088126
088126
08)2(
0)2(
81
23
23
3
3
=+++−−
=++++
=++
=+
+
C
C
C
Kwiwiw
Ksss
Ks
s
Parte Real = 0
0886 2 =++− CKw (1)
Parte Imaginária = 0
0123 =+− ww (2)
De (2): w = 3.4641rad/s
Substituindo em (1): KC,CRÍTICO = 8
(confirmando o resultado obtido anteriormente).
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SINTONIA DE CONTROLADORES
1. Método da Sensibilidade Limite (Método do Ganho Limite)
O método, proposto por Ziegler e Nichols em 1942, baseia-se em encontrar o LIMITE DE
ESTABILIDADE da malha, KC,LIM , isto é, o valor do ganho proporcional que promove a oscilação com
amplitude sustentada da variável controlada em resposta a uma perturbação (de SP ou de carga), com o
controlador dotado exclusivamente de ação proporcional. O procedimento consiste em:
a) Com a planta no estado estacionário, remover a ação integral (τI =∞) e derivativa (τD =0)
b) Escolher um valor para KC
c) Perturbar o sistema (degrau de SP ou de carga)
d) Observar o transiente. Se a resposta se apresentar subamortecida, aumentar KC e retornar à
etapa c. Repetir o procedimento até atingir oscilação sustentada, como mostrado na Figura 1 .
Para este valor de Kc, o KC limite de estabilidade, registrar o período de oscilação (PLIM).
Com KC,LIM e PLIM , determina-se os parâmetros de sintonia do controlador utilizando-se as
Correlações de Ziegler-Nichols:
KC τI τD
P KC,LIM /2 - -
PI KC,LIM /2,2 PLIM /1.2 -
PID KC,LIM /1,7 PLIM /2 PLIM /8
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Figura 1
O conjunto de parâmetros obtidos promove uma razão de decaimento de ¼. Ressalta-se
que, antes do experimento, deve-se determinar se a ação proporcional deve ser positiva ou
negativa.
O método, se experimentalmente conduzido, é demorado (precisa ser estabelecidoo
estado estacionário antes de voltar a perturbar), é arriscado (atinge-se o limite de estabilidade);
e alguns processos não apresentam ganho limite.
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2. Método da Curva de Reação
Também proposto por Ziegler-Nichols, baseia-se em teste com controle em modo manual, após
estabelecido estado estacionário.
Curva de Reação é o gráfico CM(t) x t, a resposta do processo a uma perturbação da saída
do controlador (em modo manual). Caracteriza-se por dois parâmetros: s (inclinação no ponto de
inflexão) e θ (tempo em que a tangente intercepta o eixo t). Assume-se que o processo possa ser
representado por modelo de de primeira ordem com tempo morto (CM(s)/P(s)): 1
)(+
=−
sKe
sGP
s
τ
θ
.
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Seja
s* = s /P
Ziegler-Nichols definiram as seguintes correlações de sintonia:
KC τI τD
P 1 / (θ / s*) - -
PI 0,9 / (θ / s*) 3,3θ -
PID 1,2 / (θ/s*) 2θ 0,5θ
O método apresenta a vantagem de só necessitar de um teste mas tem a desvantagem de
ser executado em malha aberta. Logo, processos instáveis em malha aberta não podem ser
sintonizados por este procedimento. Como outra desvantagem, tem-se a dificuldade em
determinar s.
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3. Método Cohen-Coon O método, proposto em 1953, é usado como alternativa ao método Ziegler-Nichols. È um
procedimento em malha aberta, como o da Curva de Reação. Assume processo de primeira
ordem com tempo morto: 1
)(+
=−
sKe
sGP
s
τ
θ
.
KC τI τI
P ( )[ ]311
+θτ
PK
- -
PI ( )[ ]083.09.01
+θτ
PK ( )[ ]
( )τθ
τθθτ
2.20.1
33.033.3
+
+
-
PID ( )[ ]270.035.11
+θτ
PK ( )[ ]
( )τθ
τθθτ
813
632
+
+ ( )τ
θθ
2.00.1
37.0
+
Os parâmetros são função do grupo adimensional τ
θ . Quanto maior τθ mais rápida
poderá ser a sintonia. Quanto menor o KP, maio poderá ser o KC.
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Sumário das Relações de Sintonia
1. KC é inversamente proporcional a KPKVKM
2. KC decresce com o aumento de τθ
3. Iτ e Dτ aumentam com o aumento de τθ (tipicamente, ID ττ 25.0= )
4. Reduzir KC, quando aumentar a ação integral; aumentar KC quando adicionar ação derivativa
5. Para reduzir oscilações, diminuir KC e aumentar Iτ
Disvantagens das Correlações de Sintonia
1. Ignora problemas de interações entre as malhas de controle (que diminuem o limite dde
estabilidade)
2. A Ação derivativa é normalmente dependente do controlador comercial empregado;
3. As correlações adotam modelo de primeira ordem com tempo morto que podem ser
inapropriados para o processo em questão.
4. PPK τ, podem variar
5. Resolução dos equipamentos e erros de medição podem diminuir as margens de estabilidade
6. Razão de decaimento de ¼ decay ratio não é um padrão conservador: é muito oscilatório
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3. Sintonia de Controlador Baseada em Resposta Transiente
Características Desejáveis do Controlador
1. Resposta Rápida
2. Rejeição adequada a perturbações
3. Insensível a erros de modelagem e erros de medição
4. Evitar ação de controle excessiva
5. Adequado sob uma larga faixa de condições operacionais
Como já visto anteriormente, alguns destes objetivos são conflitantes, exigindo uma
sintonia de compromisso entre estes 5 objetivos. Esta sintonia pode ser conduzida de
acordo com:
1. Correlações para sintonia, limitadas a modelos de primeira ordem com tempo morto
(Métodos 2 e 3)
2. Análise de estabilidade da função de transferência de malha fechada. Porém assegurar
estabilidade não garante a qualidade do controle.
3. Simulações sucessivas
4. Resposta Freqüencial
5. Sintonia no campo
Síntese de Controladores no Domínio do Tempo
1. Critérios baseados em alguns pontos da curva de resposta: tempo de subida, razão de
decaimento (c/a), tempo de acomodação (ts), tempo de subida (tr), etc.
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2. Critérios baseados na totalidade dos pontos da curva de resposta: buscam-se os
parâmetros dos controladores que minizem critérios de desempenho (integrais do erro).
a) Integral do erro quadrático (Integral of square error - ISE): conduz a tempo de
acomodação maior.
[ ]∫∞
=0
2)( dtteISE
b) Integral do erro absoluto (Integral of absolute value of error - IAE): permite maiores
desvios e, consequente, implica em menores overshoots.
∫∞
=0
)( dtteIAE
c) Integral do erro absoluto ponderado pelo tempo (ITAE): penaliza mais fortemente
os erros que ocorrem mais tarde, i.e., penaliza off-set.
∫∞
=0
)( dttetITAE
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Na Figura abaixo, a área é o IAE, para um determinado conjunto τθ ,,K .
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Ref: Seborg
4. Síntese Direta de Controlador
Seja PC
PC
GGGG
RC
+=
1 (fazendo GMGV=1), o método especifica a resposta em malha
fechada desejada dR
C
. Com um modelo do processo, GP, resolve-se para GC :
−
=
d
d
PC
RC
RC
GG
1
1
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4.1. PI
Introduzindo-se a ação integral (PI), e processo de 2a. ordem. Dado
( )( )11)(
21 ++=
ssK
sGP ττ e
( )
+=
+=
sK
ssK
sGI
CI
ICC ττ
τ 11
1)( . Seleciona-se, por conveniência, 1ττ =I (e 21 ττ > ), e
obtém-se:
( ) C
C
KKssKK
RC
++=
121 ττ.
Para C/R de segunda ordem, i.e. 12
122 ++
=
ssRC
d ξττ, tem-se
CKK21ττ
τ = e CKK2
1
21
ττ
ξ = . Seleciona-se KC que forneça 5,04,0 −=ξ .
4.2. Processo com Tempo Morto
1)(
1 +=
−
sKe
sGs
τ
θ
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Utiliza-se aproximação de Padé: s
se s
21
21
θ
θθ
+
−≈− , tal que
s
s
sK
sG
21
21
1)(
1θ
θ
τ +
−
+≈ . Deseja-se
que a malha fechada tenha função de transferência 1
21
+
−=
s
s
RC
cd τ
θ
. Pela síntese direta,
tem-se:
( )( )( )
( )( )( )sK
ss
s
s
s
s
sK
ss
RC
RC
GG
c
c
c
d
dC
τθ
θτ
τ
θτ
θ
θ
θτ
+
++=
+
−−
+
−
−
++=
−
=2
211
211
121
21211
1
1 11
+
+
+
+
+
=
+
+
++
=sK
sKKsK
ssG
ccc
C1
2
1
22
2
2
2
122 1
1121
τθ
τθ
θτ
τθ
θτ
τθ
θτ
θτ
Com
+
=
c
C
KK
τθ
θτ
2
21
;
+
=
cI
C
K
K
τθτ2
1;
+
=τ
θθτ
τ
22
1
KK DC ,
temos um PID!