Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
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Un po’ di calcoli..
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La notazione numerica Come si scrivono i numeri?
UN PROBLEMA TECNICO
Si ha spesso a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli
Dipende dalle nostre unità di misura E dall’enorme estensione dell’Universo
Inoltre non si conosce mai un numero “esattamente”: la fisica non è una scienza esatta!
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La notazione numerica
Soluzione Si usa la notazione scientifica
O la notazione tecnica Di solito la notazione scientifica nei
calcoli...
… e la notazione tecnica nei risultati (non sempre)
412 345,67 1,234567 10
312 345,67 12,34567 10
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La notazione numerica Ogni numero è separato quindi in
mantissa e ordine numero di grandezza
Nella mantissa si scrivono solo le cifre di cui si è sicuri Cifre significative
Ogni numero definisce quindi un intervallo Intervallo di confidenza
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La notazione numerica Ogni numero deve sempre essere
accompagnato dal suo intervallo di confidenza
Esempi
Senza di esso il numero non ha sensonon ha senso!
0.040.01
1,2 1,2 0.05
1,2 0,07
1,2 0,02
1,2
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La notazione numerica Attenzione alle operazioni
In prima approssimazione si accetta il fatto che il numero delle cifre significative si conserva nelle operazioni
Eccezione: la differenza La differenza comporta sempre una
perdita di precisione! Il controllo della precisione nei calcoli è
un problema decisamente complesso
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RICORDATE
1,2 1,2 1,4 1,44!NON
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La differenza Fate sempre molta attenzione a
questa operazione Esempio:
7
89
78
1,
1,234 567
1,2
1 10
34 567
0,000 00011
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Come si trasmettono gli errori?
Un problema importante
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La propagazione degli errori
COSA VUOL DIRE PROPAGAZIONE DEGLI
ERRORI? Un semplice esempio
Data un’imprecisione su x, con che precisione ci è noto il valore di x2 ?
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La propagazione degli errori Facciamo un caso semplice:
Poiché le formule sono di solito di tipo algebrico
Prendiamo il logaritmo naturale del tutto Differenziamo Prendiamo i moduli del risultato
…ed avremo una regola semplice per calcolare come si propagano gli errori percentuali!
In prima approssimazione, e con una sovrastima
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Esempio Ecco un caso fittizio:
2
3
abx f
c
2
3ln ln
1ln 2ln 3ln ln
2
abx f
c
a b c f
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Esempio Differenziamo
Prendiamo i moduli
1ln 2 3
2
dx da db dc dfd x
x a b c f
1ln 2 3
2
dx da db dc dfd x
x a b c f
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Esempio Se gli errori sono piccoli rispetto alle
quantità, potremo approssimare la formula precedente con
Regola pratica molto comoda, che porta ad una leggera sovrastima dell’errore
1ln 2 3
2
x a b c fx
x a b c f
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La notazione numerica Per quanto riguarda voi
Difficilmente supererete la III cifra significativa
Non pensate che “calcoli precisi” possano darvi precisioni che non esistono già in partenza
Se gli operandi sono noti al 10% non potete pretendere che con operazioni
matematiche otteniate precisioni di 1/1.000.000!
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La notazione numerica
LA PRECISIONE UNA VOLTA PERSA,
NON SI RIACQUISTA PIU’PIÙ O MENO COME I SOLDI
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QUINDI... Usate sempre la notazione scientifica Attenzione al numero di cifre
significative Effettuate i calcoli con la massima
precisione che avete a disposizione Date i risultati numerici con la
precisione del vostro dato noto peggio
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La notazione tecnica
(engineer notation)
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La notazione tecnica Nei risultati finali si preferisce
spesso usare la notazione tecnica La mantissa varia da 0 a 1000 Gli ordini di grandezza variano di
1000 Si usano prefissi alle unità, per es. 9
3kilo 1
nano-metro
-grammo
0
0
1
k
m
g
n m
g
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Prefissi per grandi dimensioni
Yotta Y 24
Zetta Z 21
Exa E 18
Peta P 15
Tera T 12
Giga G 9
Mega M 6 kilo k 3
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Prefissi per piccole dimensioni
milli m -3
micro -6
nano n -9
pico p -12
femto f -15
atto a -18
zepto z -21 yocto y -24
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Le grandezze fisiche
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I campioni delle grandezze Nello studio della Natura si individuano
anzitutto delle grandezze fondamentali Ciò avviene anche in tecnologia
Viscosità, durezza, potere detonante di una benzina, rendimento termico di una stufa a
legna… Si può passare dalla grandezza fisica
(potere detonante, ad es.) al numero solo Definendo un campione Definendo una procedura di misura
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I campioni delle grandezze Campioni e procedure vengono
stabiliti da organismi appositi National Bureau of Standards (USA) Istituto Colonnetti (TO) …
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I campioni delle grandezze Vengono definiti da Commissioni
Internazionali
NIENTE
DI IDEALISTICO/CONCETTUALE
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I campioni delle grandezze I criteri che si usano per scegliere i
campioni sono Disponibilità Facilità di riproduzione Precisione
Assieme al campione dev’essere garantita la sua portabilità
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I campioni delle grandezze Esempio
Quando comprate un misuratore di lunghezza vi è garantito
Che un millimetro sia un millimetro... …Entro certe tolleranze
E la precisione la pagate!
Per ogni grandezza è definito un campione
Per ogni misura è definito un metodo
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I campioni delle grandezze
La definizione di ogni grandezza fisica è basata
esclusivamente sulla ricetta che definisce la sua misura
Definizione operativa delle grandezze fisiche
Il tempo? Ciò che si misura con gli orologi!
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Lo spazio
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Lo spazio Inizialmente si erano prese delle sbarre
di ferro spesso murate sulle facciate dei Palazzi del
Comune
Poi si definì il metro Prima 1/40.000.000 del meridiano terrestre Poi la distanza fra due tacche di una sbarra
di Pt-Ir conservata a Parigi Circa uguale ad una yard
Circa la lunghezza di un braccio
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Lo spazio È sempre importante la riproducibilità,
la disponibilità ed anche il fatto che il campione sia in qualche modo “intuitivo”
Sia basato più o meno su una scala “umana”
Tenete presente che Noi non abbiamo percezioni istintive di
lunghezze superiori ai 100 m ed inferiori al mm
Più o meno come l’uomo delle caverne…
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Lo spazio Oggi non viene più definito un
campione di lunghezza né di tempo Vengono definiti infatti
Un campione di frequenza (reciproco di un tempo)
Un campione di velocità e da questi si derivano tempo e lunghezza
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Il tempo
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Il tempo Inizialmente definito più o meno sul
battito del polso …poi definito come 1/86400 del giorno
solare medio Ci si basa sul fatto che la rotazione della Terra
avvenga con velocità angolare costante! Il che è falso...
…infine su orologi sempre più sofisticati
Meccanici, al quarzo, atomici
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Il tempo Oggi siamo agli orologi atomici (1967)
Si definisce un secondo come il tempo che occorre ad un
atomo di a compiere vibrazioni
(per una particolare linea spettrale)
133Cs9 192 631 770
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Il tempo In fisica classica il tempo si considera
assoluto = indipendente dai sistemi di riferimento
Misure precise danno deviazioni di già con aerei a 900 km/h
Precisioni attuali degli orologi _ Circa 1s in 300 000 anni
Quindi in realtà spazio e tempo sono intercorrelati!
1310
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Il tempo Pertanto un sistema di riferimento
dovrà stabilire Posizioni Tempi
CON OROLOGI “SINCRONIZZATI” Per definire degli
EVENTI