Download - MatAyB-01. Numeros Enteros
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Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi
Al-Khwarizmi fue un matemático y astrónomo musulmán chií que
vivió aproximadamente entre 780 y 850.
Poco se conoce de su biografía, a tal punto que existen discusiones
no saldadas sobre su lugar de nacimiento. Algunos sostienen que
nació en Bagdad y otros que nació en el actual Uzbekistan.
Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, es
considerado como el padre del álgebra
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Euclides 325 a.c. – 265 a.c.
Vivió y trabajó en Alejandría. Su obra más conocida
son “Los elementos” y es una de las obras científicas
más conocidas del mundo.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso
instrumento de razonamiento deductivo, ha sido
extremadamente útil en muchos campos del
conocimiento; por ejemplo, en la Física,
la Astronomía, etc.
Inspirados por la armonía de la presentación de
Euclides, en el siglo III se formuló la
teoría ptolomeica del Universo, según la cual
la tierra es el centro del universo, y los planetas,
la luna y el sol dan vueltas a su alrededor en líneas
perfectas, o sea circunferencias.
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El primer uso de los números es cardinal, se utilizan para contar y
comparar conjuntos. Por tanto los primeros números para los
humanos fueron los naturales ℕ.
Se han utilizado diversas formas para representar a los números. De
todos es conocido el sistema utilizado por los romanos que es muy
simple pero en el cual los algoritmos de las operaciones aritméticas
eran muy complicados o inexistentes, por este motivo el sistema no
perduró.
El sistema posicional decimal (base 10) que es estándar hoy en día en
todo el mundo nació en la India y llegó a Europa a través del Islam.
La difusión en Europa se debe en gran parte al libro “Liber Abaci” de
Leonardo de Pisa, alias Fibonacci. En este libro no solo se difunde el
nuevo sistema de numeración sino también los algoritmos de las
operaciones aritméticas y los propios guarismos.
Números Enteros ℤ
Sistemas de representación de ℕ
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Dado un natural 𝒃 > 𝟏 denominado base, cualquier natural 𝒏 ∈ ℕ
puede expresarse de forma única como:
𝒏 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒃 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 +⋯+ 𝒂𝒌𝒃
𝒌
𝒂𝟎, 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒌 ∈ ℕ 𝒂𝟎 < 𝒃, 𝒂𝟏 < 𝒃,… , 𝒂𝒌 < 𝒃
𝒚 𝒂𝒌 ≠ 𝟎
Habitualmente esta representación se escribe como:
𝒏 = 𝒂𝒌𝒂𝒌−𝟏… . . 𝒂𝟏 𝒂𝟎(𝒃
Obviamente, no señalamos la base cuando es 10 pero el sistema es el
mismo en cualquier otra base. Con el advenimiento de las
computadoras se utilizan para determinados fines la base 2 y la
base 16 (hexadecimal).
Números Enteros ℤ
Sistemas posicional actual
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Pasar del sistema de numeración con base 𝒃 a base decimal
significa únicamente valorar la siguiente expresión:
𝒂𝒌𝒂𝒌−𝟏… . . 𝒂𝟏 𝒂𝟎(𝒃 ⇒ 𝒏 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒃 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 +⋯+ 𝒂𝒌𝒃
𝒌
Pasar de decimal a otra base supone realizar sucesivas
divisiones del número y de los siguientes cocientes entre la base
b hasta obtener un cociente nulo. Los restos que se han ido
obteniendo son las cifras del número expresado en base b.
Por ejemplo, pasemos el número 48 a base 5
48 5
3 9 5
4 1 5
1 0 El número es 𝟏𝟒𝟑(𝟓 = 𝟒𝟖
Números Enteros ℤ
Cambio de base de sistema de numeración
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El orden histórico de las construcciones de los números no ha
sido el orden lógico tal y como se conoce hoy.
La realidad se mueve por la necesidad, primero fueron los
naturales por la necesidad de contar y ordenar.
Los griegos no conocían los números enteros negativos pero
como necesitaban para su Geometría medir segmentos
inventaron los números racionales ℚ positivos como razón
entre dos segmentos.
Los griegos ya sabían que no todas las medidas de segmentos
eran racionales y llamaban inconmensurables a los números
irracionales como 𝟐.
Números Enteros ℤ
Evolución histórica del concepto de número
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Los árabes como promotores del Álgebra fueron los primeros en
utilizar los enteros negativos, los racionales negativos y en
general los números reales.
Rafael Bombelli en el siglo XVI fue el verdadero descubridor de
los números complejos ℂ.
La construcción lógica rigurosa de todos los conjuntos de
números tiene lugar a finales del siglo XIX con la corriente
formalista liderada por David Hilbert.
A finales del XIX se construyen rigurosamente los naturales
siguiendo los axiomas de Giuseppe Peano y los reales por Georg
Cantor. Los demás conjuntos de números requieren una
construcción inmediata a partir de naturales y reales, tal es el
caso de enteros, racionales y complejos.
Números Enteros ℤ
Evolución histórica del concepto de número
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Números Enteros ℤ
Evolución histórica del concepto de número
ℂ
ℝ
ℚ ℤ
ℕ
• ℕ 1,2,3,… .
• ℤ …− 2,−1,0,1,2, .
• ℚ −1
3,11
9, ……
• ℝ 1 + 23
, 𝜋, 𝑒
• ℂ 𝑖, 23
− 2𝑖, .
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Generalmente las ampliaciones surgen por necesidades
algebraicas:
De ℕ 𝒂 ℤ para poder resolver la ecuación 𝒙 + 𝒂 = 𝒃
De ℤ 𝒂 ℚ para poder resolver la ecuación 𝒂𝒙 = 𝒃
De ℝ 𝒂 ℂ para poder resolver la ecuación 𝒙𝟐 + 𝟏 =0
Algunas ampliaciones no son algebraicas:
De ℚ 𝒂 ℝ se extiende para dar cabida a los números
irracionales y también a los números trascendentes.
Números Enteros ℤ
Ampliaciones del concepto de número
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El conjunto de los enteros ℤ engloba a los naturales positivos, el
cero y las soluciones de ecuaciones del tipo 𝒙 + 𝟓 = 𝟕 que se
denominan enteros negativos.
En el conjunto de los naturales ℕ de los números naturales
existe un orden lineal como:
𝟏 ≤ 𝟐 ≤ 𝟑 ≤ 𝒏 ≤ ⋯
Entre los enteros este orden puede extenderse:
… ≤ −𝟑 ≤ −𝟐 ≤ −𝟏 ≤ 𝟎 ≤ 𝟏 ≤ 𝟐 ≤ 𝟑 ≤ ⋯
Los enteros mayores que cero se denominan positivos y los
menores negativos.
Números Enteros ℤ
Orden entre los enteros
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Suma de enteros:
ℤ × ℤ +
ℤ
𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂+ 𝒃
La definición permite sumar dos cualesquiera números enteros y
verifica:
Asociativa: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ
Conmutativa 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ
Elemento neutro 0 + 𝒂 = 𝒂 + 0 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ
Elemento opuesto 𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎 ∀𝒂 ∈ ℤ
Se dice que ℤ con la suma forma un Grupo Abeliano
Números Enteros ℤ
Operaciones con enteros, propiedades.
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Producto de enteros:
ℤ × ℤ ∙
ℤ
𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂 ∙ 𝒃
La definición permite multiplicar dos cualesquiera números
enteros y verifica:
Asociativa: 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ
Conmutativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ
Elemento neutro 1 ∙ 𝒂 = 𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ
Distributiva 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ
Cancelativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒄 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒃 = 𝒄
Se dice que ℤ con la suma y producto forma un anillo
conmutativo con elemento unidad y por la propiedad cancelativa
se dice que es un dominio de integridad.
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Operaciones con enteros, propiedades.
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El orden y las operaciones verifican una serie de propiedades de
compatibilidad:
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒂 ≤ 𝒃𝒄 ≤ 𝒅
⟹ 𝒂+ 𝒄 ≤ 𝒃 + 𝒅
𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒚 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒂 ≤ 𝒃𝒄 ≥ 𝟎
⟹ 𝒂 ∙ 𝒄 ≤ 𝒃 ∙ 𝒄
𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒚 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒂 ≤ 𝒃𝒄 ≤ 𝟎
⟹ 𝒂 ∙ 𝒄 ≥ 𝒃 ∙ 𝒄
El orden de los enteros es total o lineal, es decir dados dos
números a, b bien 𝒃 ≤ 𝒂 o bien 𝒂 ≤ 𝒃
A diferencia de los números naturales el orden de los enteros no
es un buen orden, no todos los subconjuntos tienen un elemento
mínimo
Números Enteros ℤ
Orden y operaciones, propiedades.
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Se dice por definición que a divide a b y se nota 𝒂|𝒃 cuando:
𝒂|𝒃 ⟺ ∃𝒄 ∈ ℤ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒃 = 𝒂𝒄
En este caso se dice que a y c son divisores de b, o bien que a es
múltiplo de a y c.
La relación binaria 𝒂|𝒃 es una relación de orden parcial entre
los enteros positivos ya que verifica las propiedades:
Reflexiva 𝒂|𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ Antisimétrica 𝒂 𝒃 𝒚 𝒃 𝒂 ⟹ 𝒂 = 𝒃
Transitiva 𝒂 𝒃 𝒚 𝒃 𝒄 ⟹ 𝒂|𝒄
No es una relación de orden total.
Números Enteros ℤ
Divisibilidad
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Representada gráficamente la relación a divide a b entre los
enteros positivos:
El nivel inferior lo ocupa el entero positivo 1 y el siguiente nivel
lo ocupan los números primos, es decir los números que solo
admiten como divisores a sí mismo y a la unidad.
Cualquier número no primo se dice que es compuesto.
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Divisibilidad
……….
4 6 9 10 15 25 ……..
2 3 5 ……… 1
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No todos los números enteros tienen inverso respecto del
producto, o sea no siempre existe otro entero que multiplicado
por el primero de la unidad.
Los únicos enteros con inverso son −𝟏,+𝟏 ⊂ ℤ y, por ello, se
denominan unidades.
Un subconjunto 𝑨 ⊂ ℤ se dice que es un ideal por definición
cuando es un subgrupo aditivo y, además:
𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ ℤ ⇒ 𝒙 ∙ 𝒚 ∈ 𝑨
Por ejemplo son ideales los conjuntos 𝟎 𝐲 ℤ , cualquier otro
ideal se dice que es propio.
Un ideal propio es por ejemplo el conjunto de todos los múltiplos
de un entero 𝑎 concreto:
𝒂 = 𝒙 ∈ ℤ. . 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝒂
Números Enteros ℤ
Unidades e ideales
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Los ideales propios que se reducen al conjunto de los múltiplos
de un entero se denominan ideales principales.
En el dominio de integridad de los enteros ℤ todos los ideales
propios son el conjunto de los múltiplos de algún número por
ello se dice que es un dominio de ideales principales (PID).
La intersección de ideales es un ideal, por tanto los múltiplos
comunes de dos enteros deben ser todos ellos múltiplos de un
entero que debe ser un múltiplo común, lo que más adelante se
define como el mínimo común múltiplo.
Números Enteros ℤ
Anillo de ideales principales
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Algo muy singular del dominio de integridad de los enteros es la
existencia de una división euclídea.
Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ con 𝒃 > 𝟎 denominados dividendo y divisor
respectivamente existe dos números enteros únicos 𝒒, 𝒓 ∈ ℤ
denominados cociente y resto respectivamente tales que:
𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒃
La demostración de la existencia y unicidad de cociente y resto
se basa en que el orden entre los enteros positivos es un buen
orden, o sea todo subconjunto tiene un mínimo.
Si el resto de la división euclídea es nulo 𝒓 = 𝟎 entonces 𝒂 es un
múltiplo de 𝒃 o, si se prefiere, 𝒃 es un divisor de 𝒂.
Números Enteros ℤ
División euclídea
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Un entero 𝒙 ∈ ℤ se dice por definición que es primo si:
1. Es mayor que 1 𝒙 > 𝟏
2. Sus únicos divisores son los elementos de +𝟏,−𝟏, 𝒙, −𝒙
Es decir los primos son 2,3,5,7,11,13,17,19,…..
Los números primos son las piezas de Lego de la Matemáticas.
Una de las propiedades características de los primos que a veces
se utiliza como definición es que si 𝑝 es primo entonces:
𝒑|𝒂𝒃 ⇒ 𝒑|𝒂 𝒐 𝒑|𝒃
Un primo que divide a un producto divide a uno de los factores.
Números Enteros ℤ
Números primos
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Los números primos constituyen una sucesión ilimitada, es decir
que existen infinitos números primos.
Si 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒑𝟑, … . . , 𝒑𝒓 fueran los r primeros y únicos números
primos, entonces 𝒑𝟏 ∙ 𝒑𝟐 ∙ 𝒑𝟑 ∙. .∙ 𝒑𝒓+1 da de resto 1 al dividirlo por
cualquiera del los r primeros primos luego no es divisible por
ninguno de ellos por tanto es primo lo que contradice que solo
existan r primos.
Esta demostración fue realizada por primera vez por Euclides.
Dado que no existe ninguna formula recurrente simple de
generar la serie de los números primos tiene mucha importancia
el diseño de un algoritmo eficiente para averiguar si un número
es primo.
Números Enteros ℤ
Números primos
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¿Cómo averiguar si un número entero dado 𝒑 ∈ ℤ es primo?
Se va dividiendo p por todos los primos anteriores menores o
iguales que 𝒑 hasta obtener un resto nulo.
Si se obtuviera un resto nulo antes de llegar a 𝒑 el número en
compuesto, en caso contrario es primo.
Este algoritmo no es difícil de programar, pero utilizando
Mathematica de forma interactiva basta con una instrucción
para averiguar si un número entero es primo:
Números Enteros ℤ
Números primos
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Una propiedad característica de los enteros es la que
corresponde al siguiente enunciado:
Cualquier entero 𝑥 ∈ ℤ no nulo puede expresarse como ±1 por
factores primos, además esta expresión es única salvo
permutaciones del orden de los factores.
x = 𝑝1𝑝2𝑝3 ∙ ⋯ .∙ 𝑝𝑚 𝑝1, 𝑝2,∙ ⋯ ,∙ 𝑝𝑚 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔
Esta factorización se denomina descomposición en factores
primos, ya era conocida y utilizada por Euclides.
La descomposición en factores primos es como la huella dactilar
de un número entero. No existen dos enteros con la misma huella
dactilar.
Números Enteros ℤ
Teorema fundamental de la Aritmética
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Descomponer en factores primos es un proceso relativamente
simple de describir, ahora bien cuando los factores primos son
grandes o muy grandes puede tomar a un ordenador mucho
tiempo.
La ayuda de un “software” como Mathematica facilita las tareas:
Números Enteros ℤ
Descomposición en factores primos
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Sabemos que la sucesión de los números primos es infinita, ahora
bien caben muchas preguntas:
¿Hay aproximadamente en mismo número de primos en cada millar?
No, parece que van disminuyendo
¿Son cada vez más numerosos o cada vez más raros?
Cada vez son más raros y se distancian más
¿Existe alguna forma de predecir el número de primos 𝝅 𝒙 menores
que un número dado x?
Gauss conjeturó que 𝜋 𝒙 se aproxima a 𝒙
𝑙𝑜𝑔 𝒙 cuando 𝒙
crece indefinidamente
Números Enteros ℤ
Teorema de los números primos
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Que cada vez son más escasos se puede comprobar de inmediato
contando haciendo uso de la función PrimePi[x] de Mathematica:
Tres millares que contienen cantidades decrecientes de primos.
Luego parece que efectivamente los primos no se distribuyen de
modo uniforme sino que cada vez son más escasos
Números Enteros ℤ
Teorema de los números primos
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La conjetura de Gauss respecto de la distribución de los primos
afirma que:
𝒙𝑳𝒏 𝒙
𝝅 𝒙 ⟹ 𝟏
De modo que 𝒙
𝑳𝒏 𝒙 para valores de x elevados puede tomarse como
una aproximación del valor de 𝝅 𝒙 . Por ejemplo ¿Cuántos primos
aproximadamente hay entre los primeros 100 millones enteros
positivos?.
La respuesta aproximada es 𝟏𝟎𝟖
𝑳𝒏 𝟏𝟎𝟖= 𝟓𝟒𝟐𝟖𝟔𝟖𝟏.
La respuesta correcta es:
Números Enteros ℤ
Teorema de los números primos
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Todos los factores primos de cualquier divisor de otro entero deben
aparecer en la descomposición en factores de este.
Agrupando en potencias los factores primos que se repiten:
𝑥 = 𝑝1𝛼1 ∙ 𝑝2
𝛼2 ∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑚𝛼𝑚
Los divisores enteros positivos de este número son los sumandos del
desarrollo de
1 + 𝑝11+. . +𝑝1
𝛼1 ∙ 1 + 𝑝21+. . +𝑝1
𝛼2 ∙. .∙ 1 + 𝑝𝑚1 +. . +𝑝𝑚
𝛼𝑚
El número de divisores enteros de 𝑥 es:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 2 𝛼1 + 1 ∙ 𝛼2 + 1 ∙. .∙ 𝛼𝑚 + 1
Números Enteros ℤ
Divisores de un número entero
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Números Enteros ℤ
Máximo común divisor
Dados 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ se define su máximo común divisor (𝑚𝑐𝑑 𝑥, 𝑦 ) como el
entero 𝑑 > 0 tal que:
i. 𝑑|𝑥 𝑦 𝑑|𝑦
ii. 𝑚 𝑥 𝑦 𝑚 𝑦 ⟹ 𝑚|𝑑
Es decir que el máximo común divisor de dos enteros es otro entero
positivo divisor común tal que cualquier otro divisor común es
divisor suyo.
La existencia y unicidad del máximo común divisor es consecuencia
de la existencia de la división euclídea y la demostración se debe a
Euclides y es constructiva, se conoce como algoritmo de Euclides.
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Cualquier divisor común de dos números es divisor de su
máximo común divisor.
Si un número es múltiplo de otro el máximo común divisor de
ambos es el segundo.
Dos números cuyo máximo común divisor es la unidad se dice
que son primos entre si (“coprimes” en ingles)
El máximo común divisor del dividendo y divisor de una división
euclídea es igual que el máximo común divisor de divisor y resto
𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 𝟎 < 𝒓 < 𝒃 ⇒ 𝒎𝒄𝒅 𝒂, 𝒃 = 𝒎𝒄𝒅(𝒃, 𝒓)
Números Enteros ℤ
Propiedades del máximo común divisor
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El algoritmo de Euclides es un procedimiento de cálculo del
máximo común divisor de dos números basado e la propiedad:
𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 𝟎 < 𝒓 < 𝒃 ⇒ 𝒎𝒄𝒅 𝒂, 𝒃 = 𝒎𝒄𝒅(𝒃, 𝒓)
Consiste en realizar divisiones sucesivas hasta obtener un resto
nulo. Si el resto no es nulo para la siguiente división el divisor
pasa a ser dividendo y el resto pasa a ser el divisor.
Cuando se obtiene resto nulo el último divisor es el máximo
común divisor
Números Enteros ℤ
Algoritmo de Euclides
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Dados 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ+ o en caso de que alguno fuera negativo se
consideraría su opuesto ya que el máximo común divisor será el
mismo y será siempre positivo, se realiza la división euclídea
sucesiva:
𝒂 = 𝒃 ∙ 𝑞1 + 𝑟1 0 ≤ 𝑟1 < 𝑦
𝒃 = 𝑟1 ∙ 𝑞2 + 𝑟2 0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1 𝑟1 = 𝑟2 ∙ 𝑞3 + 𝑟3 0 ≤ 𝑟3 < 𝑟2 .
.
𝑟𝑛−3 = 𝑟𝑛−2 ∙ 𝑞𝑛−1 + 𝑟𝑛−1 0 ≤ 𝑟𝑛−1 < 𝑟𝑛−2 𝑟𝑛−2 = 𝑟𝑛−1 ∙ 𝑞𝑛 + 𝑟𝑛 0 ≤ 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1 𝑟𝑛−1 = 𝑟𝑛 ∙ 𝑞𝑛+1
𝑚𝑐𝑑 𝒂, 𝒃 = 𝑚𝑐𝑑 𝒃, 𝑟1 = 𝑚𝑐𝑑 𝑟1, 𝑟2 = ⋯ = 𝑚𝑐𝑑 𝑟𝑛−1, 𝑟𝑛 = 𝑟𝑛
Números Enteros ℤ
Algoritmo de Euclides
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Dados 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ , sea 𝒅 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 , entonces existen dos enteros
𝒎,𝒏 ∈ ℤ tales que:
𝒅 = 𝒎𝒂+ 𝒏𝒃
A partir de algoritmo de Euclides, comenzando por el final y
sustituyendo cada resto despejado en la expresión anterior hasta
llegar a la primera se obtiene el máximo común divisor como
combinación lineal de los dos números, es decir la identidad de
Bezout.
El cálculo de los coeficientes m y n se realiza como se describe en
el párrafo anterior.
Números Enteros ℤ
Identidad de Bezout
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Números Enteros ℤ
Mínimo común múltiplo
Dados 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ se define su mínimo común múltiplo (𝑚𝑐𝑚 𝑥, 𝑦 ) como
el entero 𝒎 > 0 tal que:
i. 𝒙|𝒎 𝒆 𝒚|𝒎
ii. 𝒙 𝒏 𝒆 𝒚 𝒏 ⟹ 𝒎|𝒏
Es decir que el mínimo común múltiplo de dos enteros es otro entero
positivo múltiplo común tal que cualquier otro múltiplo común sea
múltiplo suyo.
Utilizando la identidad de Bezout se puede demostrar que el
producto de dos números es igual que el producto de su máximo
común divisor por su mínimo común múltiplo.
𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 ∙ 𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚
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Cualquier múltiplo común de dos números es múltiplo de su
mínimo común múltiplo.
Si un número es múltiplo de otro el mínimo común múltiplo de
ambos es el primero.
Dos números primos entre sí tienen como mínimo común
múltiplo el producto de ambos.
La intersección entre el ideal de los múltiplos de x y el ideal de
los múltiplos de y es otro ideal formado por los múltiplos
comunes por tanto es el ideal de los múltiplos del mínimo común
múltiplo.
𝒙 ∩ 𝒚 = 𝒎 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒎 = 𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚
Números Enteros ℤ
Propiedades del mínimo común múltiplo
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La existencia y unicidad del mínimo común múltiplo es
consecuencia de la existencia y unicidad del máximo común
divisor y de la propiedad:
𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 ∙ 𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚
El cálculo del mínimo común múltiplo es sencillo basándose en
la propiedad anterior.
Dados dos números 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ se calcula en primer lugar su
máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides
𝑑 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 . Después se calcula:
𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚 = 𝒎 =𝒙∙𝒚
𝒅
Números Enteros ℤ
Cálculo del mínimo común múltiplo
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La descomposición en factores es una operación más complicada de
lo que aparenta a primera vista.
Un número compuesto cuyo primer factor primo es grande implica
un arduo trabajo para descomponerlo en factores, mientras que el
calculo del mcd de este número con otro puede ser muy simple y
requerir pocos pasos mediante el algoritmo de Euclides.
Por consiguiente, para números grandes es casi siempre mas
eficiente calcular mcd y mcm mediante el algoritmo de Euclides.
Mathematica utiliza el algoritmo de Euclides para el cálculo de
mcd.
Números Enteros ℤ
Mcd y mcm con Mathematica
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En ingles mcd se denomina “greatest common divisor” y se nota GCD.
Del mismo modo mcm se denomina “least common multiple” y se nota
LCM.
En Mathematica existen instrucciones para el cálculo de ambos:
Números Enteros ℤ
Mcd y mcm con Mathematica
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Dados dos enteros 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ y sus respectivas descomposiciones en
factores primos:
𝒙 = 𝑝𝑘𝛼𝑘 𝒚 = 𝑝𝑘
𝜷𝑘𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
Entonces, es sencillo demostrar que:
m𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 = 𝑝𝑘𝒎𝒊𝒏 𝜶𝒌,,𝜷𝒌
𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
m𝒄𝒎 𝒙, 𝒚 = 𝑝𝑘𝒎𝒂𝒙 𝜶𝒌,,𝜷𝒌
𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
Formulas que corresponden a las conocidas reglas “factores primos
comunes al menor exponente” para el mcd y “factores primos
comunes y no comunes al mayor exponente”
Números Enteros ℤ
Mcd y mcm por descomposición en factores
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En el conjunto ℤ de los números enteros dado 𝑚 ∈ ℤ+ se puede definir
la relación siguiente:
𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⟺ 𝑚| 𝑥 − 𝑦
Otra definición equivalente consistiría en decir que dos enteros están
relacionados si y solo si dan el mismo resto en la división euclídea
entre m.
La relación así definida verifica las propiedades reflexiva, simétrica y
transitiva, de forma que es una relación de equivalencia.
Dos enteros relacionados se dice que son congruentes módulo m.
Números Enteros ℤ
Congruencias
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Se puede comprobar que la relación es de equivalencia y el conjunto
cociente tiene m clases que se corresponden con los m posibles restos
de un entero al dividir por m:
ℤ𝑚 =ℤ
≡= 0 , 1 , 2 , … ,𝑚 − 1
En el conjunto cociente ℤ𝑚 se puede considerar dos operaciones: suma
y producto
𝒂 + 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃
Las definiciones son consistentes pues se puede comprobar que el
resto de la suma (producto) de dos número al dividir por m es la suma
(producto) de los restos de ambos números al dividirlos por m.
Números Enteros ℤ
Congruencias
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Suma de elementos de ℤ𝑚, 𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐜𝐥𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚:
ℤ𝑚 × ℤ𝑚 +
ℤ𝑚
𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂+ 𝒃
La definición permite sumar dos elementos de ℤ𝑚 cualesquiera y
verifica:
Asociativa: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ𝑚
Conmutativa 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ𝑚
Elemento neutro 𝟎 + 𝒂 = 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ𝑚
Elemento opuesto 𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎 ∀𝒂 ∈ ℤ𝑚
Se dice que ℤ𝑚 con la suma forma un Grupo Abeliano
Números Enteros ℤ
Congruencias
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Producto de elementos de ℤ𝑚, 𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐜𝐥𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚:
ℤ𝑚 × ℤ𝑚 ∙
ℤ𝑚
𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂 ∙ 𝒃
La definición permite sumar dos elementos de ℤ𝑚 cualesquiera y
verifica:
Asociativa: 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ𝑚
Conmutativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ𝑚
Elemento unidad 𝟏 ∙ 𝒂 = 𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ𝑚
Distributividad 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ𝑚
Se dice que ℤ𝑚con la suma y producto forma un anillo conmutativo
con elemento unidad denominado el anillo de los restos módulo m.
Números Enteros ℤ
Congruencias
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Considérese ℤ𝟔 anillo de las clases residuales módulo 6. Las tablas de
sus operaciones son:
Obsérvese que no se verifica la propiedad cancelativa:
𝟑 ∙ 𝟏 = 𝟑 ∙ 𝟑 y, sin embargo, 𝟏 ≠ 𝟑
Existen divisores de cero como 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟎
Números Enteros ℤ
Congruencias
+ 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟎
𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏
𝟑 𝟑 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏 𝟐
𝟒 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑
𝟓 𝟓 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
∙ 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒
𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑
𝟒 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐
𝟓 𝟎 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏
IES San Mateo Bachillerato de Excelencia Ciencias y Tecnología
Cualquier número entero positivo puede expresarse en forma de
polinomio de potencias de 10 cuyos coeficientes son las cifras o dígitos
del número:
𝟗𝟎𝟑𝟒𝟎𝟔 = 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟏 + 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟒 + 𝟗 ∙ 𝟏𝟎𝟓
Esta representación va a permitir establecer criterios de divisibilidad.
Por ejemplo, considérense los restos de las potencias de 10 módulo 3.
𝟏𝟎𝟎 = 𝟏 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑
𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑
………
𝟏𝟎𝒌 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 ∀𝒌
Números Enteros ℤ
Criterios de divisibilidad
IES San Mateo Bachillerato de Excelencia Ciencias y Tecnología
Los restos de todas las potencias de 10 módulo 3 son iguales a la
unidad, por tanto dado un número:
𝒑𝒌𝒑𝒌−𝟏. . 𝒑𝟏𝒑𝟎 = 𝒑𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝒑𝟏 ∙ 𝟏𝟎
𝟏 +⋯+ 𝒑𝒌−𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝒌−𝟏 + 𝒑𝒌 ∙ 𝟏𝟎
𝒌
Entonces:
𝒑𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎≡ 𝒑𝟎 𝒎𝒐𝒅 𝟑
𝒑𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟏 ≡ 𝒑𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑
……
𝒑𝒌−𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝒌−𝟏 ≡ 𝒑𝒌−𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑
𝒑𝒌 ∙ 𝟏𝟎𝒌 ≡ 𝒑𝒌 𝒎𝒐𝒅 𝟑
Sumando 𝒑𝒌𝒑𝒌−𝟏. . 𝒑𝟏𝒑𝟎 ≡ 𝒑𝒋𝒌𝒋=𝟎 𝒎𝒐𝒅 𝟑 es decir:
“Un número es divisible por tres si la suma del valor de sus cifras es
múltiplo de 3”
Números Enteros ℤ
Criterios de divisibilidad