Download - matdas 1 farmasi unpad
Mat 1 2
1.1 SISTEM BILANGAN REAL Semesta pembicaraan dalam Kalkulus : Himp. Bilangan
Real. Himp. Bilangan Real merupakan gabungan dari himp.
bilangan Rasional dan himp. Bilangan Irasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:
R = Himp.Bil. Real
Q = Himp.Bil. Rasional
Z = Himp.Bil. Bulat
N = Himp. Bil. Asli Gb. 1.1 Diagram Venn Himpunan Bilangan Real
Mat1 3
Sifat-sifat R : Sifat Medan Jika x, y, z adalah anggota bilangan Real, maka
x + y = y + x dan xy = yx ( hukum komutatif) x + (y+z) = (x+y) + z dan x(yz)=(xy)z (hukum asosiatif) x(y+z) = xy + xz (hukum distributif) Unsur Identitias. sehingga x + 0 =x dan x.1=x. Unsur Invers. dan
Sifat Urutan * Trikotomi. Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu
x < y atau x = y atau x > y.
* Transitif.
* Penambahan. * Perkalian. Jika z bilangan positif,
Jika z bilangan negatif,
zxzyyx dan
zyzxyx
,
,yzxzyx
.yzxzyx
R 1,0
0)()(, xxxRx
0,1)1
.(1
, xx
xx
Rx
Mat 1 4
Garis bilangan : Interval dan himpunan
Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan sebagai suatu garis bilangan.
Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval ( selang ).
R
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gb. 1.2 Garis bilangan Real
koordinat
2
Mat 1 5
Interval dan Penulisannya
[ , ] |a b x a x b
( , ) |a b x a x b
[ , ) |a b x a x b
( , ] |a b x a x b
( , ) |a x x a
axxa |],(
a b
a b
a b
a b
a
a
interval tutup
interval buka
interval setengah buka
interval setengah buka
interval tak terbatas
interval tak terbatas
),(
R
Mat 1 6
1.2 Pertaksamaan
Bentuk umum pertaksamaan adalah :
(1.1)
dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) suku banyak.
( tanda < dapat diganti oleh : >, , ). Himpunan semua bilangan Real x yang memenuhi
pertaksamaan (1.1) disebut Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang)
A x
B x
C x
D x
( )
( )
( )
( )
Mat 1 7
Cara menentukan himpunan penyelesaian :
Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol atau Bentuk menjadi
Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau faktor kuadrat definit positif
Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan.
Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis bilangan
0)(
)(
)(
)(
xD
xC
xB
xA
0)(
)(
xQ
xP
Mat 1 8
Contoh
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari : Jawab :
12
xx
012
xx
0)2)(1(
02 2
x
xx
x
xx
titik pemecah : x=1 , x=-2 , x=0 ++ --- ++ ---
Maka 1,02, Hp-2 10
Mat 1 9
1.3 Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak Definisi nilai mutlak adalah :
Sifat-sifat nilai mutlak :
0,
0,
xx
xxx
|||| yxxy 1. dan 0,||
|| y
y
x
y
x
2. Jika maka 0aaxaax
22 ax axatauaxax
22 ax |||||| yxyx
| | | |x y x y 2 2
3.
4.
Mat1 10
Contoh : Tentukan Hp dari
Jawab : Dengan menggunakan sifat yang ke 2 bagian 2, kita dapatkan
atau
Ini tak lain merupakan dua pertaksamaan yang akan dicari penyelesaiannya.
15
2 x
15
2 x
15
2 x
0505
052
015
2
xatauxx
x
x
xx
x(i).
03
50
530
5201
52
x
x
x
x
xx
x
Sehingga Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan tersebut adalah :
(ii).
.,00,3
55,0,
3
5,05,
Mat 1 11
1.4 Akar Kuadrat Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya,
dua akar kuadrat dari 4 adalah 2 dan -2 ; dua akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan -4.
Untuk , lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a.
Jadi dan
• Jadi , penting untuk diingat bahwa ,
a
24 10100)10( 2
0a
||2 xx