MATE 3032
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 19
MATE 3032
Integración de funciones racionales: fracciones parciales
En esta sección se resolverán integrales de funciones racionales,
f (x) =P (x)Q (x)
, (1) P (x) y Q (x) son funciones polinómicas
usando fracciones parciales.Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x), use elalgoritmo de la división:
f (x) =P (x)Q (x)
= S (x) +R (x)Q (x)
donde S y R son polinomios.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 19
MATE 3032
Ejemplo1. Evalúe
R3t!2t+1 dt
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 19
MATE 3032
El objetivo es expresar la función racionalP (x)Q (x)
como una suma de
fracciones parciales de la forma:
A
(ax + b)io
Ax + B
(ax2 + bx + c)j
Caso 1: El denominador Q (x) es un producto de factores linealesdiferentes:Q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) · · · (akx + bk )donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak tal que:R (x)Q (x)
=A1
a1x + b1+
A2a2x + b2
+ · · ·+Ak
akx + bk
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 19
MATE 3032
2. EvalúeR 10
x!4x 2!5x+6dx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 19
MATE 3032
Caso 2: El denominador Q (x) es un producto de factores lineales,algunos se repiten:Q (x) = (a1x + b1)
r (a2x + b2) · · · (akx + bk )donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak tal que:R (x)Q (x)
=A11
a1x + b1+
A12(a1x + b1)
2 + · · ·+A1r
(a1x + b1)r
| {z }+
A2a2x + b2
+
· · ·+Ak
akx + bk
3. EvalúeR
x 2!5x+16(2x+1)(x!2)2
dx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 19
MATE 3032
Caso 3: El denominador Q (x) es un producto de factores cuadráticosdiferentes:Q (x) =
&a1x2 + b1x + c1
' &a2x2 + b2x + c2
'· · ·&akx2 + bkx + ck
'
donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak ,B1,B2, · · · ,Bk talque:R (x)Q (x)
=A1x + B1
a1x2 + b1x + c1+
A2x + B2a2x2 + b2x + c2
+ · · ·+Akx + Ck
akx2 + bkx + ck
4. EvalúeRx 2!x+6x 3+3x dx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 19
MATE 3032
Caso 4: El denominador Q (x) es un producto de factores cuadráticos,algunos son repetidos:Q (x) =
&a1x2 + b1x + c1
'r &a2x2 + b2x + c2'· · ·&akx2 + bkx + ck
'
donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak ,B1,B2, · · · ,Bk talque:R (x)Q (x)
=
A11x + B11a1x2 + b1x + c1
+A12x + B12
(a1x2 + b1x + c1)2 · · ·+
A1r x + B1r(a1x2 + b1x + c1)
r
| {z }+
A2x + B2a2x2 + b2x + c2
+ · · ·+Akx + Ck
akx2 + bkx + ck
5. EvalúeR
1x (x 2+4)2
dx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 19
MATE 3032
6.R
12px+3+x
dx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 19
MATE 3032
7.R
11+ex dx
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / 19
MATE 3032
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / 19