Matemaattiset oppimisvaikeudet (69213, 5 op)
- kurssi matemaattisten taitojen kehityksestä, oppimisvaikeuksista,
arvioinnista ja interventioista Osa 1: Kehitys
Lokakuu 2016 Professori Pirjo Aunio
Erityispedagogiikka
Kurssin aikataulu ja paikat
Maanantai 10.10.2016 klo 8.15-9.45 Psy. Aud A132 (2 t)
klo 16.15-17.45 Psy. Aud A132 (2 t)
Tiistai 11.10.2016 klo 14.15-17.45 Psy. Aud A132 (3 + 1t)
klo 18.15-19.45 OTR (2 t) (Kehitys)
Keskiviikko 12.10.2016 klo 8.15-9.45 Psy. Aud A132 (2 t)
klo 16.15-17.45 Psy. Aud A132 (2 t)
klo 18.15-19.45 OTR (2 t) (Arviointivälineet)
Torstai 13.10.2016 klo 8.15-11.45 Psy. Aud A132 (4 t)
18.15-19.45 OTR (2 t)
(Interventio-ohjelmat)
Perjantai 14.10.2016 Klo 8.15-11.45 Psy. Aud A132 (4t)
20 x 45 min luentoja ja OTR 6 x 45
5.10.2016 Pirjo Aunio 2
Kurssin tavoitteet (sisältö):
n Ymmärtää matemaattisten taitojen tavallista ja poikkeavaa kehitystä
n Oppi ymmärtämään matemaattisia oppimisvaikeuksia ja niihin liittyvää arviointia sekä interventiotutkimusta
n Syventää osaamistaan matematiikan oppimisvaikeuksista ja niihin liittyvistä taustatekijöistä (esim. kognitiiviset tekijät, ympäristölliset tekijät)
3 3
Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa)
Vaihtoehto 1: n Berch, D., & Mazzocco, M.M.M (toim.) (2007). Why is math so hard for some
children? The nature and origins of mathematical learning difficulties and disabilities. Baltimore, Paul H. Brookes. 441 s.
JA n Chinn, S. (toim.) (2015). The Routledge international handbook of dyscalculia and
mathematical learning difficulties. London: Routledge. 419 s.
Vaihtoehto 2: n Gersten, R., & Newman-Gonchar, R. (toim.) (2011). Understanding RTI in
mathematics: Proven methods and applications. Baltimore, Paul H. Brookes. 219 s.
JA n Henry, L. (2012). The development of working memory in children. Los Angeles:
Sage. 384 s.
Pirjo Aunio 4
Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa)
Vaihtoehto 3 n Price, G.R., & Ansari, D. (2013). Dyscalculia: Characteristics, causes and
treatments. Numeracy, 6(1), 1-16.
n Jordan, N., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and individual differences, 20(2), 82-88.
n LeFevre, J-A., Berrigan, L., Vendetti, C., Kamawar, D., Bisanz, J., Skwarchuk, S-L., & Smith-Chant, B. L. (2013). The role of executive attention in acquisition of mathematical skills for children in grades 2 through 4. Journal of experimental child psychology, 114(2), 243-261.
n Korhonen, J., Linnanmäki, K., & Aunio, P. (2013). Learning difficulties, academic well-being and educational dropout: A person-centered approach. Learning and individual differences, 31, 1-10.
n Toll, S. W.M., & Van Luit, J.E.H. (2012). Early numeracy intervention for low-performing kindergartners. Journal of early intervention, 34(4), 243-264.
n Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to Intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE 2009-4060). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from target=_blank>http://ies.ed.gov/ncee/wwc/publications/practiceguides/.
30.10.2009 Pirjo Aunio 5
Kurssin suorittaminen
n Luentoasiat + yksi kokonaisuus vaihtoehtoisesta kirjallisuudesta
n Kaksi tieteellistä esseetä (yksilösuorite) n aiheet annetaan perjantaina 14.10
n Palautus s-postilla on 4.11.2016 klo 16.00
n Arviointi 0-5, molemmat esseet oltava vähintään 1 päästäkseen läpi
n Uusinnat tiedekunta/laitostentissä
Pirjo Aunio 6
Pirjo Aunio 7
Matemaattisten perustaitojen
kehitys
Ennen koulua
Alakoulussa
Kehityksen taustatekijät
Työmuisti (toiminnan
ohajusfunktiot)
SES
kieli
Matematiikan oppimisvaikeudet
Dyscalculia
Mat. Op. Vaik
Heikko osaaja
Taitojen arviointi
Kehit.psyk testit ja seulat
OPS-pohjaiset mittarit
Observointi, haastattelu,
portfolio, päiväkirja
Pedagoginen tukeminen
Interventioista
Kurssin sisältöä tarkemmin
Oppimisen/kehityksen ymmärtäminen
Oppimisen/kehityksen arviointi (heikkojen
löytäminen)
Oppimiseen/kehitykseen puuttuminen (interventio)
8
Erityispedagogisen ajattelun pilarit
Mitkä ovat matemaattiset perustaidot?
6.10.16 Pirjo Aunio
Mitä arvostetaan, mihin keskitytään, mistä ollaan huolissaan?
6.10.16 Pirjo Aunio
Keskeiset matemaattiset taitorypäät esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla I vaihe: testit joiden tarkoituksena on arvioida 5-8 -vuotiaiden lasten
matemaattista osaamista. Tarkasteluun otimme testit, n joihin oli julkaistu normit (eli on tieto miten lapset
suoriutuvat testistä keskimäärin + validointiprosessi) n jotka olivat opettajien käytössä useissa eri maissa n joissa mitattiin erityyppisiä matemaattisia taitoja n jotka eivät olleet opetussuunnitelma riippuvaisia Lukukäsitetesti (Van Luit, et al. 1994), Number Knowledge
Test (Griffin 2003), Early Numearcy (Wright et al. 2006) ja TEMA-3 (Ginsburg & al. 2006)
II Vaihe: Pitkittäistutkimukset
6.10.16 Pirjo Aunio
Keskeiset matemaattiset taitoryppäät esi-ja alkuopetusikäisillä lapsilla
(Aunio & Räsänen, 2016 kts. myös www.lukimat.fi)
lukumäärän laskutaidot
matemaattis-loogiset periaatteet
yhteen- ja vähennyslaskutaidot
Aritmeettiset perustaidot
Laskemisen taidot
aritmeettiset yhdistelmät
Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen
aritmeettiset periaatteet
lukujonon luettelemisen taidot
paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä
Lukumääräisyyden taju
matemaattiset symbolit
numerosymbolien hallinta
6.10.16 Pirjo Aunio
Laskemisen taidot Lukujonon luettelemisen taidot
1. Lukujonon luetteleminen eteen- ja taaksepäin (usein: Osaatko sinä laskea?)
2. Lukujonon luetteleminen hyppäyksittäin (l. sanomalla joka toinen, joka viides tai joka kymmenes luku)
3. Lukujonon luettelemisen jatkaminen annetusta luvusta (l. jatka laskemista luvusta kahdeksan eteenpäin)
q Number words sequence skills (synonyms often acoustic counting, reciting number words, counting) (VanDerHeyden et al. 2006; Clarke and Shinn 2004)
6.10.16 Pirjo Aunio
Laskemisen taidot (jatkuu) Lukumäärien laskemisen taidot:
1. Osaa luetella lukujonon oikeassa järjestyksessä 2. Osaa luoda yksi-yhteen-suhteen sanotun sanan ja
laskettavan esineen sekä osoittavan eleen välille 3. Oivaltaa, että viimeiseksi sanottu luku kertoo sen kuinka
monta esinettä kokonaisuudessa on
4. Oivaltaa, että kaikenlaisia keskenään erilaisiakin esineitä ja asioita voi laskea
5. Tietää, että esineet voi laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan laskee jokaisen esineen vain kerran
n Enumeration (often counting the numerosity of a set, counting, cardinal meaning of number, counting objects) Child uses her/his number word sequence skills to enumerate (Aunio & Niemivirta 2010; Jordan et al. 2006)
6.10.16 Pirjo Aunio
Laskemisen taidot (jatkuu) Numerosymbolien hallinta:
1. Yhdistää sanottu lukusana -> numerosymboliin (nimeäminen ja tunnistaminen).
v Lapselle sanotaan joku lukusana, jolloin lapsen tehtävänä on kirjoittaa sitä vastaava numerosymboli
v Lapselle näytetään joku numerosymboli ja lapsen tehtävä on sanoa sitä vastaava lukusana.
2. Ilmaisee numerosymboleilla lukumääriä v Pyydetään näyttämään se numerosymboli mikä on yhtä suuri kuin näytettyjen
esineiden lukumäärä
v Näytetään numerosymboli ja pyydetään antamaan yhtä monta esinettä
n Symbol-verbal and verbal-symbol transitions = word identification and recognition of numbers (e.g. choose number in VanDerHeyden et al. 2006)
Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen
2 v. • Primäärinen ymmärrys lukumääristä
• lukusanoilla viitataan eri lukumääriin • hyvin karkeat lukumäärät selkeitä
3 v • Lorumainen laskeminen • käsittelee numeroita osana lauluja ja loruja • ei välttämättä erota lukusanoja erillisinä sanoina vaan rimpsuna ‘yksikaksikolmeneljä
4 v
• Eriaikainen laskeminen • Ymmärtää, että lukusanoja voidaan käyttää esineiden laskemiseen • Osaa luetella lukusanat oikeassa järjestyksessä, mutta ei kykene osoittamaan esinettä
ja merkkaamaan sitä samaan aikaan. • Jättää laskematta jonkun esineen, laskee (merkkaa) yhden esineen kaksi kertaa
6.10.16 Pirjo Aunio
Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen (2)
4-5 v
• Samanaikainen laskeminen • Sanoo lukusanan , osoittaa esineitä • Hallitsee 1-1-suhteella operoimisen • Järjestää esineet , yhdistää niihin lukusanan (l. laskee)
5 v
• Tuloksen laskeminen • Laskeminen alkaa luvusta yksi • Jokainen esine lasketaan vain kerran • Viimeinen lukusana kertoo esineiden lukumäärän
6 v.
• Lyhentynyt laskeminen • Kykenee tunnistamaan tietystä lukujoukosta numeron, josta he jatkavat
laskemista • Ei enää tarvitse aloittaa luvusta yksi, kun heiltä kysytään esineiden lukumäärää.
6.10.16 Pirjo Aunio
6.10.16 Pirjo Aunio
Aritmeettiset perustaidot n Lukujonon luettelemisen ja lukumäärän
laskemisen taitojen kehittyessä alkavat lapset myös harjoitella aritmeettisia perustaitoja
n Pienillä luvuilla & lukujen luettelu ja sormilla esineillä laskeminen
n Kun taidot kehittyvät ja kokemus lisääntyy, lapsen ei enää tarvitse laskea yksinkertaisia ja usein toistuvia yhdistelmiä, vaan hän voi palauttaa vastauksen suoraan muistista (l. aritmeettisten yhdistelmien muistaminen)
n Kehityksen kuluessa lapsi keksii uusia strategioita ja voi jättää jo opittuja käyttämättä
6.10.16 Pirjo Aunio
Aritmeettiset perustaidot n Aritmeettisista perustaidoista keskeisiä esi- ja
alkuopetusiässä ovat yhteen- ja vähennyslaskutaidot -> sujuva peruslaskutaito
n 2lkn keväällä ja 3:lla luokalla yhteen –ja vähennyslaskutaidon oletetaan yksinumeroisilla luvuilla olevan suhteellisen sujuvaa ja aletaan opetella kerto- ja jakolaskua
6.10.16 Pirjo Aunio
Aritmeettiset perustaidot n Laskutoimitukset eroavat siinä, missä määrin
niiden harjoittelussa painottuu muistista haku tai erilaiset laskemisen strategiat n Kertolasku pohjaa ulkoaoppimiseen ja siinä
muistista hakeminen on keskeinen strategia
n Vähennys – ja jakolaskuissa on vähemmän ulkoaoppimista – niissä käytetään erilaisia laskustrategioita useimmiten pohjaten yhteen – ja kertolaskuun.
6.10.16 Pirjo Aunio
Aritmeettiset perustaidot n Se mitä strategiaa lapsi käyttää riippuu esimerkiksi
laskun tekijöistä: n Esikoululainen voi muistaa ulkoa vastauksen osaan
”pienistä” laskuista (1+1, 2+2, 1+2)
n Kun laskuissa vaaditaan 10-ylitystä (8+6, 9+5) on se jo hankalampi (laskemisen strategia käyttöön)
n 0 ja 1 sisältävät laskut näyttää nojaavaan sääntöjen muistamiseen (esim. kun nollan lisääminen ei muuta lukumäärää)
6.10.16 Pirjo Aunio
Aritmeettiset perustaidot n Strategiat selviää seuraamalla lapsen laskemista ja
pyytämällä häntä selittämään, miten ratkaisee tehtävän
n Tavallisesti lapsilla on käytössään useita strategioita
n Sujuva laskija: n Pääasiassa palauttaa vastauksen nopeasti muistista
n Tarvittaessa valitsee muista strategioista tehtävään sopivimman
n Niillä lapsilla, joilla on matematiikan oppimisvaikeuksia n on käytössään yleensä vain hitaita luetteluun pohjautuvia
strategioita
n Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen on heille vaikeaa (pysyy vaikeina – tarvitsee tukea!)
Yhteen- ja vähennyslaskutaidon kehittyminen
6.10.16 Pirjo Aunio
n Asteittain: n Luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti
aritmeettisten yhdistelmien muistamista
n Vähennyslaskustrategiat ovat vaikeampia kuin yhteenlaskustarategiat
- Vähennyslaskuissa pitää muistaa useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa
- Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteen- ja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen
Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen yhteen- ja vähennyslaskussa
6.10.16 Pirjo Aunio
§ Laskutehtävien ratkominen aloitetaan lukujen luetteluun pohjatuvien strategioiden kautta
§ Konkretian ja visuaalisen tuen avulla (esineet, sormet, piirtäminen)
§ Mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla
§ Eri tapoja käyttää lukujonoa laskemisessa tueksi:
Lukujen luetteluun pohjautuvat strategita yhteenlaskussa – konkretia/visuaalinen tuki
Laske kaikki, aloita alusta Esim. 3 + 2 = ? Lapsi laskee kolme esinettä yksitellen "1,2,3". Hän lisää yksitellen laskien kaksi esinettä "1,2", laskee sitten alusta kaikki esineet "1,2,3,4,5" ja saa tulokseksi viisi.
Laske toinen luvuista, aloita alusta Esim. 3 + 4 = ? Lapsi näyttää sormillaan suoraan luvun 3 ja lisää siihen luetellen neljä lisää "1, 2, 3, 4". Sitten hän laskee alusta kaikki sormet tai katsoo vastauksen suoraan sormien lukumäärästä.
Laskeminen eteenpäin Esim. 4 + 3 = ? Lapsi näyttää sormillaan luvun 4 ja laskee eteenpäin sormien avulla "5, 6, 7". Vastauksena on viimeiseksi sanottu lukusana.
Laskeminen eteenpäin, aloittaen suuremmasta luvusta
Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän näyttää sormillaan luvun viisi ja laskee sormien avulla eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.
Pirjo Aunio 24
Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia yhteenlaskussa – mielessä tapahtuva laskeminen
Laskeminen eteenpäin ensimmäisestä luvusta
Esim. 3 + 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 3 ja laskee mielessään eteenpäin "4, 5, 6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.
Laskeminen eteenpäin suuremmasta luvusta
Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän sanoo luvun viisi ja laskee mielessään eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.
Pirjo Aunio 25
Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa – konkretia/visuaalinen tuki
Laske kaikki, aloita alusta Esim. 5 – 3 = ? Lapsi laskee viisi esinettä yksitellen. Sitten hän laskee pois kolme esinettä, laskee jäljelle jääneet ja saa tulokseksi kaksi
Laskeminen eteenpäin Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin sormien tuella ”5, 6, 7”. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme.
Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran
Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee sormien avulla taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.
Laskeminen eteen- ja taaksepäin Lapsi valitsee laskun ratkaisemisen tavaksi edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2 tai 3, riippuen siitä, kummalla tavalla tarvitsee laskea vähemmän. Esim. laskussa 9 – 7 = ?, lapsi valitsisi kohdan 2.
Pirjo Aunio 26
Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa – mielessä tapahtuva laskeminen
Laskeminen eteenpäin Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin mielessään ”5, 6, 7”. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme.
Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran
Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.
Laskeminen taaksepäin annettuun lukuun asti
Esim. 8 - 6 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin lukuun 6 asti "7, 6". Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli 2.
Laskeminen eteen- tai taaksepäin Lapsi valitsee laskun ratkaisemiseen edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2, 3 tai 4, riippuen siitä millä tavalla tarvitsee laskea vähiten. Esim. laskussa 9 - 7 = ?, lapsi valitsisi kohdan 2 tai 4.
Pirjo Aunio 27
6.10.16 Pirjo Aunio
Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen
§ Palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (2+3=5)
§ Johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta § 6-3=3 joten 6-4=2, koska luku 4 on yhden suurempi kuin 3
§ Pilkkoo laskun osavaiheisiin ja kokoaa laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan lukujärjestelmästä
§ 7+5 -> 7 + (3+2) -> 10 + 2=12
§ Toisen laskun kautta laskun johtaminen voi auttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista
§ Tuplien kautta oppiminen + niitä lähellä olevat aritmeettiset yhdistelmät
Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa
Tupla +1, +1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi tai kaksi. esim. 6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13
Tupla -1, -2 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi tai kaksi. esim. 7 + 6 = (7 + 7) - 1 = 13
10-parit Käytetään hyväksi opittuja 10-pareja. esim. 8 + 2 = 10, joten 8 + 3 = 11
10-lasku
Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. esim. 10 + 8 = 18, joten 9 + 8 = 17
Jaettu Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Myöhemmin tästä syntynyttä mielikuvaa voidaan käyttää hyväksi laskemisessa. esim. 7 + 5 = 6 + 6
Toisen tunnetun yhdistelmän kautta esim. 7+5=(7+4)+1=12 Pirjo Aunio 29
Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa – lisäämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa
Tupla +1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi. esim. 13 - 6 --> 6 + __ = 13 --> 6 + (6 + 1) = 13
Tupla -1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi. esim. 11 - 6 --> 6 + __ = 11 --> 6 + (6 - 1) = 11
Jaettu Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Tätä mielikuvaa käytetään hyväksi myös vähennyslaskussa. esim. 12-7 --> 6+6=12, joten 7+5=12
Pirjo Aunio 30
Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa – vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa
10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. Esim. 16-10=6, joten 16-9=7
Toisen tunnetun yhdistelmän kautta Esim 12-7=>12-8=4, joten 12-7=5
Pirjo Aunio 31
Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa
Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. Esim 8+5-> (8+2)+3=10+3=13
Pirjo Aunio 32
Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa
Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. Esim 13-6-> 6+4=10, 10+3=13 -> 4 + 3= 7
Vähentäminen 10 kautta Luku vähennetään ensin kymmeneen ja otetaan vielä jäljelle jäänyt kymmenestä pois 12-7-> 12-2=10, 10-5=5
Vähentäminen kymmenestä Otetaan kymmenen yli menevä luku ”talteen”, sen jälkeen otetaan vähentäjä pois kymmenestä ja lisätään talteen laitettu luku muistista 12-4= (10-4) + 2= 8
Pirjo Aunio 33
Van den Heuvel-Panhuizen (1999/2001): Children Learn Mathematics Wright et al. (2012): Developing Number Knowledge
Yksittäinen laskeminen esineillä ja/tai lukujonolla • Välineiden lapsilähtöinen käyttö
Strukturoitu laskeminen välineillä • Piilottaminen • Välineiden ohjattu käyttö (ryhmittely, systemaattisuus) • Välineiden nivominen strategioihin
Mielessä tapahtuva laskeminen ilman välineitä • Muistista palauttaminen
• Toisten laskujen hyödyntäminen • Faktojen muistaminen
34
Yhteen- ja vähennyslaskustrategioiden oppiminen ja kehityksen tukeminen
Aritmeettiset laskustrategiat
Lukujen luetteluun perustuvat strategiat
Välineet vapaasti lasten käytössä
Mielessä tapahtuva laskeminen
Strukturoitu laskeminen
Välineillä ohjatusti
Muistamiseen perustuvat strategiat
Toisen laskun kautta (derived facts)
Osavaiheisiin pilkkominen ja
uudelleen kokoaminen
(decomposition)
Suora muistista palauttaminen (fact
retrieval) Lukualue 1-20
35
Strukturoitu laskeminen – välivaihe/silta lukujen luettelusta muistista palautta
n Kymppipohja/viitospohja n Helmitaulu (viiden kautta)
n Numeroruudukko -> lukusuoraan n Tyhjä lukusuora
n Osa-kokonaisuus –pallomalli (esim. Emerson & Babtie, 2010)
n Matikka-vuori – Math-mountain (esim. Wright et al. 2012)
n Osa muistista palauttamista strategioista voidaan myös ottaa opetuksen kohteeksi
n Kielellistäminen
36
Strukturoidun laskemisen vaihe
n Osa-kokonaisuus pallo –malli (esim. Emerson & Babtie, 2010)
n Matikka-vuori (Wright et al. 2012)
37
12
2 10
6
Kerto – ja jakolaskutaidon kehittyminen
Pirjo Aunio 38
n Oppimisprosessi on suoraviivaisempi ja harjoittelussa korostuu suuremmassa määrin ulkoaopettelu kuin yhteen- ja vähennyslaskussa
n Hakeminen muistista on keskeinen ratkaisutapa heti alusta lähtien
n Jakolaskun kehityksestä tiedetään vähemmän: n Alussa yhteenlaskun avulla
n Kertolasku nousee nopeasti yleisemmäksi
n Jakolaskujen ratkaisu hankalaa ilman kertolaskun hallintaa (kertolaskun ja jakolaskun suhteen ymmärtäminen)
Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen kertolaskussa
Pirjo Aunio 39
§ Alkuvaiheessa toistuva yhteenlasku ja lukujonon luetteleminen tietyn askeleen välein on yleisesti käytettjä strategioita
- Ääneen tai mielessä luettelemalla lukujonoa (ei visuaalista tukea) esim. viiden välein 5x4 -> 5, 10, 15, 20
- Sormien avulla + luettelu, auttaa muistamaan montako harppausta lukujonossa on menty (”viisi” yksi sormi, ”kymmenen” kaksi sormea)
n Osalle lapsista hyppiminen lukujonossa vaikeaa
- Laskee yksitellen, piirtää viivoja, ryhmittelee, laskee ne
- => hidas, virhealtis, ei mielekäs
Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen jakolaskussa
Pirjo Aunio 40
n Luettelupohjaiset strategiat:
- Toistuva yhteenlasku, jossa jakajaa lasketaan yhteen kunnes saavutetaan jaettava
- Toistuva vähennyslasku, jossa jaettavasta vähennetään jakajan osoittamaa määrää kunnes päädytään nollaan
- Ryhmittely, lapsi miettii, kuinka monta jakajan suuruista ryhmää jaettavasta saadaan
Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen kerto- ja jakolaskussa
n Aritmeettisten yhdistelmien hakeminen suoraan muistista nousee yleisemmäksi strategiaksi
n Kansainväliset tutkimukset (lisää lähde):
- 2- luokalla yleisin ratkaisutapa: lapset käyttävät sitä yli puolessa kertolaskuissa
- 4-luokalla (9 v) suurimmaksi osaksi (noin 70-80% kertolaskuista)
n Jakolaskuissa - Muistiinpohjaavat strategiat: vastauksen hakeminen suoraan
muistista, kertolaskun avulla vastauksen ratkaiseminen, sekä laskun jakaminen pienempiin helpommin ratkaistaviin osiin
- Vähiten automatisoituva
- 6-7 luokalla yhdistelmien muistamista käytettiin vähemmän kuin kertolaskua
Pirjo Aunio 41
6.10.16 Pirjo Aunio
Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen
Matemaattis-loogiset periaatteet l. säännönmukaisuuksien ymmärtäminen ja soveltaminen määrällisessä
kontekstissa 1. Sarjoittaminen (Bryant 1996) (esim. Järjestä nämä kukat pisimmästä lyhyinpään) 2. Vertailu (Sophian 1998) (esim. Kummassa laatikossa on enemmän kuulia?) 3. Luokittelu (Smith 2002) (esim. Laita tähän laatikkoon kaikki siniset suuret pallot?) 4. Yksi-yhteen suhde (Alibali & DiRusso 1999) (esim. Missä laatikossa on riittävästi pipoja näille viidelle lapselle?)
6.10.16 Pirjo Aunio
Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen (jatkuu)
Aritmeettiset periaatteet (l. osa-kokonaisuus -suhteiden ymmärtäminen)
1) kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista luku kuusi voidaan muodostaa laskemalla yhteen esimerkiksi 5+1; 4+2; tai 3+2+1.
2) yhteenlaskettavat voidaan laskea yhteen missä tahansa järjestyksessä ja aina saadaan sama tulos -> a+b=b+a.
6.10.16 Pirjo Aunio
Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen – aritmeettiset periaatteet (jatkuu)
3) yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja saadaan sama tulos -> (a+b) + c = a + (b + c)
4) käänteisyyden periaate, millä tarkoitetaan sitä, että yhteen-ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa ->3+1-1=3
n often the understanding of part-whole relations in addition or
subtraction tasks (Canobi, Reeve & Pattison 2002; Robinson, Niowski & Gray, 2006, Wilkins, Baroody & Tiilikainen 2001)
6.10.16 Pirjo Aunio
Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen – matemaattiset symbolit n Vertailun symbolit alkuopetuksessa
n mikä on suurempi kuin (>)
n pienempi kuin (<),
n yhtä suuri kuin (=)
n eri suuri kuin (≠)
Pirjo Aunio
Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen – paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä n Kun lapsi alkaa käyttää suurempia lukuja kuin
yhdeksän täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa, esimerkiksi onko se ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla.
2 23
233
2333
6.10.16 Pirjo Aunio
Lukumääräisyyden taju n kykyä hahmottaa lukumääriä ilman kieleen perustuvaa
laskemista n lukumääräisyyden tajua pidetään
perustavimmanlaatuisena matemaattisena kykynä, jonka päälle kielellinen (kulttuurinen) matemaattinen taito rakentuu
(Dehaene, 1997/2011; Lipton & Spelke 2003)
6.10.16 Pirjo Aunio
Lukumääräisyyden taju (2)
n Myötäsyntyinen kyky lukumäärien hahmottamiseen n Ei laskemista vaan suhteellinen, epätarkkaa, lukumäärien
hahmotuskyky n Aistikanavasta riippumaton kyky n Mitä suurempi ero lukumäärien välillä on, sitä helpompaa
on ne erottaa toisistaan. n Kyky näyttää paranevan kohtuullisesti aina
varhaislapsuuteen -> kehitys tasaantuu ei muutu täysin tarkaksi -> ainoa keino tarkkaan määrän hahmottamiseen on kieli ja laskeminen.
6.10.16 Pirjo Aunio
Mitkä taidot todettu hyviksi ennustajiksi?
n Pitkittäistutkimuksista (viimeisen 10 vuoden aikana) tietoa, mitkä taidot ennustavat myöhempää matematiikan osaamista
6.10.16 Pirjo Aunio
Tavalliset lapset
1) Esiopetusikäisen lapsen lukujonotaidot ennustavat hyvin myöhempää yhteen- ja vähennyslaskun taitoa
2) Spontaani lukumäärien havaitseminen ja lukumääräisyyden taju nuorilla lapsilla ennustaa myöhempää lukumäärän laskemisen taitoa.
3) Yleinen matematiikan osaaminen ennen kouluikää ennustaa hyvin myöhempää aritmetiikan osaamista koulussa.
6.10.16 Pirjo Aunio
Lapset, joilla oppimisvaikeuksia
1) Lukumäärän laskutaito esikoulussa on hyvä ennustaja myöhemmälle matematiikan osaamiselle.
2) Lapsilla, joilla on matematiikan ja/tai lukemisen vaikeuksia - todennäköisesti vaikeuksia kaikkien taitoryppäiden kehityksessä - erityisesti: laskuprosessien ymmärtämisessä, aritmeettisten faktojen muistamisessa ja aritmeettisten strategioiden käyttämisessä
3) Ristiriitaiset tulokset koskevat lukumäärän laskutaidon kehitystä
lapsilla, joilla on kielen oppimisen vaikeuksia. - Osa raportoi, että vaikeuksia laskutaidoissa ei ole - Toiset taas, että esimerkiksi lukujonon hallinta on heikkoa nuorilla dysfasia
lapsilla.
Heikkous lukumääräisyyden tajussa
- Potentiaalinen selittäjä vaikeille matematiikan oppimisvaikeuksille (Mazzocco, Feigenson & Halberda 2011a; Price & Ansari 2013)
- Estimointiin keskittyvä lukumäärän ymmärräys (i.e., approximate number system) ennustaa myöhempiä taitoja (Libertus, Feigenson & Halberda 2011; Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011b)
- Onko kyseessä mentaali mallinnus numerosymboleista vai ei-symbolinen lukumäärän representaatio? (De Smedt, Nöel, Gilmore & Ansari, 2013)
52
Pirjo Aunio
Aunio, P., Laine, A. & Räsänen, P. (manuscript in preparation) Development of mathematical skills in 9-12 years old children
Pirjo AUnio 53
Kehityksestä 9-12 vuotiaiden ikäryhmässä n Lapset, joilla matamaattisia oppimisvaikeuksia
ikäryhmässä 9-12 v: n On pulmia etenkin perusaritmeettisissa taidoissa –
sujumattomuus (e.g. Geary 2014, Kucian & von Aster 2014)
n Syy voi olla poikkeavasta neurologisesta toiminnasta lukumäärillä operoiminen on vaikeutunut (e.g. Price & Ansari, 2013)
n Pulmia sanallisissa tehtävissä (syynä heikot aritmeettiset taidot vai kielellinen pulma)
Tutkimuksen tavoite ja menetelmä
n Mitkä ovat keskeiset matemaattiset taidot, jotka kehittyvät ikäryhmässä 9-12?
n Vaihe 1: n Systemaattinen luenta arviointivälineet, joilla mitataan lasten
(9-12v) matemaattisia taitoja
n Tehtävien luokittelu
n Vaihe 2:
• Pitkittäistutkimuksien analyysi, mitä on tehty koskien matemaattisten taitojen kehitystä ikäryhmässä 9-12 y.
• ennustearvot
Vaihe 1– arviointivälineet
Finnish 1 Räsänen (2005) Banuca. Lukukäsitteen ja laskutaidon
hallinnan testi. 7-9 years old children. 2 Räsänen (2004) RMAT. 9-12 years old children. 3 Häyrinen, Serenius-Serve & Korkman (2013)
Lukilasse-2. 7-12 years old International 1 Butterworth (2003) Dyscalculia Screener. 6-14 years. 2 Woodcock, McGrew & Mather (2001; 2007) Woodcock-
Johnson Test of Achievement. 2-90+ years 3 Von Aster, Weinhold Zulauf & Horn (2006) ZAREKI-R
(n 7-16 y.) leerjaar 3-> 2 klas voortgezet onderwijs
Banuca RMAT Lukilasse Comparison bw numerosities (Lukumäärien vertailu)
Numerosity-symbol-number word (Lukumäärä-symboli-lukusanan yhteys)
Symbol-number word (symboli-lukusanan yhteys)
Continue the number word sequence (Lukujonon jatkaminen ja ymmärtäminen)
Continue the number word sequence; natural numbers, fractions, desimal numbers (lukujonon jatkaminen; luonnolliset luvut, murtoluvut, desimaaliluvut)
Addition and substraction without manipulatives (Yhteen- ja vähennyslaskut; päässälaskut)
Addition and substraction without manipulatives (Yhteen- ja vähennyslaskut; päässälaskut)
Addition and substraction without manipulatives (Yhteen-ja vähennyslaskut; päässälaskut)
Addition and substraction; algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut; allekkain)
Addition and substraction; algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut; allekkain)
Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; päässälaskut)
Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; päässälaskut)
Muiltiplication and division, algorithm (Kerto- ja jakolaskut; allekkain, jakokulmassa)
Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; allekkain, jakokulmassa)
Dyscalculia Screener WJ test of achievement III
Zareki-R-NL
Number size (Lukumäärien vertailu) Number comparison, manipulation,(what is bigger?)
Number sequence skills, backwards
Number-number word –numerosity relations (reading arabic numbers, writing numbers from dictation)
Mental numberline
Enumeration skills
Quantitative concepts Digit span, repeating said number
Addition (no manipulatives)
Calculation: addition, subtraction, division, algorithms, natural numbers, fractions, decimal numbers
Addition, subtraction and multiplication without manipulatives
Multiplication (no manipulatives)
Math Fluency: addition, subtraction, multiplication without manipulatives
Applied problems (counting numerosity, arithmetics, money, temperature, clock, percent, area, volume)
Verbally given problems, addition and subtraction, digit span, repeating said numbers
Vaihe 1 – alustavia tuloksia
n Arviointivälineissä mitattaan yleensä n Yhteenlaskua ja kertolaskua
- Myös vähennyslasku ja jakolasku
n Päässälaskua pienillä luvuilla (alle 100 )
n Joskus myös sanallisia tehtäviä
Authors Year
Name of article
Hecht, S., Torgensen, J., Wagner, R. & Rasho5e, C.
2001 The rela;ons between phonological processing abili;es and emergining individual differences in mathema;cal computa;onal skills: A longitudinal study from second to fiKh grades. Journal of Experimental Child Psychology, 79,2,192-‐227.
Mazzocco & Kover 2007 A longitudinal assessment of execu;ve func;on skills and their associa;on with math performance. Child Neuropsychology 13 18-‐45.
Geary, D.C. 2011 Cogni;ve predictors of achievement growth in mathema;cs: 5 year longitudinal study. Developmental Psychology 47 (6) 1539-‐1552.
Swanson, H.L.
2011 Working memory, a5en;on and mathema;cal problem solving: A longitudinal study of elementary school children. Journal of Educa;onal Psychology, 1-‐17.
Zheng, G., Swanson, H.L. & Marcoulides, G.
2011 Working memory components as predictors of children's mathema;cal problem solving. Journal of Experimental Child Psychology, 481-‐498.
Alloway, T & Passolunghi, M C 2011 The rela;onship between working memory, IQ, and mathema;cal skills in children
Alloway T P. & Alloway, R. G. 2010 Inves;ga;ng the predic;ve roles of working memory and IQ in academic a5ainment. Journal of Experimental Child Psychology, 20-‐29.
Vukovic, R.K. & Lesaux, N.K. 2013 The language of mathema;cs: Inves;ga;ng the way language counts for children's mathema;cal development. Journal of Experimental Child Psychology 115, 227-‐244.
Vaihe 2: alustavia tuloksia
n Nyt kognitiiviset komponentit ja matematiikka n Verbal problem solving and working (Lee, Swee, Fong, Ee-
Lyn & Zee-Ying 2004; Swanson & Sachse-Lee 2001; Swanson 2004;Swanson et Lee 2011; Fuchs et al 2006; Lee et al. 2009; Passolunghi, Cornoldis & Deliberto 1999; Zheng 2011)
n Vain muutamassa tutkimuksessa ennustetaan matematiikan taitoja toisilla matemaattisilla taidoilla (Landerl, Bevan & Butterworth 2004; Locuniak & Jordan 2008; Mazzocco & Thompson 2005)
61
YKSILÖLLISTEN EROJEN SELITTÄMINEN MATEMAATTISESSA OSAAMISESSA
Katsaus suomalaiseen nykytutkimukseen
62
Katsaus (Lee & Aunio, manuscript in process)
n Viimeiset 15 vuotta n Kv-julkaisut
n Kehityksen (osaamisen) selittäminen n 33 artikkelia
Pirjo Aunio 63
Muutama yleinen huomio
n Matemaattisten taitojen kehityksen tutkimusta tehdään useassa ryhmässä ja yliopistossa:
n Jyväskylän yliopisto (Aunola et al., Räsänen et al. Koponen et al.)
n Turun yliopisto (Kyttälä et al., Hannula-Sormunen et al.)
n Itä-Suomen yliopisto (Björn et al., Hakkarainen et al., )
n Helsingin yliopisto (Aunio et al.)
n 4-9 vuotiaat ja 15-16 -vuotiaat
Pirjo Aunio 64
Tuloksia koskien 4-9-vuotiaita lapsia
n Kyttälä et al. (2003) ja Kyttälä (2013) osoittivat, että 4-6 –vuotiaana erityisesti visuospatiaalista työmuistia tarvitaan kun ratkaistaan lukumäärän laskemisen tehtäviä ja sanallisia tehtäviä (yksinkertaisia yhteen- ja vähennyslaskuja)
n Kyttälä et al. (2010) osoittivat, että mikäli lapsella oli 4-6 –vuotiaana heikkoutta matemaattisissa varhaistaidoissa hänellä oli heikoutta laajemmin kognitiivisessa osaamisessa (työmuisti, kielen osaaminen, joustava älykkyys)
65
Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (1)
n Aunola et al. (2004) ja Aunio & Niemivirta (2010) osoittivat, että varhaiset matemaattiset taidot, jotka on mitattuna ennen koulun alkua ennustaa hyvin osaamista ensimmäisellä ja toisella luokalla
n Erot lasten välillä kasvoivat koulun alun jälkeen
n Aunio et al. (2015) raportoi, että lapset, jotka aloittivat esikoulun heikoilla matemaattisilla taidoilla olivat heikkoja myös esikoulun lopussa, eivätkä tavoittaneet tavallisesti osaavien ikätoverien osaamistasoa.
n Hannula-Sormunen et al. (2015) lisää, että spontaani lukumäärien havaitseminen ennen koulua ennustaa hyvin myöhempää matemaattista osaamista
66
Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (2)
n McMullen et al. (2016) tulokset osoittavat, että lasten spontaani fokusoiminen lukumääriin on hyvä ennustaja myöhemmälle rationaalilukujen osaamiselle
n McMullen et al. (2014) lisäävät, että pienten lasten spontaani kyky kiinnittää huomiota lukumäärien suhteisiin ennustaa hyvin myöhempää murtolukujen osaamista.
n Zhang et al (2014) tutkimus osoitti, että kirjoitettu kielitaito on tärkeää varhaisille aritmetiikan taitojen kehitykselle
n Björn et al. (2016) toteavat, että luetun ymmärtämisen taidot ovat tärkeä osa matemaattista ongelman ratkaisua
67
Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (1)
n Aunola et al. (2006) osoittivat, että tehtäväorientoituminen matemaattisiin tehtäviin jo ennen koulun alkua on merkityksellinen, koska korkea matematiikan osaaminen koulun alussa nosti tehtävä orientoitumista, joka ennusti osaamista toisen luokan alussa
n Opettajien toiminta vaikuttaa lasten tehtävä orientoitumiseen
n Viljaranta et al. (2009) täydentää edellistä tulosta raportoimalla, että mitä enemmän lapset raportoivat tehtävä orientoitunutta motivaatiota esikoulun alussa sitä korkeampi oli heidän artimeettinen osaaminen esikoulun lopussa
- Mitä parempi aritmeettinen osaaminen, sitä kiinnostuneempia lapset olivat matematiikasta
Pirjo Aunio 68
Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (2)
n Aunola et al. (2003) raportoivat, että vanhempien usko lapsen yleiseen kouluosaamiseen lisäsi lapsen tehtäväorientoitunutta toimintaa ja ennusti hyvää matemaattista osaamista.
n Vanhempien usko lapsen matemaattiseen osaamisen vaikutti positiivisesti lapsen matemaattiseen osaamiseen
n Slilinskas et al (2010) osoittivat, että mitä alhaisempi oli vanhempien sosio-ekonominen status, sitä enemmän he opettivat lapsiaan matematiikassa ja lukemisessa ensimmäisellä luokalla - Mitä heikommat taidot lapsella oli matematiikassa
koulun alussa, sitä enemmän vanhemmat raportoivat opettavansa myöhemmin
Pirjo Aunio 69
Matemaattiset erot ja kognitiiviset taidot yläkoulussa
n Kyttälä & Lehto (2008) osoittivat, että yläkoululaisten osaaminen matemaattisissa tehtävissä oli yhteydessä joustavaan älykkyyteen ja passiiviseen visuospatiaaliseen työmuistiin
n Kyttälä (2008) toteaa, että sellaiset yläkoululaiste, joilla on oppimisvaikeutta matematiikassa ja lukemisessa, on myös yleisesti vaikeuttaa visuospatiaalisessa työmuistissa
n Ne, joilla oli vaikeuksia vain matematiikassa, heillä oli vaikeuksia vain passiivisen visaalisen informaation samanaikaisessa säilyttämisessä
Pirjo Aunio 70
Matemaattiset erot yläkoulussa
n Hakkarainen et al. (2013, 2015) osoittivat, että matemaattiset ja lukemisen oppimisvaikeudet ennustivat vahvasti kouluosaamista 9-luokan lopussa
n siirtymistä toiselle asteelle
n Koulutuksellista syrjäytymistä
n Hakkarainen et al. (2013) ja Korhonen et al. (2010) toteavat, että lukemisen taidot olivat yhteydessä matemaattisten taitojen osaamiseen 9-luokalla
n Korhonen et al. (2014) löysi yläkoulun päättäjistä kaksi oppimisprofiilia, jotka olivat erityisen herkkiä koulutuksesta syrjäytymiselle - Heikko osaaminen ja akateeminen hyvinvointi
- Osaaminen on ok; akateeminen huonovointisuus
Pirjo Aunio 71
Matemaattiset erot yläkoulussa
n Korhonen et al. (2016) havaitsi eroja tyttöjen ja poikien väillä siinä, miten matematiikka ja kiinnostus olivat yhteydessä oppimisen tavoitteisiin
n Tyttöjen kohdalla kiinnostus matematiikkaan ennusti sitä mitä he tavoittelivat
n Pojilla osaaminen oli parempi ennustaja
n Tytöillä ja pojilla kouluun liittyvä loppuunpalaminen ennusti kiinnostuksen kautta osaamista matematiikassa ja lukemisessa
- Tytöillä suora postiivinen yhteys oppimiseen liittyviin tavoitteisiin
Pirjo Aunio 72
Matemaattiset erot yläkoulussa
n Niemivirta ja Tapola (2009) n Minäpystyvyys + kiinnostus ongelmanratkaisutehtävässä
n Minäpystyvyys ja kiinnostus korreloi positiivisesti
n Kun osaamisen taso kontrolloitiin, alukuperäinen minäpystyvyys ja muutos kiinnostuksessa ennusti tehtävän suoritustasoa
n Kyttälä & Björn (2010) toteavat, että matematiikkaan liittyvä ahdistuneisuus (anxiety) on enemmänkin opetuksellinen lopputulos kun oppimiseen vaikuttava tekijä 14-vuotiailla nuorilla
- Vaikka ahdistuneisuus ei ennusta osaamista, se on uhka hyvinvoinnille kaikissa osaamisryhmissä
73