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Cilindro
Matemática 2Pré vestibular Frei SeráficoProf.: Thiago Azevedo
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Cilindro
gg
eixo
90º90ºBase
Base
O**
O**R
h
A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.
R é raio da baseh é alturag é geratriz
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CilindroCilindro Circular RetoCilindro Circular Reto
OO**
g gh1) o eixo é perpendicular
aos planos das bases.
R DC
ou Cilindro de Revoluçãoou Cilindro de Revolução
R
BAOO’’
**
2) g = h
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Cilindro
A B
D C
A B
D C
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
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Cilindro
A B
D C
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
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Cilindro
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
SeçãoSeçãoMeridianaMeridianaA
B
C
DOO**
OO’’
**h Se ABCDSe ABCD
é um é um quadrado quadrado
cilindro cilindro eqüiláteroeqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em queque h = 2Rh = 2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
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Cilindro
Planificação :
Rx
h
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Cilindro
Planificação :
Rx
h
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Cilindro
Planificação :
Rx
h
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Cilindro
Planificação :
Rx
h
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Cilindro
Planificação :
R
h
x
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Cilindro
Planificação :
R
h
x
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Cilindro
Planificação :
R
h
x
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Cilindro
Planificação :
R
h
x
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Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 36: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/36.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 37: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/37.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 38: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/38.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 39: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/39.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
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Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 41: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/41.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 42: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/42.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 43: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/43.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 44: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/44.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 45: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/45.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 46: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/46.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
![Page 47: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/47.jpg)
Cilindro
Planificação :
R
h
x
R
R
2R
![Page 48: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/48.jpg)
Cilindro Áreas e VolumesÁreas e Volumes
AALL = 2 = 2 Rh RhAALL = 2 = 2 Rh Rh
At = AL+ 2
Ab
At = AL+ 2
Ab
V = R R22. hV = R R22. h
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22AAbb = = R R22Área Base( Ab )
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OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos (BASES) e congruentes através de segmentos de reta.
a
b
c
aresta lateral
Face lateral
aresta da baseBase
Obs: a, b e c são as dimensões do prisma.
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Tipos de prismas retos
Prisma triangular
Prisma Quadrangular
Prisma Hexagonal
Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.
Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.
Prisma Pentagonal
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Polígonos Regulares
Quando o prisma é reto e suas bases são polígonos regulares, o prisma é
denominado regular.
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Fórmulas dos Prismas
face) cada de (Áreafaces) de (nºA lateral
baselateraltotal A.2AA
.hAV base
Área Lateral
Área Total
Volume
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PITÁGORAS
PITÁGORAS
Caso Especial: Paralelepípedo
a
b
c
c
bd
Dc
Note que em um paralelepípedo podemos tomar qualquer uma das
faces com base.
Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo.
cbcabaAt ..2..2..2
At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
Área Total
V = Ab.h V= a.b.c
Volume
d2 = a2 + b2
Diagonal da base
D2 = c2 + d2
Diagonal do Paralelepípedo
D2 = a2 + b2 + c2
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V = AB . HV = a2 . a
Caso Especial : Cubo
a
a
a
a
a
a
a
d
D
Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.
Todo cubo é um paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é
cubo. (Somente quando a = b = c).
Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.
AB = a² AL = 4a²
AT = 6a² V = a³
Área da Base (AB) Área Lateral (AL)
Área Total (AT) Volume (V)
2d a
3D a
Diagonal da Base (d)
Diagonal do Cubo (D)
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![Page 56: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/56.jpg)
UFMG- Observe a figura:
Essa figura representa uma piscina cujo fundo é inclinado. As faces ABCD e EFGH são trapézios retângulos e as demais são retângulos. Determine o volume total da piscina;
![Page 57: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/57.jpg)
(UFV) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20m de comprimento, 0,50m de largura e 2,00m de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1m. Assim é CORRETO concluir que o volume da pedra, em m³, é?
![Page 58: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/58.jpg)
![Page 59: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/59.jpg)
O**
h
90º90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
![Page 60: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/60.jpg)
Cone Circular Reto
OO
**
g2) No VOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
gg2 2 = h= h22 + R + R22
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
![Page 61: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/61.jpg)
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados. A
B C
A
B C
![Page 62: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/62.jpg)
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.A
B C
![Page 63: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/63.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
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4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
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O VBA é a seção meridiana do cone.
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
OO** AB
V
g
2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é
eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um
Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..
g=2Rg=2R
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Planificação do Cone Reto
Rx
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto
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Planificação do Cone Reto :
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![Page 102: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/102.jpg)
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2RR
Angulo
==2R g
Planificação do Cone Reto
![Page 103: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/103.jpg)
AALL = = R g R g AALL = = R g R g
At = AL+ 2
Ab
At = AL+ 2
Ab
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22 AAbb = = R R22Área Base( Ab )
Áreas e VolumeÁreas e Volume
V = R R22 hV = R R22 h
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![Page 104: Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102819/56814dfd550346895dbb6a5c/html5/thumbnails/104.jpg)