Matemática Básica(Ing.) 1
Sesión 10.2
Vectores en el Plano
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Práctica calificada N°3Hora: sábado 24 de 9:00 a 11:00
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Habilidades
1. Define y representa vectores en dos dimensiones.
2. Calcula la magnitud de un vector.
3. Efectúa operaciones con vectores.
4. Define y representa vectores unitarios.
5. Determina los componentes de un vector utilizando su ángulo de dirección.
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Habilidades
6. Define el producto punto de vectores y deduce sus propiedades.
7. Calcula el ángulo entre dos vectores.
8. Define en interpreta la ortogonalidad entre dos vectores.
9. Determina la proyección de un vector sobre otro.
10. Descompone un vector en componentes perpendiculares.
11. Aplica los vectores a situaciones reales.
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Consideraciones previas
http://www.acienciasgalilei.com/videos/vectores.htm
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Introducción
¿ Cómo podemos determinar la fuerza F con la cual se desliza el niño por el plano inclinado, si el peso combinado del niño y del trineo es de 140 kilos fuerza?
¿Qué fuerza T debe realizar una persona si desea jalar el trineo para que este no se deslice ?
F
W
N
300
T
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Es cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real.
Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.
Magnitud Escalar
Magnitud Vectorial
Conceptos previos: Magnitudes
Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección.
Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc.
El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector.
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Definición de Vectores bidimensionales
Un vector bidimensional v es un par ordenado denúmeros reales, expresados en forma decomponentes como a; b. Los números a y b sonlas componentes del vector v.
La representación estándar del vector a; b es la flecha del origen al punto (a; b). La magnitud de ves la longitud de la flecha y la dirección de v es ladirección en la que apunta la flecha.
El vector 0 = 0; 0, llamado vector cero tienelongitud cero y no tiene dirección.
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Un vector bidimensional v es un par ordenado de números reales .
v = se llama vector deposición, cuyo punto iniciales el origen (0; 0).
Magnitud de v: se denota por o .v v
Dirección de v: es el ángulo que forma la flecha con el semieje positivo de las abscisas.
ba;
ba;
Vectores bidimensionales
Gráficamente:
(a; b)
y
x
vect
or v
componente a(0; 0)
com
pon
en
te b
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Regla terminal menos el inicial (TMI)
Si una flecha tiene punto inicial (x1; y1) y
punto terminal (x2; y2), representa al vector
x2-x1; y2-y1.
y
x
vect
or v
(0; 0) x1 x2
y1
y2
P
QPunto inicial P(x1; y1)
Punto final Q(x2; y2)
v = Q – P
v = x2-x1; y2-y1
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Magnitud de un vector
Si el vector v se representa mediante la flecha de (x1; y1) a (x2; y2), se tiene: 1212 ; yyxx V
212
212 )()( yyxx v
22 ba vSi v = a; b , entonces:
y
x
|v|
(0; 0)
P(x1; y1)
Q(x2; y2)
a
b
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Ejercicios
Sean P = (-2, 2), Q = (3, 4), R = (-2, 5) y S = (2, -8)
Determine las formas en componentes y la magnitud del vector, cuando:
a) RS
b) PS
c) (√2)PR
d) PS – 3PQ
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Vectores unitarios
Un vector u con longitud es un vector unitario
1u
Vector unitario en la dirección de v:
vvv
vu
1
|u|=
1
v
siempre y cuando v no sea el vector cero.
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Vectores unitarios canónicos
Los dos vectores unitarios i = 1; 0 y j = 0; 1son los vectores unitarios estándares o canónicos.
Cualquier vector v puede escribirse como unaexpresión en términos de los vectores unitariosestándar.
v = a; b
= a; 0 + 0; b
= a1; 0 + b0; 1
= ai + bj
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Ángulo de dirección
Si v tiene un ángulo de dirección, lascomponentes de v puede calcularse utilizando lasiguiente fórmula:
sen;cos vvv
sen;cosvv
u
v
y
xcosv
senvEl vector unitario en la dirección de v es
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Ejercicios
Determine un vector unitario en la dirección delvector dado:
a) v = 1; -1
b) w = 5i + 5j
Determine la forma de los componentes del vector v:
x
y
14
55°
c) d)
x
y33
136°
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Producto punto de vectores
El producto punto o producto interno oproducto escalar de
u = u1; u2 y v = v1; v2 es:
u . v = u1v1 + u2v2
Propiedades:
Sean u, v y w vectores, y sea c un escalar.
1. u.v = v.u2. u.u = |u²|3. 0.u = 0
4. u.(v + w) = u.v + u.w (u + v).w = u.w + v.w5. (cu).v = u.(cv) = c(u.v)
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Ángulo entre vectores
ºº 1800
y
0 rad
u
v
u vcos
u v
1 u v
cosu v
Si es el ángulo entre los vectores no nulos u y v, entonces:
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Vectores ortogonales
Los vectores u y v sonortogonales sí y sólo si:
90
u
v u.v = 0
Resolver ejercicios 2, 4, 6 y 8 de la página 519 y14, 16, 18, 22 y 24 de la página 520.
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Proyección de un vector sobre otro
vv
vuuv
2Proy
Si u y v son vectores no nulos, la proyección deu sobre v es:
S
v
u
P
Q
R
Los vectores u = PQ,v = PS y el vectorproyección de u sobrev, PR = proyvu.
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Ejercicios
Determine la proyección de u sobre v.Luego escriba u como una suma de dos vectores ortogonales, uno de los cuales sea proyvu.
1. u = 3; -7, v = -2; -6
2. u = -2; 8, v = 9; -3
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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios de la sección
6.1 y 6.2
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Importante