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MATEMÁTICAEnsino Fundamental, 9º Ano
Equação do 2º grau resolução
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Tem-se observado que uma abordagem das equações do segundo grau apenas pela aplicação direta da fórmula de Bhaskara termina por provocar dificuldades posteriores. Os alunos acabam tomando-a como método único e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de resolver o problema. Assim, é recomendável que, nessa etapa, os alunos sejam incentivados a resolver equações de segundo grau utilizando a fatoração e o processo de completar quadrados, que, além de serem métodos eficazes podem dar significado à fórmula de Bhaskara. (Base Curricular Comum para as redes públicas do estado de Pernambuco , Matemática, 2008, página 99.)
BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICAS DO ESTADO DE PERNAMBUCO - MATEMÁTICA
No trabalho com a Álgebra é fundamental a compreensão de conceitos como a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)
CONTEÚDOS PROPOSTOS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA NO QUARTO CICLO:
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU
SINTAM-SE TODOS CONVIDADOS A RESOLVER ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
VOCÊS SÃO CAPAZES DE ME RESPONDER QUAL É O NÚMERO QUE ELEVADO AO QUADRADO DÁ 25?
PENSARAM NO NÚMERO 5 NÃO FOI?
PARABÉNS!!!!
EXISTE OUTRO NÚMERO QUE RESPONDE A ESSA PERGUNTA SABIAM?
É O NÚMERO -5, OBSERVEM:
VAMOS CHAMAR ESSE NÚMERO DESCONHECIDO (INCÓGNITA) DE X, LOGO TEMOS A EQUAÇÃO:
X² = 25
PARA X = 5 TEMOS: 5² = 5 . 5 = 25
PARA X = - 5 TEMOS: (-5)² = (-5) . (-5) = 25
OBSERVE QUA A EXPRESSÃO X² = 25 É UMA EQUAÇÃO E COMO O EXPOENTE DA INCÓGNITA É 2, DIZEMOS QUE ELA É DO 2º GRAU E CONSEGUENTEMENTE POSSUI COMO SOLUÇÃO DOIS NÚMEROS.
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OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA
NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0
RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA É O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA.
VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA:
x² - 25 = 0
Adicionando + 25 aos dois membrosx² - 25 + 25 = 0 + 25
x² = 25
Extraindo a raiz nos dois membros√x² = ± √25
x = ± 5
Logo temos:
X’ = - 5 ou X” = + 5
De modo geral, uma equação do tipo x² = c, em que c ≥ 0, tem como
raízes √c e -√c
OBSERVE QUE AS RAÍZES ENCONTRADAS SÃO OPOSTAS.
Geralmente identificamos a primeira raiz por x’(lê-se xis linha) e a segunda por x” (lê-se xis duas linhas).
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
AGORA OBSERVE COM ATENÇÃO:
QUAL É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0?
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:
X² + 36 = 0
Adicionando – 36 aos dois membrosX² + 36 - 36 = 0 - 36
X² = - 36
√x² = ± √-36
Não existe no conjunto dos números reais, ou seja, não existe um número real cujo quadra-do é um número negativo.
X = √-36
Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
VEJA AINDA ESSA OUTRA EQUAÇÃO:
2X² - 18 = 0 RESOLVENDO-A TEMOS:
2X² - 18 + 18 = 0 + 18 Adicionando + 18 aos dois membros
2X² = 18Dividindo os dois membros por 22X² = 18
2 2
X² = 9
Extraindo a raiz nos dois membros
Extraindo a raiz nos dois membros
√x² = ± √9
X1 = - 3 ou X2 = + 3
Observe que podemos indicar também a primeira e a segunda raiz da equação por X1 e X2, respectivamente.
De modo geral, uma equação do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0, pode ser transformada na equação ax² = - c, e esta em x² = - c . a
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VAMOS TENTAR RESOLVER O SEGUINTE PROBLEMA :
Luís tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar um terreno de 90 m² que faz divisa com o que ele já possui. Desse modo, ele ficaria com um terreno retangular de 414 m². Qual é a medida do lado do terreno de formato quadrado de Luís?
REPRESENTANDO O NOVO TERRENO DE LUÍS POR UMA FIGURA :
Problema extraído do livro de Matemática: Bianchini/Edwaldo Bianchini, 7 ed.,São Paulo, Moderna, 2011, página 115.
X
X
90 m²
EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:
X²
A área do terreno na forma de um quadrado corresponde a X².
Luís pretende comprar um terreno de 90 m²
Após a compra Luís ficará com um terreno de 414 m².
X² + 90 = 414
X² + 90 = 414
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RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:
X² + 90 = 414
Adicionando - 90 aos dois membrosX² + 90 - 90 = 414 - 90
X² = 324
√X² = ± √324
X = ± 18
X’ = - 18 OU X’’ = + 18
Extraindo as raízes nos dois membros
COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:
O LADO DO QUADRADO MEDE 18 m.
OBSERVE QUE A EQUAÇÃO X² + 90 = 414 FOI REDUZIDA AO TIPO
X² = C
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AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0
QUAIS SÃO SUAS RAÍZES?INICIANDO A RESOLUÇÃO TEMOS:
X² - 4X = 0 Fatorando o primeiro membro:Colocando o fator comum em evidência.
X.( X – 4) = 0Qual a condição necessária para que o produto entre dois ou mais fatores seja igual?
UM DOS FATORES DEVE SER IGUAL A ZERO!!!!!
LOGO TEMOS:
X = 0
X – 4 = 0
OU
Adicionando + 4 aos dois membros
X – 4 + 4= 0 + 4 X = 4
PORTANTO AS RAÍZES SÃO:
X’ = 0 OU X’’= 4
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RESOLVA O PROBLEMA:Jeny deseja construir dois pomares, uma na forma de um losango e o outro na forma de um paralelogramo conforme indicam as figuras ao lado:
Admitindo que a diagonal maior do losango mede 3x e a menor 2x e que o paralelogramo mede de altura 2x e sua base mede x + 5.
Para que Jeny construa esses pomares com áreas iguais, qual deve ser o valor de x?
Para iniciarmos a resolução do problema devemos lembrar de como se calcula as áreas do losango e do paralelogramo.
Área do losango: A = D . d 2
Área do Paralelogramo: A = B . h
D= diagonal maior d = diagonal menor
B = baseh = altura
VAMOS AGORA EQUACIONAR O PROBLEMA.
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
PARA QUE OS POMARES TENHA ÁREAS IGUAIS ADMITIMOS:
ÁREA DO LOSANGO ÁREA DO PARALELOGRAMO=
LOGO: D . d 2 B . h=
PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA SABEMOS QUE:D = 3x d = 2x B = x + 5 h = 2x ENTÃO:
3X . 2X = (X + 5) . 2X 2
Resolvendo a operação indicada no numerador
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição no segundo membro.
6X² = 2x² + 10x 2
Simplificando a fração 3x² = 2x² + 10x
Adicionando -2x² - 10x aos dois membros
3x² - 2x² - 10x = 2x² + 10x - 2x² - 10x
Resolvendo as operações indicadas
x² - 10x = 0
Fatorando o primeiro membro:Colocando o fator comum em evidência.
x . ( x – 10) = 0
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
X – 10 + 10 = 0 + 10 Adicionando + 10 aos dois membros e resolvendo as operações indicadasX = 10
x . ( x – 10) = 0
A condição necessária para que o produto entre dois ou mais fatores seja igual a zero é que um deles deve ser igual a zero.
LOGO TEMOS:
X = 0
X – 10 = 0
OU
COMO AS MEDIDAS DAS DIMENSÕES DO LOSANGO E DO PARALELOGRAMO DEVEM SER UM NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:
Para que Jeny construa esses pomares com áreas iguais, o valor de x deve ser 10.
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
De modo geral, uma equação do tipo ax² + b = 0, quando fatorada, recai na equação x.(ax + b) = 0.
ax² + bx = 0 = x.(ax + b) = 0
x’ = 0
ax + b = 0 x’’ = - b , com a≠0
a
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QUERO VER AGORA SE VOCÊS CONSEGUEM RESOLVER ESSA EQUAÇÃO:
(X + 1)² = 16Resolvendo mentalmente:
Pense em um número que elevado ao quadrado é igual a 16.
4 e -4 elevados ao quadrado é igual a 16.
PARABÉNS!!!!!! É ISSO MESMO!!!!!
Assim temos: X + 1 = 4 ou X + 1 = - 4
X + 1 = 4
Adicionando - 1 aos dois membros e resolvendo a operação indicada no segundo membro.X + 1-1 = 4-1
X = 3 Aplicando o mesmo procedimento anterior.
X + 1-1 = - 4-1
X = - 5
Logo 3 e – 5 são as raízes da equação (x + 1)² = 16:
verificação: ( 3 + 1)² = 4² = 16
( -5 + 1)² = (-4)² = 16
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
AGORA VEJA QUE CURIOSO:
Desenvolvendo o binômio do primeiro membro da equação (X + 1)² = 16 temos:
( X + 1)² = ( X + 1). ( X + 1) = 16
X² + 2X + 1 = 16
Adicionando - 16 aos dois membrosX² + 2X + 1 - 16 = 16 - 16
X² + 2X - 15 = 0
Observa que (x+1)² é um dos produtos notáveis (quadrado da soma de dois números quaisquer) e também pode ser resolvido de maneira prática: quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Assim a equação (X+1)² = 16 é igual a equação X² + 2X - 15 = 0
Logo 3 e – 5 são raízes das duas equações
Verificação da equaçãoX² + 2X - 15 = 0
3² + 2. 3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 0
(-5)² + 2. (-5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0
Quais são as raízes da equação dada?
Agora resolvam em seu caderno, com o auxílio do professor, a equação: (2x + 6)² = 36
As raízes são 0 e -6
PARABÉNS!!!!!!!!!
VAMOS VER OUTRO MODO DE RESOLVER A EQUAÇÃO ( X + 1)² = 16 :
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
( X + 1)² = 16
Extraindo as raízes nos dois membros√( X + 1)² = ± √16
X + 1 = ± 4
X + 1 = 4
X + 1 = - 4
X + 1 - 1 = 4 - 1
X + 1 - 1 = - 4 - 1
X = 3 X = - 5
Logo as raízes são 3 e - 5
De modo geral, para encontrar as raízes de equações do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 fazemos:
ax + b = √k x = - b + √k a
ax + b = - √k x = - b - √k a
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Problema envolvendo uma equação do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 :
Petrúcio Filho desenhou a planta de um terreno em forma de um quadrado, conforme figura abaixo, e propôs o seguinte desafio a seu irmão Petrus:
Sabendo que a área do terreno é de 81 m², qual é a medida dos lados desse terreno?
x + 6
x + 6
Equacionando o problema:
Como a área do terreno é de 81 m² temos:
Lembre-se: para calcular a área de um quadrado basta elevar um dos lados ao quadrado.
( x + 6)² = 81
Extraindo as raízes nos dois membros√( X + 6)² = ± √81
X + 6 = ± 9
X + 6 = 9
X + 6 = - 9
X + 6 - 6 = 9 - 6
X + 6 - 6 = - 9 - 6
X = 3
X = - 15
As raízes da equação (x + 6)² = 81 são 3 e – 15, mas apenas 3 satisfaz o problema:
O lado do quadrado mede x + 6, substituindo as raízes encontradas temos: 3+ 6 = 9
-15 + 6 = - 9
Como a medida do lado do quadrado deve ser um número positivo, Petrus conclui:
O quadrado tem lados medindo 9 metros.
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
OBSERVE ATENTAMENTE A MULTIPLICAÇÃO ABAIXO:
( x + a ) . ( x + b ) Multiplicando os binômios temos:
x² + bx + ax + a.bFatorando: colocando o fator comum em evidência
x² + ( a + b ) . x + ab
Podemos observar que:
( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab
Dizemos que ( x + a ) . ( x + b ) é a forma fatorada da expressão x² + ( a + b). x + ab
Fatorar significa escrever uma adição algébrica na forma de uma multiplicação.
Observe que na expressão x² + ( a + b). x + ab o coeficiente de x é dado pela soma a + b e o terceiro termo que é independente da incógnita x, é dado pelo produto a.b
Utilizando a observação acima, escreva a expressão x² + 6x + 9 na forma fatorada.
Como o coeficiente de x da expressão x² + ( a + b). x + ab é dado pela soma a + b e o termo independente da incógnita x, é dado pelo produto a.b , temos:
a + b = 6 e a . b = 9
Calculando mentalmente encontramos: a = 3 e b = 3
Então:
x² + 6x + 9
( x + 3 ) . ( x + 3)
Como ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab
3 + 3 3 . 3
VAMOS AGORA UTILIZAR ESSE MODO DE FATORAR PARA RESOLVER ALGUMAS EQUAÇOES DO 2º GRAU:
Observe que x² + 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito: x² + 6x + 9 = ( x + 3)²
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Resolva a equação x² + 10x + 25 = 0
Já sabemos que ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab
Então: a + b = 10 e a . b = 25
Calculando mentalmente: a = 5 e b = 5
Logo, x² + 10x + 25 = ( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0
1º modo de resolução:
( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0
x + 5 = 0 x + 5 = 0 ou
x + 5 - 5 = 0 - 5 x + 5 - 5 = 0 - 5
X’ = - 5 X’’ = - 5
Adicionando – 5 aos dois membros
Para que o produto entre dois fatores seja igual a zero, um dos fatores deve ser zero
2º modo de resolução:
( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0
( x + 5 )² = 0 Extraindo as raízes nos dois membros
√( x + 5)² = ± √0
( x + 5 ) = ± 0
x + 5 = 0
x + 5 - 5 = 0 - 5
x = - 5
Tem duas soluções iguais, logo:
São duas soluções iguais
Logo as raízes são x’ = - 5 ou x ‘’ = - 5
VEJAMOS MAIS UMA EQUAÇÃO:
Verificação: (-5)² + 10 . (-5) + 25 = 25 – 50 + 25 = 0
Perceba que essa equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = 10 e c = 25.
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Resolva a equação x² - 8x + 16 = 81:
x² - 8x + 16 = 81
Observe que x² - 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito e tem a seguinte fatoração: ( x – 4 )²
Logo x² - 8x + 16 = ( x – 4 )² = 81
( x – 4 )² = 81
√( X - 4)² = ± √81
x – 4 = + 9 x – 4 = - 9ou
Adicionando + 4 aos dois membrosx – 4 + 4 = + 9 + 4 x – 4 + 4 = - 9 + 4
x’ = 13 x’’ = - 5
Extraindo as raízes nos dois membros
Verificação:
13² - 8 . 13 + 16 = 169 – 104 + 16 = 65 + 16 = 81
(-5)² - 8.(-5) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81
Lembrem-se dos produtos notáveis: quadrado da soma de dois números quaisquer e quadrado da diferença de dois números quaisquer:( a + b )² = a² + 2ab + b²( a – b )² = a² - 2ab + b²
Lembre-se também como esses produtos notáveis são fatorados de maneira prática:
√a² + 2ab + √b²
( a + b )²VAMOS CONTINUAR RESOLVENDO EQUAÇÕES:
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Quais são as raízes da equação 9x² + 24x + 16 = 169:
Observe que 9x² + 24x + 16 é um trinômio quadrado perfeito que corresponde ao produto notável quadrado da soma de dois números onde fatorando temos :
√9x² + 24x + √16
( 3x + 4 )² = 169
√( 3X + 4)² = ± √169
Extraindo as raízes nos dois membros
3x + 4 = ± 13
3x + 4 = + 13 ou 3x + 4 = - 13
3x + 4 = + 13 Adicionando – 4 aos dois membros3x + 4 - 4 = + 13 - 4
3x = 9Multiplicando os dois membros por 1\31 . 3x = 9 . 1
3 3
3x = 93 3
x = 3Aplicando o mesmo procedimento em 3x + 4 = - 13, temos x = - 17 3
Logo as raízes da equação original são x’ = 3 ou x’’ = - 17 3
Observação: Faça a verificação em seu caderno
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Vamos agora resolver uma equação do 2º grau da forma ax² + bx + c = 0 utilizando o Método de Completar Quadrados criado pelo matemático árabe Al-Khowarizmi.
Considere a equação x² + 6x + 8 = 0
x² + 6x + 8 = 0
Adicionando – 8 aos dois membrosx² + 6x + 8 - 8 = 0 - 8
x² + 6x = - 8 Adicionando 9 aos dois membros para formar um Trinômio Quadrado Perfeito no primeiro membrox² + 6x + 9 = - 8 + 9Trinômio quadrado perfeito
( x + 3 )² = 1
√( X + 3)² = ± √1
x + 3 = 1
x + 3 = -1
x + 3 – 3 = 1 - 3 x = -2
x + 3 – 3 = -1 - 3 x = -4
Logo as raízes são:x’ = -2 ou
x’’ = -4
Dica: Para entender melhor esse método de completar quadrados ver sua interpretação geométrica no site http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-quadrados.html
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Vamos resolver o seguinte problema:
Em um triângulo ABC, a medida da altura relativa à base BC excede a medida de BC em 1 cm. Esse triângulo tem 15 cm² de área.
Qual a medida desse altura?
Equacionando o problema:
Vamos representar a medida, em centímetros, da altura relativa a BC por h e a medida de BC por h – 1.
A
B h - 1 C
h
Área de um triângulo== base . altura
2
Então temos:15 = (h – 1) . h 2
Vamos simplificar essa expressão
Problema retirado do livro MATEMÁTICA Ideias e desafios, de Iracema e Dulce, 17ª Edição, página 90, Saraiva, Sâo Paulo, 2012
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
15 = (h – 1) . h 2
Multiplicando os dois membros por 2 e simplificando15. 2 = (h – 1) . h . 2
2
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração)
30 = (h – 1) . h
30 = h² - h
Adicionando – 30 aos dois membros30 – 30 = h² – h – 30
h² – h – 30 = 0
Equação do 2º grau completa
Resolvendo as operações indicadas
Vamos resolver a equação h² – h – 30 = 0 utilizando uma fórmula de um famoso matemático Hindu chamado Bhaskara.
Para resolver a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0 usamos a fórmula de Bhaskara:
x = - b ± √ b² - 4.a.c 2.a ou x = - b ± √∆ , em que ∆ = b² - 4.a.c 2.aUma condição para a existência de soluções reais é que o discriminante da equação seja maior ou igual a zero. Logo:
Observação: A expressão b² - 4ac representada pela letra grega delta(∆) é chamada discriminante da equação
∆ < 0, então a equação NÃO POSSUI RAIZ REAL∆ > 0, então a equação tem DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES∆ = 0, então a equação DUAS RAÍZES REAIS IGUAIS
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:
h² – h – 30 = 0 Observe que a = 1, b = -1 e c = - 30x = - b ± √∆ 2.a
Inicialmente vamos calcular o valor de nosso discriminante (∆):
∆ = b² - 4.a.c TEMOS
Substituindo os coeficientes a, b e c por seus respectivos valores
∆ = (-1)² - 4. 1 .(- 30)
∆ = 1 + 120 = 121 Resolvendo as operações indicadas
∆ > 0, a equação possui DUAS RAÍZES DIFERENTES
APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA:
Substituindo a, b e ∆ por seus respectivos valores
x = - (-1) ± √121 2.1
Resolvendo as operações indicadas
x = 1 ± 11 2 ASSIM:
x’ = 1 + 11 2
x’’ = 1 - 11 2
ou
x’ = 12 = 6 2
x’’ = - 10 = - 5 2
As raízes da equação são x’ = 6 ou x” = - 5
Como h representa a medida de uma altura, logo h > 0.
Portanto, a raiz -5 não é conveniente.
Conclusão: O triângulo ABC tem 6 cm de altura
Observação: Faça a verificação em seu caderno.
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
VAMOS RESOLVENDO ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS UTILIZANDO A FÓRMUÇA DE BHASKARA:
A) X² + 14X + 49 = 0
APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA:
x = - b ± √∆ 2.a
x = - 14 ± √0 2.1
x = -14 ± 0 2
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (14)² - 4. 1 . 49
∆ = 196 - 196 = 0
∆ = 0, a equação possui DUAS RAÍZES IGUAIS
Observe que a = 1, b = 14 e c = 49
Inicialmente vamos calcular o valor de nosso discriminante (∆):
x = -14 = - 7 2
Logo as raízes são x’ = -7 ou x” = -7, ou seja, a equação tem uma única raiz real: x = -7
B) -5X² + 12X - 14 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (12)² - 4. (-5) . -14
∆ = 144 - 280 = -136
∆ < 0, a equação NÃO TEM COMO SOLUÇÃO UM NÚMERO REAL
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Vamos agora resolver uma equação do 2ª grau utilizando um método criado por um matemático Francês chamado Albert Girard
Albert Girard(1595-1632) demonstrou em seu livro Invention nouvelle em l’algèbra a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação:
1ª Relação: SOMA DAS RAÍZES 2ª Relação: PRODUTO DAS RAÍZES
X’ + X” = - b ou S = - b .
a a
Observação: Ver demonstração dessas relações no site http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm
X’ . X” = c ou P = c . a a
Observe que quando o a = 1 temos X’ + X” = - b e X’ . X” = C
Vamos resolver a equação 2x² - 10x + 12 = 0 utilizando as relações de Girard:
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Na equação 2x² - 10x + 12 = 0 temos a = 2, b = - 10 e c = 12
Segundo Girard:
X’ + X” = - b....
a eX’ . X” = c ..
a
Assim:
X’ + X” = - (-10)....
2 X’ + X” = 5..
X’ . X” = 12 ..
2 X’ . X” = 6..
Podemos encontrar as raízes da equação interpretando essas duas expressões encontradas:
X’ + X” = 5.. X’ . X” = 6..
As expressões nos mostram que existem dois números que somados dá 5 e multiplicados dá 6
QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?
Os números são 2 e 3 PARABÉNS!!!
Assim as raízes são x’= 2 ou x”= 3
VERIFICAÇÃO:
2. 2² - 10 . 2 + 12 = 8 – 20 + 12 = 0
2. 3² - 10 . 3 + 12 = 18 – 30 + 12 = 0
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
Vamos resolver a equação x² + 8x + 15 = 0 utilizando as relações de Girard:
X’ + X” = - b....
a eX’ . X” = c ..
a
Assim:
X’ + X” = - 8....
1 X’ + X” = - 8
X’ . X” = 15 ..
1 X’ . X” = 15
Na equação x² + 8x + 15 = 0 temos a = 1, b = 8 e c = 15
As expressões nos mostram que existem dois números que somados dá - 8 e multiplicados dá 15
QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?Os números são -3 e - 5
Assim as raízes são x’= - 3 ou x”= -5
VERIFICAÇÃO:(-3)² + 8 . (-3) + 15 = 9 – 24 + 15 = 0
(-5)² + 8 . (-5) + 15 = 25 – 40 + 15 = 0
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
ATIVIDADES DE FIXAÇÃO:
1)Resolva as seguintes equações:
a) X² - 225 = 0b) X² + 19 = 100c) 3X² - 13 = 35
2) Determine as raízes destas equações:
a) X² - 8X = 0b) 2X² + 10X = 0c) 3t² - t = 0
3)Determine os valores reais de x que verificam as equações:
a) (X + 3)² = 64b) (X - 5)² = 121c) (X + 11)² = 324
4) Resolva a equação x² - 10x + 21 = 0 utilizando:
a) Fatoraçãob) Completamento de quadradoc) Fórmula de Bhaskarad) Relação de Girard
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GABARITO DAS ATIVIDADES DE FIXAÇÃO:
1) :
a) x’= -15 ou x”= 15b) x’= -9 ou x”= 9c) x’= -4 ou x”= 4
2)
a) x’= 0 ou x”= 8b) x’= 0 ou x”= -5c) t’= 0 ou t”= 1\3
3
a) x’= 5 ou x”= -11b) x’= 16 ou x”= -6c) x’= 7 ou x”= -29
4) x’= 3 ou x”= 7
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
SUGESTÃO DE ATIVIDADEPESQUISA NA INTERNET:Pesquisar problemas em disciplina como Física, Química e Biologia que utilizem em suas resoluções equações do 2º grau como ferramenta.
Observação: Os físicos estabelecem leis que podem determinar a altura h que um objeto atingi em cada instante t, e utilizam a fórmula h = vt – gt² , onde h = altura, v = velocidade inicial do corpo, 2g = aceleração da gravidade e t = tempo decorrido.Considerando h= 20m, v = 25m/s e g= 10m/s² temos:
20 = 25 – 10t² que simplificando é igual a t² – 5t + 4 = 0 2 EQUAÇÃO DO 2º GRAU
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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução
BIBLIOGRAFIA-Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco, 2012.-PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.-Iracema Mori, Dulce Satiko Onaga,Matemática: ideias e desafios, 9º ano,17.ed.-São Paulo: Saraiva, 2012.-Mazzieiro, Alceu dos Santos, Descobrindo e aplicando a matemática: 9º ano,Belo Horizonte: Dimensão, 2012.-Projeto Araribá, matemática obra coletiva, 8ª série, 1 ed.,São Paulo, Moderna, 2006.-Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 8ª série, São Paulo, FTD, 2000.-Bonjorno, José Roberto, Matemática: fazendo a diferença, 8ª série, 1 ed, São Paulo, FTD, 2006.-Giovanni, José Ruy, Matemática pensar e descobrir: o + novo, 8ª série ,São Paulo, FTD, 2002.-www.somatematica.com.br-http://tvescola.mec.gov.br/- http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm-www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html-http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-quadrados.html