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1
Licenciatura em Gestão
Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão
[2]
2007/2008
2
Rendimento = Consumo + Poupança [Aforro]
Aforro = Entesouramento + Investimento Financeiro
Entesouramento = A poupança diz-se entesourada quando émantida sob a forma de moeda [Liquidez; Disponibilidade Imediata].
Investimento Financeiro = Aplicação em Activos que não gozam de disponibilidade imediata [ou, pelo menos, essa disponibilidade está sujeita a certas restrições ou custos], com vista à produção de um novo rendimento.
Noções Fundamentais
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2
3
CREDOR DEVEDOR
Capital
Capital + Juro
Noções Fundamentais
4
Credor– o que cede o capital durante um determinado período de
tempo ficando impossibilitado de o utilizar, devendo como tal ser recompensado através do juro que lhe é devido.
Devedor– o que beneficia do uso desse capital, durante esse período
de tempo, e, como tal, devendo compensar quem lho cedeu através do pagamento de um juro.
Noções Fundamentais
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3
5
Prazo de aplicação do capital
– Período de tempo que decorre entre a cedência do capital e o seu reembolso, acrescido do respectivo juro.
Juro
– Diferença entre o valor entregue ao credor para saldar a dívida e o capital por este cedido.
Noções Fundamentais
6
Taxa de juro
Não é usual definir um valor monetário para o juro devido. O habitual é acordar um valor fixo e referente a um determinado período, a taxa de juro, que nos permite calcular o valor do juro. Assim, é normal falar-se em taxas de juro do tipo:
– 4% ao ano,– 0,9% ao trimestre.
A taxa de juro exige a indicação do período a que se refere. O juro, em cada período de capitalização, é igual ao capital no início do período, multiplicado pela taxa de juro aplicável a esse período (que pode ou não coincidir com o período de referência da taxa).
Noções Fundamentais
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4
7
Regimes de Capitalização
• Regime de capitalização simples Juros são pagos periodicamente. Não há juros de juros (Juro Total = Juro Simples)
• Regime de capitalização dito simplesAcumulação de juros ao capital mas não há juros de juros
• Regime de capitalização composta Juros acumulam ao capital. Há juros de juros (Juro Total = Juro Simples + Juro de Juro)
8
Capital inicial é C0 Taxa de juro no período t é i
C00C0C0×i1C0C0×i2C0C0×i3
C0C0×in..........
Capital - CtJuro - Jt,t-1Momento
iCnJJTn
ttt ××==∑
=− 0
11,Juro Total →
Pago periodicamente
Regime de Capitalização Simples
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5
9
Capital inicial é 100 Taxa de juro no período t é 10%
1000
100101
100102
100103
100104
Capital - CtJuro - Jt,t-1Momento
%JJTt
t,t 1010044
11 ××==∑
=−Juro Total →
Pago periodicamente
Regime de Capitalização Simples - Exemplo
10
Capital inicial é C0 Taxa de juro no período t é i
C00C0 + J1,0 = C0 + C0×iC0×i1C1 + J2,1 = C0 + C0×i + C0×i = C0 +2× C0×iC0×i2C2 + J3,2 = C0 +2× C0×i + C0×i = C0 +3× C0×iC0×i3
Cn-1 + Jn,n-1 = C0 +(n-1)× C0×i + C0×i = C0 +n× C0×iC0×in...............
Capital - CtJuro - Jt,t-1Momento
iCnJJT 0
n
1t1t,t ××==∑
=−Juro Total →
Pago em n
Regime de Capitalização Dito Simples
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6
11
Regime de Capitalização Dito Simples - Exemplo
Capital inicial é 100 Taxa de juro no período t é 10%
1000100 + 10 = 100+ 100×10%101110 +10 =100+ 100×10%+100×10% = 100+2×100×10%102120 +10=100+2×100×10%+100×10%= 100+3×100×10%103130 +10 = 100 +(4-1)×100×10%+100×10% = 100 +4×100×10%104
Capital - CtJuro - Jt,t-1Momento
%101004JJT4
1t1t,t ××==∑
=−Juro Total →
Pago em 4
12
...............
C00
C0 + J1,0 = C0 + C0×i = C0 (1+i)C0×i1
C1 + J2,1 = C0 (1+i) + C0 (1+i) ×i = C0 (1+i)2C1×i = C0 (1+i) ×i2
C2 + J3,2 = C0 (1+i)2 + C0 (1+i)2 ×i = C0 (1+i)3C2×i = C0 (1+i)2 ×i3
Cn-1 + Jn,n-1 = C0 (1+i)n-1 + C0 (1+i)n-1 ×i = C0 (1+i)nCn-1×i = C0 (1+i)n-1 ×in
Capital - CtJt,t-1Momento
Capital inicial é C0 Taxa de juro no período t é i
[ ]1)i1(CJJT n0
n
1t1t,t −+×== ∑
=−
Juro Total →Pago em n
Regime de Capitalização Composta
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7
13
1000
100 + 10 = 100 + 100×10% = 100(1+10%)100 ×10%1
110 + 11 = 100(1+10%) + 100(1+10%) ×10%= 100 (1+10%)2
110×10% = 100(1+10%) ×10%
2
121 + 12,1 = 100(1+10%)2 + 100(1+10%)2 ×10%= 100(1+10%)3
121×10% = 100(1+10%)2 ×10%
3
Capital - CtJt,t-1Momento
Capital inicial é 100 Taxa de juro no período t é 10%
[ ]1%)101(100JJT 33
1t1t,t −+×== ∑
=−
Juro Total →Pago em 3
Regime de Capitalização Composta - Exemplo
14
Juro de Juro
C t
JJt,t-1
JTt
Jt,t-1
Ct-1
3211001010
-110
11011211
121
121,012,133,12,1
133,1
t
10 × 10% =1
i = 10%
21 × 10% = 2,1
Regime de Capitalização Composta
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8
15
JJt,t-1 = i × JTt-1
E como
Então
JTJTtt--1 1 = C= Co o x (1+i) x (1+i) tt--11 -- CC0 0
JJJJt,tt,t--1 1 = i x [ C= i x [ Co o x (1+i) x (1+i) tt--11 -- CC0 0 ] ]
Regime de Capitalização Composta
16
Cn = C0 (1+i)n
...C3 = C0 (1+i)3
C2 = C0 (1+i)2
C1 = C0 (1+i)C0
Capital - Ct
0
1
2
3
n
.....
Momento
Capital inicial é C0 Taxa de juro no período t é i
C0, C1, C2, ... , Cn representam o valor do mesmo capital em momentos diferentes
Cn é o valor futuro de C0 (e de C1, C2, etc), capitalizado à taxa i
C0 é o valor actual de Cn (e de C1, C2, etc), descontado à taxa i
Ck= Cl (1+i)k-l
Doravante será sempre assumido o regime composto, salvo indicação em contrário.
Regime de capitalização composta
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9
17
• O Sr. Esteves efectuou, há dois anos, um depósito a prazo de 10 000 Euros o qual capitalizava semestralmente. Na altura, a taxa de juro semestral em vigor era de 2%. Hoje, passados dois anos, a taxa de juro semestral diminuiu para 1, 5%. Considerando que não se prevê que a taxa vá sofrer alterações, quanto dinheiro deveráreceber o Sr. Esteves, se levantar o seu depósito daqui a 2 anos?
Resposta - 11 488,54 €
Exercício
18
t Ct it,t-1 (1+it,t-1) Ct+1
0 10.000,00 2,00% 1,0200 10.200,001 10.200,00 2,00% 1,0200 10.404,002 10.404,00 2,00% 1,0200 10.612,083 10.612,08 2,00% 1,0200 10.824,324 10.824,32 1,50% 1,0150 10.986,695 10.986,69 1,50% 1,0150 11.151,496 11.151,49 1,50% 1,0150 11.318,767 11.318,76 1,50% 1,0150 11.488,548 11.488,54
Exercício
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19
Exercício:Exemplo de Tabelas Financeiras
20
ExercícioExtracto de Tabelas financeiras, i=2,0%, i=1,5%
10000 x 1,08243 x 1,06136 = 11.488,48
![Page 11: Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão [2] 2007/2008](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051713/5870a7c61a28ab54738bbb41/html5/thumbnails/11.jpg)
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21
Sempre que se opera com capitais respeitantes a diferentes momentos no tempo, temos obrigatoriamente de os referenciar ao mesmo momento:
k t
Ct×(1+i)k-t
Ck×(1+i)t-kC k
Ct
Regra de Equivalênciaentre Valor Actual e Valor Futuro
Duas taxas dizem-se equivalentes se a sua aplicação ao mesmo valor inicial, para o mesmo período de tempo, resulta no mesmo valor final.
22
• Taxa nominal – i(z)
sendo z o factor de conversão da taxa nominal (regra geral anual) para obter a taxa efectiva, isto é, aquela que se aplica para calcular os juros:
semestral2trimestral4mensal12
anual1Período de capitalizaçãoz
Taxas Efectiva e Nominal
zii
)z(
cap. de .per = Taxa efectivano período de capitalização
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12
23
Efeito da Frequência da Capitalização
Frequência #Taxa
proporcionalValor inicial
Valor final
Taxa anual
efectivaAnual 1 10,00% 100.000 110.000 10,000%Semestral 2 5,00% 100.000 110.250 10,250%Trimestral 4 2,50% 100.000 110.381 10,381%Mensal 12 0,83% 100.000 110.471 10,471%Semanal 52 0,19% 100.000 110.506 10,506%Diária 365 0,03% 100.000 110.516 10,516%Contínua 100.000 110.517 10,517%
mk
tkt mR1xx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+
R = taxa de juro nominal;
m = número de subperíodos [Ex (período = ano): Sem =2; Trim = 4; Mês = 12];
k = número de períodos de capitalização .
(i) Capitalização Discreta
0m
Xt+k >∂∂
Efeito da Frequência da Capitalização
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13
Se m ∞
R = taxa de juro nominal;
k = número de períodos de capitalização .e = 2,7182818 [Nº de Neper]
(ii) Crescimento Contínuo
Rk
tktexx =
+
Donde:
Logaritmizando obtém-se:
t
ktRk
xxe +=
( ) ( )k
xlnxlnR tkt−
= +
Ex1:
100.000e10% = 110.517,092R = ln(110.517,092)- ln(100.000) = 10%/ano.
Ex2:100.000e2,5%x4 = 110.517,092R = [ln(110.517,092)- ln(100.000)]/4 = 2,5%/Trim.
Efeito da Frequência da Capitalização
R = taxa de crescimento contínuo (ou instantânea)
rt+1,t = taxa de crescimento discreto
(iii) Relação entre taxas de juro equivalentes nos casos discreto e contínuo
e
Por um lado:
Por outro lado:
Donde:
)r1(xxt,1tt1t ++
+=
R
t1texx =
+
t,1t
R r1e+
+=
( )t,1t
r1lnR+
+= t,1t
R r1e+
=−
Ex1:
100.000e10% = 110.517,092
rt+1,t=e10%-1=10,517092%.
Donde:
100.000(1+10,517092%) = 110.517,092.
Ex2:
100.000(1+10%) = 110.00,00.
R = ln(1+10%) = 9,53101798%.
Donde:
100.000e9,53101798% = 110.00,00.
Efeito da Frequência da Capitalização
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14
27
i: Taxa de juro a preços correntes (dita nominal)g: Taxa de inflaçãoir: Taxa de juro real (a preços constantes)
Taxas de Juro Nominais e Reais
k t
C0
C0×(1+i)C 0
C0×(1+i) / (1+g)
Preços correntes
Preços constantes
1 - )g(1 i)(1 i r +
+=
28
Rendas
Situação, num regime de capitalização composta, em que há lugar a várias transferências de capital (termos/prestações) realizadas de forma regular, no mesmo sentido e em momentos equidistantes no tempo.
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Rendas - classificação
• Valor dos termos– Constantes – Variáveis
• Número de termos– Temporária– Perpétua (Perpetuidade)
• Período– Renda Anual (Anuidade)– Renda Semestral (Semestralidade)– Renda Mensal (Mensalidade)
• Finalidade– Acumulação– Amortização– Remuneração
• Momento de início– Imediata– Diferida
• Localização– Antecipada– Posticipada
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Valor Futuro de uma Renda Postcipada de Termos e Taxa
ConstantesPara efeito de constituição de uma poupança são efectuados periodicamente, com início no momento 1, n depósitos de igual montante, P, os quais são remunerados à taxa efectiva i (o período da renda coincide com o período de capitalização).Pretende-se calcular o valor acumulado até ao momento n (Cn).
i1)i1(PC
n
n−+
⋅=
0 1 2 3 4 5 n
P P P P P
...
P
Juros totais: JTn = Cn – n × PDemonstração: Soma dos termos de uma progressão geométrica.
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16
31
Suponha uma situação semelhante à anterior mas com uma única diferença: o primeiro depósito é feito no momento 0
0 1 2 3 4 5 n
P P P P P
...
P
n -1
i1)i1()i1(PC
n
n−+
×+×=
Valor Futuro de uma Renda Antecipada de Termos e Taxa
Constantes
32
Exercício
O Sr. A vem fazendo depósitos trimestrais de 400 euros desde há 5 anos atrás numa instituição financeira, que remunera os depósitos da seguinte forma:
- Saldos até 5.000 euros 3% por trimestre- Saldos iguais ou superiores a 5.000 euros 1,25% por mês.
a) Calcule o saldo da conta do Sr. A após o 11º depósito.b) Calcule o saldo hoje, logo após o 21º depósito.c) Calcule o total de juros recebidos pelo Sr. A até hoje.d) Hoje o Sr. B pediu um financiamento ao Sr. A de 4.000 euros o qual seria pago através de 16 prestações bimensais, iguais e postcipadas calculadas à taxa de juro 3% por trimestre. Calcule o valor de cada uma dessas prestações.e) Sabendo que a partir de hoje os únicos movimentos efectuados na conta do Sr. A serão os depósitos correspondentes aos recebimentos de B, calcule o saldo da sua conta bancária daqui por 4 anos.
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33
Suponha que é contraída uma dívida no momento 0 (C0) a qual deverá ser totalmente amortizada através de n prestações de igual montante, P, sendo a primeira entregue no momento 1. A taxa efectiva em vigor é i (o período da renda coincide com o período de capitalização).
……..
P P P P P
0 1 2 3 4 n
C0 = i)i1(1P
n−+−⋅ Juros totais: JTn = n × P – C0
Valor Actual de uma Renda Postcipada de Termos e Taxa
Constantes
Demonstração: Soma dos termos de uma progressão geométrica.
34
Valor Actual de uma Renda Postcipada Perpétua
C0 = ∞→nLim
i )i1( 1 P
n−+−⋅
i P =
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18
35
Valor futuro / Actual de uma Renda Postcipada a Taxa Variável
EXERCÍCIO:
O prémio de um concurso consistiu em cinco pagamentos de 10000 euros cada um, a intervalos de um ano. O vencedor investiu sempre prontamente cada um desses pagamentos numa conta que foi remunerada às seguintes taxas:
1º ano: 2%; 2 ano: 3%; 3º ano: 3,5%; 4º e 5º anos: 4%.
a) Qual será o saldo da conta ao completar-se o 5º ano?
b) Se o prémio consistisse num só pagamento, de quanto teria que ser para que o valor final da conta fosse o calculado em a)?
Valor Actual com Crescimento dos Termos da Renda a Taxa Constante
(i) Valor Actual de Uma Perpetuidade com Crescimento
(ii) Valor Actual de Uma Anuidade com Crescimento
giPC0−
=Obs:
1) Numerador reporta-se àdata 1 e não à data zero;
2) g<i.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−−
=N
0i1g11
giPC
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19
37
EXERCÍCIO:
A fim de constituir uma poupança para a sua reforma, um indivíduo decidiu investir todos os anos 5% do seu rendimento anual, com início dentro de um ano, terminando 14 anos depois dessa data de início.
O seu rendimento anual é actualmente de 50 000 € e estima-se que crescerá2% ao ano. Assumindo que a taxa de rendimento do fundo gerado pelo investimento é de 4% ao ano, calcule:
a) O valor actual do investimento.
b) O valor acumulado ao fim de 15 anos.
Valor Futuro/Actual de uma Renda Postcipada de Termos Crescentes a Taxa de Crescimento
Constante
Determinação de N
Resolução em Ordem a N:[Número de Períodos Necessários Para Atingir CN, Partindo de C0.]
(i) Com Um Único Cash Flow
(ii) Com Anuidades( )i1lnCCln
N 0
N
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
( )i1lni*CP
PlnN 0
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
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20
Determinação de i
Resolução em Ordem a i [Yield ou TIR]
(i) Com Um Único Cash Flow [PV e FVN]
(ii) Múltiplos Cash Flows
Processo Iterativo.
1CCi
N1
0
N −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
40
Taxa Interna de Rentabilidade
TIR: a taxa à qual o valor actual de uma série de cash-flows é 0.
Exercício:Um carro cujo preço de venda (a pronto) é de 18000 € é vendido por 36 prestações mensais de 400 €. O comprador deve ainda pagar uma entrada de 5000 € e comissões de 100 € no início de cada um dos 3 anos de prestações. Calcule a TIR.
i = TIR (taxa efectiva mensal) = 0,69%
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41
TAEG - Decreto-Lei nº 359/91, de 21 de Setembro
Artigo 4.ºTaxa anual de encargos efectiva global
1- A taxa que torna equivalentes, numa base anual, os valores actualizados do conjunto dos empréstimos realizados ou a realizar pelo credor, por um lado, e dos reembolsos e encargos realizados ou a realizar pelo consumidor, por outro, designa-se taxa anual de encargos efectiva global, abreviadamente TAEG, e é calculada de acordo com a expressão matemática constante no anexo n.º 1 ao presente diploma, que dele faz parte integrante.
5- No cálculo da TAEG não são incluídas as seguintes despesas: c) As despesas de transferência de fundos, bem como os encargos relativos à manutenção de uma conta destinada a receber os montantes debitados a título de reembolso do crédito, de pagamento dos juros e dos outros encargos, excepto se, não dispondo o consumidor de liberdade de escolha para o efeito, tais despesas forem anormalmente elevadas, sem prejuízo do disposto na alínea a) do número seguinte;
6- Incluem-se igualmente no cálculo da TAEG: a) As despesas de cobrança dos reembolsos e pagamentos referidos na alínea c) do número anterior; b) As despesas de seguro ou de garantia que se destinem a assegurar ao credor, em caso de morte, invalidez, doença ou desemprego do consumidor, o reembolso de uma quantia igual ou inferior aomontante total do crédito, incluindo os juros e outras despesas, e que sejam exigidas pelo credor como condição para a concessão do crédito.
Anexo Id) Os resultados do cálculo serão expressos com uma precisão de, pelo menos, uma casa decimal.
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Exercício:Um carro cujo preço de venda (a pronto) é de 18000 € é vendido em 36 prestações mensais de 400 €. O comprador deve ainda pagar uma entrada de 5000 € e comissões de 100 € no início de cada um dos 3 anos de prestações. Calcule a TIR.
i = TIR (taxa efectiva mensal) = 0,69%
TAEG = 8,54%
PV (400;36;0,56%) = 13000Tx. Anual equivalente a 0,56% mensal = 6,98%
TAEG - Decreto-Lei nº 359/91, de 21 de Setembro
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Determinação de P
Resolução em Ordem a P [Anuidade, Semestralidade, ...]
(i) A Partir de CN
(ii) A Partir de C0
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
i1i1
CPNN
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−
ii11
CPN
0
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Sistemas de Amortização de Empréstimos
Reembolso de Uma Só Vez
Juro Pago Período a PeríodoSinking Fund
Juro Acumulado ao Capital
Sistemas de Amortização Periódica
Sistemas de Pagamentos Constantes (“Sistema Francês”)
Sistema de Reembolsos Constantes
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Reembolso de Uma Só Vezcom Sinking Fund
Sinking fund: quando se constitui um processo de capitalização paralelo com o objectivo de reembolsar uma dívida (num outro processo de capitalização).
Exemplo: Os termos de um empréstimo obrigacionista com reembolso de uma sóvez prevêem pagamentos regulares para um sinking fund, administrado por um trustee. O pagamento pode ser na forma de cash ou então o emitente pode optar por comprar obrigações no mercado e entregá-las ao fundo. No primeiro caso o trustee sorteia obrigações e reembolsa-as ao valor nominal.
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• Decomposição da prestação constante em duas parcelas:• Juro do período (Jt,t-1)• Quota do capital (Mt)
P P P P P
0 1 2 3 4 5
C0 = 10 000
i=10%
Amortização de Empréstimo a Taxa Fixa e com Prazo Fixo Através de Pagamentos Constantes
2637,975 2637,975 2637,975 2637,975 2637,975
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47
Prestação = Quota do capital + juro
2637,975
0 1 2 3 4 5
C0 = 10 000 C1 = 8362,025 C4 = 2398,158C3 = 4578,303 C5 = 0C2 = 6560,253
2637,975 2637,975 2637,975 2637,975
J1,0
1000
M1 = 1637,975
J2,1 J3,2 J4,3 J5,4
457,83656,025 239,816836,203
M2 = 1801,772 M3 = 1981,95 M4 = 2180,145 M5 = 2398,158
Mt = Mt-1 ×(1+i) ∑=
=5
1t0t CM
Amortização de Empréstimo a Taxa Fixa e Com Prazo Fixo Através de Pagamentos Constantes
48
Prestação = Reembolso constante + juro
3000
0 1 2 3 4 5
C0 = 10 000 C1 = 8000 C4 = 2000C3 = 4000 C5 = 0C2 = 6000
2800 2600 2400 2200
J1,0
1000
M1 = 2000
J2,1 J3,2 J4,3 J5,4
400600 200800
M2 = 2000 M3 = 2000 M4 = 2000 M5 = 2000
Mt = Mt-1 ∑=
=5
1t0t CM
Amortização de Empréstimo a Taxa Fixa e com Prazo Fixo Através de Reembolsos Constantes
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Bibliografia
Chaves, C., Maciel, E., Guimarães, P. e Ribeiro, J. (1999), Instrumentos Estatísticos de Apoio à Economia: Conceitos Básicos; McGraw-Hill. [Capítulo 4]
Cadilhe, M., Matemática Financeira Aplicada (1994), Edições Asa, 3ª Edição.
Caderno de Exercícios nº2.
Licenciatura em Gestão
Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão
[2]
FIM