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MATEMÁTICA FINANCEIRAPROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES
COSTA
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Taxa de Juros
Uma taxa de juros, ou taxa de crescimento do capital, é a taxa de lucratividade recebida num investimento. De uma forma geral, é apresentada em bases anuais, podendo também ser utilizada em bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias, e representa o percentual de ganho realizado na aplicação do capital em algum empreendimento.
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Por exemplo, uma taxa de juros de 20% ao ano indica que para cada unidade monetária aplicada, um adicional de R$ 0,20 deve ser retornado após um ano, como remuneração pelo uso daquele capital.
A taxa de juros também pode ser definida como a razão entre os juros, cobrável ou pagável, no fim de um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente, utiliza-se o conceito de taxa de juros quando se paga por um empréstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital emprestado.
Taxa de Juros
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Portanto, pode-se definir o juro como o preço pago
pela utilização temporária do capital alheio, ou
seja, é o aluguel pago pela obtenção de um
dinheiro emprestado ou, mais amplamente, é o
retorno obtido pelo investimento produtivo do
capital.
Taxa de Juros
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Taxa de Juros
Qual a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$420,00 a ser resgatado
por R$570,00 ao final de 2 anos?
Se um capital de R$1.000,00 foi investido a uma taxa de juros de 3% ao mês
qual o valor que o cliente resgatou em um ano de investimento?
Se um cliente aplicou R$2.000,00 em um ano e meio de investimento a uma
taxa de juros de 2% ao mês qual foi o montante resgatado?
Com o capital de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês em três anos quanto eu
resgataria de juros?
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Risco - grau de incerteza de pagamento da dívida, de
acordo, por exemplo, com os antecedentes do cliente e
sua saúde financeira;
Custos Administrativos - custos correspondentes aos
levantamentos cadastrais, pessoal, administração e
outros;
Taxa de Juros
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Taxa de Juros
Lucro - parte compensatória pela não aplicação do
capital em outras oportunidades do mercado, podendo,
ainda, ser definido como o ganho líquido efetivo;
Expectativas Inflacionárias - em economias estáveis,
com inflação anual baixa, é a parte que atua como
proteção para as possíveis perdas do poder aquisitivo
da moeda.
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Taxa de Juros
O Valor do Dinheiro no Tempo:
O conceito do valor do dinheiro no tempo surge da relação
entre juro e tempo, porque o dinheiro pode ser remunerado
por certa taxa de juros num investimento, por um período de
tempo, sendo importante o reconhecimento de que uma
unidade monetária recebida no futuro não tem o mesmo valor
que uma unidade monetária disponível no presente.
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Taxa de Juros
i - taxa de juros para determinado período, expressa em percentagem e utilizada nos cálculos na forma unitária.Ex.: rendimento de dez por cento ao ano i = 0,10 ou 10 % a.a.
n - número de períodos de capitalização.Ex.: aplicação de um capital por 5 meses n = 5
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J - juros produzidos ou pagos numa operação financeira.Ex.: um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano; J = 300,00.
VF - valor situado num momento futuro em relação à P, ou seja, daqui a n períodos, a uma taxa de juros i, denominado Montante ou Valor Futuro. Na HP-12C representada por FV.Ex.: uma aplicação de R$ 15.000, feita hoje, corresponderá a R$ 19.000 daqui a n períodos, a uma taxa de juros i; VF = 19.000.
Taxa de Juros
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Taxa de Juros
R - valor de cada parcela periódica de uma série uniforme, podendo ser parcelas anuais, trimestrais, mensais etc. Na HP-12C representada por PMT.Ex.: R$ 5.000 aplicados mensalmente numa caderneta de poupança produzirão um montante de R$ 34.000 ao fim de n meses; R = 5.000
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Diagrama do Fluxo de Caixa
É uma representação que se usa nos problemas financeiros em que se indica o fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo.
Entrada de recursos (+)
Saída de recursos (-)
1 2 3 4 0
Meses de aplicação
Linha do tempo
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Diagrama do Fluxo de Caixa
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Diagrama do Fluxo de Caixa
Qual a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$420,00 a ser resgatado
por R$570,00 ao final de 5 meses?
Se um capital de R$1.000,00 foi investido a uma taxa de juros de 3% ao mês
qual o valor que o cliente resgatou em três meses de investimento?
Se um cliente aplicou R$2.000,00 em seis meses de investimento a uma taxa de
juros de 2% ao mês qual foi o montante resgatado?
Com o capital de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês em oito meses quanto eu
resgataria de juros?
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Tipos de Formação de Juros
Juros SimplesNo regime de capitalização a juros simples, somente o capital inicial, também conhecido como principal (VP), rende juros é diretamente proporcional ao tempo de aplicação. Assim, o total dos juros (J) resultante da aplicação de um capital por um determinado período n, a uma taxa de juros dada, será calculado pela fórmula:J = VP.i.n
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Juros Simples
A taxa de juros deverá estar na mesma unidade de tempo do período de aplicação, ou seja, para um período de n anos, a taxa será anual.Logo, pode-se calcular o total conseguido ao final do período, ou seja, o montante VF, através da soma do capital inicial aplicado com o juro gerado. O montante pode ser expresso, para este caso, por: VF = VP + J ou VF = VP (1 + i.n)
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Juros Simples
VF = VP + J ou VF = VP (1 + i.n)
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Juros Simples
Variações da Equação básica:
VP= J/i.n
J = VP.i.n
i= J/VP.n
n= J/VP.i
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Juros Simples
Situação Problema1. Um capital de $ 10.000,00 foi aplicado por cinco meses, a juros simples. Calcule o valor a ser resgatado no final deste período à taxa de 4 % a.m.Dados:VP = 10.000n = 5 mesesi = 4% ao mês
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Juros Simples
Valor resgatado são o capital mais os juros do período, ou seja, o montante.Primeiramente podemos calcular os juros:J = VP.i.n => J = 10.000 x 5 x 0,04 = $ 2.000,00Como VF = J + VP, o valor resgatado será: VF = 2.000 + 10.000 = $ 12.000,00
![Page 21: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/21.jpg)
Equivalência de Taxas
Duas taxas de juros são equivalentes se:• aplicadas ao mesmo capital;• pelo mesmo intervalo de tempo.Ambas produzem o mesmo juro ou montante.No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes, ou seja, uma taxa de 12% ao ano é equivalente a 1% ao mês.
![Page 22: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/22.jpg)
Equivalência de Taxas
Situação Problema3. Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.
![Page 23: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/23.jpg)
Equivalência de Taxas
Resolução:Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de dois anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por dois anos, teremos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00Constatamos que o juro gerado é igual nas duas hipóteses, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.
![Page 24: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/24.jpg)
Períodos não Inteiros
Quando o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere à taxa de juros, faz-se o seguinte:I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos.II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente.O juro total é a soma do juro referente à parte inteira com o juro da parte fracionária.
![Page 25: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/25.jpg)
Situação Problema
4. Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que
é
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l
i
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a
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t
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j
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?
![Page 26: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/26.jpg)
Resolução:
Sabemos que em 5 anos e 9 meses são iguais a 5 x 12 meses +
9 meses = 69 meses
Cada semestre tem seis meses totalizando = 11,5 semestres
Ou seja, em 5 anos e 9 meses é igual a 11 semestres e 3 meses,
ou 11,5 semestres.
a) Cálculo do juro:
J= 1000 x 0,12 x 11,5 = $ 1.380,00
![Page 27: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/27.jpg)
Exercício de Juros Simples e taxas equivalentes
![Page 28: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/28.jpg)
Exercício de Juros Simples
![Page 29: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/29.jpg)
Exercício de Juros Simples
![Page 30: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/30.jpg)
Exercício de Juros Simples
![Page 31: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/31.jpg)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
CAPITALIZAÇÁO COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL
PARA PAGAMENTO ÚNICO:
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide
sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o
período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia
exponencialmente em função do tempo.
![Page 32: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/32.jpg)
A simbologia usada será VF para valor futuro ou montante, VP
para valor presente ou capital inicial, n para o prazo ou
período de capitalização e i para a taxa.
A dedução da equação para calcular o montante para um
único pagamento é pouco mais complexa que a capitalização
simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o
seguinte problema:
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado á taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.Dados:VP = 1.000,00 n = 5 mesesi = 4% ao mês = 0,04VF = ?
![Page 34: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/34.jpg)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
mês(t) capital no início do mês (VPt)
juros correspondentes ao
mês (jt)
montante no final do mês (VFt)
1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00
1.040,00
2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60
1.081,60
3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26
1.124,86
4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00
1.169,86
5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79
1.216,65
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
•Algebricamente podemos deduzir que:•VF0 = VP =>montante no momento zero (hoje).•Temos que Montante é Capital mais juros => VF = VP + VP.i, então:VF1 = VP + VP x i = VP(1+i) => montante no final do primeiro período;VF2 = VP(1+i) + VP(1+i) x i = VP(1+i)(1+i) = VP(1 + i)2
VF3 = VP(1 + i)2+ VP(1 + i)2 x i = VP(1 + i)2 (1+i) = VP(1 + i)3
VF4 = VP(1 + i)3 + VP(1 + i)3 x i= VP(1 + i)3 (1+i) = VP(1 + i)4
![Page 36: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/36.jpg)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
•VFn = VP(1 + i)n + VP(1 + i)nx i = VP(1 + i)n(1+i) = VP(1 + i)n
•Para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a fórmula final do montante é dada pela equação:•VF = VP(1+i)n
No exercício anterior podemos fazer:VF = 1.000 (1+0,04 )5 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Situação Problema:1. Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, á taxa de 3% ao mês.Dados:VP = 15.000,00n = 6 mesesi = 3% ao mês =0,03VF=?Solução:VF = P(1+i)n
VF =15000(1+0,03)6 = $ 17.910,78
![Page 38: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/38.jpg)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Cálculo do Juro
•Para calcular somente o juro, temos que:• J = VF – VP => J = VP(1+i)n – VP resultando:•J = VP[(1+i) n -1]Situação Problema2. Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?Dados:VP = 1.000i = 2% a .m.n = 10 meses Solução: J = VP[(1+i)n-1] J = 1000[(1+0,02)-1] = $ 218,99
![Page 39: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/39.jpg)
Exercício de Juros Composto
![Page 40: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/40.jpg)
Exercício de Juros Composto
![Page 41: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/41.jpg)
Equivalência de Taxas – Juro Composto
Duas taxas de juros são equivalentes se:• aplicadas ao mesmo capital;• pelo mesmo intervalo de tempo.Ambas produzem o mesmo juro ou montante.No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% ao ano não é equivalente a 1% ao mês.
![Page 42: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/42.jpg)
Equivalência de Taxas – Juro Composto
Partido deste principio, se tomarmos um capital inicial VP e aplicarmos a juro composto no período de um ano teremos VF = VP(1+ ia) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo período mas capitalizado mensalmente temos VF = VP(1+ im)12
Para que as taxas sejam equivalentes os montantes terão que ser iguais, assim:
VP(1 + ia) = VP(1 + im)12
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Equivalência de Taxas – Juro Composto
Da igualdade acima, deduz-se que:(1+ia) = (1+ im)12
Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal.ia = (1+ im)12 -1Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual.In= 12√ (1+ia) -1=(1+ia)1/12 -1
Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se à taxa diária e vice-versa.
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Equivalência de Taxas – Juro Composto
Exemplos:1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês:ia = (1 + im)12 – 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82%
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano:im = (1 + ia)1/12 –1 = (1,60103)1/2
–1 = 1,04 - 1 ou 4% ao mês
3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia:ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 – 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano
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Equivalência de Taxas – Juro Composto
Exemplos:4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos:it = (1 + i2a)1/8 - 1 = (1,47746 )1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre
5) Determinar a taxa anual equivalente a 1% á quinzena:ia = (1 + iq)24 - 1 = (1,01)24 - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano
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Equivalência de Taxas – Juro Composto
•Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:•Iq=(1+it)q/t-1Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:iq = taxa para o prazo que eu queroit = taxa para o prazo que eu tenhoq = prazo que eu querot = prazo que eu tenho
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Equivalência de Taxas – Juro Composto
Exemplos:
6) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:i183 = (1 + 0,65)183/360 – 1 = 28,99%
7) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês:i491 = (1 + 0,05)491/30 – 1 = 122,23%
8) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre:i27 = (1 + 0,13)27/90 – 1 = 3,73%
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Taxa nominal de juros – incorpora as expectativas de inflação.
Não confundir: taxa nominal de juros, que mede o resultado de uma operação em valor corrente, com taxa nominal (linear) que indica a capitalização dos juros na forma proporcional (juros simples).
A taxa nominal de juros tem uma parte devida à inflação, e outra definida como legítima, real, que reflete os juros reais pagos ou recebidos.
Em matemática financeira, o termo real, indica valores livre de efeitos inflacionários.
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Um investidor aplicou $100.000 e obteve ao final do período um rendimento nominal de 12,8%. A inflação no período foi de 9,2%. Qual o ganho real?◦ Rendimento nominal = $12.800 (100.000 x 0,128)◦ Valor no final do período = $112.800◦ Valor aplicado corrigido pela inflação = $109.200
($100.000 x 0,092)◦ Lucro real em valores monetários = $3.600
($112.800 - $109.200)◦ Retorno real = relação entre o lucro (ganho) e o
valor aplicado corrigido, ambos expressos em moeda de mesmo poder de compra
◦ = 3,6% ($3.600 / $109.200)
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Fórmula de apuração da taxa real:
Substituindo-se os valores do exemplo no cálculo de r, tem-se:
Taxa Real ( r )=1 + taxa nominal ( i )1+ taxa de inflação ( I )
−1
r=1+ 0,1281+ 0, 092
−1=1,1281, 092
−1=0, 03297
r=0, 03297∗100=3,3
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Fórmula de apuração da taxa real:
A partir da expressão acima pode-se calcular a taxa nominal (i) e a taxa de inflação (I):
Taxa Real ( r )=1 + taxa nominal ( i )1+ taxa de inflação ( I )
−1
i=( 1+ r )× ( 1+ I )− 1
I=(1+ i )(1+ r )
−1
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A taxa real pode ser negativa. Exemplo: no caso anterior imagine que o investidor
tivesse aplicado em dólar, e que no período a cotação do dólar aumentou em 7,5% no mesmo período em que a inflação foi de 9,2%. Qual a perda real?◦ Rendimento nominal = $7.500 (100.000 x 0,075)◦ Valor no final do período = $107.500◦ Valor aplicado corrigido pela inflação = $109.200 ($100.000
x 1,092)◦ Perda real em valores monetários = $-1.700 ($107.500 -
$109.200)◦ Perda real = relação entre a perda e o valor aplicado, ambos
expressos em moeda de mesmo poder de compra = -1,56% ($-1.700 / $109.200)r =
1 + var . nominal do dolar1+ taxa de inflação
−1=1+ 0, 0751+ 0, 092
−1=−1, 56
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1. Uma pessoa aplicou $400.000 num título por 3 meses à taxa nominal de 6,5% at. Sendo de 4,0% a inflação deste período, demonstrar os rendimentos nominal e real auferidos pelo aplicador, assim como as respectivas taxas de retorno.
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ren dim ento=400 . 000∗0,065=26 . 000correção=400 . 00∗0, 040=16 . 000ganho=26 . 000−16 . 000=10. 000 /416 . 000=0,02404
r=1+ 0, 0651+ 0, 040
−1=1, 0651, 040
−1=0, 02404
r=0, 02404∗100=2,4
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Utilizada como indexador em contratos de financiamento, e em aplicações financeiras como a caderneta de poupança.
Apurada a partir das taxas prefixadas de juros praticadas pelos bancos na colocação de títulos de sua emissão.
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A TR é calculada e divulgada pelo Banco Central de acordo com a seguinte metodologia:◦ Diariamente os bancos informam as taxas de juros pagas
aos aplicadores em certificados e recibos de depósitos bancários (prefixados), de emissão de 30 a 35 dias;
◦ A média ponderadas destas taxas é a TBF – Taxa Básica Financeira que é o custo médio de captação dos bancos.
◦ Sobre esta taxa o BC aplica um redutor obtendo assim a TR – Taxa Referencial.
◦ O redutor é um instrumento de política econômica. Ao elevar o redutor o BC reduz a remuneração da caderneta de poupança e imprime menor custo ao tomador de empréstimo corrigido pela TR.
◦ Ao diminuir o redutor, incentiva as aplicações em caderneta de poupança e eleva os custos dos empréstimos indexados à TR.
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Modalidade de aplicação financeira mais popular do mercado.
Atrativos: (i) liquidez imediata (o saldo pode ser sacado a qualquer momento), (ii) garantia de pagamento pelo governo, e (iii) isenção de impostos.
Remuneração: TR + 0,5% a m de juros.Creditados mensalmente na conta do
investidor pessoa física e trimestralmente na conta do investidor pessoa jurídica.
O cálculo dos rendimentos tem por base sempre o menor saldo mantido pelo aplicador no período.
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Admita uma aplicação de $7.500 em caderneta de poupança por dois meses. A TR definida para cada mês (na data de aniversário) é a seguinte:◦ Mês 1: 0,6839% am◦ Mês 2: 0,7044% am
Determinar:◦ Saldo disponível do aplicador ao final de cada
período: Mês 1: FV1 = $7.500 x (1,006839) x (1,005) = $7.589,05 Mês 2: FV2 = $7.589,95 x (1,007044) x (1,005) =
$7.680,72◦ Rentabilidade efetiva da aplicação
i = [(1,006839) x (1,007044) x (1,005)2 ] - 1= 2,41% a b Rentabilidade mensal: (1,0241)1/2 – 1 = 1,198% a m
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Capitalização CompostaCapitalização CompostaEXERCÍCIOS
1. (AFC) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva? a) 27,75 %b) 29,50%c) 30 %d) 32,25 %e) 35 %
2. (TCDF) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equivalente composta ao mês de:a) 12%b) 20%c) 22%d) 24%
Taxa Efetiva e Taxa Nom
inal
Taxa deTaxa de
JurosJuros
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DESCONTO
O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente na data da operação, ou seja: D = VF - VP, em que D representa o valor monetário do desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo.
![Page 61: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/61.jpg)
DESCONTO
O desconto é dividido em:a) Desconto Racional (por dentro).b) Desconto Comercial (por fora).
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DESCONTO
a) DESCONTO RACIONAL (por dentro).Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.Dr = VF – VPOnde Dr = Desconto Racional Como VP = VF /(1+i.n)
![Page 63: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/63.jpg)
DESCONTO
Dr= VF*i*n (1+i*n)
Dr = VF – VPOnde Dr = Desconto Racional Como VP = VF /(1+i.n)
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DESCONTO
Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:D = VF.i.n
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DESCONTO
Onde i representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:VP = FV – DD=FV*i*nVL=VN-D
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DESCONTO
Taxa Efetiva de Desconto:È a taxa que remunera de forma efetiva a operação de desconto;
i e= i d1-id
i ´d=i e
1+ i ei e= i d
1-i d
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DESCONTO
SITUAÇÃO PROBLEMA:1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, á taxa de 2,5% ao mês?Dados:VF = 2.000,00n = 90 dias = 3 meses (como a taxa está em mês, devemos transformar o período para essa unidade)d = 2,5% ao mêsD=?Solução:D = VF . d . n => D = 2.000,00 . 0,025 . 3 = 150,00
![Page 68: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/68.jpg)
DESCONTO
. Qual a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?Dados:VF = 1.000,00VP = 880,00n = 120 dias = 4 mesesd=? Solução:D = VF – VP = 1.000,00 – 880,00 = 120,00Isolando a taxa d na fórmula do desconto temos:d = D / (VF . n) => d = 0,03 ou seja, d = 3% ao mês
![Page 69: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/69.jpg)
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num período de tempo.
VF= R [(1+i)n-1] i
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SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
0 1 2 3 n-1 n
R R R R RVF
Perceba que a última parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira parcela é paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de série é chamado de série de termos vencidos, onde a primeira parcela não é efetuada hoje.
![Page 71: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/71.jpg)
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Situação ProblemaUma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?Solução:R = 500 (valor da parcela mensal)i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensaisUtilizando a expressão (1): VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58
![Page 72: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/72.jpg)
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, a partir do montante conhecido, através da seguinte expressão: R = VF* i [(1+i)n-1]
![Page 73: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/73.jpg)
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Situação ProblemaDetermine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos.Solução:n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestresVF = 25.000 (valor futuro)i = 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculoUtilizando a expressão (2), temos:R = 25.000.0,035 / [(1+0,035)20 -1] = 884,03
![Page 74: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/552fc167497959413d8eae27/html5/thumbnails/74.jpg)
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a ser pago em prestações uniformes e periódicas.Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor presente de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação:
VP= VF (1+i)n
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SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
substituindo o VF da expressão (1) na equação anterior determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes como sendo:
VP= R[(1+i)n-1 i(1+i)n
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SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Diagrama do valor presente de uma série uniforme
VP R R R R R
0 1 2 3 (n-1) n
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SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Situação problemaDetermine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendo-se que os juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m.Solução:n = 6 (número de parcelas mensais)R = 200 (valor de cada parcela mensal)i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de cálculo.VP = 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } = 1.015,14
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SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Para a determinação do valor de cada uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) é conhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade.Assim, o valor de R é obtido pela seguinte expressão:
R= VP.i(1+i)n
((1+i)n-1)
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SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
Situação Problema:Uma pessoa adquire um freezer por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensal para um financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m.Solução:Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500;Taxa i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05n = 4 parcelas mensaisUsando expressão (4) temos:R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141
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SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos.
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SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS
Acumulação de CapitalSituação problema:Qual o montante daqui a 8 meses resultante da aplicação de 8 parcelas mensais de R$100,00, a taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje.Esquematicamente temos:
100 100 100 100 100 100 100 100 VF(montante)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
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SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS
Dados:VF = ?n = 12i = 1,5% mêsR = 100 por mês
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Se usarmos a equação VF= R [(1+i)n-1] i o valor de montante será encontrado no momento da última aplicação, nesse caso, no momento “7”. Como desejamos o montante no momento “8” teremos que capitalizar um período a mais, ou seja,VF= R [(1+i)n-1] . (1+i) i assim teremos o montante no final do oitavo mês.
SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS
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SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS
VF= 100[(1+0,015)8-1] (1+0,015) 0,015
Conclusão:Para calcular o Montante de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos utilizar a expressão:VF= R [(1+i)n-1] . (1+i) i
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Valor atual
Situação problema:Um eletrodoméstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra, qual foi o valor financiado?
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Valor atual
Esquematicamente temos:
0 1 2 3 4 5
VP (valor financiado )
100 100 100 100 100 100
6 parcelas mensais Note que a primeira parcela foi paga a vista.
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Valor atual
Dados:VP = ?n = 6i = 5% mêsR = 100 por mês
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Solução:
VP= R [(1+i)n-1] . (1+i) i(1+i)n
VP= 100[(1+0,05)6-1 (1+0,05)=532,95 0,05(1+0,05)6
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Perpetuidade
A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um dividendo anual etc.
VP= R i
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Perpetuidade
Situação problemaDetermine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,0 % a.m. Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (5) chega-se ao seu valor teórico:VP= 1.000 / 0,01 = 100.000
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TAXA INTERNA DE RETORNO
A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa).
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TAXA INTERNA DE RETORNO
normalmente temos um fluxo de caixa inicial (no momento “zero”) que representa o valor do investimento, ou do empréstimo ou do financiamento, e diversos fluxos futuros de caixa representando os valores das receitas, ou das prestações, a equação que nos dá a taxa interna de retorno (TIR) pode ser escrita como segue:
FCoi
FC
i
FC
i
FCFCo
i
FCjNPVVPL n
j
n
j
1111 2
21
1
1
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TAXA INTERNA DE RETORNO
Exemplo:Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de $ 1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de $ 300,00, $ 500,00 e $ 400,00. 0 fluxo de caixa correspondente a essa operação, tomando-se como referência o doador de recursos, é representado como segue:
0 1 2 3
300 500 400
1000
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TAXA INTERNA DE RETORNO
Exemplo:
1000 = 300 + 500 + 400 (1+i)1 (1+i)2 (1+i)3