����������
������ ��������������� ���
���������� �
���� ����������������������
������������
��������������
���������� ���������������������������� �������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ��
���� ���������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� � ������������������ ����� ������� ������������������������������������������������������������������������ � ���� ������ ���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� �
���������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ������ ���� ����������� ���� ����� ������� ���� ������� ���������������������������������������������� ���� � ������������������������������������� ������ ��������������������������������������� ������������������������������������������������ �������������������������������������������� ����!� ���� ����������� ���� ���� ����� �� �������� ������������������������������������������������� ����"��#����$������������������� ������������������������������������������������������������������������������ �!
!������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������� �!!��� ���� ������ ��� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������� �!!� �� ���� �� �������� ��� �� ��� ���������������������������������������������������������������������������� �"!��� ������������� ����������������������������������������������������������������������������������������� �"!�!� %����������������������� ���� ����� ��������������������������������������������������������� �"
"������������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������� �&"��� ����� �� �������� ������������������������������������������������������������������������������������������� �&"� � ����� ������ ��� ������� ������������������������������������������������������������������������������ �&"������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������� �&"�!��������������������'��������� �������������������������������������������������������������������� �&"�"��������������������'�������� �������������������������������������������������������������������� �("�&� ������������������'� �������� ������������������������������������������������������������������� �(
&�� �������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �)&��� ���� �� ���� �������� ���� ������������������������������������������������������������������������������ �)&� ��%����������������� ������������� ���� �� ��� ����������������������������������������������� �)&���� ����� �������� ���� ���������������������������������������������������������������������������������������� ��
���������� ������������*�����+ ������,��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �������� -����.� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����/������%���������0��� ����������������������������������������������������������������������������������������� �!�� %������ ��� 0����������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"�� ���������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "&������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������ &
&���� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &&� �� %������ ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������� &&����1������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������� (
(������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������ )
��������������
���������� ����������������������0������� ������������������������������������������������������������������������������������������������� � ��2���� ������-����� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������� ���� -�3� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �4
����� ���������� �� �������� ����������������������������������������������������������������������������������������� �4�� �� 5�� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �4����� 6���� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
!�� �����+����� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��!���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��!� �� �����+����� ����� ���7���� ����������������������������������������������������������������������������� ��
"������ +�������-����� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� �"&��6�����������������#�8��� ����������������������������������������������������������������������������������� �"(��5�����6���������������������� ���������������������������������������������������������������������������� �&
(����������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������� �&(� ��������8������������� ��������������������������������������������������������������������������������� �((����������9�.��������� ������������������������������������������������������������������������������������� �)
���������� ������������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !�
����� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !��� �� 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� !������ 2���� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� !���!��-����� ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� !
��5���/������5���%�� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ! ��� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !�
����� %����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !��� �����7������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������� !���������7�����8�8��� ����������������������������������������������������������������������������������������������� !!
!��*;�����0��� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� !!!���� %�������� ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������ !!!� �� 1 ������ ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������� !"!���� %�������� ����������� ��������������������������������������������������������������������������������������� !"
���������� ������������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "�
����� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "��� �� 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� "������-����� ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� "
��5����/������%�� ��������������������������������������������������������������������������������������������������� " ����5��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� " � �� 5��� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� "�
��� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "!
������������
��������������
������������������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "(
���� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ "(�� � 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� "(���� -����� ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� "(
��5���/������%�� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ") ��� <;�������������� �� �� ����������������������������������������������������������������������������������� ") � � 5��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ") ���� 5��� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� "�
��� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &4!��-���������-����08=�$����� ������������������������������������������������������������������������������������������ &
!����-��������8=�$���� ����������������������������������������������������������������������������������������������� & !� �� -���� �8=�$���� �������������������������������������������������������������������������������������������������� &
�������� � ��!������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &!
����� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &!����� *�����+ ��� ���,�� ����������������������������������������������������������������������������������������������� &!����� *� ���� �� ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������ &!��!�� 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� &!
�� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &"���5�����*�����+ ���0��,�� ������������������������������������������������������������������������������������������ &&!����������0���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� &&
!���� <���� ���,�� � ������������������������������������������������������������������������������������������������������ &&!� ��-��9����,�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� &(
��������"�#$�����#����%����������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &� �� -����8=�� �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ &�
�&����������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �
����������������������������
���������� ������������������������� �������������
���������� ���������������������������� ������� �� ������ ���� �� ����� ���
�������������������������������������������������������� ���������������� �������������������������������������������
�� ������� ������������ ������������������������ ������������������������������������
!������������"���������������������
#������� ��������� �������������$��������������� ������������������ �����������������������
������������������� ����������� � ������� �
�������������������������������� ��� � �������� "%������� �������� �� �������&���������� ��� ���� ��� � �������������� ����������'���������(%���� ���� ������� ��������������� ����������������������)�������*�������� ��� ���
!����� � �����������(�������������������
+�������������������� ���!�������� ��,����������� ��������
- !.������������ �����������
- &���� ���������������� ��������.���������������������
DE
AB
F
C
����������/�����������0���1�� �����������������
��� ������ ���������������������������- &�������������������� �������� �����
����������������
����������/�����������0���1�� ����������������
���������� ����������������������������,����������������������
- #���� ������������������������� ���2����� ����
A
B
�����������34, #�'������������������������� ��������
���������������������������������54, #�'������������� ���� �������� �����
������ ���� �� � 2����� ���� ��������������������
���������� ��������������������������
������������������'(�����
������������
- 6 7�����������������������������������2����������
��,�����������������- 8��� ������������������������������
�������������������������������������
��� �
� ��∈∈≠
�����
⇒ = ⊂← →⎯
αα α
�9,������������������- 8������������� �����������������
����������������������������:/���������� ������������� ��������������(��������������
A BO
OA⎯ →⎯
��� OB⎯ →⎯
������ ��������������� �����/�- 8��� ���������������������������
������������������������������� �������� ���������������������������(��������������
r
- 8��������������������������� �������� ���������� ������������� ���� ����(�������������
�
� ,���������������������+����������������������7������������
�������������(%�����2����� �������������������� �����������
��,���������������������������� #������������������� ���� ��� �����!
"������� �������������� ������������������ �#$���� �����
%$����&�����
����������&��5;����������� ������(������� ������
���������������3;�������� ������������������� ������<3� 1����������� ����� �� ��� ��� ��� ����
���������� �������, #������������� ���������� �����, 6 7�������������������� ��������
������, 6 7��������������� �������� ���, +����������������� ���� �� �������
��������α���������� ���� ����%�����������α�
���������� ������������������������� ��
������������������'(�����
������������
'��������, =��������������������� ��������������, =��������������������� �������� ����, >�� ���� �� ����������� �� )���� ��� �
������ ��*�� � �.�������������������� ���������>������������ ������������� ? /�� � 7�� ������ ���� ������������� &����
������.����������������������������������7���������.��������
? /�� � 7�� ������ ���� ���������� � ��������� ���� 6������ ������ ����� �.���������������
? /��� 7����������������������� ����&����������.��������2����, =
+������r Pr
∩ =∉
αα� �
<5�������� ������ �������������������� ���� ������ ��� ���� ��� +���� � ���� ����������������������������������0�� ������������������������������������� ����������.������������� ���������� �������� ���������
'�������/����������� ������� ���� ������
������ �������� ����������������� )�!����*�����'����������������#���� �������������� �������������7�
���2�������������������
������@�A�B�������������� �����
����'���������������������#���� ���������� ����������������������
�� ��������� ������������� �����������������
a ba b
∩∃ ⊂ ⊂
⇔α α α��� ��
a��������������������
�����'������������������������
#���� ���������� ������������������������������ �������������������������������
������@����@������������ �������������������(��'������������#���� ����� ���� ��� ���� ������ ���� ���
��������� ���
∃ ⊂ ⊄ ⇔α α α� a � � � � � ��������
���������� ���������������������������
������������������'(�����
������������
���� +�,�������������������-�����1����� ��������� ����� ��� ���� �����+�"����������������������������� ����
�������������6 ������� ����� �����C�� �������������'�����������D��������� �� ��������D��������� ����� ���������� ������ ����C�
������������ ������������������� ��� ���������
D�������� ����� ����� ���������������D���������������������� ����
���� +�,���������'������������������#���� ���������� ������� ������������
�������������������� �� ���)�*��������E��������� � �⊥ ���
r s⊥���'��������*�����#���� ���������� ����������������� ��
������������� �� ���)�*���������E�������� � �⊥ ���
r s⊥
� ������<F��1������������������ ��� ��� G>,���
�������G=,������� �������������� ��, #���� ��������������7�������������
��������� ��������, #���� ����������7����������������
������������� �������, +�����������D��������� ������ ��
������H<������������ ������� ������ ��� ����'��������, =������������ � ��� �����, =������������ �� ����������������
������� ���� �� �������������� ��� ��������'� ��������������2�����
�, >
<9��#������ D�������������G>,����G=,��������� ������
�, G���,���� ��
������ ��
����� ��� ����
�, G���,���� ��
����� ��
������ ��
����������� ���
�, G���,���� ��
����� ��
����� ��
������ ��
����������� ���
, G���,���� ��
������ ��
������� �� �������
�, G ,���� ��
����� ��
������ ��
���������� ���������0�'��������, >�, >�, =, >�, >
���������� ������������������������� ��
������������������'(�����
������������
��������� ���������������� ���������������������.����������/����������1����� ������ 7�����������0���1�����
������� ���!.���������������������������������
����� �����0�������������������7���� ������� ��
�
&������������������������������������������������������1����������'��������
6 7�� ������ ����������� ����� ��������������
����������/��������� ��������������������0��
1����������� ��G�01,�
���� ����������������������������������!�������1����� ��������� ���� � �����������
��������� �������� �+�"�������0���������������������� ��/�
���������0���1��� ����� �� ���������� ������ ������������������� ���� ����%������������������G�����������E�������,�
��������'��������
8��� ���� �� ��� ����� �� �� ������ ��������������
����������/� ����� ��� ������ ���� ���� � �� ���
����������������� ���G� ����,�
��������������������������������������������������1����� ��������� ����� ������� ������
������������ I ��������������� ���������.���� ���� ����� ����"��� ���� ������ ����G������ ��,��!�������������2������������������� �����
��������'��������
#���� ����� � ������� ����������� ��������������
����������/��������� ������� � �������������
� ���G ����,�
���� ����������������������������������������1����� ����� ���� ����� ����� ������
���������������� ����������������+�"�������������� ����������������0���
����������������������������/�����������0�������������������� �������
������������ �������������������� ����� �����������������������������������7��������������������� ����������������
!�������������2��������������������������������� �����������
#���� ����� ����� ������ ��� ���������������
���������� ���������������������������
������������������'(�����
������������
����������/��������� ������� � �������������
� ���G ���,�
����0������1�������������-����1����� ��������� �����������0��1���#
���������������.������� 7��������� ���!�� �����������������G�01,���� �����
����������������0���1���������#����������� ����� ��������������������
3;, #�������G�01,/�����������0��1���#������� ����������
��� ��%�� �� ���� �(������� +����������������
5;,�#������G�01,/�����������0��1���#������� ���������������
��%�� �������(�������+������������������
������������� ��������� �� ��� ��� ��%�� �� ����
��������� ���������� �������������������������������������� ��%�� �� ��� ����������� ����� ��� ����
� �����<J�� 1����������� ��� ��� ������� ����.�� ��
�� ��� ���G>,�����������G=,��, 8��� ����������������� ����� ���
�������������, #���� ������������� ���� ����� ���
�������������, 6 7�� ����� ���������� � ������� ����� �
������� ������������� 7��������, � 7�� ����� ����� ������ �������� � ���
��� �� ������ ��
K��������, =���������������� ����� �L� ����, =� ����� � ������� ������������ �� ����
��� ����������� �����������
�, >��
, =���
������ �������� ������������������ 2�����������������8��� �������%������������������������
������������������������������ �������������������G�����������E�������,
A BA r r r r
≠∈ ∈∈ ∈
�����
⇔ ⊂ ⇔ ∩ =����� ������
αα
α α
���������� ������������������������� ��
������������������'(�����
������������
���� 2�����������������������8��� ���������������������������������
����������������7�����"�������������������
∃ ∩ ⇔���MN O P Q RNSPTUTVWXVWPPUXYUZ
αα
����������/�����������(�����,�����-��� ������
�����
���� 2������������������8��� ������������������������������
����������7����������������
� � � O O∩ ∅ ⇔α α
����������.[��%�������� ���������������� ���� ���� ��
���������������α ��������������������������������� α ������������������������������������������ ����������������α ����������������$�������
+������ ������� �������������������������� ����������� ��� �������� �������� � �����������
���������������������������������������+������ �����������%������������������
��� ������������ ������������������������ ��������������
������������ � ��
⊄⊂�����
αα ����� � � �α�
������������1����� ������������� β ���� �����
� � �����
6������������������������α ���β �������������� ��� ���� ��� ������� ��� �.���� � ���������������������� �� ���α �������������������� ����� �L� �������1���� ��� ������ �7������������������������� ������������������ ���α ������� ������������������������ ��� ��������α �
� ������<\��1������������������ ��� ��� G>,���
�������G=,������� �����������.���, 8��� �������������������7��������
��������������������� �������, #���� ����� � ������� �� ��� ����� ���
� ���������� �����
���������� ��������������������������
������������������'(�����
������������
�, +������ ������� ����������������α �������������� ���������������� �������α �
, +������ ����������� ������������������α ������������������� �������� ��� ��������� �������α �
'��������, =�������� ����������� ��������
�, =�
�, = ��
��
, >
������ �������� ������� ���������� ������������������#��������������������������������������
����7������2����� �������������
∃ ∩ ⇔���
�� � � ����
���������α β
α β
���� ���������������������������#�������������������������������������
�7�������������������������
α β α β α β≡ ⇔ ∩ = =
���� ������������������������#�������������������������������������
�������7����������������
α β α β∩ = ∅ ⇔ � �
���� ����������������������3��������+����������������� ����������������������
��� � ����������������� ������������ ��
���������α βα β
α
≠
⊂
�����
� ��
/0102 � � �β�
������������>������������ �������$������������� ��
���������� ���β ���������� ��������� ��.�������
3, +������������ ⊄ β ���������� ⊂ β ���� ���� �� �����������α ���β ������������α ���β ������ ����� ����������������
5, �� ���� ������������ ���������β ����������������������������.���� ��������������� � �����������β ����� �������α ���β �������� ����� �����������������"%��������������� �����������α α� �� ⊂ �����β ������������� � ⊄ β ��� ������������ ����
����β ��� � �β �
���������� ������������������������� �!
������������������'(�����
������������
��������������������������3��������+����������������� ��������������������
��������� ������������������������ ������������� ��
���������α βα β
α
≠
∩
�����
� �� � ���
���������������������
��
������������>������������ �������$������������� ��
���������� ���β ���������� ��������� ��.�������
3, +������������ ⊄ β ���������� ⊂ β ����������� ��� �����������������������α ���β ����������������� ����� ����������������
5, �� ���� �������� ��������β ���������� ]]β ��� � ���∩ α ���α β� � �������� ����� ������������α ������������ � �����(�I������������������ ⊄ β ���� � �β ���I���������
���� ���β ���������� ������
��������������������������3��������+�� ��� ����� ������� ���� ����� ����� �
������ ���� ���� � ������� �� ��� ��� �� ����������������������������������� �������
���������� ���� � �
���� � �� � ��
⊂⊂∩
�����
α βα βs
s
/0102 α β� ��
������������>������������ �������$������������� ��
����������α ���β ���������� ��������� ��.�������
3, +�����������α β/≡ ���������α�≡ �β��� ����� ���� �������������β����� ������������� ��� ��������β�
5, /��������������������������������������������� �������� $����
∃ = ∩� �� � α β
1���� �]]�����]]������������ �]]�������]]������������� � ���������������!�������
������������α�≠�β��α���β�������������� � �������������α�]]�β�
� �����<^��1����������������� �������������� ��
�� ���G>,�����������G=,��,�#���������������������������������,�+��������������������� �����������
������� ��������������� ������������������������������ �������
�,�+���������������������������������.�������� �������������� ��� ��������� �������� ��
,�+����������������� ����������������� ���� � ������ �� ��� ����� �� � ������ ��� ���%������������� ��
���������� ��������������������������"
������������������'(�����
������������
'��������,�=�?�������� �� ����������������
�,�=���
�,�>,�>
���������� ��� ������� 2������������������������8��� ���� ��������������������������α
����������������� ��������������������� �������� ����������� ������������������������� ������������
� � �� � � �
� ��
∩⊂ ∈
⊥
�����
⇒ ⊥αα
α�
����4����������������������������������������+������ ������� ������� ������� ����
����� ����������������� ���������� ��� �������� ���������
���������a ⊂ ⊂⊥ ⊥∩
�����
α α� �� �� � �� � � �
����� �⊥α�
������������1����� �������� ���� �����������6���6C
� ���������� �� ������������ �������� ����������6�@��6C��&��� ��������������������������������0��������� �
+�"��.����� ����������� ���α ���������
� ������_�������������� ������↔
����� �����.�
��� �������������������� �'��������������� � (�I������ ������ ���� � ������� ��� ������������������� ������ ����������������������������������G�,�
!���� ��6�@��6C���06�@�06C&���� �D��������06����06C�������
�� � ���
��������� � ���
��� �������
�����
⇒ ≅∆ ∆
��� �� ���������� �7������ �� ����������� � ������ ������� ���� � �D��������6_� ��6C_�������
�� � ����������
��� � ����
��� �������
�
����
���⇒ ≅∆ ∆
���������� ������������������������� ��
������������������'(�����
������������
��� �� ���������� �7������ �� ��������_6�@�_6C����������� ����.�������� �'����������� ����� � � ��� ����� �� 66C�� �� � � _���`�����������6���6C����������� ���� ���� �������� ���.�
1����.������� ����������� ���α ���������� ������.�⊥ � ���������⊥α �
����������.8��� ���� �� � ������� � �� ��� ����
������������ ���D������ ����G� �������� ����� �������,��������� ���������� ��������������
���� ���������������������#���� ������ ������������������� ��� ��
���������������� ����� ������� ������� ��
��
⊂⊥β���
⇔ ⊥α
α β
� �����<a��1����������������� �������������� ��
�� ���G>,�����������G=,��,�+������ ������� ������� ������� ��
���� � ������� �� ��� ������ ������ ���� �� � �������� ���������
�,�+������ ���������� ������� ����������������������������������� �������
�,�+������ ������������������� ������������������� ����� ������� �L� ��������� ��������������
,��� ��������������������.��������2����� ����� ������� ������������
'��������,�=�?��� ����������� ����������������
�,�>
�,�=���
����������� ��������α�,�>
�&��������2����-����
<3�������
A B
CD
EF
GH
/��� ���������� ������ �� ������ �D�������01���0����0=���1�����1=��b�������������� �D��������`��%�� �c
�������������������� �������������������������������������������������������������������
<5� G8������+�,�[������������� � �������������9�� ��������������������������� ���� ������ ��������� �� ���� �� ����� ������� � ��� ������ ��� ���� ��� � ����� ��� ������ ������ ����!.�������������� ������������������ ����� �������������������������������������F�� ����
������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������!������������������������������������������� �������������������������������
���������� ��������������������������
������������������'(�����
������������
<F� ��� ����� ����� ��� �� � ��⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯
� ���� ��������� ����������������������0���1���� ����������������>� ��� ����������c�d�����������
���������"���������
#�$�� α��������������������������������������⎯ →⎯
����⎯ →⎯
��%��������������������← →⎯
����&������������ α.
��������������⎯ →⎯
�������&����������������������'
��������������⎯ →⎯
�����⎯ →⎯
���������������� ���������������������� ��������������������&����������������(����������(��� �������������� ����������
<9� G=������+�,�,�#������ ������ ��������,�+�"��� ����� ������ ������������������
����� ����������������� ���� ���������� ���������� ����������������G� ,���G��,����� ������� �������
����������)�%��������������������������������������
��������������������������������������������
�)�
�������������������������*�������������������������+�∈���+,�))��������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������'������������������������������������������������������������������������������������������
�����-���..�������..���
<J� G>�����+�,�,� #����� � ������ ���� ���� �� ��� ����
����� ��������,�+�"�������� ���������������������� α�
����� �������������e��� ������������� ��������������� ����������� ��������'�������������� ������L� ������
���������)�/��������������������������������������
����������������������
�)�
#�����β����������������'�������������������������α �����������
�����������������������������+� ∈ β�������∈ β)������������������������������������������������������������������������������������α�������������������������α.
�������������������������
<\� G=������+�,�+��������������������������������������� ���� ����$������������ ������������������������e��� ������.���������2����� ����� ���������������� ���������� �
��������
#����'���0������1��!��������������������������������������,������������������������$��������������������*������������������������,�����������2�������1��!��������������������������,�������������
���������� ������������������������� ��
������������������'(�����
������������
<^� G�81�+�,�/���������������� ����������� ���� ���� ������� ������� �������� ������� ������������������ ����� ����
�,������7��������������,������ ������� ����,����� ��� ����,������ ����������,����������� ��������� � ����α ���β �������������������'�����&������������ ��������������������������������������������
��*����������'���2���������-�2
<a� G8!f��K,�#�����������α ����������������� �����������α,�����������
�,���������������� ����� ������� ���α.�,����������������� ������ ������� �����α��,���������������� ����� ��������α�,��������������������� ������� ���α��,������������������������ ���������α������� �
�)�
�)��
�)�
�)���3�4���������������������������&����������������α�
�)���3��� �����������������������5���'�����������������������������
��������-��<H��G=������+�,�+���������������������
���� ������������,� #��� ���� ��� ������� � �� ����� ��
������������������������� �������� ���� �������� ���α�
�,� #������� �� ����� � ������ � ��� ���� � �� ������� ���α�
������ ��)�,�����!�����������������������*�������������
������,�∉����������-
67)�8������������,����������9�..���:7)�8������������,�����������⊥α�;7)�������������������������9�����'�������������
������)�4�������'���������������α �!���������������
����������������5��������������������, ∈���
���������� ���������������������������
������������������'(�����
������������
3<� G=������+�,� +��� ���� ������ ��������������� ������0��1��#��!��+������������01#����� ��D��������2�⊥ �(����2�⊥ �%��������������� ���������� ������� ������ ����
�, !�����!0 , !�����1�, !1���1� �, �1���0!�, !0���0�����������
33��G81+���0�,�+�"�������������� ������� ���������&�������������������� ������
�, ���� ����� �������������%������������, ���� ����� ������� ��� ���� ���
����� ����, ���� ����� ���������� ���� ������
�� ���α�, �.������ ������ ��������� ���������� �
������� �����α��, �.������ ����� �������� ���α� ���� ���
����� ��������� ������� ��) ����<��!������������������������������������
����������������������α.�) ����<��������������������������α �����0�����+�����������α)
�) ����<�����!�����������������������������*�����+����������)�������
�) ����<��������������������������������α����������������������α.
�)�"���������<�������������*������
35��G8=+1� �+�,�1����� ���������������������,�������� ����������+��� �,�� ���� ������ ����� ������� ������������ ����������� ���������������������(����� �"������� ���������������,���� �����&���������������� ��+������������ �"������ ���������+���� ��������������������"�������� ��"������� ����������������������
1��� �������������������������� ���.������������'� ����
�, �� �"������ ����������������������� ������� ������ ����������� ����
�, �� �"������ �������������� �������� �� ������������ ����
�, �� �"������ ��������������� %������� ������ ���������������� ����
, �� �"������ �������������� �D�������� ������ �������� ��%�� ��
�, �� �"������������� ����� 7������� ������ ���������������� ����
���������2�����$�������������������������������������&
���������������������������������*������������������������������=���
���������� ��������� ��
������������������'(�����
������������
���������� ������������������ � ���� !�� �1����� ������� � ��∉� � ���$����������
��.���G ����������������,��������� 3�,�������������� ����������������� ���5�,��������������������������.�������
�������������������������F�,�������������$��������%�����%.������
������$����������������������$�������� ������������
����������������34�������!����������� ���/����$�������������3������������������������������������� �$�������� ���������.��
b������������ �$�������� ���������� ��������� ��������� �������2�����*����� ���*����(�����������(������������������������������������������ ����3��5���
b������������ �$�������� ���������(���������� �����������I������ �����'�������� ���� �� ������������ ����� �� ���-���� ��#*�����������������)�*����� ���������)���� ���*�
��������� ��� ���� ��������������� ���������
������������ ��������
��������� ��� ���� ��������� ��� ����������
G������� ��
����� �����"����#�1����� ���������2�� ����������� � �≥� �
����$�����������.���G ����������������,���������
3�, ������������ ����������������� ���5�, �� ����� �������� ��� ����� ��.�� ��
��������������������������F�, ������������$������������������
������������������$������&������������������������� ��������
���������������������������������� �������������������$������������������ ����������� �� ���� ������� ������ ������������ ��(������������������� ��
/�� ��$������ �����.��� ���� �� 3����� ����� ����������������$���������������������������� ��������� �����������$������������!������������ ��
�� ������� ��� ������ �� �� ��� �$���� ����� ��
���$������%��������&���1����� ������������ �$�������� ���
�����.����� �����������2������������ ���G������������������ �,������>���� ����������� ���������=��������������
>��?����g���=���@�3
�������������� ��������������������������2�� ���
������=��
���������� �����������
������������������'(�����
������������
#�������� �� � =�� @� 3�� &����� ����� �� ��� �$���
���� ������� ��'������2�������$��������������������� ������������
� �� �� �
� � � � � � ��
�
�
� � �
===
�����
⇒ − + = − + =
f�������� ����������%��� �������� �����>�6�
%��������������������� ���������"���%����� �
������� �$���������9�������G����������"9��� ����������9�� �����,��������� ��� ����������������� ��������� �$�������9g�3�������G�����������=C�g�3�@�=���������>���� ������������ �����,�
������� �(�I������� ������� �$������=C��������C�� ��������>C��� ����������
>C�?���C��g��=C�@�3
�� ���������� �� ����� ��� �$���� G���� ���� ��,�������������� ������G����,���������� ����������������� ������G����,���������������� ������"%��.����������������������������� �$���������������������� ��������"��� ���������������
=��@�=C�g�3���@��C�g��?���G��� ������������� ��,>��@�>C�g��?�G��g�3,�G���� ����������������
��g�3��� ��������������,�+����������� ������ ���� ��� ��� �. �����
>��?����g�=��������
>��?����g�=��@�h>C�g��?�G��g�3,i�?�h�C�g��?��i�gg�h=C�g�3i�@�@>C�g��?���?�3�?��C�?��g���g�=C�g�3
����� >��?����g�=��@�>C�?��C�g�=C
1����� �(�I�����>C?��C�g�=C�@�3�����������
>��?����g�=��@�3
���%���������&����� ���������� �������.������� �����
��� �$������������ ������
>�?���g�=�@�5
�������>������2�� ������ ��������������2��� ����� ��������=������2�� ���������������� ��
������������6������� �� ��� �$���� �� �������
���� �� �����.�� ��� ������� � ��� �$������� ���������.�����(���G����>��� ��������� ��������=������,������� ��� ��������������=�������� ������� ���� ���� ��� �$���� ��� ��G����>���� ����������� ��������=�������,�� ��������������� ������
>��?����g�=��@�3
1��� >��@�>�����@�����=��@�=�?�3�������
>�?���g�G=�?�3,�@�3
!���� >�?���g�=�@�5
������������ ���������!��� ������� �������������� ��
�����.����� ����.���������� �������������������.������������������������� ������
� ������3�,
����� �����������.�
� ��� ��� �
� � � � ����� ���==
=
�����
− + =
���������� ��������� ��
������������������'(�����
������������
5�,
����� �����������.�
� ��� ��� ��
� � � ���� � �� ������==
=
�����
− + =
�������� ��������������D������������������������
������� �������.���
+�@�G>�?�5,�j�9�
�������>������2�� ������ �������� �����D������ ����
������������1����� ������������ �������.�����
>��� ���������� ��������=�������+�"�����������������������2�� ������������
������3��5�������=�� ��������������+���������������������D������������
����������������� �+�@�G��?�5,�j�5� ��� ���������������������
� � � � �� � � � �� � � � �� � �� � ��� � �� � � � �� � � � � � � �� � �
� � � � � � � �� � � � � � � �
� � �
� � �
� � �
� �����
= ⋅ + ⋅ + += ⋅ + ⋅ + + ⋅
= + + + ⋅ + + +
� � � �
� � � �� ��� ���
����� � � � � � ��� ���� �� �� � � �� � � � ������� � � � � � � � � � �
� � �+ + + =
= ⋅ ⋅= ⋅
+ = ⇒ =� �
����� +�@�G>�?�5,�j�9�
�&��������2����-����<3��G�81�+�,�b������������ ����������35
�� ��������F<�� �����c�, k�.�� � ,�E����� ��, /���� � �,�6 ����� ��, #����� �
����������"�>�6:����>�;?"�@���>���@�:�⇒���>�:?�⇒����������<5�� G=������+�,� b������� ������ ���� ��
���� �� �����.�� ���� ����� �� ������ �� ����� �����c�#����(��������� ������������������������������
������ �"�@���>���@�:�⇒ A�@���>�B�@�:�⇒���>�C
<F��8������ �������.���������� �������� ������� ������������������� ������ ����1�����������2�� ����� �������������� ����������� ��
������ �D�E ����������������+�)-E���������������������������������F�G�;������
�����������������������������������A�G��F��������� ����������������'���������������������������
���������������������������*�H����2����-:��>�F�G�;�@�A�G�F:��>�;A���⇒�����>�6ID�E ��������*'�������+")- �����>�6?�����>�6I���������������2���������-"�3���@���>�:���⇒���"�>�3�6I�@�6?�>�:���������"�>�6?�����������>�6I���"�>�6?
���������� ����������
������������������'(�����
������������
<9��8������ ����������� ���������������D������� ��� �� �����������D������������� ������b�������� ������������������������������� �c
������ �D�E ����������������+�)��� ��������������������C������������'�������'
C�G�F������ ��������������������:������������'������'�:�G�C�� ��������������������������������*�H��������-
:��>�C�G�F�@�:�G�C
:��>�;?���⇒�����>�6C
D�E ��������������+�)-� ���"�>�J�����>�6C����"�3���@���>�:�������-
J�3�6C�@���>�:���⇒�����>�6?
������������>�6C����������>�6?
<J��8������ �������.��������\���������H� �������b�����������������������D�����������������������c
������ �
� �� �� � � �
� � � � � �==− + =
�����
⇒ − + = ⇒ =
����#�>�+"�3�:)�K�F�������������#�>�+C�3�:)�K�F���>�6:
�����-�����#�>�6�?I?L
����� �����������������)�!������8�� ���� �� ���� ����� �� �(����
���� ���������������� 3�, ����� ��� ������ �7�� �� ������ �2�� �� �
� ������5�, ��������D����������� ������7��������
����2�� ����� ������
� ������/� (�.�� �� �� ���� �� �� ��� ���� �� �
�����������
������ ���� =�@�\��>�@�a����@�35>�?����g�=�@�5����������������7��9�� ���������������D����������� ������7��F�� ��������� D���������� ��������������� �
�������������
���� ����"������ ���� =�@�J��>�@�J����@�a>�?���g�=�@�56���������������9�� ������G����,��������
����F�� ���������������������� �����������9� ���������� ����������F�� ������
����4��������������!.���������������������������������������
���� ������������������������8����� ��� ��������� ���� ����� ��
�� ��������� �������� ����������������� 3�, >�?���g�=�@�5�GE,
���������� ��������� �!
������������������'(�����
������������
5�, �����������=�������������� �������� ��≥ ���� ����� ���� � ����� ���%� ��� ���� ������������
� � �� � ���
����⋅ = ⇒ =
F�,�����������D����������� ����������� ����� � �≥� � �� ���������� ������������������ ��������������
� � �� � ���
���⋅ = ⇒ = � �+�����������GEE,���GEEE,����GE,�������
���
� � ���
�+ =
#�������� �5� ��
� ��
��
��
��+ =
+������������ �≥ ��� �≥ ���� �������������� ������������������������� �������F����� ����
� � � � ��
��
� � � � ��
��
��
��
��
> ⇒ ≥ ⇒ ≤
> ⇒ ≥ ⇒ ≤
����
���⇒ + ≤
�����"� ��
� ��
��
��� ��
��
� ��
��
�+ ≤ ⇒ + ≤
���������� � �� %�����������GE>,�������������2�� ����������
1�����$������������������������� ��������������@�F������@�F�G��������������������������� ������������ �������� ����� �������� �� ������ �D�����,�
������3�, �� ����@�F�G��������������� �� �,�
!��GE>,������
��� ��
��
��
��� ��
��
+ = ⇒ =
������ ��
��
� �> ⇒ <
!��������@�F������@�9�������@�J�
5�, �� ����@�F�G��������������� �D�����,����GE>,������
��
� ��
��
��
��
� ��
��
���� ��
��
� �
+ = ⇒ =
> ⇒ <
!��������@�F������@�9������@�J�K����������� ��������������� ������
3;� �� ��� 5;�� ������$���� ���� ��� ���� ��� ��������������� ������������� ��� G����,�������������.���������� ������������������������������������������������� ������������
����5������������������+������ �� �� �� � �� ���� ��� ��� �����
���� ���������������������� ���%���������� ��� �������� EE�� EEE� �� E>� ������� ���������� ���� �� �
�������� ����@�F�����@�F�������
���E> ��� ��
��
��
� �+ = ⇒ =
���EE � � ��
� �= ⋅ ⇒ =
���EEE � � ��
� �= ⋅ ⇒ =
� �������������������������
���������� ����������"
������������������'(�����
������������
'���� ��������(����#����������� ���� ��� ����� ��� ���
���� ���������������"���������������$����� ����� ������� �����������"���D������������ ������������� �������G���������� ���� �������,�
k%������������������ ��� ����� ���������� 6 ����������*����&��������������� �D������
��`��%�� ���6 5� ������*����&����������������� ���6 ���������*����&��������������� �D������
��`��%�� ���6 ������� ��*����&� ��� ������ ���
���%������ ����� ���6 ����������*����&��������������� �D������
��`��%�� ���
�&��������2����-����<3� /� (�.�� �� �� ���� �� ����.�� �� ��
���� ����������c
������ �E�������������������������������+����;��������)
��������������������+����F��������)�
<5� /� (�.�� �� �� ���� �� ����.�� �� ������ �� ����� c�d����������
������ �E������������������$���������������,��������������
����������0������������������������������������
���������� ������� ��
������������������'(�����
������������
���������� ������������� � ������&����������������������� �������.�������������
������������$���������� ����������������������� � ������� �� ��� ������ ������ ���� ������ �����
&������ ������������� 3�,� ��� � �D��������01� ���C0C1C� G��$�����
���� ������� �������� ��� ������ � �������,���������������� �����
5�,����� ������ ������00C�C��100C1C����11C�CG�����������,��������3��������������� ������
F�,��������������$������������������������ �������0��01���1���C0C��0C1C���C1C������������������������� �����
9�,���� �������� ������ ���� �������� �7������.� ������������������������������������������� �����
J�,������D�������� �������������������������������� �����
����������1�������� ���������� ������"���� ��������
������������������������������������������������������ ���� ������&���������������������� �������� ��D���������������������������������� ������� ����������������������
���)�����������"�� � *����/�� ������ ������������������ �����
�����$���������������������
- ��� �������� ������� ������������������������ �D�������
- ��� ���������� ������ ������������������������ ��%�� ���
- ��� ��������������������������������������������������
- ��� �������(�.�����������������������������(�.��������b��������� ���������� ��������� ����
�� ���� ������� ������������������������ ��������(���������������������� % �������4+���
/�� ������ �������"����������������4*������*������������(�����������������*�������
� ������
���������� ��������
������������������'(�����
������������
���"�+�����)�!����������������1��������� �������������������������
���� ��� ����� /� ����� �� ��� ������� ������ � ����� � ��"�� ���� �� �� ������ L�������� ������������
/������������ ������� ��������������������
- ��� ��������� �� ����� ������ ����� � ����������������������� ������������������������������
�������������@� �
- ������������������������� � �����
��@���g�G � ,��@�F��
����������@� �
����6�������� �$���������������� ��������������
��� ������������������������1(��������������������� �$������% ����������
��% ����������� ������������������������% ���������� �$����������������� ���������
����@���\�
���������� ������� ��
������������������'(�����
������������
����7������� �����%���������������������I����
��������� ����� ������ �� ������ ���������� ���������% ��������������������� �����3���� ��G3��,������������3���� ���2������G3���,������������� �����3�����$���� �G3���,� �����������3�����$���� ���2����� G3���,������������� �����3���$��� ��G3��,�����������3���$��� ���2�����G3���,�
1����� �������� ������������� �����F����/��� ���������������)�����*�5^��������� �����3��������������������������5^�����
#�� ���� �� ��� ���� ����� ��� ������ �������������� ������������������>�����
>�@��
�������� ���������)�!������1(������� �� � �����$��� �� ����
��"�������������� ������ ������������� �������� ��� ������ �� ��� � �����$��� ���� ������ �����
� ������
���������������������������,���1(���������� �����$��� ���� ��D��
����� �� � �����$��� ���� ��"�������� ������)�*������ ����� �� ���� ����� ��� ����� �������������� ��D��������!�������������(�������������������������������������4�������)�*����
#�'�������������� �����$��������� ������������������������������������ ����������� ��� ������ ��� 35� � ������ ���� ������� �������������������� ���������������������� 7��������
#�$��%��������������������������&�%���
&��� �����$��������� ����������������������������"����������������������������01#������ �����$���� ��������������
���������� ���������
������������������'(�����
������������
&��� �D�������01������� �1��@��0��g�01����������
� � ��
� � �= +
&��� �D�������1�������� ����@��1��g�1�����������
� � ��
�
� �= +
1����� � ��
� � �= + �������
��@����g����g������
��@����g����g���
##�'��������()�*���������������������&�%���
+������������������������������� ������$��� ��D����������% ����������� ������������������ �������������
������
��@�5���g�5���g�5������@�5�j�G���g����g���,
###�+�����(+*���������������������&�%���1����� ���������������������� �����$�
��� ��D�����������������9�����F������5����
&������������������ �����$��������5���������������(������ ���������% ����������������������������9�j�F������(���
1������������������������(����3����������������� �����$����
>�@�5�j��9�j�F�@�59����
+���������������������������� �����$���� ��D������������
>��@���j���j��
��,'����������������+������������������������������� ����
��$��� ��D������������ G��g���g��,��@����g����g����g�5���g�5���g�5��1�������g����g����@��
�5���g�5���g�5���@��������$�������
G��g���g��,��@���g��
�&��������2����-����<3� b�������������������������% ��
J9�����c������ �#�����������������������������-
�� �� � �� �= ⇒ =���������>�;���
� � � ��= = ⇒ =� �� �� �
���������� ������� ��
������������������'(�����
������������
<5���������������������������������
����� � � �����b������% ���������c������ �#�����������������������������-
� � � � � � ��
� � � � �
� �� ��
� �
�
= ⇒ =
= = ⋅
∴ =
�?;���������������6������������������������&�������������������������J������4��'���&��������������M
������ �#�����������������������������-
� � � �
� �� � � � � �
� �� � � � ��
� �
� �
� � �
+ = +
+ + = + ⇒ =
= = ⋅ ⇒ =
� �
<9��&�����������������a���������������D����� �� ���� �� G����� �� ������ �� ����������,��������������������� ����c
������ �#����������������������������-
N O N O� �� �= ⇒ =
����>��,��@�,��
����>�+�)��@�+�)�
����>�:��
∴ =�� � �
<J� &���� �����$��� ��D������������������F�����9������J������������
�, ������������������, ��% ����������<�, ���������>������� �
�) ���>����@����@���
���>�;��@�F��@�C��>�C?
���������>�� ���
�� � ��� ��� ���� � � � � � � �
��� � ����
�
�
�
�
= + += ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
�� � � � �� � � �
��� � ����
= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅
=
<\� ��% ��������������� ��� ����̂ 5<������������������������������5<������������������������������F9�����1������ ��������������
������ �#�������>�:?���������������������������������������
�����-
���������� ���������
������������������'(�����
������������
���@����>�:?� +P):���@�:���@�:���>�J:? +PP) ���- ��@���@���>�;F
+��@���@��)��>�;F�
� � � ��� ��� ��� ����� �
��
�
����
+ + + + + =��� � ��� ���
F??�@����@�J:?�>�66CA���>�;A�����������>�A���2�����
� � QRR� � ST
� �+ =+ =
�����U���*���������������������������-��>�6A��������>�6:�������>�6:��������>�6A���2��������������5������������������-6A�����6:������A���<^� 1������ ���������������� �����$�
��� ��D����������������������������������� �� ����������H��35���5<���������������������3<<���
������ ����>����@����@���
6??��>�+:?V)��@�+6:V)��@�+BV)�
6??��>�A:CV�
�������:CV�>�6??�⇒ �V�>�F2����� ��>�:?�K�F�>�I?��
��>�6:�K�F�>�FI����>�B�K�F�>�;A��
"�>���K���K���>�I?�K�FI�K�;A
"�>�6;I�:F?���
<a��G>�����+�, ��%��������� ��� ���I �������� ��������� �����$��� ��D����������� �������F<������� �� ��5<����������������� �� �� 3<� ��� 1��� �� ������ �� �(����� �� ����� ��3�a<<���� ����2��������%������ ��� ����I ������� � ������%���� ����������� ���� ���I ����������������� ���
�, 5�� ,��a���, F�� �,��H���, ^����������� P��������������*�������&�����������*��1���
�������6?�K�:?�K�;?�>�A�???�������1�����*������������������A�???�3�6�I??�>�F�:??�����#�����(��������������������&���������������������*��1����������(�K�:?�K�;?�>�F�:??�⇔ �(�>�J���
<H��G=������+�, #�����������������$��������� ���������������� ������������3<�����\����������������"������L������������������������$�����$��������������������� �����$��� ������� ������a�����a�����!�����/����� ���!��
�, 3\ ,��3H�, 3^ �,��5<�, 3a���������%,���������������*��������������0�����'����
=����������*��������������������I�K�I�K�!�>�A��@�6?�
AF�!�>�:6A�@�6�???AF !�>�6�:6A�⇒�!�>�6B
���������� ������� ��
������������������'(�����
������������
����� �� � �����"� �� 1����� ����� ��� ����� ���������� �
��������������%����� �������� ��������������������������'��������� ������������������������������������������ ��
����������� �� ����������������' ���������������� �������������������I����� ����������������� ������ �������
1����� �������� ������ ��I�����7���8��"����������7����������% ���������������������� ������ ������ 1����� ����� ��������������� ������� ������������ ������������I������������������������% ���
+���������� ��������I�����7���8�� ��������� �����������������������D�������� ������� �����������"���$�����������������I������ �������7��� %������������������� ����������� �������8�
1���������������7���������L������������������������������I�����7C��������������8��������L�����������������������������I������8C������I�����7���8��7�����������������
��� �� ������� ��������������������������� ��������4����9��������� G= �������0�������� ��1������ ��3JHa�?�3\9^,
+�"��� ���� �I����� �� �� 0�� ��"��� �����������������������������������+������������ ������������� ���� ����0���� �����������������������% �������������I���������0��7�����������������
���,������������� ��-�.���1����� �������� ��������������� ��(
��% ����������0��@�+�������� ���$��� ���D��������������� ��(���% ����������0��@�+�
���������� ��������
������������������'(�����
������������
1������������������������I������� ��������� ������� ���������� �����������������% ���+���������� ���� ����� ���$����1������ �������� ���������������������������� �����$���
� �� �� �
=
1����� � �� ��
= ⋅ ������"���� � ���
= ⋅ �����
����VP� �@�+�j�(���������$�����
>�@�+�j�(
9��������
/������������� ��������� ������% ������������������������� ��
����������[����$���� ��� ���������������������
��� � ���������� ��������������������% ������������ ���������������� �������� ����� �����
���>�@�+�j��
� �����1������ ����������������� ���������
������������ �������� �������� ������ �������������������������� ��
/��� �� ���������� ���������������������� ��'��� ��D�������������� ������\���
��% ����������G��,��
���� ��
� ����
�=+
× =� �
����������������G>,��� ������
>�@����j�(�@�3J�l�\�@�H<���
'��/�����,���������� �����(����+������� ���� ��� ����� �� �(����� �
����� ��������� ��������������� ����� �>����� ������� � �� % ��� �� �� ������� ��
�������� ������ ����� ��
��������������,������,����1����� ����� ��� ����� � ������� � ��
���� ������ �������������������� ��5�
#������ ��� ����� �
�� � �
��
� ��
�
=⋅
=⋅
##� ����� �� ����� ������@�F�j�����������������@�F�j�G�(,@�F��(
���������� ������� �!
������������������'(�����
������������
###�'��������()�*��@����g�50
��@�F�(�g����
� �
��@�F�(�g���
� �
#+�+�����(+*>�@�0�j�(
�� ��
�� � ⋅
� �����!����� ����� � ������� � ����� �� ��% ��
���������H � ��������% ������� �������� �����% �����������1������ ��������������� �����
� � � ��
� ���
�= ⇒ =
!���� ���@�\�����@�F�0
��� � � ��
�
= ⋅
� � ��
�=
>�@�0�j�(
� � ��
��
= ⋅
� � �� �
�
= ⋅ ⋅ � �
∴ =� �����
���������8������,������,����1����� ����� ��� ����� ��� ������
����� ������ �������������������� ����
#������ ��� ����� �0�@���
##� ����� �� ����� ������@�9�j�����������������@�9�G�(,�@�9��(
###������ � ��� ����@����g�50��@�9�(�g�5��
#+�������� ��>�@�0�j�(>�@����j�(
� �����1������ � �� % ��� ������ �� ��� ����
��� ������ � ����� ����������J9��������������������� ��������� ���������I����������� ������������ ������������
>�@�0�j�(>�@����j�5��@�J95���@�J9���⇒����@�F���
���������� ��������"
������������������'(�����
������������
����� (�@�5��@�\���!���� ��@�5���g�9�(
���@�5�j�F��g�9�j�F�j�\���@�H<����
���������%�&�,������,����1����� ����� ��� ����� (�.������� ��
���� ������ �������������������� ��5�
#�'�����,���(-*
��� ��⋅
⋅���
���
�� �� �� �
�
�
##�'����������()�*���@�\�j�����������������@�\�G�(,�@�\��(
###�'��������()�*��@����g�50
� ���� � ���
�
� �
⋅⋅�
�����
� ���� � ���
� ⋅ �
#+�+�����(+*>�@�0�j�(
�� �� ��
��
⋅
� �����&��� �����(�.������� ����� ����% ������
�� �����^Jm���% ���������1��������� �'������ ����� ����� ���� ������
� ������������
���
���@�\��(
A ah aT = +� � ��
���@�̂ Jm����
� ��
� � ��ah ah a= +� ����
� ��
��
� ���
= ⇒ =
�&��������2����-����<3� Ge��n��'���+�,�8�� ����� ����� �� ��
������ � ���� �������� � ������ ���� ������� �9a������% ������� ����+��������������
�, 3\��� , � � ��
�, F5��� �, �� � ��
�, \9���
���������� ������� ��
������������������'(�����
������������
������ �
���>�;�K����⇒�;���>�FI�⇒����>�6A�⇒���>�F��"�>����K�W
���������2
<5� 1������������� ������� ���������������� �����(�.������� ����� �������������������������9����������� �$�������� �����35����
������ �
� �� ��
��
� � �
�= ⋅ = ⇒ =
= ⋅ = ⇒ =
�����
� �� �
� �
��
� �
�
�
�
U���*��������������-
��>� � ��
� ��
� � � �=
��������
���������������>�� ��
�
�����>�� ��
�
<F� Ge��n��'���+��5<<<,�+������������D������������� ������������������������� ��������\�9a<o�����������2�� ����������������� ������
�, a ,�35�, H �,�3J�, 3<������ �
#��������� �����������������������������������������������������������������������������������������������0�����������������,�������������������������������������������������������'
��K�;A?L�@�:�K�+��3�:)�K�6I?L
�����X�������������K�;A?L�@�:�K�+��3�:)�K�6I?L�>
>�A�FI?L�⇔ ���>�6?
���������
<9��8�� ����� ����� ��������������������������� ��������#��� ����������� ���� ���������������������� ������������������
������ ����*������>�∆�������*���
"��@�"
(W�@���
� ��
� ��
�⋅ =
W�@� �� ��
��������
��@� �� ��
���������� ��������
������������������'(�����
������������
<J� G>�����+�,�8�� �������� �� � ���������.����������� ��������� �
�������(�� ��%��2�����Y���W� � ����������� �����$��� ��D��������2�����Y��W��P���Z��� ��������"�������2��W���P������� �D������ ���D������G����D������ ��������� �����W���D��
�����α������ �����E�������������α�@���
��������� �
�$�������� �������������� %����������������� ���� ��� �������'����� �$������ 1����� ����� ���������������������5���� ��
����� �������'��������"�� ������Kp�5�<<������ ���+��������������(�>�F�����2�@�\�����%�@�9������� ����
�, �����������2P���WP<�, �� % ��� �� ��� �$���� �� �� � ������ �
��������� %����������� ����������� ��) E������������������!kE���������������
���*'������W��2W�>��(�>�;��������
�>�����α ⇔
⇔ = ⇔ = = − =� ��
� � � �� �
���� ����� ��
�) ��&������������0������������������'�����=���������&�������������������( %���(W2�% Y����%�2��2�ZP��������&��������������������������2WP���YZ��[�����'�������F�K�;�@�A�K�;
@�A�K�;�@�F�K�A�@�F�K�C�@�� ��
� ��
⋅ + ⋅�>�6?F�����#����
������������������6?F�K�:�K�:�>�F6A�������
���������� ���&����� ��
������������������'(�����
������������
���������� ���������
���0���� ��������)�!������1����� ��������� �������������������
��.�������������������������������������������>��� �����1(������������)�������� ���� �����������������������������������.� ���������>�������� ������������� ���������������G��$����,�
�������������&��� D���������� ��������������������
���������
- (!���������)��� ����� �������� D��������������>�
- 8��� � �� ����� �� � D���� �� �� ��$�����01#!=�
- 7����� ������� ����� D�����������D�������� �����>����������������
- 7����������� ����� ����������������������������$������������
- 7�������������� ����� ���������� ��������������������������������� �����>������� �����������$������������
- :������������ �������������� ������������ ��D������� ��� ������� ���� �� ����� >� ������������� �������������
- ;����34���������� ������ �$�������� �������� � D���� �� �� ��� �$���� ���� ����� ����� ������������������� ����
- ;����� ����������� � �� ������� � ����� ������������ D������������ ������������� � D���� ���� ������� � ����� � �������L����������
����9�����������/� ����� �� ���� � D���� �� ��� �
��� �� ���� �� ���� ������ ������� ������ ���������.����� - �� D����� ������� �������������� �D������- �� D������� ������ �����������������
��%�� ��- �� D���� ��������� � �� ����� �� ��
���%�����
���������� ���&�������
������������������'(�����
������������
����������!������8���� D��������� �����������������
����� ��� ���4+��< ����� ��� �� �"����� ������������ �������� ������������������"�������� ��G�� ������� �,����������������
�� D�����������������$���
�� D�������������� ���
���������&���� ���������� ����������� D���� ���
������������� �������1(������������)�����*����������� D�
����� �������"���������������$������ ����� ���
1(�����������=��������)����������D��������� �������� D����L��� �������������
�� /���$������/���%����% ������� ���������� D��������% ����
������� �$�������� ����������������������% ���������������� ����
��% ���������������� D��������������% ������� ���������% ����������
1����� ���������� D���� ����� ����� $��� ���������5���I�������������� ��I�������� D������
� � � ��
= ⋅ ⋅ =�
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅� ��
� � ���
��
��@����g�0�@��j���g
+ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅� � � � � ���
����� ����@��G��g��,
���������� ���&����� ��
������������������'(�����
������������
�� ,��������4������
#����� D��������� �7������ ��� ����������������% ������������7�����������������
������������&1����� ���������� D������������
���� ��k���������������������% ���+��������� ��� �� ���� ��� +�"��� +�� �� +�� ��� % ���� ���������� � ����� ����� ���� �������� ���������� ������������I������ ���������L���D�����(������ ������� D�����
��� �� ��������(���������I�������������$���� ���� +�� @� +��� ���� ���$��� �1������ ��� �7�� �������� �������� ���� ���� D�����
�����������������,����/� ������� �� ���� � D���� � ������� � �������������� ����� �������% ������������������������� ��
� � �= ⋅�
������������&1����� ����� ��� ����� ���� �� ����
��� ����� �� ���� �� �� ���� � D���� � �������� �
>���������� ������ ��������� 7���� D�����G3��5���F,������� ��������� ��������� ��� ��� ������������ 7��� D������7������������������
���������� ���&�������
������������������'(�����
������������
���� D�����3��5��7���������������������������������01���#!=��7��% ���������������������� D������������������������ ��G�� I� ������� ���� ����,�
����� �>��@�>��GE,/��� ��������� ������ D�����5���F�1����� ����� ����� ������ ��� � �D������
=!1� �� 01!�� ��� % ���� ������ � �D������� �����������������������������)�����*�������01=!��� �����
��������������� D�����5���F��7��������������� ��G���D��������� �����#���������������01=!��� ����,�
����� �>��@�>��GEE,!���� �>��@�>��@�>��� ������������������������������ D�
�����������������
������������ �����
�� ������ ��������������� D����G3,������ ������ ������ �� ������ ���� �� �� �����������$�������
� � ���
��
= ⋅ ⋅
������������8���8���/����������������� �� D������������������ ����� �������% ��������������������� ��
������������&1����� ���������� D����������� ��
����� D����� ������� ���������(���������������� ��������������������% ���+��
&������������� ���������>��@�>���1��������������� D����� ������� ��
� � ��
� �=
⋅
6��������
� � ��
� �=
⋅
�� �1 ����&���� �����4����������,����1����� ����� ��� ��� �� �� �����
>�01���� ���������������&
���������� ���&����� ��
������������������'(�����
������������
������� ������������� �� ������� �D����������`��%�� �����������������
� � ��
= ⋅ = ⋅� � ��
�
∆
∴�� ��
= � �&��∆>���������
���@���
��
��
⋅ ⇒ = =� �� � �� ��
��>��@����� ��k>���@�>���g����
���@�Gk,��g�� ��
������� ⇒
⇒ = − =� � � �� �
� ���
��
∴ =� � ��
/������������� �� ��������
� � �� �
�=⋅
=⋅
�
��
��
�
�
∴ =� �� ���
����5���������,����1����� ����� ��� ����� �� �����
�01#!=���� ����������������&
�������� ������������� ������ � �D��������`��%�� �����������������
� � �� = ⋅ = ⋅� � �
�
�
∆
∴ =� �� � ��
+����/������� ��������� ���/��������������� ������� ����0=#�������
/��@�/0�@��������� �
��
�=
����������������������� �������� >�@�5�j�>���� �!�
�� � � ��� ��
� ��
��
�
��
�
�
∴ =⋅� �� ��
����4�����������/�����,����1����� ����� ��� ��� �� �� � �� �������
�� � >�01� ���� ��� � ������ �� � �� �� � �� ���D����������������������
���������� ���&������
������������������'(�����
������������
�� ��������� �������������������I����������������%�������������>01������������� ���� %�>���#���������� �
� � �����=⋅�
/�� ��� �
��� = ⋅�
���>��@��
f��� ��
� � �=
⋅ ⋅��
∴ =�����
�&��������2����-����<3��8���� D����� ������� � ����� ����
�I��������������J���������������� ����� � ����1������ ���% ������� �������% �������������� D����
������ ��
� � � � ��
�� � ���
�= ⋅ ⋅ =
� � � �� �� � �
�� �
�
= + = +⋅� �
� �� � ���
�=
<5��1������ ����������������� D���� ������� � ����� ������ ��������������� ���������� ���������� � ������3<����� ���������������
������ ��
���� ��
� ��
� � ��
� �\� � � ��
�
W��@�U��>�6?�
∴�W��@�A��>�6?��⇒ W��>�AF∴�W�>�I���
� � ��
�=⋅
����-��� ��
� � ���
��
� ��� �
� �� � ���
�=
� ��
���� �
� �����
� �
<F��8���� D������� ������ � ����� ���� � ����� �� ����� a� ��� �� ��� ������ ���� ����� ����\<o�������������1������ ���% �������� �������% ��������������� D����
� ����S
� �]= =
����A?L�>���
���������� ���&����� �!
������������������'(�����
������������
��
Q�
� � ��= ⇒ =
� ����
� � ��
��� ���
�� � � ���
� � � ��� � ��� ��� �
� �= + = + =
<9��1������ ����������������� D������ ������ � ����� �� ���� � ����� �� ����� � ����������� ���������� ������ �����9Jo������������������
������ �
� �������� �� ���
�
� ��=⋅
=
���FCL�>���
� ��
� � ��∴ = ⇒ =
� � �� ⋅��
����-�#��>� � � �� ���
�� � =
� �� ��
�� �\�= ⋅ =
<J��=������+�8���� D���� ����� �������������� �����
��������� � ��1������ �,������� �������� D�����,���������������� D����
������ �
�)������������8����������,��&���������∆"��������-�W�>�6���
�)������ � �
�� � �
���^= → = ⋅ ⋅ =
���������)�W�>�6���
�)�������=
<\��G�81�+�,���% ������������������� � ����� ���� � �����+�����������
�, � � �� � , \����
�, � �� � �, �� ���
�, � � �� �
���������� ���&������"
������������������'(�����
������������
������ ��
�
⇒ ⋅ = ⇒ = =� � ��
� � � � �����
�
����
� � ��
� ��
� ��
= = ⋅ ⇒ =
>�@������ �
��
� � �
�����⋅
⋅⇒ =
⋅ ⋅⇒
⇒ =� � ���
���������(<^��G8��������+�,�/������������� �� �
����.���
�,��
,��
�,�
���, �� ���
�,��
������ �
������ ���=
⋅
�
��
��
���
�� �
��=
⋅⋅
⇒ =
���������(<a��G>�����+�,�!�������������� �������
�������������� ��� ��� ����������� D����e&����������e��&��������������������������� ������������������� ���������� ������+��>���������������������������������� ����� ���������� � ����a�� D��������������
�,��� ,
���
�,��� �,
���
�,���
������ �
� � � � � �
� � ��
� ���
�������� � ����
����
����
= − = − ⋅
⋅⋅
⇒
= − ⇒ =
� � �� �� ��
U�������-�%
���������� ���&����� ��
������������������'(�����
������������
<H��&������ ������.����01#��������� �� � ����� ����������+�"���!���=�������������������������� ���������������!������������ ���!=��
�,��
, � ��
�, � ��
�, � ��
�, � ��
������ � ��� ∆�( ���∆�(%�����������������&��������
��������2�'����������'�����������������������������
�������������*���������� �����������2 �>�2%�>�� ��
[����∆ 2%�'���1���������������� ��8����������
��� ��>��%>������������������� �'���������∆ 2%
����������2���@�� ��>� 2��⇔
⇔ + ���� =������ ⇔ =�� �
�� ��
�� � ��
�
��
U�������-�(
3<��G>�����+�,�8���� D��������� ������������������������ ������7�������������������+������������������������� ������������� D�������������5������������������� ������������ �������� ����� ��� �� �'��� ��� �� ��� ���� ��� �� D�������� ������������� �������������
�, F��� ,��
�,��
�,��
�,��
������ �#�$��-�"���*������������������"����*������
������-
"�>��� �� �
��
⋅ ⋅"��>���K���K�W�
����"�>�"��⇒��� ��
� � ��
��
�
� �
�
�
�
= ⇒ =
U�������-�
33�� &���� � D���� (�.�������� �� ���� �����9���������I����������������F����1������������� D���
�,���% ������� ����,���% ����������,���������������� �
���������� ���&������
������������������'(�����
������������
6)���>�C���
:)�N
N��
� � � ��� � �
�)�� � � �� � ��
�� � ����
� � � � ��
�
����>��� � ���
;)�� � � � ���
��
� � ��
�� �� �
����
� �
�)�� � � �� � �� �� �� � � � �
���>��� � ���
�)������ �
��T � � �� � _�= ⇒ ⋅ ⋅ =
"�>��� � ���
35��1����������������������� D����(��.������� ����� ����"��� ��������� �������3<������� �������� ����� 7������� ����� ����L���������\����
������ ��
W��@�A��>�6?���∴���W�>�I������<���>�A���
#��>��� ��
� �� � ���
�
�⋅ ⋅ ∴ =
��� ��
�� � ��
�=⋅
= ⋅
∴���"�>���� � ���
���������� ��������� ��
������������������'(�����
������������
���������� ����������� 0���� ��������)�!������1����� ��������������α ����$ ������
���� ��/��� ���� ��+�"���� ����������������� ����������������������α���1(������������������������L� ���������������������������� ���� ������� ��� ������� �� �� �� ��������.� ����������$ ����������������������������������������� �������� �α.�
�������������- 8����
��� ������ �� ��� ����� �� �� ���� � ���� �������$ ��������� �������������.� ����������������������������� ����������� ����� ���������� ����������� ��- �� �
!�.������������ ���� ���� ����� ������� ���������������� ������������������� ��- >������?
�� �� �'�G�,����������� ���� ���� ����������� � ��� ��� ���������� ���� �.� ���������� �.� ������� ��� ������ �� � � ����� ����.�����������
- 7��������� ������������ ���������D�����(����
� ��������������������
- ;����34����������+�� �$�������� ������� ����������������
�� �� �'������% ����������� �$�������(���������������������������� �7�- ;����34���@����
+�� �$�������������� ������������ �$������� ���������������$ ������������������% ������� ��� �$���� �� �(����� ���� ������ ��������� �7�
- ;�����A�������+�������� ���������������� ����������
��%�� ��������������������� �������������� �����������������������������.��
- ;�����B��*��������� ������� ������������ �� ��� ����� �� �
������ ���� ���� ������� ���� ��� ����� ��������������.��������� �������� ������������
���������� �����������
������������������'(�����
������������
b����� �� ����� �� �� �� ���� � ����� �� ����������������������� ��D���������� %��%.�������������������� ��� ������
- ;�����@�������������������� ����� �������������� ���� �
���� � �������������������� ������������������� ������� ������.��������� ������������ ����� ����������$ ��������� �����L������
����������!������- 9������9����������4+��
1���� ���� ���� ����$������������������ �������� ��� �� �� �'��� ���$����� ���� ������ ��������- 9������9�������'���
1���� ���� ���� � ������������������ �������� ��� �� �� �'��� � ������� ��� �������������������/������ ���� ���� � �������������(������������������������������� ������� ������������ ��D������������ ����������.���������������������������
�� /����$������%������6��������������� �$�������� ������������� ���� ���
�� � ����������������������� ��D��������"����������� ������ ��� ��������� �� ������ 7�������������������� ��������� ��
���������� ��������� ��
������������������'(�����
������������
���������% ��� ���� ������������� ���� ����� � �������� ����������� ������� ��(��
����@��5π�j�� ��j�(
����6����������% �������� �$�������������������� �
�� ���� � ����������������% ��������� �$������� ����������% �����������������
���������% ������������������� ���� ����� � �������� ����������� ������� ��(��
��@�����g��5�0
��@�5π j� �j�(�g�5π j� �
��@�5π ��j�G(�g� ,
� ������<3,�&�������� ���� ���� � ���������� ��\
����� �����������5������������ �, ��% ����������������� ����� �����, ��% ������������������ �������, ��% ����������������������� �������
���� �����������.����������3�������������� �
�)
#�>�π��K����>�π�K�:��>�Fπ����
�)
#�>�F�K�A�>�:F����
�,
_���g��3��@�5�
∴�.��@�� � ���
+�@�5.��j��(��@��5� � ��j��\��@��35� � ����
5;, 1���������% ������� �������% ������������I������ ��"��� ������ ������ �������� ������� �������.��
�, 1���� ����K��������
�, +�������� ��K���
������ ��) ���>�:�K�����K�����>�:�K��6��K��;��>�A��
���>�:π��K�����K�����@��:π��K���� ⇒���>�:π��K��6��K��;��@��:π��K�6���>��Iπ����
���������� �����������
������������������'(�����
������������
�) #����0������������������������
���>�A��K��I��@π��K��;��K��I��>��FI��@��:Fπ���>�:F��K��+:�@�π�)����
���>�����@��:��K��π ⋅ ��
���>�FI��@��:Fπ�@��π��K��;�
����>��+FI��@�;;π�)����
<F����% ������� ������������� ���� ������������3<������ ������������L�% ����������1������������� ��������� ��
������ �
���>�(:π��K�����K�����>��π��K����
:���>���:���>��6?∴ ����>��C���
�� ,����1����� ����� ��� ����� �� �� ��� ���
��� �� ������ ������������� G% ���� ������,�������������������������� �������G����� ��� ������,�
+����0���% ��������������(������� �����I����������� ����������
8�������� ������L������������������������ ���� �I������ ��� ����� ������ �������� ���� ����� ���� ������� L�� ���������� ������������� ���$�����1������ ���������$�������������� ������ ����������������������
�����
>��@��0��j��(��@� π��j�� ���j��(
� ������<3� 1����������������������� �����$���
����.����������������� �� �'���
������ �
���>�����K������A?L��>�3
2�K��
"��>�π �K������K���
Vg2
32
g3 g
8
2 3
= ������ ⋅ ⋅���
��� =
⋅ ⋅π
π
���������� ��������� ��
������������������'(�����
������������
<5� 1������ �������������������� ������� ���������� �������� ������ � ����� ��� ������������9���������� ��3<����
������ �
��>�:����������>�6?���"�>�π �K������K���"�>�π ��K��:���K�6?��>��F?π ����
<F� 1������ ������������� �������'������������� ������� ��� ���� ��� ������� ���� �����������$��������� ����5<��]����
#���K�����.�� ���@�55���K�������� ���@�53�J������� ��@�F���
������ ���*��������������'����������������������*��
���������������������������������������������::�����:6�C�����������;����������-
"�> π �K�::���K�;�3�π ��K�+:6�C)���K�;�≅ ��:?F�B�����
"�≅ ?�:?FB����
#������������������0�����:?��.���������������������������!������:?���������������������������'-
��≅ �?�:?FB��K��:?��≅ �F��
<9� ������ ������ ����� ������������������� �� <�5� ���� 1������� �� ��� ������� �.������������� ���������������������� ��������� ���������7�� �����5������J���� ��������������
������ �#�����"����*��������������������������-"�>�π��K�C���K�����3� π �K��:���K�����>��:6π��K��#�����"�����*���������������������������-
"��>�!��K�����K��?�?:��+`)+`)����������������?�?:��� ����"�>��"�����������-
21 h 0,02 h x210,02
π π⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =�
!�≅ �;�:BJ�����≅ �;;�������
�&��������2����-����<3� /��������������������� �$�������� ��
���������� �� ������������ �����5��������% ����/������������������ �����������
�,π�
, 5π
�,�
�π�,
��π
�,π�
���������� ����������
������������������'(�����
������������
������ �
#��>�����>��:���⇒ �>� �
� >��>� �
:π U��>�� � ��⇒��U�>���
�π"�>�� �K�W�> πU��� ⇒
"�>�π �
�� �
�
�
π π������ ⋅ =
����������<5��G>�����+�,�8�� ������������������
������ 7�����������������������$� ���������������������� ��������� �������������������������� ������+�������������������������� �������������L����������������������������� �������������� ������� �����������>����@����
������ �"��>�"��@�"�π ����> π ����@�π �����+����������) ��>����@���
<F� G>�����+�,�1����� ��������������$� ������� ������������ ������������������(����������� �������$������!�����$����������� ���� ����$�������������������������������$� �������"������ ���������� ��������� �������������"� ������������ ������ ������������#��� ����
�, ���������������������������������������� ���(��
�, ���2�� ���������������% ������������ ������������������ ���������������(�������������$�����
������ ��) ��*�������������0�������������������������
'�π ��������*��������������0���������������23���
�����14���'������� = ⋅��
�� ⋅ = ∴π π2
3r
14
hr h9
2 2
"������>��π���������������"�����>���πr h
9
2
�) �"�����>���πr h
9
2
⇒ "����>��
����
� �����
"�������>��B��K��"�����������#�����������&�����B������<9�� G=1>�+�,� #���"����� ����� �� � ��� ��
�� ���I ������$� ��������������� ��� ���'��� ��� ����$������/���������� ��� ���I� ��������� ���J<�������� ������������������� �������� ���5����/����� ������������������ �����������Kp�3<<�<<�� ���� ����� ���b������������������ ���������'��c
������ �#�$�������������������*��1�����8����
π �K��:���K���>�C?��⇔ ����>� 252π
���
�����������������������������������������&�����������������'
:�K��π��K�:��@�:π K�:�K�252p
>�Iπ @�C?���
[��������������������������H���������������������������������'�6??�+Iπ��@��C?)�≅ �J�C6;�:J�������
<J� G�81�+�,���� �"������� ������������������ ����� ������������� ������� ������� �������������������$ ������������� ����+������������ �����3<����������������������� �c
�, 3�<<<��j��π , 5J<��j��π�, ^J<��j��π �, 3<<��j��π�, J<<��j��π������ �
2R 10 R 5
H 10
� � �
����"��>��π U�W�� ⇒ �"��>��:C?π���������%
�������� � ����� �!
������������������'(�����
������������
������������������0���� �������� )�!������1����� ���������$ ���������������
����� α ��������������� ������������1(��������������������������������������� ������ �� ������� �� ����� ��� ������������������������.� ����������������� ������������������ ����$ �����
�
P
���� ���������-�8���
�������������������$ ����������� ��������������-�(!�����
/��� �����������������������-��� �
!�.���������������� ������������������ ����������������� ���������-�>������?
�� �� �'� �� ��� ����� �� ������� � ���������� ���� ���(�� ���� �.� ������ ���� ������������������� ������� ����� 7�����������-�7�����
���� ���������D��������� ��������������������������
���� ������!������-�1������ ���� ����$���
V
OV'
1������ ���� ����$������������������ ������������.�����$������� ����������������������
&��� ����� �� ���� � ���$���� �� �"����� ������������ ����������������������������������� ��-�1������ ���� � ���
OV' 0
V
�������� � ������"
������������������'(�����
������������
1������ ���� � ������������������ ����������.��� ������� �����������������&������� �� ���� � ����� �� �"����� � �������� ��� ���������������������������� ���������
�����������3;,� &��� ����� ����� ����� ��� �� �� �'��� ���
���� ������� ��� �� ���� ������ �� �������� ������������ �D��������I�������
gg
2R
5;,�6�������� ��������� ���������������I������ ������� ������������ � �D������� ��D��������� �� ������������������������������������ ��������������(������
���������������C
F;,�8������������������� �D�������� %�������� ���������G(,������� ���� %��� ����GK,����(����������� %������� �� �'�G�,��!����
gh
R
���@�(��g�K�
���/����$������%������ :$���������������������1����� ������������ ��� ���� ��� ����K
��D���������� ���θ � �������
R
O
R
l�
/���� ������������ ������������ ��� ����� �������
��@�θ �j�K Gθ ���� ������,��% ���+������� ��� ���� �������
Sl R= ⋅�
���� 6����������
�������� � ����� ��
������������������'(�����
������������
1����� ��������������� ���� � ����G������ ��������,����� �� �'����� �����������K��������������� ��� �$���� ���� �������� �������������������� ��� ���� ��� ����������"��� ���� ���������������� ���������������5π KG��� ����������� ����� 7�����������,�
�� ��θ ���� �������������
θ π θ π⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅� � ��
� �
��% ����������������������
�� �
� � �� �
=⋅ ⋅
⇒ = ⋅ ⋅�
�π
π
����6������������� �$���������������������� ������������� ����������� �$�������� ���G���� ��� ���� ,
�������$ ��������������������������������� �� �'����� �����������K�������
g
R
g g
R
2 R�
��@����g�+��⇒ ���@��π �j�K�j���g�π �j�K�
��@�π �j�K�j�G��g�K,
� �����&���������� ������������� �� �'�3F���
�� �����������J������������ �, �� ���� ���, ��% ������� ����, ��% ���������, ��D������θ ����� ������������� �$���
���� ��� ����������'��������
g = 13
R = 5
H
�, ���@�k��g�K�
3F��@�k��g�J����∴��k�@�35���
�, ���@�π �j�K�j���@�π �j�J�j�3F���@�\Jπ ����
�, ��@����g�+��@�\Jπ �g�π �j�J�
��@�H<π ����
, θ �j���@�5π �j�K
θ �j�3F�@�5π �j�J�⇒ =θ π����
P��
�������� � �����
������������������'(�����
������������
���,����8����'������ ���$�����1������ ����� ��
��������������������������� D�������"������ ������� ��������������������������������������7�����������������
Vcone pirâmideV=
H
SB SB
���������������������������������������� ����� �������% ������������������������ ���� ��
� � ��
= ⋅ ⋅��
� � �= ⋅ ⋅ ⋅��
�� �π
� � �= ⋅ ⋅π �
�� ���������� �$�������� ��������������� ������
�������������������� ���� ���������$ ������ ����\�����1������ ��������������������
'��������
g
R
H6 cm
2
3
�rad
� �� � ���= =� ��
θ π
θ π⋅ = ⋅� ����
� � �π π⋅ = ⋅ ⇒ =� � ��
� � �� � �= +
� � ��� � � �= + ⇒ =� �∴ � ��= � �
� � �= ⋅ ⋅π �
�
� =⋅ ⋅π � � �
�
�
∴ � ��= �� ��
�π
�&��������2����-����<3������� �������������� ���� � ��������� ���
��������� ������������+������� ���������� ����� 7�����������������aπ ���������������������������������$��� ����2��������
V
�, \9 π , 3\π�, 9a π �, aπ�, F5 π������ �
V
R
h = 3R
� � � � � � � �� ���
= = ⇒ = ⇒ = =π π
� ��� � � �� �
�
�
�
�= ⋅ ⇒ =π π
����������
�������� � ����� �
������������������'(�����
������������
<5�� G8=�����,�b���� �� �� ������� �� ��������� ���� � �������D��� ����������������\���������� �� �'�J���c
�, 35π ���� , 9aπ ����
�, 59π ���� �, H\π ����
�, F\π ����
������ �
H5
3
W��>�:C�3�BW��>�6AW�>�F���
⇒ =⋅
⇒ = ⋅ ⇒ =� � ��
� � ��
� �� _� �π π
'�������&�
<F�� G=�����+�,� 1���� I����� ��� ����� ����� ����������������� ���� ���� � ������ ����K������� ��(������������������������������������������������� ������ ������������� ����������������/�������������� ����������������������
�,�π� �� ,���
�πR h
�,� π� ��
��,�π π�
���
�
�+
�,���
�π� �
������ �� � � ��� ��� ����=
� � � � ��� ���
� �= π π
� ��� ���
�= π
����������
<9��G8=+1�+1,�&��� �D�������01���G�1,
@�� � ���� ����� � = π
���1�������������������
������� ���������� �D�������01������ ��������.���0�
A
B C
�,���
π , ���
π
�,��
π �,��
π
�,���
π
������ �
A
B C
h
r
3 3
�
3
�������� � ����� �
������������������'(�����
������������
&�������*���������������������∆�( -
����� �� �
��
� �
° = = ⇒ =
����� �� �
�
� � �
° = = ⇒ =
���1���������������&������������ � ��
= ��
�������<������� � �
�
�
=⋅ ⋅
⇒π
⇒ =⋅������ ⋅
�
� ��
��
�
�
π
� ���
= π
����������
<J��G=������+�,�&������� �������01#����� ��D��������01�@�0!�@�!��@� ����(�������������� ��������������I������ ������� ������ ������� �!#1��������� ��D������%����������������������� ������0�
A
D
r
C
B
2r
D A
E
BC
������ �"�>�"���3�:"���
"�>�π ���K�:��3�:�K�π � ��
�
� �= ��
�π
����������� ��� �= π
���" �������"���&.2 3������������������8;��1����1���� ���� �̀�%�� ������������ ���� ��������
��"����������� �������������� ���G(�@�5K,�
D�������������@�5π�K�j�(�@�5πK�j�5K
���@�9πK�
D����������@�5�j����g����@�5πK��g�9πK�
��@�\�πK�
(�����>�@����j�(�@�πK��j�5K
>�@�5πK�
���������8;��1����1������ �̀�%�� �������������� �����������"�
��������� ������������ �D�������� �̀�%�� ��G��@�5K,
� � � �= ⇒ =� ��
�
D�������������@�πK��@�πK�j�5K
���@�5πK�
D����������@����g����@�5πK��g�πK�
��@�FπK�
�������� � ����� �
������������������'(�����
������������
(�����
� � � � ��
= ⋅ = ⋅��
��
��π
VR= π � ��
f��� ����������D���������� ������������ �$�������� �������������������
θ π= � Rg
1����� �����������`��%�� ����@�5K
θ π θ π= ⇒ =����
��������<������34���������������3������������+E�������!�������4������
�&��������2����-����<3��G8=K&�K&,�+���������� ���� �̀�%�� �����
35��������� �������������������������������� �, 399�π ,�9a<�π�, 5<<�π �,�\<<�π�, 9F5�π������ � ���������X�&�����⇔������������������'������
�������W�>�:U
W�>�6:�>�:UU�>�A⇒�"�>�πU��K�W�⇒�"�>�π�K�A��K�6:�⇒�"�>�F;:π���
����������
<5��G8=�����,�8���������`��%�� �������% ����������9����b��������% ������� ��c
�, 5π���� , 3\π� ���
�, 9π���� �, F5π� ���
�, a��
������ � ������X�&����πU��>�Fπ�⇒�U�>�:��>�:U�>�F���>�πU��⇒����>�Iπ���
���������� <F��G=������+�,�8����������� ����������
�������� �������������$ ������� ����5<����1���������� ����������������������� I�����(�����q����������������������������������� ������������b�����������D��������������(����L�����c
�, �� ���� , 5<���
�, � ����� �, 3<���
�, �� ���������� �#����0����⇒��������X�&����[���������������������������0����'����������H
�����������������������������������
��>���>��∆�
� � �� ��
� �� ����=����������%
��������!� ��.��� �
������������������'(�����
������������
�������� � ��!������0���� ��������)�!������#������������/����������D�����K���(��
��������3����������"��������������������������������"������D��������� ��������������/��������� ���������������K��/������/�������� �������� ����K����� ����
O
R
������ ��������������I������ ���������� ������� �����������������4������ ���� ����������.����������������D��� ��
O
Eixo
R
O
R
����#����!������!(����1(��������������34�����3!�����������
� ��/����� ����K�������"���������������������������������������������D�����/������������K�
����� �$�������� ������������������ �$����� �� ��� ���� ������� �� ���� �����������3������������� ����������D��� ��
O
Eixo
R
O
R
Eixo
R
����#���������!���6�������������������� ��� ����������
����$ ������b�������������������������� �������� �� ���� �������������$ ���������������� ���������� ��������(�������4������� ����
+����������D���������������������� ������� ���� ����K�G�r�K,������������� %����$ ������� ���� ����� ���������� ����K��� ������������ ���������%�� ���
�������������1����� ������������ �$�������� �����
���� ��/�� ����K�����.����- �=���
�I����������������������� �����������.���������� �$���������� ��
F �+����!���� ������� ����� 7��������������������������� ��������� �$����� ���������� �������� ������.����������������� ��/�
- ���������� �������������� ����� 7��������������������������� ��������� �$����� ��������� ������� ������.��
F A�������e� �������������� ����� 7����������������������������� ��������� �$����� �����������������������.����
��������!� ��.��� �
������������������'(�����
������������
�� ,����1����� ����������I�����+����+�������
������������������������������������������ ? ;=���;� ����� �������� ��/���� ����K�? ;=���;� � ��������� �� �� ��� ����� �
��`��%�� �� �� ���� �� /�� �� ���� K�� ���������� �������I���������������������� ��� �������������� ������ ���������������������������� ������ �������������� �� �� ����� ��� /� �I���� �� ���� �������������������������������������� ��
R
O1O2
�
R
2R
>������������� �#����#��� ���������� �����������������D����������������������� �������% ��������������������������
� � � � � �
� � � �
� � � � � �
�
� � �
+ = ⇒ = −
= ⋅ = ⋅ −π π � �� �
� � � � �
=
= ⋅ − = ⋅ −�
� � � �π π � �
��������!� ��.���
������������������'(�����
������������
&��������������% ������������������� �������� ������� � ���� ��"�� �� ���D����� � r� K������������ ���$������1������ ���������$���������������������������������
!��������������������� ����������L����� �������� �������������������� ����������������
� � � � � � ��
��
��
�
�= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅π π π
�����
� ��
��= π
�� /����������� � ��&��!� �1����� ���������I������ ����� ���
)����(������*������ �$��������� ������������ ��������� ��
dA
��@�% �������� �$����@����� �/�����������I���������� ��������� >�@���j�
!��������� ��
=
1����� �������� ��������� �$���������� ����������� ��/��� �����K��� ������K�?� �@�s�<����������������� ����������������I����
r r + d
� ��
P � ��
P� �= ⋅ + − ⋅π π� �
� ��
�P �P� �� � �= ⋅ + +π �
#������������������ �������� ��
��
�� ��� �� �= ⋅ + +π
1����� ����� I.������'� ������I�������� ������� ������������������� ����� ���)����(������*������ �$��������� �������
���������������������'� �����
�����% ��
����� �$���������� �
� ��� ��
��
�� �� � �
� �= = ⋅ + ⋅ +→
π
∴���� � �= ⋅π �
�� ��������&��������:�����!(����=�������� ��������� �������� �$�������� ��
������������ �������������������7�����D��� ��
/�D���������������������������� �������������� ���� �'���������
�
R
Arco equatorial
��% ������������ �� �������L�������D������α,�������- ���� ���
F\<o���9π�j�K�
�����"#�
��"#���@� α��°
�j�9π�j�K�
��������!� ��.��� !
������������������'(�����
������������
- ��� ������ 5π���9π�$�K�
�����"#�
��"#���@�5�j�K��j�α
� �������% ��������������� ����9�������� ��\<o��
F\<o���9π�j�9�
\<o�����"#�
� � ��
���
�������
��= ⋅ =π π
�������%���!(����1��(������ ��������� ��������� ���������
��� �������������������7������D��� ��/�D���������������������������� ����
���������� ���� �'���������
�
R
Arco equatorial
/�����������������(���� �� �������L�����������- ���� ���
F\<o�����
��π ⋅
���>�"�%�
����
��
������
�=°
⋅ ⋅α π
- ��� ������
5��
��
��π ⋅
���>�"�%�
� � �������
�
= ⋅ ⋅α
������������% �������� �$�������������(������
������������% ��������������������������$ �������� ����K�G ���������� �,�
� �����#����������(������ �������� ��9Jo��
����9������������ �, ������������(���, % �������� �$���������(��
'��������
�&��������2����-����<3��G8������+�,�/��������>�����������
�� ���� �����������I �����>�@�9]Fπ ���, 1����������������������������� ���
� @� F]9� ���� �� �� �������� � ��� �%������� ���7������������� �π �����2�� ��55]^�
�, +������������� ���� �@�F]9��������������� ��� ���� ����� ��"�� ������������� ����G�����������������������������,�����J�\��]������������ %������������c
������ �
�) � � ��� �
= ���� = ⋅ ⋅ ⇒ =
��
��
��
���
����
����
�
�π
�) � ��
�= ⇒ =� � ����
� ��⇒����≅�B�B��
���������) BB.CA����
�) B�B��
��������!� ��.��� "
������������������'(�����
������������
<5�� G=������+�,�8�� ������������$� ������"�� �������������\������������%������������� ������� ���8������� ������������������������ �� � �� ���������� ������� ��������������� ���� +�� �� ���� �� �� %���� ������ 3� ����������� ���������� ���
�, 3����, 5����, F���, 9����, J��������� �
"��>�"����������������
��
� �� �π π� = ⋅ ⋅ ��⇒ �U�>�;���
����������
<F� G81e�,�&�������� ����5\�������D���� �����'��������� ���� �������������������J���������� ���/� ����������������������������
�, a�, H�, 3<, 33�, 35������ �K��>� ��@���⇒+6;)��>� ��@�C��⇒
6AB�>� ��@�:C�⇒6AB�3�:C�>����⇒���>�6FF�⇒��>�6:���������2
<9�� G=�>�+�,� #���"����� ����� �� � ������������� ��������(������ ����� ������.�������� +��� � �� �� ������������ ������ ������ �����'������ ^a�J� ��� �� ������ ���������� ������ �������������������'� ����������� �� �����������������c
G1����� � �π�@�F�39,�, F3�9�, a<�, 3J^, 5<a�5�, 5\3�\\������ �
���������
��������"� /0�����/����1����� �
������������������'(�����
������������
��������"�#$�����#����%����������� � ���1����� ���������� D����Gt,����� �����>������� ��k�>������������� ������� D����� ���������� ������L�������������������D�����(��
�� �����>�
/������������������I���� - ���I������������������� �����>������������� D���������� ��(�- ���I������������������������� D���������� ��������� �������� D���������� ��k�?�(�
Gt,�����������%���������� �������������������
���������:���������
�������� D��������� D���� �����������������(���������� �'����������(����������
=
��� �������� ��F;, �� �'������ �����% ���� ������� �� ������ � ��
��� ����� �'����������(����� ��
�
��
9;, �� �'������ �����������������������������
�� �'����������(����� ��
�
��
3;, �� �'������ �����% �����������������������
��� ����� �'����������(����� ��
�
��
5;, �� �'������ �����% �������� ���������������
��� ����� �'����������(����� ��
�
��
��������"� /0�����/����1�����!
������������������'(�����
������������
� �������7��������<3� 1����� ������� D����������� ��
���� ��(����������0��6 ����������������� ������L������0����"�����D���������� ������
� D�������� �(������������������������
�������% ���9������1���������% ���0������� �
� �
���
�� � �
�� �
��⇒ ⇒ =
��� �
���
�= ∴ =
������=
<5� 1�������������������I������ ������ ���������F\<o���� ��'��������� ������� ��������.��
������ �
� ��
�=+
= ⇒ =�
��
�
"�������>�"����������3�"���������
�� ���
� ��
� �
=⋅ ⋅
−⋅ ⋅π π
� =��π
<F� /��I�����Gt,������� �������� D����� ����� �����3<�������������������� �������������� ���������������a�����5<���1����������������
Gt,��I�������� �������� D���� ������ ��������� ������������������������� ���
������ �
���@�A��>�6?��∴���>�I���
� �� �
���
� ����_=
+= ⇒ =
"������>�"�����������3�"����������
��� � ��
��
� ����
� �
=⋅ +��
��
−⋅
�������
�����
���� ��= − =
��������"� /0�����/����1����� !�
������������������'(�����
������������
<9� #��� �������% ������� �������% �������������� ��������������������������� ����������������������33������J��������������� ����� ���������a����
������ �
�� �
���
� ����_=
+= ⇒ =
���
� � � �����
�
� ����� + = ∴ =
�� �
���+
=
���
���
�
���
� ��+
= ⇒ =
� �� ���
�� � ����
= ⋅ ⋅ +���� − ⋅ ⋅π π
�����
����
��� ��
�= − =π π
π
� ��� � �� ��� ���
� � �= + ⋅ + ⋅ =π π π π
�&��������2����-����<3� G8=e��e�,� 1� ������ ���� � D���
����� ����������� ������ ������� ��9���� ���������� ���������������������������� �������������������������I���������������"����������������� ����� ��������� D��������������������$��� ��
�,�3 ,�� �−
�,�9�?�� �� �,�� ��−�,�5������ �+P)�#�������������������=�������������������
��������������� ������*��������������������������������������
������"���*��������������������������"9���*��������*����������������-
+PP)�"�>�:>9��⇒���� �
�>�:� ⇒��V��>�:��⇒��V�>� ��
+PPP)� ��
�� = ��⇒����
��= ��⇒����>�� ��
+P")� ������@�W��>�W��⇒��� �� �@�W��>�F��⇒��W�
>�F�3�� ��
����������(
��������"� /0�����/����1�����!�
������������������'(�����
������������
<5� G8�0�#=,� 8�� ����� �� ���� � ���� �
����������� ���������� ������L��������������
�������� ������+���(��� ����>����������������������������������� ������������ ��������������
�,���
� �,�����
�,��� ,��
����
�
������ �
� ��
��
���
���
���
���
����
����
� �
= ������ ⇒ =
�
����
�
����
= ���� = ⇒
� �� ���
� � � �= ⇒ =� �
#���������������'����
������������������������*�������������������������&-
"������>�"����������3�"���������
� � ���� ��
���
������= − =
���������%<F� G=������+�,�8�������������� ����
���������������� ��a������ �����������F����b�� ��������(7���������������������������������%������� �������������"�����$���������� ��!������������� ���� ���$��������������������
�, ��
��� ,��� � ���
�, \��� �,��� �� ����, 9��������� �+P)�������������������������������������-
+PP)�"�>�:"9��⇒���� �
�>�:�>�V���⇒��V�>� ��
+PPP)����>�V��⇒�� �
���= ��⇒��!�>�� �� ���
����������2