Download - Matematická analýza
Matematická analýza
V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).
Klasická algebra neumí dobře pracovat s nekonečny. Vektorové prostory sice mají nekonečně mnoho prvků a mohou mít nekonečné dimenze, ale sečíst nekonečně mnoho vektorů klasickými prostředky nelze.
Machrováním s nekonečny se lidé začali zabývat relativně nedávno – cca 400 let. Základy oboru, dnes nazývaného matematická analýza položili dva vědci – G. W. Leibnitz a I. Newton. Z Newtonovy strany analýza vznikla v přímé souvislosti s fyzikou.
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716
Isaac Newton 1643 - 1727
Achilles a želva
Zeno Elejský 490 – 430 přnl.
Zeno Elejský byl před-sokratovský řecký filozof, člen Parmenidovy školy v jižní Itálii. Byl označen Aristotelem za zakladatele dialektiky, nicméně známější je díky svým para-doxům, například paradoxu o Achillovi a želvě.
Achilles honí želvu. Protože je dobrý běžec, dá ji náskok. Než ovšem uběhne tuto vzdálenost, želva se posune o kousek vpřed. Zatímco Achilles běží tuto novou vzdálenost, želva se dále pohybuje a opět se vzdálí (nově položená vzdálenost je sice menší, ale nenulová). Na základě této pokračující série dochází Zeno k tomu, že Achilles želvu nikdy nemůže dohonit. Myšlenka je ale v příkrém rozporu s pozorováním – je to tedy paradox?
Achilles a želva
tn , sn
vA vZ
tn+1 , sn+1
vA vZ
tn+2 , sn+2
vA
vZ
A
nn v
st
tvsvs
tts
v
Znn vts 1 nA
z
A
nz
A
nn t
vv
vtv
vs
t
11
Čas Achilla Nová vzdálenost želvy
Následující čas Achilla
6543210 tttttttt Čas pro chycení želvy
0000 t
vv
vv
vv
tvv
vv
tvv
ttA
Z
A
Z
A
Z
A
Z
A
Z
A
Z
00
432
0 1n
n
A
Z
A
Z
A
Z
A
Z
A
Z
vv
tvv
vv
vv
vv
tt
Je tento součet nekonečné
geometrické řady konečný, nebo ne?
Okolí bodu
Buď a bod z R, ε z R+. Otevřený intervalDefinice 60.
R aa ,nazýváme ε-okolím bodu a a značíme Ha(ε), stručněji Ha. Obdobně lze definovat levé a pravé okolí :
aa HaaHaa ,,
ε-okolí nekonečna definujeme jakoDefinice 61.
HH ,,
Buď a, b dva body z R. Ha, Hb označme jejich ε-okolí. Potom platí:Věta 21.
HaHbHbHab
Jsou-li a, b navíc různé, platí
0 HaHbHbHa
a b
a b
Limita posloupnosti
Pojem limita posloupnosti se týká chování posloupnosti, pokud sledujeme prvky s indexem neomezeně rostoucím – tedy v nekonečnu. Mají prvky následujících posloupností pro velmi vysoká nějakou tendenci?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
neomezeně roste(nekonečná limita)
stále osciluje(limita neexistuje)
blíží se k šestce(limita je 6)
Limita posloupnosti
Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má konečnou limitu a právě tehdy, platí-li
Definice 62.
),(0 00 aaannnn n
zkráceně
aa HnnnnH 00
Tj. ať si zvolíme libovolně malé okolí bodu a, vždycky najdeme prvek posloupnosti, od nějž všechny dál do okolí spadnou. Pak píšeme, že
a
ε
ε
ε
εεε
aann
lim
Limita posloupnosti
Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má nekonečnou limitu (kladnou, resp. zápornou) právě tehdy, platí-li
Definice 63.
n
n
annnn
annnn
00
00
0
0
zkráceně
HannnnH n00
n
nalim
ε Pozn. : definice s okolími bodů je univerzální pro konečnou i nekonečnou limitu:
ana HannnnH 00
Limita posloupnosti
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.Věta 22.
Důkaz provedeme sporem. Kdyby posloupnost měla dvě různé limity, třeba a a b, muselo by zároveň platit
aa HnnnnH 11
bb HnnnnH 22 Protože ale lze zvolit dvě okolí Ha, Hb tak, aby neměly žádný průnik, nelze najít takové n0 = max (n1, n2), aby všechny prvky od něj dále ležely jak v Ha, tak v Hb.
a
b
Limita posloupnosti
Buď an reálná posloupnost. Tuto posloupnost nazveme dle limity jakoDefinice 63.
R
aannlim konvergentní
n
nalim divergentní
nna
lim oscilujícíneexistuje
Buď an konvergentní reálná posloupnost s limitou a. Potom platí:Věta 22.
1) an je omezená (shora i zdola)
2) lim |an| = |a|
3) posloupnost anp vybraná z an má rovněž limitu a
Buď an divergentní reálná posloupnost s limitou plus resp. mínus nekonečno. Potom an je omezená zdola resp. shora.
Pozn. : změníme-li konečný počet členů posloupnosti jakkoliv, limita posloupnosti se nezmění.
Výpočty limit posloupnosti
Jaké limity mají základní posloupnosti?
n
nlim
εε
εε
01
lim nn
ε
ε
Tyto jednoduché limity je třeba dokázat z definice.
Výpočty limit posloupnosti
Pro potřeby limitních výrazů definujeme :
)(
)(
)(
)(
a
a
)()()()(
)()()()(
aaa
aaa
)()()(
)()()(
0
aa
Platí pro a > 0. Pro a < 0 se výsledná znaménka otáčejí.
Výrazy vychází přímo z definic limity a platí pro všechny posloupnosti nezávisle na konkrétní podobě an.
Výpočty limit posloupnosti
)(0),(0,0
,0
,,
,,,
Následující výrazy jsou neurčité – hodnota limity závisí na konkrétní podobě posloupnosti (tvaru an):
Buď an , bn dvě reálné posloupnosti, c reálné číslo a nechť limity obou posloupností existují. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí:
Věta 23.
Výpočty limit posloupnosti
nn
nn
nnn
baba
limlimlim
nn
nn
nnn
baba
limlimlim
nn
nn
acac
limlim
n
n
nn
n
n
n b
a
ba
lim
limlim
O dvou policajtech : Buď an , bn a cn tři reálné posloupnosti, nechť platí
Věta 24.
Výpočty limit posloupnosti
Raba nn
nn
limlim
nnn bcannNn 00
acnn
lim
1)
2)
Potom platí, že .
n0
Výpočty limit posloupnosti
VypočítejtePříklad
2lim nn
2
1lim
nn0
nn
n
1lim
2
1
lim 2n
nn
0
1
1lim 2
2
n
nn
1
12
13lim 3
23
n
nnn 2
3
Výpočty limit posloupnosti
VypočítejtePříklad
nnn
1lim 0
n
n
n
)2(lim neexistuje
125
2lim
n
n
n
11 3)2(
3)2(lim nn
nn
n 31
Výpočty limit posloupnosti
Ukažte, žePříklad 0!
lim n
an
n
Využijte přitom tvrzení, že pro posloupnost nenulových reálných čísel platí
0lim1lim 1
nn
n
n
na
a
a
Pozn. : z příkladu je vidět, že výraz n! roste nesmírně rychle – rychleji, než libovolná exponenciála!
Zajímavosti
Eulerovo číslo a další podobná jsou definována pomocí limit:
Pomocí limit posloupnosti je definována obecná mocnina:
59045 18284 2,718281
11
11
limlim
n
n
n
n nne
Buď an konvergentní racionální posloupnost, tj. pro kterou platíDefinice 64.
R
aannlim
buď x reálné číslo. Obecnou mocninu xa definujeme jako
Pozn. : k této definici je samozřejmě třeba ukázat, že tato limita existuje a že se neliší pro různé posloupnosti an se stejnou limitou a.
na
n
a xx
lim
Nekonečné řady
Buď an posloupnost reálných čísel. Nekonečnou řadou o členech an rozumíme formální výraz
Definice 65.
1
54321n
naaaaaa
Pozn. : nutnost přesné definice „sčítání donekonečna“ je zřejmá z následujícího příkladu. Sečtěte řadu čísel
11111111
Na problém můžeme nahlédnout různými způsoby:
0000)11()11()11()11( 1001)11()11()11(1
Který je asi „pravdivější“ ?
Součet nekonečné řady
Buď an posloupnost reálných čísel. VýrazDefinice 66.
n
iin aS
1
Nazveme n-tým částečným součtem příslušné řady. {Sn} rovněž tvoří posloupnost reálných čísel. Definujeme, že nekonečná řada má součet (konverguje), právě když
R
SSnnlim
n
nSlim
nnS
lim neexistuje
Definujeme, že řada má nekonečný součet (diverguje), právě když
Definujeme, že řada nemá nekonečný součet (osciluje), právě když
Součet geometrické řady
)()( 1 nn aqanq NR
1
11
q
qaS
n
n
Připomeňme si, co je geometrická posloupnost:
Částečný součet
qqq
qq nn
n
11
11lim
11
lim
Tedy
1 11
n
n
qq pro q < 1.
Součet nekonečné řady
Nutná podmínka konvergence řady : Nechť řada konver-guje. Potom
Věta 24.
0lim n
na
1nna
Jinými slovy toto je základní kritérium konvergence. Na to, abychom vůbec mohli uvažovat o tom, že řada má konečný součet, musí být limita jejích členů nulová (nutná podmínka). Podmínka ale není dostačující – je-li limita členů nulová, neznamená to automaticky, že řada má konečný součet!
Bolzanovo-Cauchyovo kritérium
Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Platí, že an je konvergentni, právě když
Věta 24.
npn aaNpnnNn 000
Pozn. : posloupnosti, které splňuje tuto podmínku se říká Cauchyovská. Věta platí pouze na úplných prostorech, například Cauchyovská posloupnost v prostoru racionálních čísel limitu mít nemusí.
Bolzanovo-Cauchyovo kritérium je nutnou a postačující podmínkou konvergence reálných (i komplexních) posloupností.
Kritérium lze samozřejmě použít i na konvergenci řad. Dosadíme-li místo an Sn, pak
npnpnpnnpn aaaaSS 21
Věta říká, že na to, aby posloupnost konvergovala, se musí se členy posloupnosti k sobě neomezeně blížit s rostoucím n. U řad pak platí, že součet libovolného počtu členů musí být neomezeně malý s rostoucím n.
Součet harmonické řady
Pomocí B.-C. kritéria ukažme, že řada je divergentní, a to i přes to, že
1
1
n n0
1lim
nn. Tato důležitá řada se nazývá harmonická.
Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že řada B.-C. kritérium splňuje, a pro libovolně zvolené ε absolutní hodnota součtu p členů od n0 výše je menší než toto ε. Zvolme například ε = ½. Pak existuje n0 takové, že pro všechny n>n0 a pro všechny p platí
21
21 npnpnpn aaaa
Zvolme n = p a zkoumejme, co to udělá:
21
21
21
211
11
21
nnnnnn
n-krát
Tedy jsme došli ke sporu:
21
21 npnpnpn aaaa
D’Alambertovo kritérium
D’Alembertovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita
Věta 25.
aa
a
n
n
n
1limPotom je-li
konverguje řada ,1)11
n
naa
diverguje řada ,1)21
n
naa
,1)3 a nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout
Raabeovo kritérium
Raabeovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita
Věta 26.
aa
an
n
n
n
11limPotom je-li
konverguje řada ,1)11
n
naa
diverguje řada ,1)21
n
naa
,1)3 a nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout
Pozn. : všiměte si, že oproti D’Alambertovu kritériu jsou nerovnítka obráceně! Toto kritérium ukazuje konvergenci všech řad se členy typu 1/n2, 1/n3, 1/n4, …
Součty nekonečných řad
Pokládejte na stůl libovolný počet hracích karet na sebe tak, aby se navzájem přesahovaly. Jak daleko můžete dosáhnout za okraj stolu, než se celá stavba zřítí?
Příklad
l = ?
Limita funkce
Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí
Definice 67.
cfaac HxfaDHxHH )(}{
značíme
cxfax
)(lim
Limita funkce
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
cfaac HxfaDHxHH )(}{
K čemu se blíží hodnota funkce, „lezeme-li“ po
definičním oboru k číslu 4?
2.3)(lim4
xfx
nehledě na to, zda je funkce v bodě 4 definována či nikoliv.
Limita funkce
Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí
Definice 67.
cfaac HxfaDHxHH )(}{
značíme
cxfax
)(lim
Limita vyjadřuje chování funkce v blízkém okolí bodu a bez ohledu na to, zda je bod a v definičním oboru či nikoliv!
Pozn.: Body a a c mohou klidně být i nekonečna – definice okolí nekonečna je jasná.
Pozn.: Stejně jako limita posloupnosti je limita funkce jednoznačná – buď neexistuje, nebo je právě jedna (pro pevně daný bod).
Limita funkce
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
?)(lim4
xfx
cxfx
)(lim4
?)(lim9
xfx
?)(lim5
xfx
Buď f , g dvě reálné funkcí, c reálné číslo. Nechť v bodě x, který je z definičního oboru f i g existují limity obou funkcí. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí:
Věta 27.
Výpočty limit funkcí
)(lim)(lim)()(lim000
xgxfxgxfxxxxxx
)(lim)(lim)()(lim000
xgxfxgxfxxxxxx
)(lim)(lim)()(lim000
xgxfxgxfxxxxxx
)(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0 xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
Spojitost
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
Lze funkci „nakreslit jedním tahem“?
Zde funkce není spojitá
Zde funkce je spojitá
cfaac HxfDHxHH )( )()(lim afxfax
Heineova věta
Věta 27.Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné bod a buď z definičního oboru. Pak cxf
ax
)(limprávě tehdy, když pro každou posloupnost xn s vlastnostmi
ax
axn
xn
nn
n
fn
lim)3
)()2
)()1 D
je limita
cxf nn
)(lim
Najdeme-li byť jen jedinou posloupnost výše uvedených vlastností, pro kterou výraz f(xn) nemá limitu c, limita funkce v bodě a neexistuje.
Výpočty limit funkcí
Ukažte, žePříklad
1sin
lim0
x
xx
ex
x
x
11lim
1)1ln(
lim0
x
xx
eex
x
lim
11
lim0
x
ex
xa
x
a x
xln
1lim
Shrnutí
• Okolí bodu
• Limita posloupnosti
• Výpočty limit posloupností
• Součty nekonečných řad
• Výpočty součtů, kritéria
• Limita funkce
• Výpočty limit funkcí
• Spojitost funkce
• Heineova věta