MATEMATIČKA STATISTIKA – Primeri zadataka za ispit
Operacije sa skupovima
1.
Nađite uniju i presek skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 8}
Rešenje:
8,6,5,4,3,2,1BA
4,3BA
2.
Nađite uniju i presek sledećih skupova (intervala) na pravcu p(AB) u intervalu [a,b]:
a) [3,5] ∪ [4,7]
b) [3,5] ∩ [4,7]
c) [2,5] ∪ [2,3]
d) [2,5] ∩ [2,3]
Rešenje:
a) [3,5] ∪ [4,7] = [3,7]
b) [3,5] ∩ [4,7] = [4,5]
c) [2,5] ∪ [2,3] = [2,5]
d) [2,5] ∩ [2,3] = [2,3]
3.
Neka je A = {1, 3, 5, 7},i B = {2, 4, 6, 8} i C = {5, 3, 1}. Nađite skup CBBA \ .
Rešenje:
7\ CBBA
Imaginarni i kompleksni brojevi
1.
Skratite sledeći izraz:
ili
2.
Skratite sledeći izraz:
ili
3.
Izračunajte:
Razmere i proporcije
1.
Napravite jednu proporciju iz jednostavnih proporcija:
Rešenje:
2.
Napravite proširenu proporciju od sledećih jednostavnih proporcija:
Rešenje:
Neka je
=>
=>
=>
Proširena proporcija: ili
3.
Među 5 članova treba razdeliti 15800 dinara tako da im se delovi odnose u proporciji 2:5:4:8:6.
Rešenje:
Izračunava se faktor proporcionalnosti:
4.
Dve grupe radnika zaradile su zajedno 96875 dinara. Sumu treba podeliti srazmerno uloženoj količini rada izraženu
visinom satnice. Prva grupa od 15 radnika radila je 20 dana po 8 sati dnevno, dok je druga grupa od 30 radnika radila 10
dana po 6 sati dnevno. Satnica druge grupe je veće za 25% od prve grupe radnika.
Rešenje:
Grupa A treba da dobije
Grupa B treba da dobije
5.
Ako 25 radnika radeći 10 dana po 7 sati dnevno iskopa 420 kubnih metara zemlje, koliko će zemlje iskopati 20 radnika
radeći 8 dana po 6 sati dnevno?
Rešenje:
25 radnika
↑ 20
10 dana
↑ 8
7 sati
↑ 6
420 m3
↑ x
------------------------------
Opšti brojevi i operacije s njima
1.
Rešite izraz:
2.
Rešite izraz:
Algebarski razlomci
1.
Rešite izraz:
2.
Rešite izraz:
3.
Rešite izraz:
4.
Rešite izraz:
Računske radne sa potencijama
1.
Rešite izraz:
2.
Rešite izraz:
3.
Rešite izraz:
4.
Rešite izraz:
Korenovanje
1.
Rešite izraz:
2.
Rešite izraz:
3.
Rešite izraz:
Racionalizovanje imenioca u razlomku
1.
Rešite izraz:
2.
Rešite izraz:
3.
Rešite izraz:
Linearne jednačine sa jednom nepoznatom
1.
Rešite jednačinu:
Linearne jednačine sa dve nepoznate
1.
Rešite jednačine:
Rešenje:
2.
Rešite jednačine:
Rešenje:
3.
Rešite jednačine:
Rešenje:
Kvadratna jednačina – nepotpuna kvadratna jednačina
Opšti oblik:
1.
Rešite jednačinu:
------------------------------------
2.
Rešite jednačinu:
Rešenje:
Kvadratna jednačina –potpuna kvadratna jednačina
Opšti oblik:
Rešenje:
;
1.
Rešite jednačinu:
2.
Rešite jednačinu:
Verovatnoće
1.
Klasična verovatnoća (a-priori)
U vrećici je 5 zelenih i 3 bele kuglice. Izračunajte:
a) Kolika je verovatnoća da se izvuku dve kuglice različitih boja?
b) Kolika je verovatnoća da će se izvući dve kuglice istih boja?
Rešenje:
a) Ukupno ima 8 kuglica. Ukupan broj kombinacija na koji se mogu izvući dve kuglice (bez obzira na boju) je sledeći:
Povoljni slučajevi kada se svaka od 5 zelenih kublica upari sa svakom od 3 bele kuglice: 5∙3=15.
b) Nepovoljni događaji su oni kod kojih se neće izvući dve kuglice različitih boja:
2.
Totalna, zbirna, ili-ili verovatnoća
Tri dobavljača, A, B i C, pokušavaju da dobiju narudžbu od kupca. Direktor preduzeća A je uveren da ima jednaku
verovatnoću da dobije narudžbu kao i preduzeće B, dok u odnosu na dobavljača C ima dvostruko veću verovatnoću.
a) Kolike su verovatnoće da će dobavljači A, B i C dobiti narudžbu?
b) Kolika je verovatnoća da će narudžbu dobiti ili dobavljač B ili C?
Rešenje:
a) Verovatnoća da će narudžbu dobiti dobavljač C označićemo sa c, a pošto dobavljači A i B imaju dvostruko veću
verovatnoću u odnosu na dobavljača C označićemo sa 2c. Pošto ukupna verovatnoća mora da bude 1 ili 100%, to znači da
dobijamo sledeću jednačinu:
Verovatnoća da će dobavljač C dobiti narudžbu je , da će je dobiti dobavljač A je , a da će je dobiti dobavljač B takođe
.
b) Verovatnoća da će narudžbu dobiti ili dobavljač B ili dobavljač C:
Funkcije
1.
Zadata je razlomljena funkcija: . Dokazati da vredi sledeća jednakost:
Rešenje:
Determinante
1.
Napišite u obliku determinante sledeće izraze:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Rešenje:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2.
Izračunajte:
a)
b)
c)
d)
3.
Izračunajte vrednost determinanti:
a)
b)
c)
Rešenje:
a) —
b) —
c) —
4.
Izračunajte vrednost determinante četvrtog reda:
Vektori i matrice
1.
Data su tri vektora:
, , .
Izračunajte vrednosti vektora: a) 2u; b) –v; c) 2u–v; d) v+z; e) u+v–z; f) 2u–3v–z; g) 3u–v+2z.
Rešenje:
a) b) c) d) e) f) g)
2.
Izračunajte komponente vektora u na osnovu sledeće jednačine:
Rešenje:
3.
Izračunajte vektor x na osnovu sledeće jednačine:
Rešenje:
Prema tome, sledi da je:
4.
Izvedite računske operacije:
a)
b)
c)
d)
5.
Za sledeću matricu izračunajte A2, A
3 i A
4:
; ;
6.
Rešite sledeći sistem jednačina uz pomoć matrica:
Rešenje:
Potrebna je inverzna matrica A-1
:
Matrica kofaktora:
itd.
Determinanta matrice A:
Transponovana (adjungovana) matrica kofaktora:
Inverzna matrica: