Matematik 223. (Kurver og flader irummet)Almen beskrivelse: 'Der tilstrrebes fortrolighedmeclgenerelle begreberogegenskaber vedrerende kurver og flader i rummetrsamt medfladers indregeometri. Kurset leegger veegt pa: det anskueligt geometriske, uden at giveafkald pa.matematisk korrekthed. DeI bygges iseer padifferentialregning for,funktioner af en eller to variable.' "Leeren om fladers indre geometri gay inspiration til" og er stadig naturligindgang til teorierrfor krumme rum {differentiablemangfoldigheder, Rie-mann geometri). 'Indhold: Tangent, krumning, oskulationsplan og torsion for ,en kurve irummet. Frenets formler. Parameterfremstilling for enflade .i rummet.Tangentplan. Kurver pa en flade. Hovedkrumninger. Gauss', krumningsmal,Bejning, En flades indre geometri. Theorerna.egregium, Geodietiskekurver,geodeetisk parallelforskydning og geodeetisk krumning.Skema: 2 timer foreleesning og 1 1/2 time evelser om ugen i forarssernestret.Eksamen: En skriftlig 2 timers prove uden hjselpemidler. Eksamen holdes kunom sommeren.
J'u'pI'Iehende nt>feh' oj 7tIJ~ Gu.tma.nn ma.~cn
.G. "",a.vt
1979
e. ~/f.l' t91j
1/()~e"AaU'n~ 2I""l1~J,-te..t
mede.n'1a,tt'sR 9n"n-tut
· (
Ga.u.s,s , hau.",.,,,,,,~n'C:' lMe.tI
·Cn/Ia.de.s ,:rzelA.e Je.f>""'~' b4ed'
nye bf.t~,l'!dst.ll. Clva.i.st~1 ~,"6t>l4li" ,1'.42
71nelA~ jet>wte.~· t" 1" 45
11naAf Je.t>"'e.~' e. ,P. -'1.6
7);U-1e~4 e.J4 eJ ''u"", ,P.49
'3evtt!je.tser el'1f1ru:6, ,P' ..II. f"I
J~tJ'"Jet>-dadt:rk 6U1VJf!jfl.tsfl~enj14.et., ,P. 4; fj
G~odtJdc'de gw..veAre....lla.~, ,P../t.f6
G~txlod,:S.l!e k~tJV&.S h'U",t,meJ,tYt.s..e4.6" ,P'-'/.I!
Gu;doe:fi.~k,PtMJ dr -IR1"1'V"nj1,P' 4(,2(
Geo-dqe;f,:Sk haf.lWtl'tI", ~.q.2t
¢v-e.I.seJIJ/tUf,
CK.,s A.h'fenJ '1'7A.e.o~
;7't>1"..,e./.s4.~ 'r.
Ck.s4".,en~e".tu.wr 1979
~~~ O-Lt?(un1"..,d. O,on Rwu",eJe.re.J,d;
~Wlwten~
C>.., jleule./Jeyte.Jd
Af6,'/dJ'l'-" i II~eleA
~",.,wrc"t4Jl .
/p,,(J,1Ja
iM.&eJ-
'.d~eq
~&U
at ~ '().qb
o.~ .. o.8f. f ~ 1.5
2.( -8.1
3, f
3,2 -- ~'.It
L;. l' - ~.a'I
lIo'6t ,,),AvI'tJ 2In.t·Ve!to.ll,'fet
ma-,te"",AZt'.sk 9~stl·t"t
n1a..teWlfhit-; 2.2.1. ~~M bf/IAdeA t' ,,'utwtn-tet.
Ck,u:t.m~~en.sum lJt>'Wlme;; (979.
I. k~t·te~ 19 (-~ , 14-11.
He/l4j ~"kuA.stM./sR: /'. "/8 «. f9'/l 1 .z:J~-241 J 235_.2lfO~ 776_77'~
lJAm.t ek.se.wr1fAnt ~ ~ ~ I~ f-S -'I~ 5~ 55.
~" jiYI.6t.j:..s: eklS~'ple.-1ne (~/~ 45;4~ 4~ 50.
3. kD.,Pite..~ f f .10-36 '1 ..I;()-./;3.
IIVt'Y ku." kuASfJJttJR: ,f/. 19()~- f90~ f95,.,-196~ 2295 -.2jO/~
.tjlf_.2jt I9 2$1, -239 '2~ 7 )
~tA.nd e/(lIenr'e.-1l'ft ~ ~ ~ s, I~ 2~ 2~ .£9.~"fM6~~.s: ,P. 19()s-19-9~ .2j7,0-2:17, J
ISAJrd e/(.se-;olfA1'?f I~ 2~ 2~ 27.
J'u"p'p/~e.J't~ ;t~~ at h1t Gut""4"11'V 17ltvLse"l 2. U~4v-eJ 1979:
~e~ ~ ~ e J OJ 4.
f/eAe( ku.#'f kuA,stnt',sR.. p. -'I.136 - .4(I~ ,
~o~e,., ~ 1Ik4("ej , VtMM 2 t,,'''''eIl. 2~ ..dtlle..s 4,., etieAjl~' S'M!,1e ';PjQd'eh,
e1lM du ..sn't'&.s ".Jtt'/e~rve4)", ~t}en d~ t);",ske.sjJ~t .he.dA.r ~ere6Vt, .stJd·
h;~~ ,/e4c.1l 6e.tk~f!/l ent4"r ,Pvr..sM.WI. Ct.Je,.,tue.tt Rf.t.M de.t~ We. 0"" en
"/4n.et~ e{~ neet1~ ~e."'~s~. 1-j'ee.y,e.h'!;dleJI Ra.#'f c:.th me~7uJ
me"rn-re.!.sevn/'''y&nr- n~te-\nl ~'I &/,'ve ..4~e.t ttl 'Y'jet~e.JfJe.ttet.
Ja.""Ah It} 79.1 ~e Gt.Co-tI7TQ#'f'" mAe:l.se""
ivte.v af
~t.<h'?md_
M triol lkke "rMe t:tj~tLtVLE' de;t 4Uh?/ (.)('0A..6/~m~ hie"
!>It>t "'a!~neI at d~ eA en W7ervyeie E ==~ 11'"~ ,en hta2~a't ..
V=~ atud~, n1Me,P"-ce.c,jt d ~fYVI.uwt v= ~ t>-UVl /RajdJ'
mvrlStt,.n S, Ct-),l.HVt.t M.t:bze.t,l"Vl ,ifQ i ~u.nktM 6e.sten'twtVi en U'ek-
t~ ~= PO, , 4Jte~ ..-. -.. ---..
(i> Y/jQII( E E.. .PQ + (21( = P/?o--+
(il) 7lM!A.~t)'D-tdt (J"tSE eA p,..(lP en 6j~td- afb~1dn/"1E~.1-<o --P
~ (,.l:) an~~a'ul ~ h"l4n fVtne OJ) ISted'ue.k~ id ~ '/ 0'.k4.~J
un,Pun.!djfYi "te~ektM~ ~ b~)l'tddsf.JI'"~t.
cndeL; ~ d~ t' /IetIJk~r~ t1j ,wrevr k'.ur~~ ztA.lf! I>h1
lJted~jf A.dw~~ k~~d/n~ rczii~~) .66S~~rl~aftl.t
f'u,,/d a , ei.sod1. ~e jJQAv-is QI~eAe.t4 e"hcdsQektDieh.1~) , 5·ct tfotistd ~pz) (I;J,f3 ka.t~ k"fJ't.cI;~..t ttY/. ~fl" ..IL =)(,i. .,.Jj ,,~~~ed),vr.,,,," -6:/ ba..stJ ~:';~!1), '')eJ(JoWf dd Ata'u k~~;,JJtJethffU'!:."",n itf kwu"'na.ts7t~ (0;.Lj~!)r ,Pu.,.,ktd P NleelJhd~tcM (),tJ=.It =){! +,j ,. ~!f ·
~e \J~~A""1e 4e.tiJ'ln.e~~ k~n.d/IS~~1~t4 f.' to- k&:u
.s~, kt:ddd A~~e.k~~;.r~/.s~me-\7 VflI't.tztc.ko-Me:t;"'J,..s~wt~.
~eI te~e..:~.ike u.no/eJ,~dsell ue~~e,,~ &eQU.I'e/i 7/tAclfIA I.'
/tMlnmd E =~ ~fA<r-: d 6~/",a'dJu'punkt a1191 a.tNunnf
.lvu7' iJe.ktDieli t' rlli i 1r1~t. R"'n~e.Z't ~jAVM VtJdp ~et k~di'
nAi.s;dtf!.h1. "w QA~""~ h7e.d~t~tA "Jteddr k~~:..ra.t~.J/~
Jelt,!f e" bee6",je~",,~I:Sk jl9l.Jt4e.tse/ 'Y de./-~ «en ~ent~f rel~td d t:t"e6tc.t~ i b~nd~e.s"pu,.,kt Jto-l.6~~ add,~'trH a(enj'~t
iJektDot -ttl~ ..sted~Meh, -,,, ()tnelA(.,,~ c4.t CJ) ~a'c.".6~4~, .14
Jl1evd de,./, Gt;f~e~t£At.S. A~dell nta-" ""eolk~~na.t~1 A.. ~t::6Le..t
~ 'fK~eI,~:rtc.wrjC"la"t""'M' k~';c~e.'" r'eA.
dirt kuA (,}e.b~e.bd.
en kfr,.,.i;"na"",t '1~;ldn,'" /": t ~ It 1d ~nk~ I E IR~rr.d t' AUhfWfd ka..tdu oys; e",.e4.-tAwt~~e~.sz$~HJ'j.tY1 sa kD-~~eJd kuAue.
men ),~d~ en k(}-,d;~"vdku/l,t.Ie ?
--r----J
La.eI()-J b~~~e r~ k~,d~u~ i')(/Id",~ "P. '/ v i ud~I f II? , J'i e uul (.A.eu,.,,,,,e.t. rld-l.J d~-ndeJ ~h-n:it",uvd,
. .Jtee'/thft1'nerttl-nl~ttfJ." 1; d~ a(b,"tde..t J;;: I, .s~6Lde..s a.t
).I :: /-0(,
d4 vka..l/'" , V 4~ne.slen~4-\4".,de4
j!tewt.ste'Lt'"=,eIl j..tYt JA".,,,,,, kD'n.z$n«~
ktJA,fJe.
----+--+-- I
~~tte7 M he-'l t~ "'", en cekH'
~en.Mel~~;"" " W'/tJf!JfJde.n at~:"'UM
te 16l'1dnl"-J fIA of~nte4~ ,tXt./R end
4- At.<.""mJ. en k~,d,~/,.{~ kuA~ d J;Sn ~~;ZJklt:U,",e. m~ ,6u;)e6 a£t
\/;' v'Je, J ~ OJ v 4~«.sen.te.Uh JQ.wtlYlt ~n6n",e.d~ k«AtN. ~k.t;,.
one" Y ktdeLe.$ d "e.a4evrtete/Wk~.
?'tVrAW'/~e,....,.s~tt~M"le/"'" v Jeje.J atr4!wt.s~~k~lNnmedvo.'1'1h1e ef4." ~td1-e~ewr.t/6.M.etn./C!:!, ~V1 Jt>-h'f Yr~tVi at~ u-ed e.t iH-k.senelt diCIt et a.jAje",de,Pa/ta.",dflA.skfl r. -Zbr.eI.t4JeL.teJt~ .. n~ a& k~")P"""M..tr~ cJAhU,.,e"I.a"'l. n~/eltk~
vtevr.t, ita." '1'1a.,., na.tw\.7w :s ei!A~ .ske.ln, 1'ne.1&", -t:,.jen,.,ewtb'6.s~etn;7""
Ck.1ewr/d. /!j/n'/=,nJen/: t .... f j/~e.t u-e~
(it; =~t, t~ [~ ~[J
~~ 0-SIt ~tIAoSt?unkt , ~ '*~ flnJ4.1t b'e.~t~ /A.",.",.,.,e.~ re",oSletl~
en JrQ,lutn,.,,~ Je"I'fe.wt./d~d jta ende;>unktd 0. me..eI 01 =gt.t"
if: [~oo[" , /',e.ltt..deJ hfed 01 =.Gt~ -t~ l-~J()J, f~ \J4W1"'" kWlI/e
~nJ t' \St'dst, z$1~ d7 h1~d'h'ZtN:J6sarjen"eHr-Io'6.she.tn t'njJ h'Ze.dt!I'f.S
0'1/ =E-t~ tGJ-~ oo~ j/t.!eJI e." 7 RWl-Vt. .. ),Q,Iv-/''",,.'tt,nJe.nnewdo'ks to-
~,e.
'1je..ht~ at /'ere.~eA \SINn tA/~ J,.Pids , k,."teR ~. d k~
eH.'pu.nkt ~ ~e..oukt::t.b~ ,rea'ku.JuJen: ht4n ",to!d~ .s;nt>k ~1Qnj:JQA4
m~~eh'Uz$tt" !tYt k",u~en ,;eell;.uijo~,.',.cJcn 1ei,:Uc J';re.JUI (67e.n
,/J. ~ - 9H )" n:f.n de.tu .ud~ ~~etv~ hwteen i ~den..s~e.&.tt f.WfJ-6itX;M,. del! be7~' :2/~eJeJvtE' ~/1;'el-7 n~'v Aa.lv-ta.njed\S~~t~ntetd tevyedfh ~e.n.skQ.611Aved kuA.t/oen be.thytd
b'ledsab~t~jt.MnewrLo'6.vte:t"u'71-:
z/i.ei en n-J-evr.-J~ d#-~cn:t,aL,dkuAuer~yr· b'7t.n'p./~o
-107) ~ ko-n.t,'nu-vd" kwt.ue/ htJIM dell IJta.xdt/aAQ.",.,d+ewr.sn·//''':!etntft:~d~ en/: t-"'I, t~I.I h1edf'''e''''~'jen.sk4bM:
ZttktMjur.MO-'lert t,.,...:!}(t) =01" zeI J hiltn (J6d~d r.stpu-nllt (.'A"mm~ M "I k/t.W.t~ ~~ dtAS. n j4'/'- el,IVtext,~,jmeelkfH'rti-
"ueAt ".fi aft-aid Nt. 67""''p· 66--6~ .£7-VtE-I: A'(t):/: o.
~ 17= I \J'J~ 1J1e>t" "':j.Vluz.-6td,d lutAue.
lied ~~dtA.s'1e.isVi ~dttAexal, I eh. thllr7c dj'elledta.6hk~ueJz ~'/""; nlVl a.ndd~ .vje..st h~ o-s ~t,Pa-tAh'feAtjte.onJ'6'1t;...cJeIl
...
dell ~l5'Ule.t I>()el'fl'fted'n:tt~ h"led n =3. .& "t'tlQ."~l;9~ ,Pa.'l4h'rd~
lSkejt IJt~ a'4j~t,f>.l'teAnt r: J ,. I t{ kk.s.se ~~. hVC1
tI"~J· 0'(")*0
e'te.t~ AtJotJjen,.,emlo'Js.hdni~1J'7 fJ'noSkeJ "e.lHVf,~
r"~J· r'ru) >o.
mo.t-22$ 1979I
(Jr. ~'7el'f1" f~ d.s. 5. zIe~. beth.'.slSe fe.k.s· A1ndeM~n/1j()oM/?lt~~ ..
ma.tewrrdt:sk A'M~.se s, 0~tlE'A"'p t9.1{~ I'-.2'5; ds. ,go,)
14tU!~e tt.'/en lIj2!UtAwtd~ew,~t,:'tnJ~ .. t - ItI tG.l, 1m .",
"!fUtJ! dfl-l/tex.-6'a.6el kaMH 1/~ k6v,.tua()/fJex./1e0(vaL;et at"~Q,nr ..1'4nJdOjD-'l IStedtHkto-tell. Vod;c-.s d k~et~..z&/~~ (q.J:,;~g)J /ce.t
fj(/~ j(t~ ),(-/)) kf>M.d,~t.sfJe:lAt r fJ -tG~ h>h'1W1eJ1 h,fAt,}~",~ eu:l"oaJ at
t J '1), eJI '1k/~e tin"VteI: rt'(-!)~J'(t~ hJ(tJ) =I: (~o,O).
/lei {-'I. ~uei~de. na.t~j fi~Ql7'tdvt~eJr1.t~ttn:;9-'
~em~~ at bue.tovr.,e6. l'e.i' .k~e,oN·7kke e;l en ~e.I'f.skQ,.6ve.d
kdAdeJ1~ ~.s_ ilde. 'fI'~eIt ~ IUh-ike.,r1'4It~~~wt.s~·~n, d~IJe.
7 tte.s . a;f J.J, met.! IIJ~ 1996-9,? ,P- :16'.Of. )
en,PMAhtdVt.?ewt,Jft.'Itt'ny v: -s .rl/j) .Ji:~ kdde-s n.d~tj-J
Auc:S fiefr a& .$,/J , e~ Jo<.$o JeUdt/l1 at kuA~t;kRe.tvVtWenA'e. -&'1'pOAttmdeJu~.zc.llvtdld G()J\J,l 1r44 6udfJt.7de -1, - -so' '?4A4wrde.lJ kyfhte.tLewrn~t/~et~ewt.s~-tIt~M (fYl ..J4.hf",e. KuAtH "..,uI.sAhlwte
Qe'1l'few£tf6 hM. ~hfen J. J. t/ / - ....s .= U. .,. ~t>n.&l4.n. •
~ en,P4/Utlndelt?tvn-sIt-a." /-: t - f J t~Z, h~ ~tH.-~ ~f
r-",ld/o-nUf t...,. .d-(t) =. OftJ t~1; Me(kt4.SJt 'fb ~ A~ kuAtH.,s,/kKd.Iva.-
.-tt.l"ttte -t,.1 J,iHAL''peM.4Jr1~in..te/atNJ ~J t,J f I .e,p bu.dfJtAJdt jliJdtied(tt IJi. fA fiJIdt ~.,
~d (Join 4'(t):F~. (Se /;'7"',Po .2g-.2~ J,Pec. e£s./jJ etlu ma.t tO~ 19'76-
7?,P..!!.()5"-()~ -'la()!.) ~4,..,eic,l)f~.J~·~c.n e-\ j:t;d'jl'fdtat;... h~, kUl'f ),Q':S . tlt~I.'0:'(r)/=f.
(/lelllku" Irv/.J ':. Hold' ~ jfAASt 0; "enyt ¥"tlte..s"ht~e..J~7fUf.s 1,t'J"tH.d.sd&i-
~""'J md I()~ 197'-'~ /,.1.11.09. JjA. ",en,P...t~f-..t59·> .
c,.,),tWl d1lVten.it.if..6e.l kuAde) hte.eI~tje.nneln!P~dl"t'nyJ
ha.-t en. - , I'Jn«Vl adel,-t,;,.,., i fl." R(}?'1.sta.n.t ttl'~~eu"kun en
'ttduA.~j"pM4:tJn~ftEtln"n'~~' .s, kaJ,ue.n n J~fl. a'fMenLAb~
a'a: tJ1,'/ II den "l'f~jc."PM4Pt~rtt",,\S,,·tt(.~ 7.Jarewr.steile den e»",
en n r"t difM en.t..'a.6, t kuAlH. is, ~7tt",Po .25-26. )
~,.,.,mUl.taA.
Ad f f 14-17 4"e.n.tdt:$l~"~': ~uwrn,,~. aku.k.t~fi/41'1. MlSi~,.,.
2?eh'C~ at deh uuId'~·'Clte~e~,P.75"/J7en 1'eAJ',.,.'o/e.n&.. Irl. ~ / e.&,~e.lAAlSt;7he~~ ;: 1''''ve.kftnrniZ;",., t,.,. A (t)/
t~1; uav-e/ r.J~m vee!udtul...LJur l'!(;'th'C1endB 14(t)J<A'(fJ/eI.t = - /.IdI:JI~
k",,,, 6f.7tk/ at .Il SIl.1ldA.s.se tl f, a.6:IA'j ~/ hfUt i/(/(e/ a.t"",tt) 'J ~'(-t)
e4 f,'ru.eJd ""i),tJe"11" (lJd ell neM.7 "~,., be.'d,.,,,~ hell", ibn I?ft) *OJ
oSe ,P' as e.t!eA "7"",P'.G'~ eh.I:J,)
z4d df',z,.t~~nel'1fJ. J~-14 i "7el'1 e( rA;?-ud~~n,~_ e, ./o,.UWlI"tI't!j_)i( u4&I.I"e.I\Sf>oht vee!ud'ad'e.isUt ef'jt¥l.we.Ie,.,
»c = 1&'x. !!::."1/Jt,1/3
keln I'I'1.fVf a'Mr be.Z;u~jte en vt.'Ikt::",L~ t".J~e dt.~ud,Ai>eLkuAeJe c'
/uunwuZ, J~odt.H.d en;>a;~.,vneteArehf"~tte-", O'f =A(tJ" tiS~ h~
A Mo(kla.sse. 'It,:!!:" a./dA'j e.\ O. ~. b'rI'1'p. es" eks. Ltl.)
~ehf~ ltd .h.e.th7"/7~ »c (Ii'~ col,'d ~eH;D~t ~1e
..s,~ d0n"~D-'" ,s1J-""rtJe'lJ£P'tJeh.~·IfH. ~~ ell &1'1 .!:Je"'IJ~4.6 &'eel~/a"'-S. dd, aj)uJ!",eJI aJ A~,../~en 1'Q;l4h'1d~reh'r,,~tt~ a't-t Je.n.7ttLr.
;1nd'jootell ""41'1 ~h1nl"ru~ kan hUl.n1~h't"leIltjtYtd.stJd
n~"'tAn'.IJUIVr.~dse,., 7 /;e),4ne:"7en 1 O\S~tt:d;,.,.,¥,a.n , le.eI
\J7~'"'-e.k~~na.t¥t£hr/jf5 \l4te.des: ~.lJu~t= t"'j4,.,t a,~~"4"a6,,1 ~iHl j,,"vdvedenl'~~/fte~.t~·~7 01 =A(t~ t tG l ) h~A ~ i k/a.t\tf 't~ 7 .;:1' a.ltAej ~.o, , ~, At~"~,.,,~~ >( ~
!-fJJlJRfI,Uij~ 0 .l hi/ul"e.unJd.
/In-tztdstVI .. - ~/~ef~en~~ - enlS~~de;r.~ dru/,a:t.;:1-'rl) , 4
0721) M. t'nt.eeld uajAatn.J'Jer a& tiEI." ""eo" ""eu it.'I-
redJ,Jt,.'t/e.n.de etd~~ t."dd den ~~e-t ~"",U'eA " ~e ~ ""tAld,j~ ,.eMQ.hF~eH'7.t~ '1ft.,.,." .2e/lwruf,Jt~~,(,/-t.'~alM a.t~~e,ltM1 'jen.J~en6~ ~eI'p4N:vndutu~ijf.
'~e~ a:t- O\fku.~,,"nJ'pI4n~ ~' d kuh.ve;>~ r,c- \1""def'n.;Ii~n \S()oM,JttJen.,Je..tn'a." e.t. e,., ~e~~a.b ~akuA~, diN. d:Ke tfA~ r: ,t,~'/4"~Ah'f~ehf,s~'l4~ del 6~tte.s.
lhd ;"""I~e.ist.,., '1 to-t.stD-n tf1'7) K4", "'41'1 n~eJr2,ten~~e
~/t~ en~~j tJte.J4"'"/' e4ifeun.n:4,6e1 ku.hel'e ,,'~;nd~ed ,
RAct",,,,,nJ ~:/: () 4'J,,~~,PunAd. (Jf" 0oye,-r!" 9~ eh.5-<f.)
;7~t df;"elte.s /'l"/61q 00/ (' eIkuA~",.up ..sf>!",rtJen,J~VfJIVt.
rIir: :1J ..se,P. 9OJ'+ - 9t'9 I 9°7 - 94 I 91 to. 9.3~ '7 h'rAn fndehI~"d~
.p. 9.2~ /[~~,:&'''1//7/= I I III
A X'LJ: I
9 t(,/!tJdeld IT/:I: 0 Kan kUote.o'en,s jtYt-ltI'6 t»rrh.,-" P u,zdeM"e..s v(;'h'I
,P. e116 - J~,1 I.'det--1."'~c./cr-IdVi i Ottku.~cft;""'~/4ne....,,1 7 rM.s"t,.,.,en '1:
fA) "'u Jt>wr 1:17~ h~ deh t«Je.s r ede-t - ~ ~e+ JfJon-( RWiuen ISR~eJl
;e.,zrt.e", \Ji,., ~.k",k~~".oIa.,.., I.' P (,'de;r 4e.tn:~~ b~~~",1J.n.j"'ve1IedfVt~J. . /
~lIi.,.,.ze..., 'Z'" ~ ;en f/" !!jen.l.ka.J vee!kuAuUt. ~ec,e.Lt~
A.e~ At jf>Jl,tf.j,zd ell .uil'ee7 ,Jt at!t!.nI'1C-wt/o'6,vu':/""7en,
~e~e..6 !tJJth&le-t » 9-9" ';e.st>~ JfJLt",',-rje"j>' 9.2.nedtli.st" jtJeLa'e-t jM enAtI~ ~eJ~t. d,feAe,,!~6d Rl./htJe t' ./ut.W1W7dhrul~'I't-
""'" x':/:O t' ),tJVt,t,P"~ - 7.J1J~ 7":= o.
I<!o-mWfel'tt4h .
/ld P. 90 o-wt.Jb./vnln.J 1~'XAfI)){(J,,'JC A"').
~. tXt IrA. fX'tR~tt}e vektO'iell E-l~Jf. e' /leunme.t Q-oI'Y1/t.~ne
~)C~),l((~){~>. .Srz-t a. =Af, hVin ~ eA en
12}(f enhed.JvekloJt. &. ru« ~, '1~' P;"O'-jt.Jt.teo.,,~ne a(A OJ s ;oao e.,.,~/Q.n
d-,;.,lte.bt.t.t~;1, 1I'il:21)(Ef fJ1.JeAe
?,oytUef>."err at b)(s ~ ~ ?J":"
(lAdr~e.k~o.nmd6i'tc~e..s.et121 tVtea.C ".,ed' Cer-.s':n.eM a( to;,okn,r/"It-
ten, dv.s.a.jek',,/t/en h1'e.~n'1 no-twra-
lelvtlJ 9det ~)C§. OJ~;( c feh'1j~ a(:PI'.2, fIoullla.h'1""t ~n.IYr.j
om e (1.sttWtt.l.s~ :), hM (/of.' kjVi(~~b»)f~)tf) ~.Pf)(.f, = (~'(~)(E))~ ## [~~.fJ~,
/ftt\JtA6
jaddeJl cgJC~) ,l( (~X.f) :;: [g.!!£J a ·
t?m flade.bt:jAebd.
zJed e: 'p'QAa.m~#e.W1oSte.·~n.! ft" d d#-e/u.n.~a.bdtfltuie--r~kie jiYloJteu el't aj.bf:td'l/'nj /"" {t..t,V-)"'-; ~(/' 0/' et IJ"hf/Ul(;(, (d4AS. e,.,dbe,." oJ41Y1Wfe",lrO!.nje.,.,cIt h'ftJe'Yde) .o ~ I!(~ end ('Au.h'fn-te{ h'Feel?'(1en-
~ e.Jt!.I"1,ska.be/i: -+
vdt~/unkno-nU7 fu/v) ~ :1(~"') = OJ:,v , ),vrn 0 bd~nq, etjAJt,Punld " ./u.tWlA'7~ h4A Ro-~~n"e4& ~ahne.t& ~~de~ ~~ =~~ =S~ OJ ~ A. =/b; = ~; • a, ffJ/tYa /'ve/t.t (et,v) G.f2 ~ ~~'pMAei ~A (u,v), ~4 (u,(/") (,'nueA.t eufJrcenjtj'
~Q.t &t ktaA-t, o.tdede RAAt/'e/de efAa!n.JeA of~d tV.a&. (~.L) e) eotUfJ!dVAn./ejt Aetv/n,etet RfHM.et"'ed~,Jt~
" AUIrf""et, , ~ (;e,y,z);: ~(u,v~ ,(u,,,,)/ ),(u,(/)) IttJ·fYu:/"na.ttee.tt'e.:t1<Yl{v, ("',v) ~ ..0, R()oI'HWfelt bavel 1,,(.(::/'pQ; rd de Aee~1~c."'eA t.9 D-j), hM R()onl$~ue,,\cfe.l'aA~e.~,r(ede~ c'..Q, ~J'IJ"h ~ «u»,OJ a:t ".,alil,cen
. 2ft ~~t fit t'. 2tJ~.9 = J~ j; ==
4 17 ~h Ir~ h~
hilA Aevr.ye.,., .2 t' }1()eJd1'u,,,,1d" fu,v) Go.f2 .
..... ----- ....... ----- .........
mIt Irvru/ell na d c:4~e.An~e.tt.ftA~J&~? at.sRai..stea-R.s tSeje.s, a.t,',eLI del 1J~t. 1$()oh7 /;t·tled»'1CVt.Jde ved~/a.Il~e-'t-
!,ewr.ttc.tlc~ M elJ tide.
~a' t>oJ Jw,4jte tD- afJeldn'''jeA .J()-'Y7~ IJe.-sbte.ve.l;
.,po' (~V')"'"'" fell (~(/")€fl, t>q .at: (u"v;)~1lil, ((,{hu;)~fll'I / / II f
fltJ-/J aMf~de.s en b;/dlter fb,lell'f.IYrj r at .a, /'; ./2, oJ()oWf t,·ttjf.h'1ed 0$;" (Joh1ve~ct6 Y-f
: J2 ~..f2f M l'k(ew.te tt: ,Jt/'Ied'e.s eLf
/f =/"- 0 rJ
ala skai /A OJ,/it ./tf!jne.s1M "eQAa.",de.lt;Aems~lt~eh l-fYt \Jet.h?""e. d{~t.n.tta.~'e j!a-de4~kke.
tjel'f,tltj &\ ),eA ta.t'e "'wP en r.eRIN~nVte.(a.&;",.," I'Yftenyolen r16eleln""eA i den fJtIe"ft>-t 6e.uhtw;,ne tJAt ~eW4»'IdMjteWl'lSrltt~jfA.).Ct d~f.An'a.beLtIlade..s~kKe U .JQ en J(h~",u..e/4.sJe. 7l14A .6~~
aftsaG .Icjel
at/'l "'J /"f A~en~~ I$'vnwt~ a:f'ten.~Q.Ue~.I7RRe.
. .aen /;!jd6i/-e rb'/cll't,~ r: ..Q,.-t..n Ra.I~.s d (n·/ta.c:ld;'9!)fiIlAAWfdeltd{t. .#t reA 1.eIa.s.Je ~(kerwrh1eA/ h'1ed
(alv) = ((""t/t) = (o«((.(f'~)/ (J(U'IV,») I
ltld~ atf",ld/o-ne"tnt «.. .f)t ~ II( , /:.at rl IRhiW Rernt,n"~I'Q/I,rl'
elfe rle.de.de t' .12" ~4 oy-sac r:' eIt 0(kta.sst ~~ haA Vt'
21-f (u,v ) · 2 ( (ut1rJ, ) = 2(,{-~'I)((.('JtJ,) = (~ ~)
y". 7I?a:t It! §Ltf ~») '-fpec,.ell be.h1rvtRe-s, a.tfnlt.li(N1af",u:~OIl'ceA
(.8 0( ~ D( ) (dt-4 au ). 2( = f Z = ;f,;, ~
= .2. P .a f drJ" dt!f ~ ~1 ~
.~ Aejutoell I.' ),~e/l.tpunk! k"v;) ~.f2( ·
'lje.I'Y7~rl/rtJ' LAdo-h1ven.df P;.f2f ....; 1(2 v(.Mf en t'J'~~"v
cd ~ afbdc!n;nJ i d ~a~ ..of ; IRt ind " ~~ h~S rnJd,'o-naL",~;~
»r e.-t AejtA.leeII " hveld~""Id fut,~) G £2"
~4 ell .&t.·/ledh7t%1'tj ele.n
.12 ::: (f..f2f) eI~n'tIlade, " (-f ~ 1 kk.!St ~ f (7l1a.t 11114, *~)
& n.t,( el d'l/eAe.n..t,a.6e..lt jla.c!e..stykRe .11'vet (/oeden~4h'reieJt
fe.wr.stt,1it"nj,ft l'1'1u:!.f2 ISIJ'Wf/,aAa.",et~o-W7A(,tole, ~ M rd tiLta.de..t'}t
{J1VtOt.W1eie/t.ske/:
11e~,s. 2d,oe.IdeA fJ'm atJtxi(J~el td /'f =,fl." o/'b'd'~ ~4
fhAe. fd en~fVtAmdtVlfeWf.ste,~"JI~d'/eAen.(,'a-beltItAete.s~.eRe.
- t{. v~~ et,Pu.",.ef () , .sc:elt'e-t O~,(/ = A(u...v), ),~ ~tI' ;:/l("$v).
Z,{-de.te -rt:ed'e.s d(e.t"V;)::: (O«(U"~)I (1(u",v,»). zfekto~fVt,Mo."en ISv4ll~dl
til j-l, ==/"- 0 r e.\ da (e.t"tJ;) ~ .Il.(Cl«(~'J~ )1 (J(ut,tJ;»· .ae.n M ttbenbaAJ i kleu-se ~~ ,,(fYi I,PeAt (tl,...~) e-t ve/(, f,ne/lne
dA d.h du dA dfldUt =. d; OUt + (J~ s;dA ()Jt dU dJt dtfddt = ~ aUf + du ~
/'ntfpd f.L1),fh't}"el da d~eJ k~"'na2f'ah M.),. t. t~ "~ ell de.!.~/ .r- .J, (dU~) (()eA dtl) r, /./ <:« /
KO'O'tatl'!Ql;"PA.ot.hene s; I (Ju, , (Ju, ) ou, ~ neln"J -r'J{(!h .' ae» he..fuCce.-
4e metlJ,t'K .2Y.:=:
zkel fJ'veIlaLt " detl~eyQ°e.l'tde til~dlte Q-2dene HRo-~;..,uM.te
I'ev..~~ ~ede~" ttL "kD'h.~i7111(Cv~.te;OQA.t,e.~ rted~ l'nrt tntUn':
d~s. centUtt ~ f ttL ~~ ftlA wrevI bere.6~t "1-tVt~ d,#-M~te·4~e.Lt
j!eltif.SryJdte· . . . 0
!V8. .2e.tM .sta.etj ae ~d'ec:te ojI~IS~ ~,*n, d~ t.n~ t'
!b,ew ue~~el'tc:U ~ne.~ eU()f(:I!J,,,),e.d , l'n~eA=ha~.
ct J j4J'1jt. et;{e.Ile.l'l.teQ.bedjI4de.szy.eke Ra.,., n4.t~t1lN:r 6e.
hAndles \ff)'wt .2jA,.,e d'fehen.~4be..tt; IJIe>-t e-t elM d'4f/eAt t'itlaa'e..I;e.
~4",~e.wtSt~~e.-t .
Cn. f/a.r.U "Auw"net I>e.std;". 1/(a.t:!eu'./RReA.. d~ ~~I'~M.U' ISRetI ,ldte RrNI'11'Y1e //'Cd A~I't:t: men aL~aIho-la'f os tn~n fen e.tenkeLt114"~IS~kk~. ":lto-t rtoe,N'les \.JCI"n'I d..se""!Pe-!, at en k~/yta.~
iId<~ RAn ~/a.~.s ,sOom d fla.de.s~.k~, »re» letdr.:eM~ at to-.~en7eJMR, td n7edVM clt0'nt~;"n kan d flacle.st"ld!e l ttje..sOon"l
en Rwul-t/ h4Q~ d~belz/Ju,,~teA , .seluye.nn£d1.s,RlY!/le'nytA. zl),aAJ?ewtltj e1dt.If>1Ia.,,~ t:lienl'~ah1~te-t.reh1.tt,,~nj '*a.I f/t:Je/te en-
.jelde'tl:
K~wrwrc1"& ttw,.
.//« j~. KU4tJe"eaOflQ.de~&-.Me,.Ga.d/: ~()o) -A~ttJ ~IJ'}tS.fl~ ~ en'p,"4h1'e.¥e"""lS~t
It;" Iv. .t".!1.Vf.!e ei~Vlen.t;c.Jdt jIAa'eu7kRC!, ??~ ~ .fJ(.S IJoh'r
e'1 ~u4lH;xljltt.t:le.styMd ~ hfenes a.Ln~enR~~t>~ran.& ~ve i.f2 reWfAl'le'/1e..J t .... (f'(t~ "tt)/ it;.z: hfed
(f(/~ ydtJ) 6..f2 r: et-lie t~~ Athn ~ '7 'II/" t' tlJh't;,-rdJ-& eA .t.n.tt'~«-
......t~. ~~,.. ·t/tsVtVl.e~eh. ''kuAuerllAl:/e.s'.1/dd /' kan nar~I;;~:S
b~~teJ lflJoM e" k~(}e i 44ot"'W1e~ ",celrewt.s"l'tttn.Jt rl- f =¢:f~."tt) =/(tf(t~fdt), t~I,
en kw..e1e t' 4""""wr.d/ ),eNJ1't.L~~ jt7tLde/i.,oa·jla.dtJ'J'Itk~ ~ ~'ht;x/ l'k/(~ ~"~J'-ttes \St>"., eo" ~~~r /kd'e..s,J:kd", ~e tfv-e/.s~~) ~jt4nd'~" i elt-s, ~ 4'td..t/,unltk.,...,~ ~kAjc:Jt"e.t-
(eM ltJe,Ju: 71:' e,., ~u.h~~Al lAdel"t " e-t.JI'vd tH.d
fu,v) =(f(t~ ~t)1 te-1',
me.eI.&.~n"~~ tt '1/1, "t -.l If = ~f) (I):::~(tf(t~ ljdt», t~ I,
" ,l(A~
ftfLWllSrlitVt kltlAe1e,., Jf>'W1 en n jCc.""JfL a,IIUfLn.t,A6~.l kuAl.H. l'AIUl'tWld;a'tt c.+ tf, Y ~ ~"(I) "7 (if~t~ ~rt)):/: (qO) r:~ t~I.
26,.2.tJ~ GM
F;.
---..... -...O~"tIf =fi("'f~V;) ) O.qu.t,~ =.1(~..~J )
)"JtYl 0 ~ d la-,s!I'un.kt I.' /l,~h1wte.t.
en ajIJe'ldrun.; !po' If - {" /ceV1 nt.l 1I"~Me..J / (~Uoln/'rlt~)
kD'Mc:4na.t~ ") ne~'1 ~CI ilnldn/n.ye.n r:.o, -...f2,2 ~ ~ f~V1 fu,,,t.f,)
tJ"f/eA (,' (~~~), n~ ~(e rI.) =~ v.' m~dfAl'fclAe~d..,~ , ",l, ~
O=/<~6AI ~=/6(O)..-~
/lj6tleln./'nj~n Y mt>-d-sdtVt&l jun.kt/o-"1eAnt 0(:./)1 -IR ~ 13: .J2,-.1/R.. hVlM
(~J~):: (("'f'U;);> ~(u,~"tJ~fJ(Uf'tJ:,))·
7J?a." l.ttye/l.; ed ~ ~ at k/41S,U ~~ ,Iuh'.s r et a'~ d~. ),e,J-tS
0( '7 f hM k()-n,t~'n"eli.;te,Pet4-1e'd/t i'e.c:4~ 0( 'tie M~n, -./tt dfnt'..teo-nen elL "U4.de../~, deAS. ed k4Q.cH.-t tk'kE' (Jt.n~e4 v-ecl tt.·tll:l.de..{:,?e j>1:l.
.AA.1n~1S,e{! d', 7.1 .bUM ';:>4: cd r 7 7-~ r· r1 l.tQ.h't~'~ v-i./~E' .
i kla.,JJ(. <t". .
73evoe.}e,I.se ¥ ftunkt ~ biLte1eu.nJd..
mea' iJe.te;neLJehne ~en./~ a..n,t4jt.4J a.t ~··If ....~ ~. at~t4~.st t/~
7Je.tA'1t ~ ~e~dse o/e.t~u.nR.t P) ,P~t:I'Q.oIelStykketIfJ
J t"ve.t v-ect' (u (1:) =((1J (t) 7//'(tJ) t~ItJ 1 Tf / rr J)
~~ I Vl et e',de./tval 'p4 II( , 9',,1V; ~ ttf(I) h'/ed (1}(t? W(t)) ~.of (fM&Jte t€ I. ?Jev-oeyeLlSen lSV2MM 6:/ den U'Q.""'W1e;-r.JQ..~a.j'6t.·{dn':"
t .... (ut/v,) :::(<p/t~ ~(t)) ,..,. P '" ~('~ *(/) I t~II
1IQ.lSt'j),eelen ~ d.:tf.(t) = d'01' =~ dUt + ~ dV;-I eft a/,(t at d~ dt
::: 'p~/q',(t)/~(t)9'tYt) +p~~(t~ wtt;)-p;'(t).
1J1.'tt e1ou.nMd ,{J::: ~(,£» jJ; .{ ),M 'pQAQ.,."e~ene
~.z/~} = (~(t~ ~(t») == (oc:(~(tt W(t»" jJ(ff,(t~ 111(t» ) t~ I.
~
'lde.t OR ::: A(9'~lf~ ~(t»)" t~ T,
l>euoe.JM I? lS'1 aLl ,u: hUl.a' 1ta..sttj),e.oI
(t)::: d'ON =: a~ dU2 + ~ cI~~ dt" d~ dt d~ &it
= .Jl~/rpit)~ 'I/Ii(t»~Y') +h~(~(t~ ?ti(t)~ri»)
m~t 22~ ItJ79
(rfR..1(IJ)
1ft.'(t)
(
U (/-t.:I,4e-'te.s.sM.E' »s /tYi t!a.mmen./,O!I"t.Jen me.tleht kut1Aeclt./l..
n.e 1 p 7 /(=~(P) tel d te'~'p"nkt to'
.2el/-eIt e I"tt(.IA,!.
.4o..d ~ ~e t4.~en.t,plane.1'1 I." ~,6, t;:1jl(ule..stykke..t J; ) .se 6Oju, fJ. f79- fJO. .a~1'1 ell bute~tue.eI ';;,6, , de t(; v-e..ktfYLeA
~ =,Q~ Ul"b,) f>4 ~:::: ft~ {Qflb,}. ~/.fu~en~ IJe.teqnfA ~ t4n.r;e.d-(J~1 ' / dtJ; 1 ./ /
r;J{Qne", fl.'/, ~ l- .6t.lle.dourrlde.l I? 1 = s« 6 ) I 6e4te~ u-ed ~ IJ oqI f Q.,tJD.2 11 , :z 1 ~ /
de.. tb" ~tfJJl,VI ~~ =::1-~ (a,zAe) fJq 4A =A~(4.tAl')) ),tN>II (Q.tlb.z) = ((Q,,6,) =oUZo ~ / C7U~ ;£
««a"b,), (J{aflb,»). U (/o(.'{ hVl h'1eM taen.Re ,Pao vekt~eAnE' end'"o';,Pu.nkteJt-
I'll " 71, i ~. OveltjA"lJen eA e' O-~'Jt "lntac=te.I.6QA" eCld ~toJt.Va.nE'
td.stZLte..s '44. ~ 6 ) he..nJrr;/d'.JV·t,',J ~ b ·-, - /- IJ , '.l' ~
1Jev,:S. 'I~ ?dd vt' be./a'~ 6deJrzetseA;ze A,,~e ~'pel M dei
k./~ ed ~ , ~ fndfl4.1 s; ~{~)=af.l ~(~)=bf ~ .
;;:, (a,/),) ~ fto) +)?~ (Q,16, )~r~) =g; ·
e: ~/C'! 9't , ?Ui ~ ~tiJ~m i f~ haA vi
~ = h~./el.tlb.t) ~/(to) + A~~/6) ~'(tO)'
Ja{f-Vienna-td d~ ¥ ~ 1. ~/6f ell en ~nectJt Pftddnt"n.j ¥ 7ifend.i 772 • ma.~e·een ""eelhe",.s.yn -t,1 bQ.,seAne ft~,)~;' i. "r E:J- A~.z) A~i ~ ell .!df(a"b,).
/ ../,1'1.'.$ d'/lVie.nt,a.id d¢" at ~ e' ~/6, h4ll ./tOt"jen ~ d'~, hviJ
2r(a" "t) e.l /t~"tQ!h1 ..teye.J aj6(lcln/nJe.1'1 ~ td~e A~(,(.ltVl ~' ~,6t '
~V1. 0"'1 a'Q: -",,-./ e.nhtHA t4~9enAe,.tn/~Q ~. i' I:>. \JVQA. e en 6e~~~t tt't.1"1-/ / tJ 1 '
,en.:At.Tn/nJ e' ,f~/6.t ~ d 6~te-d h'T(~'Ie,sto-/(.sf~),o-td >0.1 ..sd 67 e."p.f!7.
.91/-(U)'In~··.4AdjfJJdJtd A , ." daVte e'n;eldi.d-e/~4h'fet~ewt,,~l~:..r-
r" 1 if>- n ja'YE! ~J!v'edta..hte j1Q.~.t~MeA .f'7 {I n? i.
zJe.d en d~~7Mji'1Ifr G
{ (,s()-h? »rJAnyt d'ffV2e./'t"lea.lJ
Ie jta.de,stykkeA) jtYwt4.S Iln ~t'tdn/I't.j ~. I{ ...... {" 1 ISI>M e.t bje.k.rl~
'7 tJ.itiyfl -'7ledII'',., O'h1'~nd6 ~-f i'k(Q.JJt' e-.~a.vene h>lnnfeA ud'pC!: a.t r =/"- to~ 0 A ~ fll'1by'eknf/aj
',,:Idn/rtf 0( ./2, ,P;' ..f)~ '7 ~'~e mec!lS,'n tI-,.,..,ve,..zdzi.. (-I atR/4oSJE' e:
meal a.n~e Md: d e4 d tt.ita..de.ltjt;:>&VIA.n'2e.(eAvk~.Vee! \1tude'e,t aten d~o-"f(yfi @.. Ii .... {' &an H?An deJa-
/lM Gld..sk{!e /t.Vtt:vMd~f...-n\$rll~7en »" {fYl. i Nted/"f /U0 Y:U AM do tJ4h'twte ,..eaAA"...ze:t~o-hV)~~.J2t I~ bf.jJf.jlQ..eA-
\J7/dVt/ 7 ~=/.,- A-~ ~tt,Jr:
/'t-f(!J(P)) =~-f(p) jtYI p~ Ii)deN. flu-nAt 'l iJiLled,E.un./tt hiM JtVnwzeft~~e.
---... --..mea' O~v =j2(~U') OJ O.Ru~v = A.(u"v) eft d';feAen6.o.L~t dj
~~ " {" da ale.., ~:netVte ef6/lelnJ~ oj z'~nje~/Qnen -&1 ;; /~6
I'~ t",.,e~~n~ -6.1'; ~. ~J6) de.-tre-t J'~~6) "J ,I2~(a,.6) fJ'tX!Ai
&u(~6) / 4 v (Q,.6 ) .
7);,' j,eV()f!Je.&~ ofrd'pun.l<.t P ,P; I( , b(·!le~e,(n.kte.t
I< = ¢(P) flf/ {' hM .JQ.IY1W'tejte'Yt,sit-,try(a,") = (cp(tt ?P1't»)/ t~~
, hAdt1),ed M n e ~ d ;)f1;(t) =~ ri(t) +~ 2//(t) J
),en),tJ-ldtH'. d" dA.., ~(t) =~ et'(t) +' ot/" vrt) ·
73tJj.'n,'n., !!!- ~ftld~uo/_ ..4a.djf>Jt.t.sA.t f 0; .f~ to- ;'tJ4Jtjt ~if~e..-c.zita.6hjlade-
...rzjkkell dt" dO-bb~'tnAteJll n? I,
Cn d{feD-httnf' f): ;;.-... {" I d~ eA ttJe~de.~O'> d'~.$. .h~ tt'/~
oSvaJt.e.nde kU4~J~Meh ,PaG
~ to-114~ aLf,ct heM Vd",,,,,e. 1()e7~I
k4/de.J e,r ~iJ-nl'o/- e{ I{fJao {. - '? lM.e.v4 (/-(.'/ fXja°(ltje, aZ~
A«.kke eH.)ttjt J't~e.tJM "J 6e.re.be/l ue~~e~~;Z4d'~ " b~n.17.stnVl:VU~. ~J~jtens eftn btJ;'Url..J ¢ .. {" ...... { ~a!~ ..tattUi'e..s en
jQ.~,jke ve"'Qenc6 O'U'e,..t£,.z,ssteh-?",e.&e h"te.t4h-? de 'it>"11tt.a'eJ~~.
en 6f;'n.':J i e.t1~Q.deJtyJtk~ 'p4o~,?lct"P e.tlfA en ole.!efe~,P/4'" I<a.Id'u ,..sa c,., U.t?/..¥eI.n/~' cnjla.de/ jtJ-'& .h~{.ien d'~ ttk.s,·..s'~ ~
4~ en udjo-ld;u;"'JI ka.t~..s ~~cle.t~. - Ck.JeH7~dl.H:S tJka./bot ',st.
he.te Je , /d et (n,>:k .:1e.i!1e) ...S'lJRke aten k/17/4~ i/d~ Rc:vr u~/c4s
(lMev -i'9),1 - e.tjeoy~af;SR kMt ell a/cbu; lae/d'~O".
S~tn"rL.y-f. La.t(~: f ~{~ sa ~,f1O'h7MP'- ;to/en.-
de "dJ~n e4 d~ enJ6e,&clena&.:
(t ) ¢ M 1~:7-a'eOto> dtAS. sabV-',u'n.j.'
(,4) Z e/),tJeAtfiun.k.t Pfiao;:; ohM !f ;na·&!.st~~ho-lcle.tI
i ~ ta.y~e.tn,',r-J-eA.
(.1) ? e.!),t.leA.tftunld Pft.:' 1"" ~ .dtJf-e.Jten.:lt.'aLd d~ 4 ~ sai.sfJ"lrtedu~ d~. en ajsta.nds6e.f/QAt....-u::6. e(btieln.;nJ/ '.laokaL-
de: Kc-nraen.s eL/u jlytne',rJ/ ¥ tQ.7¢n.~knV1 rl1 I{ i P
,£(J tev't~/Q.~en td f l.·btl(e~u.~td !P(P).
Joe.tn,~ 4. LQ.d~: Ii ..... {" ~e iJ~..st~ ad/1-4fiaAQ.n7et~;3e."..,.st(.i~~e-t ;J Pj-/ fr jta..t:/¢",&kRehne {", {" Hied ..Jet""n?~ ).24hQ.-
md~~h'Vl~~ ./2 eJ.ed'I-M.s~ift"
~tf ....... .Ru;tf .J (~v) € .f2J
dv.s. ¢ ="uoA-~ ~~e."'ld'e ud.s~,., ~ ~ en.J'6~&knde:
(f) ~~ I~"ae~~ &/vJ, en 6&.....u'n.j.
(.I{) ~ = $0 ;:;:: ~} G) ~ ~ ·
Hell /;e,t~neh ~ I -S J G;l : .f2..-./I( 0/- $l' ~J ~: 12-II? ko-~clenUAn.t lP~.st~~n.ck;nen.ta..¢~M'j..t>-1fttMQ..h"te.~UJ'l.sn·lti~€hne A~/' t'.se,P. ItL; (.' iJeyen).
z4d beveje.t jtYi ..s~n.lny f R4n~ 1ee...-ekeJ.fl've:!uO'ht (.' Jee..t'l'~J -Z) '7 IJe..JJe lStR.Xn.;n.JMre~J~ da doed en c~ke/..sldnt~"
(4) :;. (f) ~ (2) ==> (3) =9 (4) ·
/It (4) * (t) fo1eA ~h?,'ddeL.6M,t ~ ed kUh.Qe '7 .6ll!edR«Af/oe AM
...st:tmme ren't.sn:a.~ (u v) :: ~ (t) (t)) te: It t]I f / SJIC I fJ '< I
;r~ ;rtfUf M,n~~(oJtlTf.le."!M 6~e,1ce.7de 0- 1<f-'lI.·I>~e,..,)
L~ VE(f')~.,..gFrpIYIf-G(?f//~ rif.t
(t) ~ (2). lives @~evaAVl aLIt. kUMJ.e..!()Z.'JdVl, ~'I i~,id,.'Un.;e.n .n4~
tiJ(,/-tl hQ.~e mqO/e.sro-ky'tYe.),o-Ide..t t " a.t1e tel/e~t.-'ie.th'7~ i 4t/e/f,t
,Pun)d ~v' .
(.2) => (3). ~t' ¢"hQ/l lJ(t.w1wt€ ht;le.stcR.sj~ho-ld'/ enA,,~tA7f.n.Aet
'ltn.! ,: ~v \Jt>m d¢. .
(3) => (4).~a'd ~~I~V')I..o;(~~) OJ fi;I~d")'-fi~l~v) ve.d dff'a/&e'&le,s i
&~(u..,,~ 4~fu.,v) 7:2;1u,f/) -.A~/'1f/)~ n1edf~M (:1)1 artU:S.s~ ."..~~ .
~tkJ hM ..sevl'i""e, 10000Jete. Me.,>? t.S4°eli
~ / / -L 1/ J II. _ J 1/ . ~ I ') _ .. /.1 . ')'flu -~U) ~V' - tAU) ~rpulfill' - ~ (~UI!.!:V J
Avelkd eli 42nJbe~~~ /P'ted (4)" -j~''p_/~5,·1>OY(n.
K~t>llaA. en 6qJ~t'n., M tnxi:d~ 0/- aAea~~2et RAn ve-s l' (3) 7 ~).
s; k~t teA(v.tI:i/'~ e{d1fe~~()4}' / b~n/~ fndu "/36 ,:b7en . H'e.t AAJ~n1e,.dv..e.s .~eh Jke~4d (()#~)#(:J)I
Av~ a'et1Sa~iH.rd(!,.s/ J tauMe.n vel" ,;'u:l.se/l (-I)~ ~)/ Jr·,Po ~O~
..eo~ , 2..t jVttJ-ente.de. AAWt>nne,;yren.t Ka.n h't41'1F'n.cIe "~(!,V' ~ .s~
,P' k '7. .~ eA.se~~1ehr 6 ttj'n/7 , uof>'oInlry heneh'.sun:l/$6)d&se~e,llg/ t('l / 38 7 "'-' f.1~ eA'.sel1'1/,dll. .
~wr",~tVt •
:/Id ,Po .2319- 2~/9 ·
S~tteJ1 d'l' Ifs) =!8tS) =,c(Scou~ Sv''" rj), k.,..., ltA"wvr/~e.n K r'1 nM1'I'1ai.snt'ttd i /l,e,tnil'1.jen T bute,J- ~d (~TJ=& fonrA,s .sf>m
KT ",("((). (Se~.49 nedtA.Jt.) C1t''(O) s: ./l C/),j2{j +- .tJ CIJo5 () tS~ne +- t.s,·,,:2e .
-r~"'j~ eden d~dd; tXt! e1,f'v'-udt.4:A;'" at F(scfJ\Sf), s~,"n.f)) tt>
jQ.l'1.j~ WI./r.t. 5, dIeA vee!beJ'&1tteLJe 0(Its> =F(sCPJ~ s.s,;...eJ:: J(ACoU~& + 2..s CAJ f) .s,"'&'" tU/nzeXs-'£ +~J.
(7114.'" kt~ 1St, ua°le.des let "den hentH".srun, til 119,)
Ad/'. 2$27/ Cul~ jrYll7'td }(r = >-<x c().S-l(j+ Ky..t,·n~e.
?f''Je Cu.Wr--«~ ),t>veolk4aWlYL'~Vl"e / d 'p1.I.~t P
1':' en it>-J4XJE' d1!Vlel'l.t/Q,kjtIde or'; k~teu~~es.sf>wr~ ..5t~
ute, den /Yt/ndsfe nMwtedsn.e&RA.UWln./nj J.<r e'P.fle/ld'~tlWt.a >iT
A,ne.J wredft;1.,tt!jn. ~. hZe.dwzl'nAe no-turud.sn/l.si'AaWln ;"'jel'1 >lr M
den 1Sa."",me jt>i 4&'e t4njt.~dl'U"'CIL TiP' kA..., j,f>ve.d"M~aL.s"U"t-te.ne ka.tAkte.t.l.s~ .,Ji>"~ ~ nlYUrr~lJn.t·t e' P, de-\ AM ~..., \Sn,it.sn ,
den m,:..e~te ha-e.unl"t,xl Hr' 2e oW lnd'~a'("s tk~e~, '1 "r ~e"~ nti>"ntX'c.~ ":.,, T dA/eJ r- e;, ),t>veelnMwu~.I\Sn.,'6./t~,..,.,'6.lE'rl
t:V7d'en. ' ~ etj'.'''''eZ ted )-( hfd4,.,., ),1>e!ed/u;."",n,~eIVt' r n rAJ "d~
-t~ "~MaLsn.it Med >(7 =)-{; ae.te"s t~e.o-c.te.t I.ejJe1i 1S~,""",e.t"..t:SR Med
Ae,-r'71't ~'I /,,~ved'n.IPt~,z~'~neJ t4';9~n.t~. .1
/ltle dt',s,st "oa°.st4,zde rentj~ uhr,'ddeLJde( Cu.lus/iHh't~
()-h'l..sRAet.J-d t,'/ ..~ - \J + /\.J \1).r· ~~"r - 'l.X thy - n.x v4rt. (7.
0t.tu.s.s I kAUWI""i-t~wrtU.
Vi 6,,;t,~ttA ei to-J4.nj~'felle.n.tea.belt jl~a'e.s~~l2 ~,;,d
Peel el'" 'pQAQ;.WldtA?-e.m\St,.:a'nj O~'" =A(U..V)~ (u.,V) ~ .f2 ,
Cnhed.Jel-elttfYtel"l n = (A~ J( .4;>/ //1,; It .It,~1 f/ea·flAde.nfYlntfJe"
htVe dQ~ .lInn ju"JdiOl"l oj ~e1"~~ntn~~,PaII.~~ ef/ea'e~ e· n.~nkte.t II= ~,,, ,,'vd ved OI1{"u = l:!(U,V).. I'$v) ~.D~ be.s~6~etf'et.ele..s'7/de fJa
C
enhec:iskuJl1kden ",,~d c~.n~""", o. ..Bet Ra..~.s det
~f.-Of'A,/.ske nfYth'taLl.ntlede efdelj'(/"n.e 1'4de,J~de... h'fede,-r.s ,atta",,;,..,-jerr ~v""" -t,II) fu,v)~J2 .. kAtdeJ den ¥-Cl!AI:s.te nfYll'l"ld..~ttdn/".#.
A'Aealfo-tht>ldei e' et~"nU p=,z:" veel~n '1~t~Re I'le>'tWlaL
1Inidn.//"t' ttVtat~ d na:tw,.ltjt M:I11>'1 fla.aIe.-r.s RA~n'~fI ,.'pW't/de.t. .2et M./Oo et udo"k ftYl ~ed,.,,~en a(j/r:uA,"'M.WlaLf/&.ne
fJ'mltA,"n.j P.?;, et Q.Ileal"oaoflAelen OJ &let n1.t~en.~ Meed,Pa"elet -(C£ht'-
.lRe I'1MhtdIJ,-ttedf hAlt p.t" Aen,l,t>I~v-ej
~ 11}~lt1J,;/ dIu..v) I S,a 0~J(1J;1 dUt,v) I
tad tr(' v,t tf..tla.de (>oJ at be"1tte de" Je'dste jtYlh'Te.l.. UAnJe.t (J"/YP n~ '1~; eli /':,,~tX!At~i"(JexJtje. .#~ea.9"~hDl~ti et~ul"lld P=~v M ~
I" tI~tterr .a( &~;(1J;1 / &1-~;(A;1 e· fu,vJ.
2~!eAentetNtd oj dtoOl' {iJ!4t:SKe ''UYtrneJ~'u td"flry t' p:= ~(1
eA en ~neah ibeldn.;ny 1M fla.rLen.s ta"en.~lan t' ,1)-&'1 enJzeds~~
kftde.ns ta.I'77en.(p /4n t' bt·t!w»U.nkte.t IV'=~...v . tieddenne
jM ~" , 4; (J"tHA " n~ , t:1; I '1 evteai/Mh.,./de/ eh dell.!M ~)e.~ ..de.s 0~lCn;1 /1.!l,~;(A~/. 2.. t~ tet.n.je,'e;tI'IAnell e-\ /WCldludi,t:;{l'eMtJ..let/e. me.d",,"ndAfl~'" b;"'e~e ¥I>eldn,." eo\ eu:kvdt,t (d~. n~ OJ ",;t:"uxvd efJ,tJe"'jiJe)/ RAn httV7~~ he.t A7ne lVI.eaL/(4)uJlcId'p60Sf,-
tlirt eUe.t n~Q,tl"vt, ~&t 1St»n ~een.teA/~e.1'1 ~e~e.s dle.t d'~d'e.s.
7i4den.s hu.un1'1I'".~h'T;L II e' d"oun/d P d0nM.e.s (~e.t
CaA{ ~,'edMech Ga.u.J.$/ (127) uo-'I'1 eMea.Lfo-tAo-Id'e.t " P vedale,., fee-.1",SRt nlYlhtaiaflu,/d'nl'nJ) ftYloSfnet h'1u/ftYI.te.Jnet T e.&"u - /. A~t:S
el'1 ~te,z.tMtn, 'f t4"je.n.Z'plevren e' P he",Jro-ldsv-/.s I>eeIrM-e.s etleA
Q~nde.s p.~d' tit", ~t.4tM£n.~ tne~ af6ile/,.,tn.J. .
UAmme ,ul~7k ~ f,' f"'l~ fenderI~ rQ'~te.t at Ao-ved'- G
. !o,UWt"inJMne. 1&"""",/~.rh1;';etRAn~~/ 1!Q'1?'1.:tJ~t " bo:1~""/ ~Q
de.p;"&te.J see: de,tte ft!1t>du.tt.~ec;elt re.""J~ en IJew,;od je.(,.,,,,eZh,'.sR bezJdn/~ afRAu.wt-
niYl7Jhf:Ld .s tfYl,t~,.,: II=k'(~(/') ell ,PNe"ttf0 0 ette-t nt.ja:lt'r/~ rtM
-s~", j/Aden eli ~'prl:t~ 'p4AeJJtJivk~ j,./'peM~k 1cA",,,,,,,,d t ·~~ ·
24.k7~ GM
?7e bd~neLstA. CM./-st1le.l 'lh'1bo-le/l) /" «e9n~C? J€.<J.n-teOu· ~ ,P. -'I. 59n~e Jt.f>Wle~· ~ p.4.6
7hu~.€.mQ ~4€jlU.n1, ,PO "I.81dt.iNeje.lSt/; en(ladl) ,P.-'l./~
Jeevn J€<J.doett:Sk bt.iI"ee.JeLse /,Qen//a.d'l /,.4 1.tGeo-doeit'.sRe kuAt.leIt 'pQoen/lAde, ,P' ~15
GuxleetejRe ku-tuehJ htl:..t/;,..,aI,Ursk46/ ,P- -r1'1
G~o-dedt'Jk 'pMQ..tleL/~~dnt'nj/ ,P' -'I.~OGt.c-doet;'.Jk k4uh'1n/njl.,o. 4.2~
7lJ! I>e.lo/-rzel.seh. ~'·l$to(ftl.JcJ.lnbo/~.
Stud/e.t1/ta.de/l f/e.d.,~ at;:;QAQ.wleI.eAf.ewt~t.~~Mj~·t,:t.!>,e it-I CaM ~/ea'lt,eh Ga.U.$,$ (li22). ? dd1t>1"e!ta~n.deIMh",,-
c:4e.de.s W1d~,$~eLlf~ taenkte hlQ.,1 .s; en jla.de ,,'ve.t vee! e.n 6j;z,nj' en /leeMe afUfYte h;dtec{,je -bd,ne1seA./ ,s(J-m E; I;G) elL leje.feR? Ae.nle.tfu:t G'tuJ-5 I 6fV1.e.kJcle.ncle cM.6,,'~: 9t'Jj"i.s,no.~ je.nelttdLs ~C4 .sa..-
pVlfCte.,s CuhtJa:.$ (Itf~7- 2J'sk t>i.Wts~tte/se: Ostwalds ..t'l4J"se~ 5).9 ddt! btev tXt ui ,:me'd(~a'anuendt et Andet oJtd hte..Jei"
bucytte.dt vJm.bt>WtI 6~t4Ut!/i "'e.e1 (;'u6ce,sI d~ ~j~ Ro-qrl'tce.4e.cU
ad6tyR h7e.\~ ~.sk"e.leje. ~P'lb~e.tnf' kAn e·/tPt.iJt l-Ll1'tldde.lbtVt.f ~"je.J
t' jlln.eAQ,llvelt;"'jeJI r114de.le.ePt t'ert tt.! luf'Me dtme.I't,sto.,.,.
Vi b~4Jt~ e.t n J~7fl d'f~el'tte~dt/14de.$'lde 7,f;d verie", o4/ta.wrdtA'he.mute.-tL,nQ .OP., ~ ::: A(" '"".2) rutu2J~ .f2 . Gel1~eLt TlYlua'-
I 1- / /J~" -.) ,I ,I /-
...JtRitf!.J n ~2. (Sa· teeny ~UH ~ ~de.~ h; '7 A.~ at~~.ste Mdtr? enddt4-
je5J ~~. n ~ f tdl1~JkeLtj~.)
1Je.Mr.e.ttk1 aZa", to-~M~e6te EA IJde..!Yld I7'1ed'.JevnWlf. 6l>j.stQ.r/
h'led indU I "j e, tVt~/t f~c-ue.,.,- (~~ I1't4G
a.dVaAe.,s Irl~t~e)dut."
at ina,ceJ , e&s'po-n&n~. IlQA "'An ~"J (tYl f ds. kveulh4.te.t'pet"~ .s!tAi-aes ("~;t.) "\ .....2
~ (J.Il. 0 /l. .s.. . '" ..J"t I I7'~ d,i I d,li)ui J ... \JK.AlfleJ .4, I A.iJ J <::» ~ d-t ...sOfULeIlYfj =-Ai .~ J
J';/"rlQJ at(911 9ft. ) (I F)~ZI '22 =- F G -
~flI1,.,e hlab,U ka.tde.s 'plVt4wrdeAfe.Wlstilt'njUt,s l-Bvrokwpe.n.IaLh'l~bt. .3fAJehwrente!#. 71f~ 712 =!J2f OJ 72~ M heel/e. junldeo.neA -t(.th~ute:tt ttn-rJ'.Vj
l 66-J.'" ~~tde.J " !<t>e.jfc/e.,deA i/~.ste?nd'Q""e,daif(Yvn y,. 115). ..at.t~-
Ir'v;'uvden !J =- l!ltt .912 / = EG -1'2 := Ib~ J(J1,~/2.921 ~22.
(..se. b'1t l'1 po (95) td),~fA ujele.de.J tti'l-Y.J2). ~Q. J(tA.~~ll/·):I: () " JttHAi
punld tU:U2) 6 QJ
h(;V&.lu,.,.da.l'Ylen,t~wt.edhec~1'1 otJeAedt i J2 err ,'nVM-S; ~"
J!<.A,iIt...s (g (f 9 fRo)
9~1 9U·
1'2.. Cl ff re ~( U ' /Ai'I-~ /'I) ff .92~'"',.sa J J J =J .7 j tdhoJ't.fA '(iI C.JL j ek.se.wrl'dtH-S fA)'o- :1 = 9 0
'1M h.d-ed t~:e.t<!) ~.f2 iA-d
9~ veJltfYiehne A;re.t:u9 7 A~~~(l)
i jleu.t'e...s'1kkd.s tanjtn~1a1'1 i ~u~
\la.lYlme~ l'Yled enht..eiJd-t.!<,.tt;1e.n1/ ~ t) 1/'1.t)
nlu.(t,l-) = ~ft",f.,( )(:!!:t.ttkJ "
- J lA' (u t (,12.) J( A' (u1ul.) /-t 1 -:.2 ~
p~ fQ.den()1ht~"en b4Jht~ Aunt-
metJ veId-~~.
2k.t 1J~en~ ~ of'e/ aIdVif'yrd~ .sa°clCtnne t~wr./eh ~ h'?~ekrl.s ecc«e.encld &'t UI't"M~clI"tJ.
9nd4e jeo-h't~l' f,
2e..tk afsnt't~ iMe wttdemet.n~ men Loe..s dd aLtljeud !
~e.5tit cLej en tode'l'rluz..slo.nal ..s/.ta..6n"Yt.j~ d~ leVIA ,PaD e..t n
r-r dlVt.~n.:I,a1>J.tfla.cle.J~kRe, rs.; ..stedexvdiJ ttenkell v-e' N det.J~'~
oe.t thd e", 1'tVlA.IYle.fvtjte.wr...s ft·tLe'nj/ .se ,p, 42,) HQn Kendell ~ hee.a'e tal,
~ ,,' .sta.xd ft.'! a.t mt:de. k~~e.&.e~d~ fXlGjl4.de..stykRe.t OJ htVt.t~ det·(eAentt'a./- , bderalh~n,'nj) me-rr hAn ell- bun.e4t tt..'!Ita.den " eVneA
el'td iMe a:t jene..stiLte. .s; dd tltedt'n-tel"t..stfJ.nafe ~/ f/IMle.n ttj.7e4 .. 7teL.dens ~Jen.t'p14'" e' e.td-IlkeiAttjt'peLnkt ktvr hAn noR (f>'Ite...std/e. "'1/ h'?en
I>e..tfCejt ...siJ eul e' den kan han e'kke,
VOJtt (IAdeVt/eJen iJenJ~ ~MQ.h'1etle;fe u:u.2 \.10'1'rl k~~:.ta.te..\;f)
- ttje..s~ (otnyde , ~edde lvt.~u'pQ. en k~/9'ta.~, ct~unJdj 6Ld-ee..
JdJe ,Pt!ftAde.n be.s~"~eA hAn sa°l'ede.s tree! a.t- ~/tI-~ 'punkte..ts ,PM.4PteZte
\J()oWl !t.U?!dif>.nv, at It'clen,/ u t =r'(I)/ "-I.: ?.2(i).i - IJCtJr".,.,enltjn /l>Jb~en
jrYi ei ..ske'6 'p0,6.ke;4t lhJeJI .&/a.xten, en rlJ"ldn"~ t ,... (r/('~ eptlt)2 t~I,),tl-fYi {e"(-t}; et~t) td),~e/I 'plVlQ.h?eieJtO'h'lha.°de..t ..f2 1M aLIe t~1; O'lntQ:I~
),e..; ~; tJO'''''',Pt1AQ.me:fe""remsttilt.'nj aterr Icwu/t {.Jet/la.den, & ~.. <;P~ €
~ (I») vii t' ..set) = ), Iz.. J··(u;trv) I17tv») ~l~ diJ
~ . l1 ':J T J 1 dv au
SIJ-h-1 6e.ke.ndt (6Ojen,P, 11-'1)~ bu.e.tce..>'tjde.n"Pet kWluen j aLt..s;
(;Y' =: L e'/ Jij((l(tJ, f(Yt))!!l/~· ,
77",t4 be.ne, 72Q.de.eHJe.se.net /.tan .bfl.oSte.m"", frnkfe~neAnt ..J!J i..jYxd~uYlentcJm~, Cfl.1"l (deN. klJ-e(f'(;(enleAne ljtYi.ste (undaWfentalrmJ.
7(4nktt~~~~;'fe. t' d ~Id fa:a.2) €..f) kAn AQ..1"t ne~lej
f'nde ..Ia"/e.de.J: ~.Jt m;/IA Act'" 6ud&e.n.Jdt ..sIt),.pa"/,tlAtV1'1d"eAkWlt.J.en
Jtixt (jed a':::t, u.t::a.~, han beAfljrtVl (1:)tr:a1' ~dn1tte/l
((~)t=41)2 :: j?1f(4~4t).
Ayu~.lcyt .be..steW'lwreJ Ju(a; Q.,z)) heHYie('eIi )7(~.n Retn f·rlt:l~jtt.(a:a.~) =::
J.tf(a.:a.~) u-t-a' aiM;}" bUf-/~"Jde jek.J. 'paG
k'uAtMn J,fH.iued at=- af+t~
u.z = Q,</- t .4et ell ..laOIe~..s e'rt'ncjJfJei enkeLt nt>R1M fla. de.vceuend at
6e.-stemmt ("",idio.nw-tt j(j' ";.,,. h4.n/~Jt Renele/l rH'ltn ateu:llhJkkdr bue.loe.n.yi:h J(I). - /Itf'n~ "fen? tit den,.,t hM noR ¢old!hQ_ it'di
~va.IVt.
StoMe.l..seA (t~\St~e.l.JeAl fnkftf>.neA) fJ l>erebeA~ d~ Ran
ta.stlctj~ i (Ia.de.voeuend; utje.s at t/oeJtt indhe jU>I'1't,;Ae".ske.
1ndAe JeJ>h't~i 2 ..2el1neJa."'J tJ-c{ (}-e' ,kke utd-tti Q-J it"! et!o.n"la..st'vfR.Jen (men tct.nR
aiL1e.vel (Jao hA_ nu , ala /).
zt 6e.~4.jteA et n r-r de'IIVlt.l'ttt'AbdffAde.s~Rh JI'u-ei ve.d
en 'pM41nf-tfAf ewz"nill'n.j, l.J()-m~;,P. -'I...z ·en "t~~t (ta..I.s~dse/ fnkteq.,-t) eLleA d 6':re./', dM ka.n
jMtttJejjeJ adfa bueltJe':jde/l i kult~ fJaofla.dutykkef; ka.ld'e.s t'nef4t
Jf..I)-hft."-bte'.JR.Ofe-st ~ de-t h'f~e 6~ltdewri orJrly Jt~eise,., /here.bet f-.st-
taJ! il'edy~ '1tunlde~nVlne iff ijul'tclQ:Men.talh'ta:t;.",cen (d~. Rr>{j'C(t:l'tteJvt~ t' jthste juyu:la.n'1en:teJjtYtW7 ). ~e.tjtA rr: 1tYt..sk~l/ ihift"ldt~neAnt! Je" ~ 14k:1e~1t t"ndhejf..O"W?e.~e:Ske (6U1-''.J ItA", hen~-S i '/~e ~
j;e~ afn t·t ))l) '1I'Qo den anett" iJe'olt eh bue.loe.nJde.n (eM en !cU/U.N;X:
jlade.Jtyltkd)0- 6e...ste"",t tl-ed/fYllnle,., 'po 4.61 n:.n ReV'll./-tn e/t j/eH.teH.d
(u:u~) ={f1{/}, fl(-t;) e f2) tt£~ ".,ed 'f:fz~ ~'(I).
So-".., ekJe.1r?/,/M ,PQ. /ne:At ,uJ-n'1et-,t'ISKIl ut~e.IsM R4n (uel (;eIe/'l
6uel«n.Jdeh OJ (u",kfeo.neAne il!) noelJ-n.eJ u/nldM n1elle".,~~~,;lieu/e."., OJ Ita.deaAe.a.leh (se b'7e l'1 fA 116 '1/" (95). ~t Cktl:st1f1
,sJlYlbo./eltl'le ell (nc6te Jt!.().me:5ti.sRe... eh )u>-uedt"ndho-!eftt atJeetn/nJ i
(p.44). z,{' ~ka.f ~~ Jde.tJtjelle en heekRe ek-sU"I'!e/I -Jenehe.
LQ.d'IN n.u teede 0-; to- n J4n.Je d~en.&A..6t'e ,ftQ.d'e-s~K.kVl ude.n
de-66e4'u~ehJI'v-ef~d"pa4Q.hle.t~eWl\fntt7e1l fu"tu~) ....~u..t ,
(U;"2) ..--:l I? t.t me.dt.J4;nWle/,ahQ.hreteho-~ao~J2 ~ IR~ f>t} lad ().J tstNrl e'l)(r-u~u /
je.n,P. .201) IJ~/te de..., IJjek~de ajIJ;td'V" It a(ddenej7Q.~,s~kRe~'deL c2nd~ A,,"M V/ of.t' /"). ~/f) ) _ o
Vtu ""I e .J~. '¥( rf.2 - rr f 2 .~ tl~t.J. ».«
»z: beM~k~ ~ec,~ J en.kf.lC4fH1'0° d'd ute114d'e.s~Mej~'vd
ue.d (u,f u Z) =(,rtJ... tp"{t»)... t~~ pea' ¢ jtAe.s ~e..t ~. en k~t.o&e'p,tdel Q.neld
me.dIl4mhtt.~eh'l.$nllt~-J_'
Sc-"" d~ ellJJ(yd huleI~ e' /'J'letJ"..t... <se/'. .2. -5 -/ ~ ~ en (,k~tMltj
d~o-ht~f'i et n jQ.n.!e d~Men.44.6eLt;r4c:4.t~kker"eta..-td~ ,deL
6t.eM"rlilei-tyen ~ ..... I? fc f ~)e.f2/- / ("I~u-l lA:u-t) UJU . }
t>;Pn.~.s v-ed bJt"j ~"oa.JJe.n.de I'QA,vndeh~ehtJrl i6~eh mead jce.tle.s,I'4h.4
hre.te.tf>N1AaG
dt .a.0e-", .be.Ren.dt y" .£6/ "e:rn/,..<01) Ra./eleJ ¢ en b~'n/~.J AV'.f$
etlrtJ-e,1l,t ~t.o&elS'kkE' ,,0:del' enejl4a1e..s~.e.f"ued'~ItAe-s~ ('d rJt:lWfhre
IDe/de, d'~. )'fhJ ¢ et t'«7d'eOu~. en nc>~~en.d17' -t"u~~d7 6eA;" ~
jeLse eh Nce.tl't/..-tJ.z (' Me.v e, IJ/e.n'p' eoo, tdf';-z/d/c-nehne .11)' .f'june4h'urn.WwrQ,.~~ce...-r ~ft'le.sr de to-It4~J~k.&ts ;:>M~e.t~~eh"l-s~1un
jM. 2e.tte.f 'ty~ d~a.lde of ed 1~/:d'eII e(h'Pe-ds~en.de 6«eAIX/de.. rt>1((tdL.s~kReh be.steh'twte.sr"?" n-r:e& u:r7nK.t~"eAn~ ..99' ).7 a.t!"nkt,'o-"'teAn~ jj' betSte."..,nte.s~ J4n?wre nTO~ ,"01I'UI 1a!7d ell athf~iNl-4en~ t>«C/I y!A.,P. "'1.5'-6).
en D~·nin., /J et vcnkdAD- OJ Me4'~0-, d Q ,,(;..,A/ell .h?e..&WI ku-t
eHVl, ),en),o.{dsd-,'.s ~et:::l/~ k4n ce.JtehrWle..J vee! ,~~:t,ee "~.Rr de to/Ia.c:!e..t. GAn.skt tlioSPaAen.c!t ~ aLk indite.1et7-wte./iu'J-ke Ift,,~ets~ ,,~~
n.,n.T~n~,~;t.z'e. (f'k.se",,Pe..I(Jo('.s.JoeLdeA de.t CAAc'.st~fjtj ,",wz6o-1e1lne.
m~t 223 19'75I
:'1"
zlo-'tt f1a.devceJen u-i! ,/dee VtVl.e t' ...sta.n.d til at iJ~e) (Nn hAn
b4,f'n.deA u'J fJe: d I1zJkke at en c;t/rtde/ljla.d€) e.n~letn eLlelt enk~~(la.de} he.".,),r>!d..ux:S;x: d ..r,.kk, i e.n eJ-e'ndefla.de et/eA en ka.te.n()-e~
(se bf>je."., f1. 223).
(t)
7?u 1Je.p('.set. U- IJeihayteA d ~ .fa-n.Je di,(eAentt'a.be.lt jb.elt-~
~tykkt fl'vd t.l-ul'paAQ.JYtdeAjten-ztfttLleny O~:,,~ == .Ilfu:u!l). 7?de.t
K = Lff~.u -4.t.L~f ::: ~gffJ2.2 - g1~J2.2r .9
_1 .J. JA - -J." - .J. r ILit L,~ I - _/. ~ , I ..ell au no« tU iJ-iJel eu: ,;(J::: .G:uL.~~ eh l'laAe :;e.t1;nel/U .fK .
lh'J~ ud!'-a Ltjn""en" r: I rre I L tt:;"2 r'P / /-h .. = '. A f +-'.'_- -4" + /-n = L ~/_.· A +-Ghn-lJ ~ - 9 -~ ~ - p: J ~ -;0 ~ - )
Juw, qP en ik1euJi! ~t (,Je;:;. ~4)1 ME-den.s n::: (A:.1<h~)//A:;<A~1 en.~
e411da.Ut ~l. OJ ..G~i =n. 'A;- at k4tJJe ~~ zke/ d;/le.1Ien.ttaZt.on~
11/ ~< (d/ijP I ,.,p II ) / I -I- d.lijAiJk ::: L p a1 dl/~ A..p +'9 Apk f- ~~j nk duN n ·
7/del 11''&: = 0 OJ dehl?"1ed n.~ -Ai = -n 'A(~ = -Ltk ) ut'u.t&J v/oIe.M
III / 2 (dr;r/ r?Pr"') L LAfik -At ::: Lp=t ;):k jpl + Ii;' ~kl. - fj Ik '
Ckue1T1'pleA. ~ en?Ia.n eIt k' t'de.n.ti~k O. 2e..t ..rQ.1T1wte.J~eJl
riA d),ueAl udfide..4jt It(;tde",~kke. - ';7;, en kujlyla.d'e /nedha.a'tu-.s I(
elL K =;.. ct (n~ -lac title) uzjkke tfen kuJlflQ.~ Ran edI.ut t~e ucf-
tertd~J· _J.. I I • /~ j. ,. . 1'1 / · _4 • . ~, ue.d o~'mnJ IJ'Kf0 deli iY?:Jt.n ~naA.u.tJ t J t>m en; caae e U j't./"U
'punld UI etI~n~k, ,PtVta.bo-l.sk ~. ),,-,PeAbo-l.sk ~(,th'?n7et.
GtUl,JJ t-L,'.t~ i/dt. !>/o-t, ar k4.UIYtn./~ht:Je.t ell. e';.c.dujet>wt~~t~
h?en h4,-r;andt 0j'S4o en -Jth-r'pe.1 i"u;/;'leje.o-h1e17u:.sk kaA~tM/:r~t~. Han
iH.Jte n¢wt-le., f/'J€.rule ..roe.tn.,n.J/ dVi ~tHtrlJo-dh~eIl ~:I ~ ei:tan.tt..s~
ifla.de.leo-1.t'en ". ~I~ en ~e.ItQ.nL;;a.:ttadevtykkd; hVl:S J'dell eA yet>doe
'Z'e:S4 k~M (.se"o. ..!I. '/6(I), e-t /hnkd,suh01wten..s aj'f.Hje.l.u /ta 'IT I~ lUe-a./et a.( det 7cM./ ,sRt n~hlaL"tttedf (1!~'0 WMke IF; fl. ~46). :;j""eAa
tt',seAd1~W1j~ 4e.sua'de.l und~ navnd Geut.s.s /'1Jt;-nne.'ts .s~nlnj'
(..Ie.f e.RJ. J J. Sto-ReIl: 2~entt'aLje()-me~y/ ldt:r 1969, /" It:fl- 19'7.)
llelke..J-dJe fl.:' el'tf!a.d~.
£a.d d if>-JClnyt-1.{je/le~'a-bJt fla.dfJJtyk,f~ ~ Jl"vd vu/ eJ'1
04ll.AJYld~-4~n-lJnUlnQ OPt .2 =Afu f ti 2) (u,.'"2)~f2.I /-. / U"u. - '" ) ~
zk b~/teA. en RfMV€r jla.d'e..stykkd--« ved
"f ::: ff(t)~ u/1::: <f~(t)~ t € ~
)'tMJI I ~ ei InteJlva.!,Pd IR , r:r2€ ~~(.l) httUl (9,1(,~ 9'~(t))G.n joJl aLLe -tEI,
~. (/ott to-tke il>tldnl-",el'f t ~ ~m~,~(t) I, t€~ J,,"Jr1 bf,oJ~./"elu
1 d;>unId ~ dE4 .6e(J-~fIA I1ty'pdIkdtoJ~~d - , d~h'lf,d ,'./l,I,(h'1wtd.
fle4t' '11fIA /'I",~ at ire' (/-t'l .lYt.Ujf en k'''''~W1ait:Sk Ze/un;no-lo-jt'.--.. 0
Af OP =./d'ff(t)/~l(t») feu ued de~exteQ;teo.n
/ ) d:!! >l '/ f ~) tlfe' I. t. ~.t., dfi!!d: = dt = Li;,f Ai (f:f '(1:), f ttl dt) /<,01-:!! =: .L.i::f Ai d:t )
oa Vtde.-t, tV = d~ =X~ ( : d2<1i -u: ". ~')~).
/ cI:l~ l=i /tt, dt~ (4 )=1 A~ df dt
= L:. 2 I dlc,t L 2 1/ dJlif!!1/i=1 Ai dtt. + iJ=f A9' dt dt
JQ.n.JRe >Jo-wt / 6~en p. <26-.227. f!a...ft1),e~n 1! til i'deJ'1 t ttjje/i if/a.de..s'ItRcis tAnJen~kJ'1 i ~tt)Jfl(t) i del't,s k".~"'i-t4teh A1U/hV1~n -tilA..;(f'(tJ,t,z(t»)... A~(<f'(t)lrf~(t») M 11:~. Acce/M4,~(,.ne,., tV h~n~
Ut' U-ieleAf I'a, id..t Ie,,,,,,,, (I) bt7tte.J f-sf'p' -'I. 3):
I ( et2t:f f ~ r» 1!f!t.l!.!f!·)W = A 1 dtt +.L.i,j '[1' tit df . . .
I (el~f-l. r.td!ll i!t.J) L / 5/seldfl!+ 4,2 dtl + ~i fj di cit + n ii ""'ij dt dt '
~ i~ j?Ji'JenfndeA tu/DtjkRe-t L,./~fJ'((l(t)1 rol(t));If.;If len de" wredftnteyrtAej,.,#.ele Ioenyde ofrtye.Rt'o-nen a( eu-(!)1'4 jta.durfYlWta.lt.n t' ;;W)Jtf~iJ
(ttjl'tl~ (1)1 b7:n » eer), me" (Jot'! AM ,'ute-a...t h~ e-s vee!r7'dtto-n fl.l1
"1(1) 1 wtf) 1'4 ta./'tje4"oknen, 2e.nne vudtn vd vi Ra./de de,., jEo-e!eeti
.jill a.CCf,/Ma.:~~n, 2en.J Ro-oJ'la!,·I'tCl.ieh me.d ),e."."n tt'! ..It;(ff(t~ <f~t))/
zI~t jla.de.vaeJU l CJ~,P. 45) be.n/ttM '..Ja·lu.wtJtt.'/II~.t." ("/U.~)=1 ) (£!£' d(A~) •ref (t), 'ft(t) atpunldds beVf)t.j~el "J hAn o/rltVl dt ,dt lJ~wr ko-oJtdl-
nd,PM 'b;1 )uwttyAe.de.n v(t). 4ccdf}l.~;",-zel'7 ur(t) Ll.jJ#A "de.nI~ han.J
(fYtest,:Lt"nj5UVl.cIe",; me.n ko-Mtttna..te.'l.nt' tLl ~,.,je.od~i.JRe tlcce.Ie4A.Z'e"'''
'i ft ) e-t t~dAe jeo-wte:Ou:Ske y? I1tRIm'nj t; /,.44)/ de_ ka.n han beA'Jne.
~.~u'Z;t'1vt'.J o-;;ja,tteh htvl ~ uty(tJ Jo-W1 acceieMdei:>nen.
J02.vn J-eodcett'.sk /;e.~jdJt J2.; el'1 j/a..de.
v~vn be.VoeydJ~ ojd 'punkt '" AUh'1WZeI Ra.n kaA~e4t'-tf4e.s eleet;at a.ccelelt.a-teo.nen e4 ~on.sta.,J lij O. 'lJa.ne..kuA(ferl ~ (ei ...stykRe.. f) ~n
Altt Ltn~iL.
La.d 'r: e.t te-JW't.jL :'1IeAe..ntt'a-be.Lt jlQ..de.;tyRke Vf,Je/tt,,,'vet,,reden PaAa..h1e..tell!te,n-zlSitittn, O~4ul::: A (u/Ll), (U;'L/) «a.
7?a/e 1Ft' ta.l~ tNr1 err beeNJe.je.&e (ajd/,uni:tJ f.J4cfla.den." v-elef('tot.n-
I<e. eN dt.n ,,,'e;df.Ja6/~h'tel'1("~ u.~) ::: (fit!), 'f~(t)),. t~~ .
hVM I Vi. d t'""tt.lu,}{d/'; II( OJ t:f:<f2 € e'cI) med (r~(t~ rf~(t) ~.f2 I~ ai
te t~I...#cce.leA~·eme.rr.s Rt>h'tf.Jt>nent 1teJI jltu:untJJlwzaAn IH.d,PA..$t$AJt. at
d I'un.lt.t ;:,1.(2 /'; jta.del'1 eh , ·, '> / t. ' ~ d~t(t) dtltt)
I'l(Ut,.~) '"'i.j.(J(j u/u) dt dt )
Jf>-W1 -e-:,Po -'I. II ua6vu u~""" e' bbje..,., po 2~7. -t8d eh be;rfoe/tRe.lsu(Melu:ltjl;
a:t d..,..,,,e !co-WfbfNte.rr.i ~ 6t..Jte"",t aLene (fed'dtn h~\deq),ed, h~n'I~dPi e,_ / U~1.t(
~Q..JJtAe.J. 2e.tA~ 1/'(' udwto'nte.ll.· me.u$n,,~.s l1oe:t'U'rtJ (bfrjen,P. ~9). ~
det 1Jkt1!M/i ~jv.! ed \!zitle KMw ttl Re-h'lI'e-nsnz'tI'l, t{. of?n~e4dt1.-
en bevfJeje.IJe /'d jttLden ka..tdc2.S jf;elJ'njt.~~:sR,. ),eh'.s denJUN:I(J(!.
~:ske a.cceleAQ;tef;n 'i (t}jdu.s. a..ccele4a.t'tt>-nel'1s kc-mf'e-;,ent~ tevr.je.rr.t
p((A.ne.n i ~rtJ, ~2[t)' en () to-'l. hcHAt t ~ 1. ..4U.saG
Itv/.; a.cceleAa£j,.,.,en
wIt) teJ7e/1 ;x1/(a.oIe.ntYtl'Ylde.n c' {?t(tJ, ~(t) flA ),~t t6 I.
(lil bdy...sn/J'lJ 1l.>ere.bd et e'rrd...skud,. d~ ),cMe.Il 7~;nh"Ce / .ltai,o-
nellYteRAne'k: enl'M,.td~e.t, dell e/I bundd tt'! en jla.tIlt:~·de CJ eUe'p4°viA
Re.J at an.dA.t hzcefle/l endjta.deA-s ./cea/Cho.n/ Ae-tid~eAfla.dt.n(YIl.",ale.rl~
/;1-1.1 nd~ Udj~f e".JCwn je(;deeie~R be.vee.;dst. l'a>'1a.del'1. (Let>/"I1r4/l.d s:leA 1736).)
Seetn/n.1~' CI't bep.ce-jdst j2.4·jlo.cIe..st.y.kke.t jCf/.e.t ved
ru:u t ) == (/(t)1 eto/t)1 ze Z,
JU.IIYI 1:f~ e ~.t(l) 0/ (r1(t~ tpt(t)) :...0 fr aLIt t6 II ~'J/cev""jtt>dr;e.tc~~
hvil$ !!J Atu" !tP.CJ
d~(j?k(t) + L..~ r'Yr:PytJ o}(t) dp'tiJdtpittJ == 0 t6 I k::I,2d.t2. 11=f!J T / T dt dt ) ) I I
dtJ-.J. ),v-es (t:(J~'tfl) eIt. to'.sn/I't.j til dt. t.JAmme.,,),~el't~ d,!,~en,tt'cdLiJnl'n.J.tA ¥anden endel'1
(t)
Seetn/njen j;'lyVi elwzlddeLbQAt a(de.t,Po -'I. 12/u n ell'1e t-tdbt/kr
!<(;tYt-c4'xtAXeAnt '4:1 ~ ,
Sa!ln/n..g ga.. z4d 6V-'n1',-r-J W7fXIJ~eJ el'1/-«.vl"t jeod'ce.tf.:Sk heUf-t,
JdJe. fie: dd ene f/(u:le..s(ykke ¥ en/-«vnJ-eodade:Sk ¢e.eICe.-jdJe j!.(J·ddarrdd.
7;;" CNustcffl t$JWl601V1.ne ~ cden.tt:tKt' 0>,e u«.tn/" t ~,~.I{~
d'!!cAtnitAitiJn/nrne (:6) aLtJao
de iJQ.h7htE' jiYt de. to-!lo.de.szykktA. .~
",.,txlsVaAen.de 6ttlCejdJVI h4-"t o$Q.mwrt ren-tsttile'1 t.t,fU/ ·) ::: (r1(t~ r~t-»· lIellv-edItYI.",dJ~tte..s1 atjteu:leszjRRehne.s ,.oa.hQ.h'?d~re.htJt"t!It~~M 0(-j>tu,$e.t Jfh~,P; ,Po ~ 7 fI>Oj4n,P. .301).
IIMt.. e: CIvtI'.st~J uylnboleltne eJt ln~ejet"Hl~I:SRt'/ .JoeLcIVl
ddt,. r; 6e;r"Wj~(?doe.t~:SR bl-dctJdue.
0oelnl-", .2 \.S'd~ os e,-(dv'd~e I.' \Jto.nd id at ~tQ.JI.ere>-/;/e.wrd
0"1'1'7 e/ts,',snnS atjt.o-doef,~Re bt.V~e..&tA jXJi: d thejCtnJ~ d1'eA~,.,..tt'o.6tLt
ft<u'e.s~lde. H~ //'/1 C/vu:.stolfe.l "1'Yl~o-lt/lI',?t NVQ.JI.en~ rli en~a.u~rtoltr'"
Aetmde.ll?em,stl.tlt"'J) tIOeJtt oj/da.J.st e: uttlet:lts a.t eJ:-fI'.JtflI'1J- ~ ~n.~- .
dejAe.dJJcdn/n.ye.1'f tiM d'ffeAt.nte·cd/.'Jnl'nj-uJ.;te.n-leA (7l7ed I()~ 1977-7J)
p. 6-1. 04) Ket.n Qnvent:h.s ,Pao J1Jtt.h'fd (,2). .adjlf.IeA jo'~e.n.de trejt~t. Ae-
s~tttd:
uodn/l'1.-j- -'la. '1Ja0 en ~e. fa-X!! d~f/l.ent,:a.6df!dde flndt..J CI'l
~ Run tm/-Ce.v-n je..odce:te'dt 6e.~!-el.Jfl. wtedfrte,she.de-t~I'ti()-n f 0/ Ita.-
Jit!-hed ~ l tA;t-Jtt.~lAnt.n .i f til d jive! te'dJ,R-u,,/d ~ ·
Cn,iyd1h e. dtUt ell utite-deJ atj{Yt,Jta: edUtA~»-:Je.o-o&dt:Sk ~e.
iJfJejdJtl
ae/l ~htd~ hu:uH.ne., eIt he..;~,,'ldco.n at fl.n h"ted n-tak.st'wtaLt ~d'Sll1-
telttraL I ~ IR.
GetrdfLtiske kuAV-e/l 12: (lTt /lade.
~al'teRWluenttYl en jfJeun Jerx!ce.It.:Sk /'~v«re (d~ ikke ~ Avi
Ie) ,Pao en to- j4nJI d'/lel1.t.n!t(".,bd!4.de kQ./de..s en jet>dcdt:Sk RelAfh ,,04
flatien. - .at~ en to-JtlYljt d~e/tcn..t,a.bt.1kUhiH. (~ten,'e"'j~fH:IfAt,.:sk
l>euoe.!eLse eA/'(>' R~I't.Jtetnt ey c1vUY?f.d aLchij ~ riM !Je(/"«j~.lJ~'" l'kke CIl )1(re'
u. )t!n if)-j4.l'1-J! t:4!1-~t.ntf.a.6d kuAlH j2.etf!~u:1e1'7UIjeod(Jeti.s~ hves
!!J kun )u/i.s df.nJ ()-.sku./~t,6-nJftl4.nf.~1tuAt>ld'~j!ae:le,.,~",a.len.i),~
f2.unfd, J,v~ RuAuen.J htul'l'tn'i-tj )0{ e..t~,Jkt.It'j j3et O.
ctJel'7;-rem./ob 1 en l1a"d,v1 kwu/oe hfe.eI ktrrrJt4."l.tjevd Vt nf.wr.ltj
en.r-:.Juxloe.tt.:slt ~e~d.s,: rI~ Q.cce/e,l)4z'c;"nen w(t) ilde eft ~) Le.JJtA
den j'et° kWleJen..s IlfnH.dntMnt~ J()-m hell. ja.lcltA JetlY1n7en ,wre.ell/adenMh'tQ
Un. OWlI.Nln.ott: uea' ...-r./Cev",yeodeett:SR .6evfAfdse ja.tdeh «/'(t)I',://et.de-
Atr'llrtale.,,/ me"lo. ".lao i !:Ja."tku.lli.len..s e>-.sku.(a..ftD-",¥letn/ n~ xtt):I: O.
C&.seh'1),Ie4. Etrentf.le.~ hdie ~n,efJ-¥keJA ,PQ"en j'kele ell. ~a!
jeo-d~,:ske ~U~. St~cthkleh ~.Jeod~:skt ~Ueh )'4°e.n k~!r(tla'f! .
~ d to'J&lnye. d~elien"AlJdt jt4.a'e.styldl Jl'u-e.t~den.,oevuvrte.
t~eWlst(.-a~ Je/I Wletn o-fe ~n,~~ne (,2) t' 15tdn,'nJ e ~~14) (Jolnt,d!
I.1(;WI dt!leAe.n:ltaLftjn./n.jfA joJ't.Jeododc~ke R@t!eh;PQ7/&lde.s~kR~Jk(};.,j
de.!./'o- fA d'feAen.te~tI~n"~e/I/tM/'ceun.e.J~e:Ske Je~eLsVlJ ~.r Je.t>dtJdt;Sk~ RuAUU.Jt.",neln!o'6ll..t .mulRo-nl1tf.t4!-tVl..t,
Sadnlnj_ 3iJ. ~d "fJ-'nln.j JM en.J-e.odeet/Jk RuAV-t~oc:&!,., e.ne
~ea fi'tJe/#.i sa,je.tXloe-ti.sk k~p, fie: alen tlnde.-f.
en u.wtiddJIJa/i ko-nJeRel-en..s at ..soe:tru'nj :3a. 73~eW.J~o-dt.e.
~'.sR ku.tuH ~ iru'o'.1jf.()-Wle~u.';s.e.
Ck..sEJ1'?~~1 ..a~.J~odfJe.it'.sRe k~~ i e.nI'kn et ~ Ae~ /f.'n,'e
Cs~kke..L~ . lJeJeodoe-t~ke kuAdeA~6en P-h'tah,,~,~c.Ytnc::le.ytadf.~
Sodn,'/'T.-j "I/;. Ge.nne.m ),V~ht.f~un.ld ;d~ ~eja.'1.!- difPten.ii4bel
jia.de J-~ dell en ey Run e.njt.ododesR RiUteH i. htHA ta.:7-enAdn/~:9'
Cnty,t:Jhe.d£" ~ .s';Ie.~J a.t104. oj ta: td~jeod~:JItek~jertncm d .f1.iJe.t,Pun.ldh'Pt.djttrerl Aeinl'nj M de./kuAQeh aten OJ <SQ.",,,,,e nta.k-
sima./e.
'Re.sedta.tetjo'tye.ll i Jodl'lIny 4~: ~en.Je.rxIee.1ejk£Uh~rr:ne.WI d j1iJd,Punld f "ledreJIote.()e.t tA"e""te.e.in./~ !.!A,., Vi' benytle ~,.,
nedu4.bje ,PMa.mdvtjAewzJtLlu'nj lYled f ,J(;h't u.~~/u.nkt. Mea'ke~
ma:te:tk teA.wt/"q-{Oji tjO!a..lt~.~. ()-i da.. Ree/I,()e.n '!()-WI b4.l"tt.kwUNj~en jeo-doefeJR
lJeu~e1Jt.me.djevJ I) hV01 f e.'t 'p~i.ilp.nen t",i ~~n O. 9de.tA(Wt1h~n
tLL te'cI.." 0 ~ en)'eds~en ~ " den !o-te...rRAtfN" -k,.,e~et-vn:J' J/~
uc: td1>e.V«jeiJen ~ (en 4e.\S~e~ti.;"n eLI) de.n h'ta.R.st.'n-zaie /":" jet>dode'.ske
beu-",,~e med'pfNi.'tt'o-n f OJ hc:wttjAed~ til ttden O. ~~ den ev,a'f!n .licit
eJ't httne.RW'luen 11>'1 denne beuoeJe.Lse/: (.)-(~Re./tj e."je.t>dae:sR kuAeH ,ennewt
It htecldan ~'n.sRed(! ta."Jen:Ae.ln,'nJ'
Ck.leWll'el. .a~ ~ e:ek, a.n~e jtcdede'ul<ekuJteJUi /'; en R~/1(a.~
end ,.dMc~k!e-\m', Ge.nne", ),u-v,J,Punk!j~ d'eA nelnlej en .slnctAkelt'A~
ta.7e""t,.dJ"7/~.
Ge()-doe:l,slte RuAtHAJ h't"ntWzal~en.!ka..6.
~ vt.li11.dJk4cenke IJ-,J tiljo~¢ndtAeJ",.liQ..t..
S~..tnl'Y 5. lieNS tIJ-ftUn!dVl /l!!1 8 12'; ef I()-Ja.~ d~en.teQ.lJdt
j/a.deJt.y.ltlte kAn frln'nde.s meclen it;ja.~.! d~en.tea.6ejkWiUlfia°f!a.clen
E(InIi-tdJt {ce.'1Jdt/ del VI kuAveA jetXIJiJIt. (J()-httnn 'Jdv,nlJ-e.<tLt· 1697.)
llev,:S. M tcenkM OoJ \.ft>'71 -.sotdvt:lnltj jla.de.sljkketjl'vet uuI en~QAa.
MetMf~h1.stitLt'ry c;u.:l) ...... ~Ul) fu"iu.2j6.12, 7 -.s~ A/: ~Q.2) 8;:: f:6:l ·
z,{: tcenReh ()J en koJt-te.Jt ntuLiJ to'ya"jt d~eltenfta.beikuAUl,Pac/leu/f.";4a
A -til 8 j,iJ.e.t tJ-ed.n~~ 'paAa..ht~ewtJtetl/ny) 'pa)~lYlwtt.1'1
(u:u.l) =(r'(t~ ?~t)~ t~ [0.. I],
fleA VI (fi(ot (lto)) :; (a:a..t)/ ((l(t~ f~(t)) ;:: (6:i>.2)j Ute/eM ~ I RuAVel'tJ la,,-
de ,,(*) tit: Lei J!/6Iftt~(l(t)) ~i1Ji =t.
nM jo'!yell et,J~R.k(' tJiVtiaIt'o-n-sA,ninj Csm/ md 102.. 1977-7~ p.55.02 -05). ~ d-/IkML'je ),;),:l e rlt£OJJ) h'?ed h roJ =1/tO) =,4rt) =~:l(,);:: 0
dil (u:t/) ;:: (ri(t) +- cl,'ttJ, 9'YtJ +cht't», t~ [~tl,
j'tv",,Jtt-{le In tt>J4~e d{fl.llt.nteaiJel /!WlIIt ,P4e
/ laden fAA /I td8 r ethlJ.eIit
ct'e:I tn.~vai {-Co, c} f>n'lhtt'n. O. L~l'tjde,,~
Lrc) = it 'L. Q"(d/tt)+-lhftJ (#~t)+ch~t»){df(/(t)j-e&/)/{f))(drlt)~~elJrj(I))cito ~1./~ T J , elt dt &if dt ·
.a en.le.JAanden G(s t) ~ en kIJ-n:!e'nttd~-neL ajluLd t: =G; (c, t) i
f-c,c]x. [~tl, ~ Ltc) difjelle./"tt/A6e.l i f-c.. c) me.d, (l /"
~ (l.) = Jo Ul£ (e, t) dtj
Sf'~C.tLtt ~ L'(oj :: ~: G: (~t) at.
2.1c1.h'jrtl"nJ J/~ . ..L'tO) = r; t:-r (L,;/k ~:t h
k(t/1!/ fl/ + 2 ~/ !Jij itt'::}) dt )
~~ ~:~. , Jij tAje.; i (9'~t~ 1~t)). - ~etell ),e/I, (*)jt~ en jfYle.nklt'n.J.
zkdl'a.4t~·e../ 1.n:te.redeO-~ !,-'ndeJ(l ( de i) dJ,k r Pi..i k ,7t ...' (t d ( tf!£)- It. JdiJO
jik d: d1 dt ::: Ljik di h <t)Jt=O -)0 dt Jik di h 'tt t ,
h,,~ t~,Jttt. Led~; J,,~e Jeae ~ 0-0 =O. UelthJkkdj~ 1'/(0) ka"dM-!lM tl"h1-
Aeqrre.s ttl ./ (L ,>2 ({!. ~ d(/dr/ .d ( ~i)} k I}
)0 Lkd 2 X,:; dull dt df - Li at jik tit · h rt)j dt.
'1(r;''Je tMudsJm'nj ell nu detk udbtyk uj O. 0 da de.l~ t/lfeelde.t
r ethuvd !fP1Idc'o-nJ/M J,;;,t€ rI~([O,tJ) h'led j.,f(O)=hZ(O>=hrt)::h~(t)=O,
.. fo''J~ (..s1Yt1. med rae. 1977-7!;p 55.0~ lehfWl")
1. ~.. d!Pj drp'dtpi _ ~ d I ~.) _ 0 1t..I ".z Loy du'+ dt dt .t:.j dt{Jik tit - ~ e « I~<J )
d. - 1. E.. diu d(f'i!f./ +.L:. ;;gik t!!t!~. .,.. L' Q. et2(:/ =0, k:= ~2 ·flU. .z V duk dt &Ii '1 duj dl tit I JI"k dit
'
~ ,J. i (. 't'" dgik ~t'd'fj ~ d'ik c!(pt'1!l!') J o •
-oe» 171/'c/teliJU IJ"I'Y'I .sht/tJ.e.s ~ ~i,j duJ dt at + ''1 duJ elf eLf ) n~1'" ()-I
.sOom/tIt 1.;,.,.,:. s. ~ ( d!}ik d!JjR _ d!Jij ) ~ie!!f! + ~ d{pl 0 s; f ~
.2 .t:.t:j (Ju/ + (Jut du.1l dt elf: Lj Jki dtl. :: ~ Fe:: ~-G •
1IV1 Je,.,ke-ndt..s ClrAt'.sio-lf' ..sJhtb~e.t ;gk (vain""'J ~ 1'- 44). s; to- 1;1'1;11
jVl RA,., altIJaC
.shl.l~e.s
L:- _(!J1) t!ei~! + (if-f Jft)( C:;f)'1 C"J. dt df 01.1 022 a2
<p2 = (~ ) ·~ J' J' ~~2
7l'1u..tt'fJ/'"k4.tt f>.T1 Irted! tAnd4,.,.,u-ttallrtatiu·cen..J tnve/l.Jt J/d-e/l enoleLtj
d~(l~ + >:. r::k E!!P..i~ - 0 -dt2- '-i,j'ij dtdt - J k-~.2J
hUI'tkef de'.seh, aL (1: '12) ;,-...den7mVi e,,/Oe.vn J€fxlcdtJit /,l.Ilt:£.Jt.l.se~fJflAdf."
IJtdm'n7 .2, /" 4 (4). K~tlen M a1t,s;jecd«itj~ ~. e. d.
'7JewtteJJt"'/~e/l. ..0et f'rtde.s !'£/te ailed en k<YdeJ~ ~. h1d/ehf to
~unldtA ,Pa" enjleuJe (1J~4jt t eh , ea~/a.,,~ h(/t)JI d ~u,,1d e'tJJ'ehndJ. 'liz"de.n a,,~n ..set/, Ra,., dM (}«he fle1.t Ua"le..des mel/Em ,.,fYlel- oy ..s.Jdl'H~a."l2.n k"}
Ie/lath). - C"je.tdodt:Sk kuAeHr- ~ td .B be.h()~ ikke AiVoeItt kfYde..JthUL-
'1 (1J~a..yt eye" en k~/ejla.dtJ.
JfT)It::.An 'ldeAn~('~ denf~J~1 d~ .sa: at- en Ro-dNt~ vy.~Ut
(ko-n~)j/adt f4 /I til B l'A~pun/d h't~dlOlUP1rl;~ »c "" 0 hM ~kuLQ.
-ftim-s~ lft'nkelAdp;' jla.clen...s t4".,en.i~ (169'1). IIVtMLede..s .kQ-h'l Jutn,;:;';de.n t<:Vtke.? ~An !<'A", ta.yfl .J()-I¥l d f"eA;Ot..JI at" httn \fQ-WI 'd~ \fll-n{'lel$te.)
leLte..s~ , wre.st aLh're.ne kQ-x..s~t.t.ktto.n /I n~neA 'd'tn .meRQ.YlI'..$Rel n.flnt.&j at d-
~~ ex th:'d'paG t:I~n ko-nfl-t.kfl j/a..de fa d f'ue!»-«ttl era.ndd ,
~tteunme Ale", fa.st td: delloed tXte::ten n~mlej ,ndt~fl den ktnt~~ 6eL,jje.#'I)'~d
Me.l/em ~ t~fJunldeA. II (t693. q,UQ t>wrXtQ ~,P. ~'-'I. ) J()-A4nl't 'lleAno-etlli
lean 'II< hQ~ /uJbJt>nnelLd o-wr.'tJE.d llaG/e-des: 7o-'t d Litle IJ5'Rkl!' i de.,., ~«nc:16
thad; ve.d.q ),~cItJ ~ce/t~ ta.7ente4ne t' endyu#'lHeltne l te)e.~t itleub.ns he.a.kt~n. <94 'ta."exte4ne (wr,dn~) ttjJell c·ouku.IQ.:It;M~lantn t.' pNe.boye.n ? to~ me~n$ /tea.ktOne.n (nt,dn~) itjJe-t,P41(a.dentYuneJEn ,,~
c c /jet) -sa wrallQ.ele#'1tnntQ.le~ 'tjje " Ru/lfl-e.nJ tNRu.la.f,;"nl1,Pla.n.
£etJ.n),Altei Cuten !Q;tdf t'7.8& en a,!e/len:feaLt;n,~ 'te~tds.r~tld1en ~te..ste t.IJ' , " 17.16 t.:kn oJa.'1'?hf(l !iYI bQ#'Iekwu/·en10-1 en in#A.it'IJt..VOejds~1';enJld-jta.dE yf'~ ..It. tS J. ~VtMe.d!tYielaf) de.tf~oS~ h?ede.hf~:ske 6e&1'l:Sr\SfJdninj S.
Get>dcett~k fiM4lte-,!~Jk~dru.n..J'
me-tieWl ve./drneAne l' tA.~e.~kneAnt t' ft>. ,PunktVl ./l"J B/;
eA jta.dt ell. d~ l'alwz./nddtjhed ~:Me ru,en~jrbe'ncldJe. ~e/uh-zt>d
RAn hfl:J."', v()-WI vi liked ue, ,Ptt nede.Vvlej q'Ui~ It>4.J~eU en uel&t~ t' t4~~n.t~
,P14ne.", t' ;II ~:l enj!~'" kt4ttH,P;/la.dt.",. (Leui - Clt,.ita: 1917.)
...tad e;-t luvt.vepao d to-jt:Vtje difMudt.a-6eLtjlade.sty/&e ~eyeu.efi,H.d (u. f u.l) = ((fI-1(t) aJ:<'(t)) t ~ I
~ . ( 11 I J
~
lcle:t O~u~ =A~:t./·)/ (u/~"t)€./2J ~ ur1'a/lAlTtdiAr~h1.stt:tLt.'1ftYl/1a.elelJ~2Ji!Madsoetfvt 1:r~~ tt'(I).
& del>!~ AtHAL bE I jl.'vd ~n vek~ j2(t) ijletdenJ tAnye~/Q.rrt'
,r;t(t),,~t») tate;, h"/4.", o-m d (t41'1.-je,d)ve/diM/-dt ,~.:!. kuA.l.fen. zJed"r":jur fi(t) = sri) 4:rr/(t~(l(t) 1- 52(t)A~(frt~?tt)
modJu-AAes ve.Jd~/e.lteL l' tf)-fnldti>-neA t rl srt), 52.(t>, t~I. meln ue41
cd triop{t> ~ '1/d t.WJ e 't: At.k:S .sf'1 52&t deL :ato-wrue.ru:l6 ell 7.sac4~-
t'JS th,: 0(- I 1=1 ~t
,I2'~f = Jlt5 +- jltS
I "1::1 ~2
J2'!Y~ = J2.15 +- J2t,~
?Jed en A,,,,,nJ \J(}Ir11';/'. 4 II jtnd..J eta
dp l(dS f'!> rrtE!!l..j~i)
eLt = At dt 1- Ll.i '~, dt ~
. / (dIt L r 2 !!!l.j~i) Z. ~ ~j~i+ A~ dt -I- i,j ij d.t ..} + n ~J ~j dt ~ ·
flvis ko-"",Po-ne~nat fJ e(leJI ta.rr.J~l"&t;oIAnerl I.' ~~t), rp~t) M Q fr;Jt hfFvd"
t E IJ
. "r' ve-Un/dEe.! t rl"ett) at- t.MeM et~e~jRfiaAaLlelj#~KuAfH". - 'l:5~.../;e.t ~ ;nVM.'An.t (}t/eJt.!fM e.t,PM.4wte:IuNki/" t = ~")/ htWJ
1J/€ er» ~ yYu) cddA'J e-\ 01 ,del t =::: ;: ·ctu-e.kto-\rtt t ~j2(t) ta.'1J /(WUre" ell .sacledej etJerxladi.:Sk,Pti.
h-aJleLj.dtJ
hve:S ~ kt:<n lur(J (5; Sl) ~ IO~ntny ttL dd lu>;nf>j~;Te 6ne~e
(3)
d'1!eAenl"tA.Ltejnlrlj,s..s1,sten1 atF.ste. cnden
d~1 + L.~.. r.1~ Itf) ZttJ) dr.J(t) ~l = 0eli (1 :: t lj 'f I f dt ~
E!J..!l /- L~. _ C~t. fIt) ot't)) d9"J(t).t i =0 .dt ~d - f lj 1 I if dt t:>
~'1Jt.j JtJe.ldell (7l1rd IO~ 1977-7~ ,Po 5~.~" l.fotdnl"nJ I):
See:tn/rt-j 6. ctje~dce-tt.:SkfiAAa,Lle..(ftti tA/2(t)1 tE1; La.~2 £uA
lien et ent,diJl be..stewtI ue.d/i/.tve.lt.teneyt~(~) i eZjlf.ret RU/tv~unld4;.2enne. k4n fre..sbu'u-e.,s vt.'Ik:Alijf .1.j!4den.s t4n;9-t~kn.!..' ~ ·
~ktli"teAnE' ,e.(I) (.' de.!jeodcdtJ/ce ,pt.Vta-ILeLf'I 1a"j.J R~ven be.
-sted u-ee!fi(~) = flo -Stye.J a.ir t wt./: atvekto-te.n120 t" t'Anr~/Q.neyt l
4;; Qed 1-e.t>dtde'.sk j2.aAAL/eLJj.Vt~dn"r: Ia".s RMuen.
'l]em~ at I>~e/;deI> at I;"~e jer>wtdA,:sR ned~1 1'~a(Iruoetru'''j I ~. "I.4').
Sr£fn,'rt! 7: en tfJ" j-Q.rt-j.! dtl/-eAen.it.a.lJd kuAtHj2.f!&/lAde", e4 en
jeodce.it:.si! ItuAPeI hthJ ~ Run ),f/'t.'..speL¥'t~e,denhe.dJuekt~ ~ etJLt>dtde'.sRj2.aA.4-tldftlt.
'7.A,' tvtta.jt,s 4:u~J = (r'tt~ rt(t)) at"Vc:ete en n~&.9 ,PtVlQ..mdt'lfenr o
ute.Ue'nj1 e4 t4~eJ~),edsvektf>'2en
irt) = dt£.itf)A. Jrt 'ttJ 2(t l) + dtftJ4 ' ft. rt) tt)I\.- dt - f 1 I t:f I -"2 'f I 'f I
2d~ nu idad) a.f fu."tu t ) :: (r1(t~tf~t) te~e~J~tleIl ~~entta.llr/~eIln~
(2) I." .$rdn/~J .t If>. 4.14)1 I,,,.,~ , Run ),th~ (5:$.2) :: ( $0), ~t) tdjAuu-\Stt~tttll (j).'
Geo-dce:t,jlt RAumrunJ'
zJi /;~~tVl en tt>-JCt."1~ difYlenna..beL kuAeH ,Pa(; d tt>-jQ.7i dtljULen:fta.6dt ~de.s~Jda.
~ d (}<l/ttVd'jt RuAu-e;oun/d f eIt. htumnln..f(!.n K1 t' f ojk~~n.j fJh'1'ddet>-n /)(:~ll&u:lVt,s tel.nje~/A'" i f ~(J-h'f (Ji tJ-h'I. t'dtukal-te) en 1;"'
dA~ ,jeo-meih.t'.sR ISt~eLre. ~en RQ.tdes Rwwerr.sy.e.o-dte.tt:Skf. kAUW7n."~ t.';';.9dd kuAvurs 'tA7en.i IeJjeA tjfi'4~n.J ~e~lan.l ell
'1 = X C()-J VIAi/is kuAven " f h~ !olun1n/rr.J »c >O. Hell ell ~ u-t'nlde.n ;ne..~W1 tAnye.~la-
nUl OJ R&lAv~t>-Jkd~~¥/4n. (~. boyel'1~. 16.) 1I""s X = 0/ .e,It or:').(, =o. - ~e~(edno-t~eJ y~.J" "f.16):
k'~u-en eh. jeo-~cdt~ h""j 5!J Rem heNS alc!nj jeodadt:ske !<hu"""ln.j
e4 0 .llule,It,/fiunkt.
.4t RuAUUlJ Jf.tJ-dadt".Jke ~un-tnt'",.~ '" t" f e4 inelAe jeo-nf.~t".s~
p:'p.'jell (/-i' v-ed a.t uclOi:;RRe KJ u-et!~lto/rJ.t~e.ite41 ui a.tIMedf tH.d ~
ineAt je.o-J'#'tJu:.$ke 4e -;.oec/e.Lt Jad~'U.", ~~. -((.If) .
.4a.eIJt",m .Jr.eel~j14de.s~Rket~i.J,(;.du-et!en,.ptVta.m~-
. ~e",.st,"''nj) medtn.s Ruhuen zanku.Jitre.t"pa7~en (u;'t.l)::. ttl!f), f~(f)Jit: I. Mea' kt'neh'ta:6.:sk t~mlnol~t' o/'/ALlL kuAt/'e.na.lt.sQ~ I$()-", .6ane.kUAINr el'1 b~()()e.JeLs" .
IIQ.Jttj.JruXeI'f V = V ~A; + V.tA~
OJ fM,!jekft'o-l1erl '1 = fQ (/t.~ + eV.tA~
'1 (U.U/eAa.:tlc.ne'f fJO~IIAelt.n.s tanj~/An 'tL ttcun. ~) Avo-? f =.e'~t1)/<f~~»)
ka.,y '.$;~/ait~J .so-m h4Jt~hed 7 acee.l~o-n ~. 6~Vt:Jej,4e"'J ,P-"t."e.kno-n
pao t4nJu,,"!PIa.nel'1 i It (b~~ri/'. -/£). 7;'lye./, ~).{. - '~~E!;IJ - 1~/3
)
eIt it; )(J !tn,$Jn~t Inulei/C4te.Jn/ ~ e-tle/1. - ·
zJl not~e.Il:.2enJ(J.~oe"JJa K4f.,(.A'tl"ttYtj ~ bV-n/'?j-.J~nefa/UA..n.-t,
Zlden .6e.p-t~ ueIe/~, /I. Go-dz: ~nbto-d"cfto-n tf)- dtjfe/len.naljeo-
""~j'J ;Ilddt~f)-n/M.sle..r197~ ,Po .2-'1"1) JkeJ ",,' tLluU nOl!.(N~~1 Av~d'es
den Je.t>dceL.~e h.UMmn.j ;(J f: f na.iWt.ujl Rt:V7 R4Ma-kteAt.se-le.J li-teIM.ft.O'me
~t'.sk ~ oSt.M/e/),ee/s u~/a' .6e,,~.s den .>t~t1e/MAh1e.¥eW?.t2i~~ jV/RuAue.,-, lYle-d f ..s1J"W? /;f.1a.n.j'y:Jun.1d: W 6etEjne4 mea' B($) ~nkkn /'I'r,./!t.,.",
kuAtI-~I'fJ tc..7edenhed'Jve.kltYI 1rs) iii" veh'"fYl.eI'1/ de/l/~ atfro) u-edj'ododc',sk{JlJAtdlJr.sRJdn,n.j /A~.s k~venrIA {/ til f, (~e z'c:> ()e~t~eIi
t(}jell J~J~ l'jl4den.s ttA.'1e.,J,;x'4n t' Ii.) 2J~jce.ld&t dQ
Bts) --... )(,l-s] ~-+O J ·
.,ad hAtl-de tMeJte.tn~ttjt 4i" In'1'~e bfj~e.&dJecd~:sk ht"W7J'f'~ adtUn
ne~: ~cf (/-,U"e~ jletde.vce.,Jenj~e,
$aJ.7~ GM
:/I. CI'1 ciAkd ''iJt-rldt ~~LHku;&f't>.dtk4n .- M~d'p~V"t:A ua1. '1'jL~ei'isk~k~c::t,~d~ - 7'ritt.S <S6'"w1 &;, ~t.ddt..
t:~kd U lu.:lttHtAdt.H~~e.c:I4kH#cllJ
i b,ult/l knre,7 t 1I~"I'~Cl~1~tM.
~ I,~ehtt kd~ lJf'i~(f)? ~It>~l
enht,tisq.e,/et~tA lkJtj'tH.£t41~frI4¥f./ ctJ I'fl tlJ~Mt.H.~~un!ttlft'flt:,>,lt:t..l~, \Sl/cdu ~~(t) ~/t~ttd'H~#zl~ .
. N({) W1~n.~tl~(?h~hLl..tf!H;eJ1,·(..dJ&.k~~..-
Ae kt4e.6d~nl~knt d~£tnldr~~tladt.7~e¥14tY~~~~u/nkeJ"dr Mr;/,UJ/~11.Jd.'ltd~ th fke/v.>J n~n-td tt>~lt:Ie-t)··
. r1J dd. tiN ..•. ..1..... 11 ~ •.~z.,«: dii ·~i(/t'.J,. a.ta"~~ rIUG';'~ern4/)r~lez!ftule.H-J
ta.7~~"'ttAM l·'1 .V1 !Itt) 4in~i, -~(f) ~/nb .
(U'n.k. ~~tzts f~~J. II /: d/~t~&'(~fk.~ , io--Ikw t .s~., "74'*",,)eJt 11 e;fdV'u"tl<,td~ k~ ,Aea< )
(~r;"lJt C Mt.",,!(Ylt.j«.tIJ-u.)
8. Ge.~d~-f,Jk j2.tvu:Jie.-¢-J.uk-1dn/t!:j k~..'! ku4~. ftfJ'k~/~4~ •
..t4.d t rA t;) t6-Z tJce.~t e"'/a/lCtn't~
!,~lMst,l/'~i je-1 ~ d,'VI(.H.-I,~1 ~I)t~
i AntrAlI a.t~. kW1P~un.etCA LijJUI/~I!n k"jkjkdt. z},::IfAt eh . [ftt)liM ),~ ten tH1d~ ~.. kI4f14du~~ -tA~~bt: ~.
?71rAH taL10 tn'M d Ta.7c~due.lt~dt~
~i'11a~rl 't~ ~tS~n. ~k¥~,Ri-to-,..u.'n B tVda.;u. d,jftA<.H-t,a-Jd.
!ltJ.t,J 1;!~ I,lJt4,t t~1 It)j~n jX1'~kulliIQd~t.J~hta.l ,,·If/ "Je.Jr/·6"t ed /HUt d -le~cdnJ/(~tvudk~~k71¢l4e1eH lay.:! kunfXl'1; 0;IJdttfYtVln.t 9 ft ) tJ7t4 drt7~ ~v~~t~tA ~(~: ,. ~Z/e,rQ"w~t47ent...~(4-H i ~ u-uI-lt-~«!,t,'.sRj2.aAa.tIdl-t>1\S~d'~u7 ft-t:I ~7 ~4d~ ~~ RWiUfrl,
10 U.s/ at d t,i1aold~tj?(vu!h1~Jhl'/tn kWltJe~ tI1 «d'VI ~dH'7/(Y)
"ere IJd?tdodJk'pa..~a.1Idf't.
-86
Mil d 1~/de.n i err vel~ 6e.v&Vte.~ v-dleud'~:sR;PeWQ.,l/dri$'1dn/~.
SO & ~ '1 .& / t:::'~e ~ jerJ-ddNk~/ahaLIdjdtVl~Q~k7/j la-cltA Ia~
~e,c1dtctAld~ ~U/ b4 ede4 I> ~
C. Gebdtet/Jk i:4uh'tn;n-j 4 chidf!.c.D
krl#~.
~tJcdt~~ a(~~e..tu .#.
,0 Ii 13e.; tewr ()-irddtn 'Y:: ?j/(t)" - !t:gwylWhdn,;/U't - )
g !J4c/ e..d, s 4tf t td 1 el1lttds~dtMtA 9= etC) 'cSt
d le~t/J/(?MA-tldjiltr kUJI1:.:tdtn 147@ hu:ldf..cUtN~n Ir/$d ~,a'~ ~, - 0eI')MAUt.
M'n./(Itn p .4in e..J h'lulf~t;?n.
?keddecbt~~ t4nj~nt AM 4dtl7U't ()~t-. z),-~k;IU'Ir: ~rl/~~tI+.
dM.dI J,d,.,/,-tj ~, -~. 0t~.IU.i5en A(-V) = f/"t,) -¥'(t+-~t) k4t'd'e.s ~/~
t4H.9u dtrlJ At.~d«:t;~~t.· &6,~,:,tlrl4. > -'ntt:4;t,,$ Ie'"., .0(-0 h~ L!.$ f.h ,6';1.--/' . -'/--/- , ,6$...,0 &11) '.
/l;ejt:4n) ~ .htda'tc,tA"lt,rt:JJe-(/I'a'tJt"t,J~ k.~UW'''''~i '7'2 0 zhJ; (J,{ d.~jf.~~:skt fanle.,!~~'nlrl.y tXt:! :.t/t.n;-tt.~'61ert c~
.kd Mt.d{«!A./~k44~UJ Q( 'po. AI? k~J6. ~d4A~4.s I( e.4 .ar~,...s ee,./ . (
~atnJ >t, = I( cot0( •
3 6 ?7dd ~ fA d ,Pu.H.ldrellciAItIUt/ ",k4./ n-ttItrl vi.Jt/ 4i btuMHlhj'" i ?ietYtk1en.srrjdtdn po KaJlen" ~e+lo.n e'/i ~. 6j "r
G.
en kWi-V< tJiJI'NVtd;'411 &tMe"teAr t.,,1,$7, 'itH;(.Y/JC: t 2
-~ t~[o04',': t ) I.>
P'1. it.i. d .£ce.drJ. hdd~~kld kc.nd,naL'j,~tern X!I ~ jI4"'Zt:.rI.
IfJ Us/ e.t I:uAvtrl VI d!lfAfn:t:~J.
e: Zlnate/l.57/ ~"1 kuAlh.rl VI ttr-/t'./Y;JI. dfjV1t.-rr'"6liid.
J~ ~-so~ p-zha/dd t! IHd/~~ ttl~J,#."td4y',.,t~~ IUJ;dot~·,.
at k7 /(w'J~hindr: bl l ,?dtds~tt#'Jddlrt~t1) viet· .
rcen.!t,~Q.nJc.n Ll...$ .. 0,
~a..d t ~ f) t<Go Z, V«At1'4/'1~UH~ft.,.-t~-I.tt'nJrCon #q.J14nJ<d,tlVte.I,,.t;~e;/ 1c~tJ-e.. ~: 4~lIrld. MJ1 dk~~·vt.J ~n/"
(' It ell _. J' 4.· ...7; 7i .. J" . 4. r: 7i~ )( - tIm 2 =- "m ..:t. )
-i~t. I~I t~to IF:. ': I
J,~ r M RWtU</'l.S ~JVt-t i It i LlJ dt'lJ /,ue.1ce7der et- ~ •
LQ,~ t,..,~) t~I, ~t;>Mtvndvr.ru.1..$~'11/7 f~ (Ul ~£J~£
'd'f.c.JIt.l4.tla-be./ fuV€/ Ath:S hUJrtrU~ l' ~ i!de- ~ tJ. u~/a2' kwtthnJ ;w.wU.h./ske. tM.J~·~ t' f e/l
o
1'-. / _ J'. 47itflt . J'. 41ii~l - lem 0 == "ryt -tt~t" iss! i:...,t, II? 1'./ )t. f:
AfI~ ~ Vt I!U/)*~~ ~Jkula.f,~r~ i f 0; AS t'ten~ 6iA.t.1oertrftl ~.
to ~f,flteJtnt / aLIt~ttn~ a(err d;fft/J~n ..:ta.td.eUhtJ-' e'hun-"
~ a.n..tAjU d V~ ,PMa.-ttdlt. 1J~ve'-s~ at ~tH-rr e4 U1 dd
at~ hdb'rU4 ·
.26 En i~ jAJ<it d"lfeh~rll;cJJd &ve ~. h"'WlWld Cut.ta.1t.-J dAttuc~"H1I't':~tj'.n () I.~ IIIX ,A-t /,u,,/d: ~uH6/ at Ru.4Ue.H eh e-n de./
1~hdt~/e.
H."
I.
J.
(tl ~entt4nt. (,~ aill.l'unkteh 1'-rl d~'It'H';'~d Ruh-vC ,v~t/~
cd~t th'ntd1d£.~t enjew'he£t,';ctjrr"~~~~t~~ ~g.~t-tI'lj.l at ~uAik;1 '')/VI i eMr,;'f Q,~dAd~ ~.
3 0 en tt.e J4'/t. dl!.Jlf.H,"6~J ~uAQt/ h~/~ ~n-1n,n.l e1!t>1.s.id.te, ret, o i /1iltA.t,!>""id; evda.;e.$. erAaVt Ir:r'l,J:t»1#t 0,:/,Ui/t,t/tU'Jd. 2JlW"t'/ a-t kuA-ven bjju ~. fori1'1a.n,
~ en i4e.jti7 { d~~cn.:t,aiu.l RwuH.J htl',J htUwtnJ~t7 &It!tYI.skd- .
Ie} ra o//t,;-erJ~urld; ~ ~t4nit.nneh~Ic'6.J4d~/nj'
to IIwulJkdJ .IYleci ! ~ ~ Mol TJ
1'1;" kt:vuh..n 'Y'~teJ /ertl'ltt.rl ?
:l U'J.I d tM&,g..ne.n t/) () t'dlu)-(A.t t7?fiu;,~t1M kuA(/-t,;'t.; a't;IIS.
d k~vel'tu~ It~ ~m"1ol(tnen VI ;h-'th1e..A:p14nr RM·Vtrl,
(
"7;'xd k.1tMrll'1,'njf-'" i t~'pU""'~'(4ht
l'~~ Jlj»c P'lul ArA-/v-a.KJeJI Q.' IJI
a. '>6/ tJ-telk"J i .Joe'txixJcn Q'WI
ht~ i enfMtj, 'ct.s-\::t ItWltJ-t.
~, G/Ve,t d .JcedvtknljtAe.tV'Jf1/dd ki7c-Jf(:/.i-ta-tIIeJ~'1 x-fz /h';#1md'.
to tAJ1td 11J1icln''nje.n~ .. (u.v-) ~ {(/ j,(.cc:t f:Hd
Ix» ) (( 1 . .t..l 1)-') 1''''''1 -I<u.f~ -(<(v"ffX t.1. ~ ",) l i /- .J
"i' )(C~uIJ;nuIV) r O(u<1it/ -I#!v~(
eJt. fM(4#1diA~tH1.;,Ldb~tj r ..t al,frAt;11,·t'h..~ttIIQd~;j 7~/(~
i buloui/ c1efiij,-01H<.-4#JR (te.;'" 7!o-)kIM). .
,20 s;~ ti~ltt/tJ") dv-s. eAIlaelf,.j~Me,fudeu ~6'(I~.uoHk'~?
SO :.rt~d .Jt(./(/tf ~1t( def·KUA.d 15()?vl. t' I~ men kurtr -/~t.(.( ~11';
-I«if « I. ~~J.butJ- ttadt.\$~d jet>n.,dt.t,jk i jt;~ ht<:4r/ed»" Vt "7e,-tt;:v. ~/,,-1 lcqnf;';u.,t.e;-,.t ? .
KuntJl JlaelIe< de.J 'l/<..kl. ·
kdr": (~rJ)""; e;l!) (c.t,v)6-J2, ~t tn ~Al;A.h'lc.t~VHI!'/"l/.~·fJ?)d d,!fAtJ1-/;'46,JI j/adeJ('1kk" 7?~ efv, i~,-r hI ~I't nkW1l.!-tr'
t~dtl!t;M,"t'; I;1tnbJ A tAw e~. koi,'4Ul c?V~?4tfA ..f2,C;.f ki4.llV< e' ..f) !,t,..t..tte'tlt.£ t.--7 (:ra~ ?f'(fJ); t(f I) nut:! (?(It"'/F(t))~flr: Q.;tLe t€~ hl/M if 0; V ,.adtlwndlStt e.1. k&/n-'t~,Ui.t.4tt. .
»: -liLsvMut~ "RWl()(' j>at!flaa't.-..s,Me.1 Jt K4M .na-r"t0~v/-i ~e.z,/tt.j
utr1l-~ e",kWJIH l /H,tM;'_'U~ n-udjH#1..J1,.//,j./
t ~ If:: ~(I~ 't(t) ;:,/(rr(fj YIlt),)... t~ I,
(
M. ~t.Vt~it ~rl kU/'t1.Hr' d d,;feA~i't.:I,a.Jdt t/~&4;$;kkt. <0e"1 z'~;t.
~w i/~J JO"h-1 rld~ 6e.jhit~t) v-ed .
(~v) ;: (<'('(t)/ y(t»)j ee I;htXr'/ u~ (} ""I'(VHt'#1~t /,d."jlev:4,$';Mel I' t?f" (;.~ kqnft#'j.ie,,~it
jUJ.,4:.t,q; t~rl.I6M "tedef~) a en ev-tr,tu,,1 (/ualll')tculljuJ te:/ RWU/,e,;1 i
~t lca/>vt,PtJ,t/(t ~(t~7f/(t) LijjcA t' jICtd<.-.s?~A:'t.-6 iQ.~/o-r.f;;/4'f
"/I.tn~td,
t2e.tulta..td ~(7t1(.J t~ eJc.s. 9) !,nt'f., t; ~. ilfO i lUi-It,,,;).
JJlcd$&$ 19/0/
/II. 7Misdt...~t 0(C~~LH i. Je.
G,:., Ae.de.!tYl/ a.t;Ot-I."ltteht.€ 'plioRuAlkA j,tJ.d (/-u/
(~jlz) =(co.s~ .t,~ 0)/ -]< t< 11aile '1JeJt ,fJ,,6jkdeJiykke-tl meA a.t)'lVtQh1e.~?e.-s~·tt7~
,'kke ka." Ilht,fJ.e..s t ..;~(((!(tJ, rti »)" -I< t<*j
hte.d ko-n.~n"'e.-t.te· fu..#'I~ti>"eA Cf, y: <9e1t e-' .taO~~.s ~~ 14." fMf
~,., "kU,ltvt ,P:flo.de.Jt.7kkd '~
i7krl n,t~(' a..tiJ,," ~kr !fr'!".,,,,kJle II kU/ltN:r jladu';M" " m,t:!~Wl
Of.; hV/J ,PunldtA aile It;l~ ,P~l/~Jty~/(d, ('f J>$,t:} ,~'z:II z,{- utI rza u>".st
Jat on,u/t:.ncLIen),~ •• , kuAtJ;c~'ftedVt "" )
J~ d7
()'u~lu (J, P.
0. '£a.c!/-l: (u,v).-j e: Ut/V)~.f2, ~e en/,"Qh'1et~r~..s-n~7/f>-1.
d dfv'4nt'a.6df;¥Ad'e.J~~ke ,OJ an.t~/ a.t~ VI eye.ktt/ med
en inutA..J1 a'M e.-lk~,d;"~~ "e-~'1te.t \.Jo-h'1·ajb,lcl'f'-" f44 en de/..
hf~"e i 4u.mh1d. .
U'J/ tde"f-e~.ste'lle~ re" ~~,d"nu~k-u-lQe t' AU.h'7nore.Zj A~
a.& k~]Ounk.&~ ''lye/! ,P"ojlQ..dut./kkd; k~ .s,hu~e.s ·
(f,(,v) :: (ce(tdrltJt t 6 I;cluJ. t -.l ;;tl? vl(-~) =/(tf(t~ ~(t)" tG~
me.d ko-nz$nUeh-te ,~ ~
K~~,., kA,., a.tI.s,," ~rzte.s"o-", en qk-tUi.tH.1'4-;t4den '~
I? LAc!/: (ulv) rl e,v ~ (u~q)~f? UQVle en"p~e.tMre~.s~·a7/~
et t:6i/elle I't.-t'a.6dffla.eluIy/d(e .WJ
IaX dAvut (u"v)G..f2 hAA e,.. t>.-ne.J" a.> ~..I21 .sa·~de.J a.t
.heu~~'k/;'e?nen of/"" 6:( co ~ '7~t/ h'ledUt ':,.,uu,s/ ~ tYI
kt>,d;.,.,"~ be;6,.,tdvt>w-r iZ,tdn/7/AQ e~ det,.,ee./al
i /ur.",~d.
M'nk: ..sf'p' IJ~ eI<:J.3.
Q. 9 Avvd'pUh~1 P 1"i n jt:<'iJ d'F'Jv1r-ta"~tt j6td~~M~ F#cknd(j-6~u~tktUt} n ~~ vae-~t..~ en t.ltA",IS~t(Y1 !! j/&jlaofrltYlh14
Ie...n/ Jttle.d-f,4 at !J ~/~t0 k~t;n~vz.t (tYiI-".J. t/) t..~1 ~'6n"Qttju#1R-
fefn.-, r~(l"te:6,en~ (' e.n'pM"'"ft..~tn-,st(.:LI"7 ftYi F).
1'6"ldn'-7~n p,.; IV r- 11t:~d~J'lkR(,t F-f1 tn ufA~~kl.le.fl401t!. hte.d (!enAti;n ~ lu)"fY'/ IV VI r'" ~d ON =a, h ..le;4.s d;11 ¢~/lIA
...sRt n~",td.1i/ldn/~_ a/F.zhJ) of d"t ~ t;t <'4"-'- aj'6//dn"7 ?4 F 6.-1 S.
zI.·nk: .s.:f/aA4h"t"~( ~fAtS kA" ItttVt bko.it 6~n-£tk ~ f,tf>tYi.d/n,.a,tchrt.t t' d <it:edtrt>.d,;t /i"tUl'nldd kg-(yu:l"rl4f,JI..r-~, ...rrz.
/( en. klle.l(~de f'~cn«/l 1/?(J-!e4rtt. 1/ 161Id<" t't?ntd1/·n;rtf.c/l/rtd'tA-
jttA-dvr) de;, ,};c~,,-) t!I~l~ II~: L5dlu;'ed a:t;>ty~1d Pl·· 6,·/le.d-·
,Pt.tA.Id I( 4jjVl /" "'t!tb'1n4l Aaltll~1-lIt U~eJlrta't ret ,t~1'Vt~"andtlt ~dV1nk,,1.
to GD1 A(.dtIn, a.t aj611c1rl1~t}'~1 t.I1 t.rt td-.. d~Ch-fMf' /ut"e n dd
~!C7/'';-edv(l4d,I't,
2t- ~t>JtUl1 1'.lJ1/d.m7.Ut.J ),nJt6~u';-t,9(¥~ -.!r.tP&-t '-tt6~Jn , In,'ndsft
;rtt:llt...ttC"~/(Y(.Adt:l e' AeHr...t~4.tn~t ~3° z4~, d 16//d;1h.:;tJ4 ~ C0e.al~(7. (~kllntdt-.s.)
Vt.dad/erldn'7 ajC11"rtdfA/~cltrtI~ -<1A#-t6v:'~,e!!.7-'d/,~ r(kilt/lAden (177.2), - ..9"17 IH.v:'~ 'UOLt /lJt.C.)lIh'?(de~ n~vht.
d
.- 1500 -- 120° - 90° - 60° - JOo 0° JOO 60° 90° 1200 150° 1800
60°
S en en),t,dJIL,&/Iadt/ ;;drt4tA II 'po-ItArl<.-: 'f&/I~J i hH~/'ru.,i,.s ..Cl"l-..dtAjlC<.de.n/ de/l A.~t.4 I"" U)-1 Ii~vdlM '~ ",~a'~ N'1'u.H1d 'I?7 6/tltalJtuut:.t.1? I'/lt-h '" :tn/~'( h4/?,1t\#'1 fr~~r 'r":dt4~:~ I uate.~' d e: h~'aIe ~ .t>fkA cek~MJ~lan~l/~t
tJ-t.d 'p,j b.lj!d~ b) ~ =/&),
Ie 1Je..Jt4-t?MJLI/Pn(..1'1~ sa".!ede,s d o(b/ldrz//C-n e.4 "rin~dPtI7.
tluludjt>ldn,;/. at :r/'ndch/ladf#-' I~ ,7I1tAca.-tvwft1j-~/;e-n 01k/lfla:alt.n (15~9))bUJttJ; ta.llt.) <Je~~t.
.20 G~ -'t~e& !~I r:d k~~(.h ;Of)' k-ujl"n'tldVtJ AWJ tAn;f;/"t AMft..stktnnj/t>4-'ldu';-1 J 1~~a:4<,-mt.1) 1,~"",ellrI~~(//.h.e-~ Lt'n./e"
tt,kkt}.4.
80
70 1,1+
60 1,52
5"0 '00/fO ~16r30 ~5j20 'J3G10 Q180 .: -0-
180 90 90 180
'?c.:jjWte.n to aj6ild'd ddJ '-n 1()-J(c>t:0z¢"#1j~MrtVH1 '/ .11; cld..s
\Sr~ctAlGle.n rr:: at to""f/uhktc/l., .
3 tJ '1:nd.J(!vrl,-n~n),ce;-/t..n. .-rtdhn-t (.61~"tcl) /) /'ut.lee7e& ~
~~ddt./~ en 1~~c-;nJ )';/,$ tN:ro~,,1mt"" nCr,Jtt:I-7d n..,~'tIC:(,a-
~rte ~. <X,
4 C Us; cd /I-'tt!!rl ved a.t!;;~(. VI t~(>d4.~t) h~ 0<0«1/ Vltn~~ .J1j t.n i ~~ehne , <J4httclj 'pa.,J..r~'i.t t."1A~ l'ttJ-'trl-.s.J"
.;rIt,4Ia!.AH UV" dJ :Jt ~. GG'~ 4e~ !()4, cd ,.-t~,.tJ.(dcdItj~~
'po-Iellnl -it"! lo-tCc-dnt>-",<¥t fM ~n 1cc>~Ztnu~t KWl(}-() d~ AM 4./'1
I>Ut-I«!J/~) Men //dc k:w {JraLv)tQ.7<nt / b'ld7l'U.HU~.nt'.
T· chkullikt4l';nt:tA;tl'unU 0 ~;'Ia't-J ;;~f tA.71.4.0lan~"
t' del d/Ah't..~Aith1~J~I'U#'f~t ~ I.t.a&ats 4'1'"i'tU,o '7iJ,·tlt#''pUI't~t I( ~JjeA/':1.14n-vn£ \f~akTtl 0. (StUt.ttp-a/!-itk
~ieR.ntrn. )
1° G~ Ald'~~I ~rZ/leln'J/~n t/l e.n tt0:d.7fto-~f:
(eJ;n.R. 'lJ~7tI eh. knjdt / ;pt>ldt~t4;tCt 'p6~ k7/i"4~rl .,
/Jl7kAe. ~ctlud~ 'jJIIV1t,rl)
.20 U:sj td IJt~t·,;;.i:Skr'fddiht ell tJrt'nReLtu7.
/If he-JJn "ill'kdJ~n II-'~VihMA~'1 .
ea; e/e,., n.~/'j' Aa./l/'R/h / Ifte/tw-
rrJkr7'J:z',m.
U. <t4.et,cV~t 1,'1 lu,."/i/ e.n/urdsK./ll"~,1 ij~4HJLt t(mC/u'~An-c~ktfA m~d tf1tl'1jde /:: f: I. . ..9eA .s0jLJ ~ dlfe-ennf' (fl i r -&."Il'knt."'/ ..ra%dtJai
Ii) ~f'tlui;n«7dtn ~(F) e.1- err ctAkd.s,e/d-e..
(ii) tf ~;1d~ Uft.· .4A.lv,J~e.d«'e.e.4k/~ t:~a./u:d'Jlt kM-dtA.
fli"i) 1 eJt ah.uJl.A(;~ .
d;J4Vt.rt j ..ft:Lld~~"ref-·s.sa-1..sch"..,,'dt i (i,CJJf.1"1 I!O:J/ !:>hi/Ie'st t'
(J~ ()I,!M~~n~h"'••,., 1<"41\1 mvUwuf.lt., '
?- o'v-e-I.se4nt 2L()-j zllJej,ttncllcA~e'
hLnlu>la'J""i.s e.n7«')At.d, £..ts;:ttcn.s.
x........--+--....-~
/-jCt,/'p. )/PA-!e!!ene..t7 u en evta.~.sf;: 7114.ff -/4frnkfA -11 en r(6Itd..;'U"'j ¢ IJfJm c'n,skdJ /UI~/.Ie.Jt eyenul?a,,&<A Uta'de.,.., , "~cIt d naG
f t.W'l itr t...., '~~41dttJU.JVa./i'l-J ·
;(e,k.s, l f~t..nd'", 'th4',,:
(Ov) C0.-.edJK/vcrl.S htt~u...s ~ ~,
(6) is: heJd-t-) ~ua.f~ a(6/lclt.-.S pa: ~rl t:f;'4h-tdtA 01/ den rlndtjt
~...srdtje dJ01 AeJv~/en ~ Avt;\ ,s/;1A~/vcM~ let.d t>-.J
t~ _~ ""r II tntfA. 7 I. ~n"U4 d ·
(c) ~ t&-d~/ hvo<'U' e~ (kdt/)~t."ckci>t.~J adell 1t4liJ"ku'jkn/ a'~n
n~t:lt')t 7 dt'" '1d ''jfI {6/1d'u henht>IdJP-I:S P'2f~ ~"undtA ~~t,i,P4ht.na{ kMdt. ?j~ttd....,..1&.", aii'utdin 7M~~Iaf
e tl.u;(dtJ ~4 o-n14Qdd htdlt.~ ditun~ 7 k04~.
Ud M~'J i d ko-c--'let~ttNt/.Jtt!m xy .$~1
tH~t- t.tel6"J~k~~ rj tree! .
Jt : I(~ 6)
J ::: j(6) ) .
hIM ~ I:, ell tce/del t>4e.dtlt 'pa~ A(J,lv/~//"A.
(e.) 711e.d J -: {j ,s.nf/ -1<(3<11 jce/de/} ~2f'........-~(* ) .2f"" .lln..$f =7i .s,',*,"6 ·
f(> """ltt,.".,,,;? X" t,-;.21- ~ .J~'n 2t~ tlf ]-!1J:e4 6f'~t~Jt. <t: h1ul 1"'1> >0 7 v~'
~~cIe J-~ 'Ti!.~) lA" hM II: 1= Vi~nf Mt.d f~ x-y".,t;~6»)
r" = 'Il,s,'n i'(1Tu,:n.6). '
.L; C¢-./-ts ~ -- rr Ce-6 h .
fj> /lf6"1"~/nJ&r'P/ 1fMCurt,ttA~nVl~d~tJ2~ ]-1,1.[-iiu .pe: A~.ierlc~llr.lkdt.n h411 i (t,,~) tVita.'!tn),rrtd,t c.~ /).
(k) -4j/Jildn.,'njcn ~/' at/tVlfUHdvHJ?rt/t;a;..( ..12 f"J~ cJhk"/l$k,iJt.n
.kith i (t,~) ahealj~)'()-'oIc.l
I ~.~ - ~t· 0/ : Ire;. Q cHf z(l) ~:: I'(l.b) :: + .2fl cC'O l3 (J4h'1lnt- -/»tt-411 Q'lJr..4tLLt).
'dt !f:l . - 7i I /- /
(ht.) X, = f{~&) = ~t CtMf) efell evt.qm(n/(flteAt~ atX-aksGn.
(lIfhn/~ ikkt die.d ,,(6) ?)
';&-rulta.i: IIvtJ dVl- Indu en aj6/t£,,'nj f '.5fl?r1 ,,'nIJ.kdj kanc:lUf
ued k'j .1'e:t-lfJedtrA.nl')t ~dtA;.#i'te.t ~d,#~;J*h4 Kf a,/-
-lAjk/tf,.$ x > .::fi t c.~f'1: VI .s,-"tf )
AWl ~~ e4 '«I'tJdt/~~U~dt; i fe]-{,If M j,U<.tuul (*).
}jdle.. t/1'JVI e~~d'r(.a{n.
AI8. en lU't~.tt -),~ IHetrllb- Ifta.,~~ InulAi ~kt. If!j_ e.,.., Ic!sn,? .ko..YI "",lIt/; ","«4t d tk,'.4*I'f.J"tth~. - (lI1tn dLn &,.. evt. ~1P,t en
k~;1"''ddI;$~ den ext.Jtt htd')ltu:l)
tJ: 1T4-t/we/dt.4fi!t'!je.ktlrm. (tiM).
_2° zIc'J flJ t' ,,~e.t$t. U.
~e,,'¢t,"'c-I't'A (~) .t(J +.J/n..tf :: 71 ..s/".6
f~'I&eJltA clQ(J6 l-iIl -S~ t€o:.fYfk.t/~A/6tl-f,If}fJ =- X-'(1i.J,·n6).
_/0. .,. f... _,;./~ .tA fjf _ ~ 1VI.5
jA£ -, ct>-.5/~ db - 'II ,~ 0 \
7I?J 2tJ t91()I
~Vix = ---rr t ce-sf1 z: V2 ,$/'1(3 J
,1tJ-6-1 ~!J eA Idt/de; 6-leda'e jJQ4
k7 /ejt4dt.rt/ ,jJG 1-11[ ~ j,iH,t1$(Tm funJct;fn-, 1 6 ou:l /le.,~t,fn,tt#"t (*); lrtede.n.J ~'1 ~ ..s«.r:lPa:~1.lt
hdv/;,l<.lt tJlt k~~;tdVt ''pIAnert.
t fJ -;6wt,P? 6'I/e..dd~d ~'at
'Yte/l.td,i:t.n.f,n Wle.cIjl've.rt ~de.. tha.lerkuJ'ik clen Fl''ud ve.d -1< t <i.he-I, k,lylad'tn,l 'pc.~tX'A ff/e/tIC/;'i:Li4e.i'1 t =- :!: sr,
-Me.ddai-1.kle.n mt.?,(.J.tn ~fd'ah b.
- -"-- ---------- - - ----- -------~
e: Go~ /luiL!tYt/ cd ~ U eA dejfto-~tYtf'jJa~ 6e'lle.d~atr:Jt:6.n:
.3 ~ zt~,1 cd ~Ut evet.4-ttuJ".
(t/i,d. U:.s; ,a:t/ 7 @;p hM 1!Q.h't,.,~ Mt+Ao-IcI"r"(~!J)~f2; !.'~~ 'C/I 16/1dn'7 eA i/Meune:teAt»rVtaa~t..n=J-~1f! It' J-l~ i [ ,P; k'7/Y&itJkrl' h'V/. kA.'" _,4 hJ.H'~t -Itt7~')
.,,;0 Go~ he~ 1M, ed /ie..$v,t"k~~Ut ~/F e4 en lo'.Jrt;~~r1e.JJ~Sc/,,..,;cl.t,s ;M.tr61t.n1 ~. o've.Lu ZI. (~a.tisalJdtn t.H~.stt/ ~ 4e.,su./-
MddVt t/t-J t" b~t-,/t..u.,,)JC. UJ,aZ~n d~o-~fYl,li ¢ c( d jlo.clesZjKRl 1J1'()4 ttf&telt..J~ {)
S(Prl ~ !>c.ce6. v-e'nkt-Itto- / AAe.At~Q".J eJI en 6jt~/'nj'
(ct tAndKMt 14,-, ua~du t';fPt ~~ ~D~ ()-;',,,/(,If-1(r tJj Me(;\l~".)
tdt.f de:1 tJI:S!J i ~tfl~ ed ,,;.,.zd..s7kkl1"2n~J/~ac.h Ran tldjc/desJ
¥. ~umRuJ1~ ~nle.n~~·
Cn rr:r c/;(Vlu~-t'~d.eM-4tJ-t kl JUHJ blf.Urtn'7 x eA-jCri-JR~tl;l rOt () t A~t»-« t~:RCJ i/~t tkd ;'udu'i.7 /,444/#'U-
. 'tc4ftt#I.s{'i/'~1 0/1::: E(u)... U G' .L · Cnh~d-f,&tM.en ;0'/&Un;Pc.J4";:'
v.t 1udv-te...n.9ud TI- b<.-iet)rltlJ i.(>./ /
7lQ./l ;//let?He."tfr/6<A £U/i()otn k be4huQVI tk.J./~1-te.n Ten flo-r::UkAldd ":": t:,,~~u~ch. u b~7tt.J; &n dd F r1'tUt't~aC4 "~hu~ i 7.J aId A I~e IrlI.A'Ji'UJ ·
t; . -or /) rJ e J;Ir Zldz7,
JIt \J~due~r.nf.n (JP=- ;/u,,~) il'll'ul'tldd r:» ~v /" ~M~'
ue':&:vrtG.r1 r of,. 4::~ J A~ ./IpAM 1~7dt;., v,
4 4 d:s,J cd r e/l d d;fe/l~~4J6dt jla.deuz>4:Rt.. ~~n#7 T4."7~'t,t
pltVtt.n i A~;:;UMkt P;:>ot! F / ')t.J~/Lt- d'~1<$ .bd)j~/1(d "
!tJ1/,C/dIt! kWi4J.tJ't. ,
Lc<-d t;JuLt-S 073 -= g(U)" u~ 11 daVIe .na..~/j ~cvu::urldeAfeh-t.st,t
tn;!~ t.H kwJ()-t e, ;nul t"IJVa,~u1dt !fM-",dJfJet'n./r,f/i ..tl?h 1 to/'1 &-'1/, ,~ !J 16/" ,r-: aen tt"~t;-t~ k~vZ:~viJ''".?:etd<.~ jatt- ,
i4J cd I:ullt.dt,t /( = @t"P) f d ;ouHh' P jJa dtn/tNl'6(/'tA41erli:Vl.
Jut-e -6.1 .e ~- :4::~ 7iCII,l': den ,Pt:7tJ16 t/t. )'a.lV't~:Ju"t 6-/ t "B::8«) 7 /lP= E/(. (VI' &.(cNlhv'te..~ 0-.$ ildt &!?It d~6d9'"J,t~t'M;;o'fl4-dUHt~) .
j' 21j~un~ ed tJ·~ Vtd,ifi~~0~ 0; ~J) a.t~M ~n 6r!/~dnl)
hviJ i Run)"rl-$ a{ t'o- Ru.~()tA ;' rl·t&PI:Mt;'t~l'un.4:td/.- hd!> iJd»1"
htt JiJ,Uh1;V~1'
4~ 0f7ff1 el05ury>d Ia-de4 vt' AlA k tk£lJt €rl ~htad,nl;r:" t vcedpan'-
t?t /t,dviHltltat R~~na,tt/> dtd "Itt u i-l, i JD .
-" :: ~s 'Ii l :J Z -sI/f. Vi; <:::vl ) a e sc.
7;'rtd tfl /,MAhtdf.A7lt:,m..!t;'ItI, r: ~Y7 ~t~6 kWU.H ,Pq<j!a.
den. ;: bt.>5b,tJd l' ~n ,Pl>t51'lItx Aaitrta~rnL) de/lriune/VipW'tR.te/ln~ JVtV)exck rtf (~u)=(q.4) 0; ~tI'):=6~~).
(Unit. Zldfld r ; S'{ jP/~nt.n l 7 tu:l7k 16;lo/;"~74."" l R~
c4nafiA (u)(/) 0; (..; 7)')
9 der'Lyc.nde D'v-dsV/ ben,tte.s bd~ndsellne fAa lYtetJ' -4: 20;1 kalde.5
plVtAW1.eilien.e "~V t' utedd jiYl "~t"~. - v-edkOo"~e.~ u.eA'fYII"njfIA k4.I'f
dv, ~.s tHJe)Ll en v-As /u'.se'kr;I~t~'I d-edIfYlve/&st;~ 1.:~",clt.s , cA:.J,PtJ--
ne.nt~.
z. ~od tt>J A " } ' :!:!,e/tVl-tt.a.6eLtfla~.J'Jldt jl"vd tH.dUt'p~a..,.,dfh
"jAewr.st(,tien..j ~q = A (u~v) ISk~eII~a""uMkuh~ne A,ntv-tel~ Uft-
dVi .ltd ue;"~et. U-.s" J
IE. Ge.Ood-it:skt k~~ /2.;.!!! (;wr~~"",.,,¢aeh. CtQ~A"ts uDtdnin-j'
~dA'1t en tH1'1eb,JnlnJ.sfIA~ jlfth'Pko-hrWfet ue~ aZen to-JQ"'je d{/eA~A6d AtuAII'e ,: )(Z -;:>'4'1."'.1 JI"ve.t vet:!;'I~t,'paAa""~fe",t -
JtdL4." ~ ~ f((,(.) >0/ z =h(u) ,
e1Ait..s ""'" Z-a-«se.,.,. SOon?,P4AQ.W1e:/i., bUl7tf4s ~ "J dJiy'n17 >S(h'"k lcn d;
cs, "r" 13'1j §4~ .src.t;· 19, f'j' I()£.)
to G~ r,,,,,,,~ tXdje.D-h'P«;t;u:ske 1J..br,in'''"JeJl) Aec::le.r~ ear /1,;; (t4"v)
tiJ~ ,Pao/IAeh"IYIh'fJCI'f i ~v J ed Lt-~ (u~v) ~ velil~enra ~(/"
1Jo'''keIM.! ,:",a iLl o-Wf04i "'y a.k.se"" , a.t. A " ~ ) _ elF") .6~(UI(1')-,to ~Q - . du . I(IA.) •
M'.l d-/cleMI at {; f =-t :5 , ;;;2 ={;~ =f1 ) h111t:!cn.s a, <>d
,/U7e C/v,.,',stcf!eI .s1".,IJ~fIA 1 And..", aAt ell lde,.,;/,:s/( O.
t1o.st",/ endd'j di!,eJlf.nteidt;'"""JeA"'~jiYI e"/Oevn je.txlfJt.n:r.e"e.
tMt.j,Ls~ I'etfladen,
.eo .Go'.s tJo,PjAtJe t7$ i 67'-" (/lla/oJ CI4"~ CIa.th4d t'73~). -
(Vc'"R. 1!>fl.7tte.s neduAtej 'ptVt(U~e:k.Ae.wodt(.it.'n.. ~J ell
• 1'1 I / I au I dv)\ .R. dv )..Il ISM C7 :: 4~' C:!J.f aJ + .4,2 d.S =:.4 tis ·
3 0 /);-0$ Dowu/'endt, at-£" tt>- J47e ett{fVlen.te46el kWUH fJ; DolYldA'J'
"/n.r!'Ade,, ~ jetxl~:s~ hve~ ..4 \Sen& &\ Kin1,st44 Ia.;r k411.
dt.nI uden a.i (/ot.'n/dcn & fVl ..ltd tAny n~fl.'" ~/~t.
~ dt"oStzJt.;",., et httR.h1/ne/l),u..s (,' h7(X1'dkM.~"'/ h'lu:l,,,jt.ud'odl:sk
RIVI.IJot (.;c~nd:
~ ..aen ('/d(e -eukle"':sRe. fila""/I,ditj iM ~e j4"'je dt~eIl,n.nQ.Jdjl4e1fr« veelenI'tMQh'letc.'ljtem lJtf.'tIe'nj meal ha.1v"o/4",n .f2 ={(u,v)~1R21 v>OJ utNTI"pQA41Y1dVl~"'-
Aade , Ant"1'l J !unot'a.W7Ulto..t"",a.lJllcen ~
(~~ !)
to lJiJ/J" 1;;'=0/ ;;;'1(&<,U-):J;f(~V-)::-~1 ~1=O
t,;~(UJV} :; ~, t;;,t.:: ;;/ = OJ c-.V) = -~ ,
.21) l!::~.1 rd den tJ-e,d(u/.J-) '= (~+.Jl, Gt>05t.l A .st'nt») t € ] ~?il}
Jl'une RwatH fJ; fla.den e4 jf.rxlcdt:.sRJ !fYt hINd a.~ ~ .II. e~ ,
(l/in/(, Je uolo"kkdjt>Jl. ~) ~e.v./l, .24,) .
3(1 ~ute.h'1 lSa.ndt'Je ~iI~ i hA.l~/Qnen ../2, ~ \/VMVl ft.tje.f>dDet~·~
ISlte. ku.ll.VtA ;>,,ojla.dfl.n,
-'to U:s/ at"jJaA(JvYle:ieAin.telu}a-tl~t IH.dn~j'pM.Al'ndM/u'"t$~t
t,,,,! ten th'/k:."te., ('I'1a.R,slW,a.i)jud~'.sk /t«AUe/,a·l(a.aI~n eA
hde IR. (~n IS;M,I a.tItQ.den ~ju/dtft~;tc4j.)
.5~ Uis/ a.feltA :Jf.nnewr AiJeh,.t,Pe<nld,PQ~Q.clen, elM 4l:.k.Re It.JJVI ,PA"en
7,'ven jef>d(ltte:s~ kWUH.I j~ d bundf ije.tH:JIQ!."'~Re,e4l<A~1 dell
etde .skc.d~ ~n jl(,}ne.
'lJe".,fPt.kn/"j' en be.ll.,n,~ Yf. 64ev -9.9) enfv-t'.se; td/Ia.aen,j ~"",
nJ'njlS'I'1:L M ko-n.st44 ~j -I.-1 cld ~e~me;r.req.na.te /UI.I'n fne;k,s de-) emla'/~t:llSlet IRKe ";lenju..td.stoen.etj f/a.eIe meal Rt?-n-sta.nI ~t.t.,Ir1nln..t -II et ~~f>'".,.tA,e.redtai
oj ~v'd M'/6e;,E. (llfOI). ?n.s('.ste.t~ h'14n ,Pa"~nride hA.l~kn
\St1''YI jJaA4h?e.itthfNn/la°elel ell o've.tsel'1 Ja~~,s e'PthRel';heete,., enclhDlc::l.t~
lo~. (cliflA.s I&tn j,..nv,,'.se..f td'p,se~u{t>-1~n,/?, b~fl.n,P. ~f.) - 2d
endAe je.t>".,~e:tRe lJ1~ecn/d " \lrueledatfla.de?t <' AU""'hfeZ"/~teewu:dlvdt,cI ~Mn),tVu:I ~e",an" zit et W"lelte aI",e,d6~eb/ '2eh'lAnnh't~t6ld14f.d~ eU~ ~e""Ann Ae<~ (115"4). 1 eU,., A4h1W1t k4"
hA.!v,.o/4ne" J2 h1ed c:;t'e,., y'vne !"nda,"en..t:Jh'I~i.t:. 6e.t>..a.yte.s .s~m et(v,nk~f>') 14nclktYt.t q-Ve/I ~n e~k~ - e,,/d,'eJI,:ske,l'Ia.n.
K¢benhavns universitet
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sornmeren 1974
MATEMATIK 223. Kurver og flader i rummet.
Opgaver til besvarelse i 2 timer.
Hjrelpemidler-kan ikke medbringes.
Opgave nr , 1
Betragt en tre gange differentiabel rurnkurve, hvis krumning
K er forskellig fra 0 i hvert punkt. Torsionen betegnes
~. Der vrelges en genneml¢bsretning, og enhedsvektorerne p~
tangent, hovednormal og binormal be tegnes .1, g og b.
o1 Det antages her, at kurvens tangenter aIle danner sam-
me vinkel cp., 0 < qJ < 1T, med en f'a s t re tning give t ved
enhedsvektoren .e •
Vis, at kurvens hovednormaler aIle star vinkelret p~
~, og g¢r rede for, at
e =! cos ~ ±Q sin qJ ,
hvor der enten lreses + for aIle kurvepunkter eller
for aIle kurvepunkter.
Vis videre, at~- = ± cot qJ •
K
o2 Her antages omvendt, at er konstant langs kurven.
Vis, at kurvens tangenter aIle danner sarnrne vinkel med
en fast retning.
(opgavesrettet fortsrettes)
K¢benhavns universitet
Matematik 223
Sommeren 1974
Opgave nr. 2
2
Med KT betegnes krumningen af normalsnittet med en given
tangentretning T i et punkt P pa en to gange differen-
tiabelflade. Det forudsrettes, at ~ er forskellig fra O.
Betragt en to gange differentiabel kurve pa fladen, der gar
ning i P betegnes K,.
gennern P, ligeledes med tangentretning T. Kurvens krum-
o1 G¢r rede for, at sidstnrevnte kurvehar en oskulations-
plan i. P, og at denne er forskellig fra :fladens tan-
gentplan i P.
Bevis, ato
2
hvor cp
IKTI.K= cos qJ ,
er vinklen rnellem kurvens oskulationsplan og
normalsnittets pian. (Meusnier 1776.)
(Vtnk ; til begge sp¢rgsmal: Idet man b.enyt.t.er- param·eterfrem-
stillinger :for flade og kurver, kan man med fordel forhver
kurve betragte projektionen af rtf- 2t
pa fladenormalen.)
Ved bed¢mmelsen tillregges de to opgaver samme vregt.
2 formelblade er vedhau't.e ti ,
K0BENHAVlJS UNIVERSITET
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sommeren 1975
MATEMATIK 223. Kurver og ~lader i rummet.
Opgaver til besvarelse i 2 timer.
Hjrelpemidler kan ikke medbringes.
Opgave nr . 1
Betragt en ·tre gange differentiabel kurve, hvis krumning
er forskellig fra 0 i hvert punkt.
1° Antag her, at kurvens tangenter aIle er vinkelrette
p~ en fast retning givet ved en vektor ~ ~ Q-. Bevis
da, at kurven ligger i en plan vinkelret p~ a,.
2° Antag her, at kurven har torsionen 0 i hvert punkt.
Bevis da, at kurven ligger i en plan.
3° Antag her, at kurvens oskula.tionsplaner a l Le g~r gennem
et fast punk t 0, som ikke ligger p~ nogen tangent.
Bevis da, at kurven ligger i en plan.
(Vink: Man kan benytte 2°.)
Opgave nr. 2
Udled Eulers formel for norrnalsnitkrumningens variation
med tangentretningen i et punkt pa en flade.
(Opgaven fortsrettes)
2 forrnelblade er vedhreftet.
(Forudsretninger og resultat b¢r formuleres prrecist. Der
b¢r gives en karakterisering af hovedkrumninger og af hoved-
normalsni t.)
K0BENHAVNS UNlVERSITETNaturvidenskabelig embedseksamen, sommeren 1975
Matematik 223.
----------------
Ved bed¢mmelsen tillregges"de to opgaver samme.vregt.
2.
Lad
K¢benhavns universitet
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sommeren 1976
MATEMATIK 223. Kurver og flader i rummet.
Opgave til besyarelse i 2 timer.
Hj~lpemidler kan ikke medbringes.
En besvarelse regnes for fuldst~ndig, hvis 7 af de~9 &~¢rgs-<it
mal er besvaret korrekt.
----+OA = a(u), u E I,u -
vrere naturlig parameterfremstilling for en 4 gange differen-
tiabel kurve og antag
Vu E I: 0 < K(U) < 1/p ,
hvor K = K(U) er krumningen, og p er et fast positivt tal.
Tangent-, hovednormal- og binormalvektor betegnes henholdsvis
t = !(u)~ g = g(u) og ~ = b(u).
10 Opskriv Frenets formler, uden begrundelse.
2° G¢r rede for, at~
OPu,v - £(u,v) = a(u) + ~(u)pcosv + ~(u}psinv
er parameterfremstiiling for et 2 gange differentiabelt
fladestykke, idet n ~ I x ]-n, n [ benyttes som parameter-
omrade.
3° Beskriv fladen geometrisk.
(Vink: Begynd med parameterkurven svarende til et fast
holdt u . )
(Opgaven forts~ttes)
2 •
liggerAu
For hvert (u,v) E n ska1 man vise, at
pa fladenormalen i Pu,v
(Bemrerk til senere brug, at enhedsvektor pa fladenor
malen er E(u,v) = -n(u)cosv - b(u)sinv.)
K¢benhavns universitet
Naturvidenskabe1ig embedseksamen, sommeren 1976
Matematik 223.
50 Find arealforholdet i (u,v) E n for afbildningen af
parameteromradet pa fladen.
Vis, at f1adens krumningsmal l P eru,v
p(1-pK(U)COSV)
I hvilke punkter P er fladen henho1dsvis parabo1sk,u,vhyperbolsk og elliptisk krummet ?
8° Vis, at hver parameterkurve svarende til fastho1dt u
er en krumningskurve pa fladen.
To formelblade er vedhreftet.
K¢benhavns Universitet
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sommeren 1977
MATEMATIK 223. "Kurver og flader i rummet.
Opgave til besvarelse i 2 timer.
Hj~lpemidler·kan ikke rnedbringes.
Lad (O,!,i,~) v~re et s~dvanligt retvinklet h¢jrekoor
dinatsystem i rummet og s~t·
B (v) = i cos v + j sin v vElR.
Det kan maske lette besvarelsen tillige at s~tte
~ (v) = -i sin v + i cos v, v E lR •
1° G¢r rede for, at-+OP = r(u,v)' = U!!(v) + v~, (u,v) E lR+xm. ,u,v -
er parameterfremstilling for en vilkarlig ofte dif
ferentiabel flade. Beskriv pararneterkurverne gennem
et vilkarligt punkt Pa,h pa fladen. Tegn pa en
skitse stykker af parameterkurverne gennem P TI
1'4tilligemed r' (1'-4TI
) og r' (1'-4n ) .-u -v
2° G¢r rede for, at parameterkurven gennem Pa,h sva
rende til fast u har en oskulationsplan ~ Pa,h'
og vis, at den falder sammen med fladens tangentplan
i P b •a,
(Opgaven forts~ttes)
K¢benhavns Universitet
Matematik 223
Sommeren 1977
2 e.
3° Beskriv det sf~riske normalb~llede (dvs. billedet
ved den sf~riske normalafbildning) af fladestykket
svarende til omradet ]O,1[ x ]O;2n[ i UV-planen.
Der ¢nskes en p.resc Ls angivelse af a.rt, udstrteknf.nq
og beliggenhed pa kuglefladen.
(Vink: Opskriv f¢rst en parameterfremstilling for
normalbilledet. )
Vis~ at malestoksforholdet i P ved den sf~riskea,bnormalafbildning af fladen er det sanune i alletan....
gentretninger.
(Vink: Mankan f.eks. begynde med retningerne givet
ved r I (a, b) og r I (a, b) .)-u -v
Find fladens krumningsmal i P b •a,
6° Vis, at fladens normalsnit i P. b i parameterkura,vernes tangentretninger begge har krumningen 0 i
P b. Angiv tangentretningerne for fladens hoveda,normalsnit i P b og find hovedkrumningerne i P b.a, a,
To formelblade er vedh~ftet.
2== K •
K¢benh~vns Universitet
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sonuneren 1978
MATEMATIK 223. Kurver og flader i rummet.
Opgaver til besvarelse i 2 timer.
Hj~lpemidler kan ~kke medbringes.
Opgave nr. 1
Lad K veer e krumningen og K den q eodeet.Lake krumninggi et punkt Po af en to gange differentiabel kurve pa
et to gange differentiabelt fladestykke, og lad Kn
vcere k rumni.nqen i Po af normalsnitteti fladen svaren
de til kurvens tangent i PO.
Vis, at
'02 Find K , K og K·. for et punkt P o-. af en parallelcirkelg n
pa en omdrejningskegleflade, nar keglens halve abningsvin-
kel er 30°, og afs.tanden fra Po til toppunktet er 6 •
3° En ci~kelskive med radius 2 b¢jes pa ovenn~vnte keglefla
de (om man. viI: klcebes pa som etiket), saledes at randkur
ven r¢rer parallelcirkelen i det betragtede punkt Po og
.i ¢vr~gt ligger ~a den side af pa~arlelcirkelens plan,der
vender bort fra keglens toppunkt.
Bestem den omtalte randkurves krumning, oskulationsplan
og hovednormal i punktet PO.
Opgavescettet fortscettes
K¢benhavns Universitet
Matematik 223
Sonuneren 1978
Opgave nr. 2
2
1° Beskriv den sf~riske normalafbildning af et to gange dif
ferentiabelt fladestykke og angiv Gauss' definition af
f Lades t.ykke t.s k.rumnf.nqsma L K i et punkt Pa .
2° Idet fladestykket t~nkes givet ved en parameterfremstil~
ling~
OP = E(u,v) ,u,v (u,v) En,
hvor P a svarer til (ua ' va)' skal man udlede en anden
gradsligning med ko~fficienter udtrykt ved E, F, G, L, M
og N, taget i (lia,Va), til bestemmelse af hovedkrumnin-
gerne K,1 o g K 2 i Pa •
Som udgangspunkt kan man tage formlen for krumning af nor
malsnit udtrykt ved f¢rste og anden fundamentalform.
3° Bevis, .a t;
K = K 1K 2 '
idet K tcenkes indf¢rt ved Gauss ' definition.
Ved bed¢mmelsen tillcegges de to opgaver samme vcegt.
To formelblade er vedhceftet
(
K¢benhavns UniversitetMatematik 223Somrneren 1979
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sonuneren 1979
MATEMATIK 223. Kurver og flader i. rurrunet.
Opgave til besvarelse i 2 timer.
Hj~1pemidler kan ikke rnedbringes.
En besvarels~ regnes forfu1dstcendig, hvis 8 af de9 sp¢rgsmaler besvaret korrekt.
--+Lad OA = ~ (u) , u E I" vesre naturlig "parameterfremstilling for" en
fire gange differentiabel kurve k, hvis krumning K er forske11ig
fra 0 i hvert punkt. Torsionen betegnes T, og enhedsvektorerne
pa tangent T, hovednormal N og binormal B betegnes 1, ~ og b •
1° Opskriv Frenets formler, uden begrundelse.
Nar A genneml¢ber kurven k, beskriver binormalen B en flade F1 ,
der kaldes kurvens binormalflade. Stedvektoren til et vilkarligt
punkt P pa fladen kan skrives--+OP =' !: (u,v) =' ~ (u) +. v b (u) .
--+G¢~ rede for, at OP = !:(u,v) ,(u,v) E I x JR, er parameter-
fremstilling for et to gange differentiabelt fladestykke.'
Beskriv parameterkurven svarende til et. vilkarligt fastholdt
u. Vis, at de to parameterkurver gennem et vi1karligt punkt
p = P , pa fladen skarre r hinandenunder ret vinkel.u,v ,
Bestem binormalfladens tangentplan i et vilkailigt punkt A
pa kurven k og vis,at k er engeodcetisk kurve pa binormal
fladen.
Opgaven forts~ttes
K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sonuneren 1979
2
vEJR.
5° Beregn Gauss' krumningsma1 K i et vi1kar1igt punkt pa bi
norma1fladen. (Vink: Find f¢rst koefficienten N i anden
fundamentalform.) - I hv.i Lke punkter er fladen hyperbolsk,
henholdsvis parabo1sk krummet ?
En kurve Z er i et s~dvanligt retvinklet koordinatsystem XYZ
givet ved
x = f (v ) = j 1 + v2,y = 0, z =h (v) = log (v + J1 + v2 ) I
6° Vis, at parameterfremstillingen er naturlig.
7° Bestem fundamenta1matricen (el1er f¢rste fundarnentalforrn)
for omdrejning~f1adenF 2 , der fremkommer ved, at kurven Zdrejes om Z-aksen.. Sam parametre benyttes drejningsvink
len u· og kurveparameteren v.
Fra nu af foruds~ttes, at den tid1igere betragtede kurve k har
Iffingden 2n, og at dens torsion T er konstant.
8° Antag her ITI =1 og vis da, at binormalfladen F1 for k
kan b¢jes pa omdrejningsfladen F2, saledes at k gar over
i enhedscirk1en i XY-p1anen, og k's binorma1er gar over i
meridiankurverne.
gO Antag her I T I < 1 og vis da , at binormalfladen F 1 for k
kan b¢jes pa en omdrejningsflade.
To formelb1ade er vedh~ftet
Der vcelges et s~dvanligt retvinklet h¢jrekoordinatsystem XYZ
med begyn.delsespunkt 0 , saledes at XY-planen falder samrnen
med fladens tangentplan i 0 . Et stykke .F af fladen omkring 0
,(kan da fremstilles
Sonuneren 1980
Naturvidenskabe1ig embedseksamen
= L(X ,T) •og 8
Opgaven forts~ttes
= f"2(O,0)y
r =f"2(0,0), s = f~y(O,O), tx
Opgaver til besvarelse i 2 timer.
Hj~lpemidler kan ikke medbringes.
Matematik 223. Kurver og flader i rummet.
Lad 0 v~re et punkt pa en to ga~ge differentiabel flade.
K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sonuneren 1980
oF = r (x,y) = 'xi +'yj + f (x,y) k, (x,y) En,x,y - - - -
hvor f: n,.. JR .er en funktion af klasse ~2, defineret pa et om
rade n i XY-planen, medens !,i,~ er koordinatsystemets grund
vektorer.
£(0,0) = f' (0,0) = f' (0,0) = °x Y
2° Med KT betegnes krumningen i 0 af normalsnittet til F
i a med ta~gentretning T i XY-planen. Udled en formel
for KT
udtrykt ved
1° Opsti1 en l~gning for tangentplanen i et vilkArligt punkt
P pA £ladestykket F. G¢r rede for, atxo,yo
(
K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sommeren 1980
3° Bestern arealforholdet i (xO'YO) for pararneterfrernstil-
lingen (x,y) ~ P Vis, atx,y
a~(lr' ~r'l) og a~(lr' ~r'l)-x -y -x -y
begge er ° i (0,0). Beregn n' (0,0) og n' (0,0), hvor-x -yn er enhedsvektoren ensrettet med r' x r' .-x -y
4° Giv definitionen pa den sf~riske normalafbildning @ af F.
Opskriv koordinatfremstillingen for differentialet d~
af <I> i 0, idet (!.,1) benyttes som basis bade for vekto ....
rer og for billedvektorer. Find Gauss' krumningsmal K
for F i o.
Vink til 5°: Antag koordinatsystemet valgt, sa den i 2° ud
ledte formel gar over i Eulers formel
= 2 8 + · 2 8KT KXCOS Kysln
2
og vis d a , at
5° Vis, at
n' (0,0) = -K i-x x- og n' (0, 0) = -K·y 2 .-y
K = K 1 K 2 '
hvor.K1
og K 2 er hovedkrumningerne for F i 0 ,medens
krumni~gsmalet K for F i 0 t~nkes indf¢rt ved Gauss'
definition.
Vis, at tangentretningerne for hovedriormalsnittene til F
i 0 samtidig er hovedretninger i 0 for den sf~riske nor
malafbildning cI> af F .
Angiv st¢rste ~g mindste malestoksforhold for ID i 0 •
Bestem egenvrerdier og egenvektorer for differentialet d~
af <1> i o.
To formelblade er vedh~ftet
Tegn en skitse, der foruden et stykke af kurven k viser t, n
og b i .et punkt A0 k , kurvens krumningscentrum Ct i A ogpa
den rette linie Z gennem C parallel med b .
K¢benhavns UniversitetMatematik 223Sommeren 1981
Naturvidenskabelig embedseksamen
Sornmeren 1981
Matematik 223. Kurver og flader i rurnmet.
Opgaver til besvarelse i 2 timer.
Hj~lpemidler kan ikke medbringes.
Opgave 1. (Omtrentlig v~gt 75%.)
---+Lad OA = ~ (u), u E I, vzere naturlig parameterfremstilling for en
fire gange differentiabel kurve k, hvis krumning K er forskellig
fra 0 i hvert punkt. Krumningsradius betegnes p, torsionen T, og
enhedsvektorerne p~ tangent T, hovednormal N og binormal B beteg
nes t, n og £ .
1.° Opskriv Frenets formler, uden begrundelse.
2°
NAr A genneml¢ber k, beskriver Z en flade 'F~ ~ Stedvektoren til et
v i.Lker Li.qt; punkt P = Pu,v pa fladen F kan skrives---.OP = E(u,v) = a+pg+vb = a(u) +p(U)Il(U) +vb(u).
~
G¢r rede for, atOP = E (u, v) " (u, v) E I x JR., er pararneter-
fremstilling for en to gange differentiabel flade. (Her og
i det f¢lgende ses bart fra punkter Pu,v' hvar ~~ = TV .)
Karakteriser tangentplanen til fladen F iPsa simpelt samu,vmuligt ud fra kurven k •
Opgaven forts~ttes
K¢benhavnsUniversitetMatematik 223Sornmeren 1981
Binormaldrejningen for k, svarende til et udgangspunkt A pa k ,liO
betegnes med (3. Idet vi antager T > 0 og Lnds kr-enker os til etn ninterval J ~ I af u-rvarrdLe.r , hvor -'2 < s = s(u) < '2' betragtes kurven
h givet ved
U rill Q = Q , u E, J ,u
2
hvor Q ligger pa Z" og vinklenLBAQ mellem binormalen B til kn
og AQ er '2 + S
5° Vis, at kurven h i hvert punkt Q , sam ikke er et gndtagelsesu
punkt pa fladen F (se 3°), har en tangent, der gar gennem Auog er en normal til kurven k •
6° Vis, at h er en geodCEtisk kurve pa fladen F .
Vink. Ud fra tangentenhedsvektor, som if¢lge 5° er
± (!l cos S - £ sin S) ,
kan hovednormalen tilh findes.
Opgave 2. (Omtrentlig VCEgt 25%.)
TerrCEnet omkring H¢je Sandbjerg er afbildet pa et kort. Afbild
ningen kan opfattes som en projektion pa en vandret plan*) fulgt
af en ligedannethed i forholdet 1/10000 .
1° G¢r rede for, at malestoksforholdet ved overgangen ~ fra
kortet til det bakkede terrCEn er ~t¢rre eller lig 10000 i en
hver retning i ethvert punkt af kortet.
2° G¢r rede for, at tangenten i et punkt P af en niveaukurve pa
kortet angiver en hovedretning for ~ i P .
Vink. Undlad at indf¢re parameterfremstillinger, koordinatsyste
mer eller lignende.
*) Nar der kun er tale om et beskedent omrade, kanman med
Per Degn betragte Jorden som flak, uden mCErkbar fejl.
To formelblade er vedhCEftet
A!~vtlt , (1a.c/fA / Aal71md.
7~Wle./lJetdc'nj'
SQ.WlL~·"-jan fJ"m.jeJteA ,Ide de hte.st !"n.eklnen.t~ f>j ce-"t~~ jO'\dVl
6Jt;W1 t elt.s. ~/I~ I~h!d I>J ~el'te.is fMmLeh) d~ I$Wej \fem'p&
t~JnleJt NO'"., Ids. f =IfT/ cos (J r?11euJrutAS \feetn,,,)),, »re» R""",
d ,",u~ ath1eM 'fJec"et!e~ n1e11.e. R()'wr,Pltc~e~ fMnde-t.
~t>-dukt1vdto1fVt~t~: ~)CB),«~;cf) == [g./J,]a.
lIa.stt.j,J,e.eI cy ~ccetVtQ..~~'" v-ed 6eV«.Je..Lse. pa"etAltd:!t:: /1,6)#/ td = -AQ)~R r ,AfAJ'N ·
StADe.ltn/~),tWttj).,e.d f~ ~'nie\S~.kRe, t =: !(t) '*0 ..dfdt =:: e.·tJ:. - e-v: ·-";..l --f
//ltd 22j 1975I
2c!tVt.e.n.tc~tL("ni"" 1iYl h"uWlnI;"'y-sRuAveA:
(EM-FL.)du,2 + (EN-Gl)d"dv + (FN-GM)dv2 =O.
("'If Jt~) = (E F)921 922 F G J
(