FAKULTETI EKONOMIK
MATEMATIKË
Prishtinë
Grupi: B 4 Emri dhe Mbiemri: Faton Bajrami Nr. ID: 141600
1.
a) Zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare:
b) Njëhsoni nëse: .
2. Të gjendet progresioni aritmetik nëse dhe dhe të
njëhsohet: .
3. Të paraqiten grafikisht drejtëzat: dhe parabola
dhe të njëhsohet .
4. Të studiohet dhe të paraqitet grafikisht funksioni:
5.
a) Të njëhsohet integrali:
b) Të njëhsohet integrali:
Vërejtje: Detyrat me numër rendor 1 dhe 5 të zgjidhet vetëm njëra nga to: a) ose b) .
Zgjidhje:
1.
a)
Rreshtit të parë ia ndërrojmë vendin me rreshtin e dytë, pasiqë minori (vlera) e parë
në rreshtin e parë është 2, ndërsa në rreshtin e dytë është 1, për ta bërë më të lehtë
llogaritjen me 1, dhe fitojmë sistemin:
Gjatë llogaritjes së sistemit, esenca e saj është që ta sjellim sistemin në rastin kur
vlerat në trekëndëshin e vizatuar të jenë 0. Fillojmë llogaritjet ashtu që së pari sjellim
shtyllën e parë në vlera 0, pastaj tjerat. Për të sjellur shtyllën e parë në vlera zero,
duhet që rreshtat e saj t’i shumëzojmë me vlerat e dhëna më lartë, dhe fitojmë
sistemin:
Pasi kemi fituar shtyllën e parë vlerat zero, kryejmë veprimet e caktuara më lartë për të
fituar edhe në shtyllën e dytë vlerat zero, dhe fitojmë sistemin:
Tani fituam edhe në shtyllën e dytë vlera zero. Kryejmë veprimin e caktuar për të fituar edhe në
shtyllën e tretë zero, dhe fitojmë sistemin:
Ky është sistemi përfundimtar me vlerat zero në kushtin e ‘trekëndëshit’. Gjejmë zgjidhjet nga
sistemi i mbetur:
Përfundimisht zgjidhjet e sistemit janë:
b) Për të gjetur duhet së pari të gjejmë matricen inverse , pastaj të shumëzojmë
me vetvetën edhe një herë (d.m.th.: ). Matrica inverse e ka formulën:
Llogarisim së pari determinantën e saj:
pastaj, gjejmë adjunguaren e saj:
= =
Dhe matrica inverse është:
Shumëzojmë, :
=
=
Zëvendësojmë në kushtin e detyrës sonë dhe kemi:
Përfundimisht, fituam:
2. Për të llogaritur vlerat: , duhet të gjejmë
progresionin aritmetik për: , e cila gjendet me anën e formulës:
Dhe kemi:
Vlerat e fituara më lartë zëvendësojmë në kushtin tonë të detyrës dhe kemi:
Gjejmë nga sistemi i fituar:
Vlera e përgjithshme e progresionit aritmetik është:
Pra:
Zëvendësojmë në detyrën e limitit për ta zgjidhur atë, dhe kemi:
3.
Paraqitja grafike e funksionit :
Për : Për :
Paraqitja grafike e funksionit :
Meqë funksioni më lartë është funksion kuadratik, atëherë ai paraqet parabolë.
Për ta paraqitur grafikisht këtë funksion duhet të gjejmë Pikat e Përkufizimit, një pikë që pret
boshtin y dhe Kulmin e Parabolës.
Gjejmë pikat e përkufizimit:
Gjejmë një pikë që e pret boshtin y:
Gjejmë Kulmin e Parabolës :
Meqë , atëherë kulmi i parabolës ka formën: .
Zgjedhja e limitit është:
Meqë vlera i takon ekuacionit kuadratik të formës:
gjejmë me anë të formulës:
Zëvendësojmë më lartë për të gjetur formulën e përgjithshme për dhe pastaj
zëvendësojmë tek limiti formulën e gjetur dhe zgjedhim limitin më lartë.
4.
1. Zona e përkufizimit:
2. Zerot e funksionit:
Funksioni nuk e pret boshtin , sepse nuk ka zero reale.
3. Shenjat e Funksionit:
Funksioni është negativ në intervalin , ndërsa është pozitiv në
intervalin .
4. Simetria e Funksionit:
Meqë funksioni nuk është as çift, as tek atëherë ai është asimetrik.
5. Asimptotat e Funksionit:
a) Asimptota Vertikale
b) Asimptota Horizontale
c) Asimptota e pjerrët
6. Monotonia dhe Vlerat Ekstreme:
Funksioni është monotono rritës në intervalin ndërsa monotono
zvogëlues në intervalin .
7. Konkaviteti, konveksiteti dhe pikat e lakimit:
8. Paraqitja Grafike:
5.
a)
852 2−7 +15 =1122 −7 2−7 +15 +852 2−7 +15
Gjejmë :
Gjejmë :
Dhe përfundimisht, kemi:
b)