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¿Hay matemáticas en las pajaritas de papel?
José Ignacio Royo PrietoUniversidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea
Matematika Eguneroko BizimoduanBilbao, 22 de noviembre de 2007
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Papiroflexia: pajaritas… ¡y mucho más!
SUPERLÓPEZ
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Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
• Se utiliza un único trozo de papel cuadrado;• Sólo se puede plegar el papel;• No se pueden realizar cortes;• No se puede usar pegamento.
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Modelos tradicionales
Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis CarrolBarco de papel
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León, leona y cría (David Brill, Lancaster, Inglaterra)
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Mantis religiosa (Ronald Koh, Singapur)
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Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
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Rosa (Toshikazu Kawasaki, Japón)
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Insectos (Robert Lang, California, EEUU)
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Leonardo (Saadya Sternberg, Breesheva, Israel)
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Clarinetista
MÚSICOS (Eric Joisel, París, Francia)
¡Hoy es Santa Cecilia!
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Bandoneón
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Trombón
Percusionista
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Flautista
Saxofonista
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Violinista
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Phoenix
(Satoshi Kamiya,
Nagoya, Japón)
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Dragón (Shatoshi Kamiya)
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Stegosaurus (Fumiaki Kawahata)
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Jedi Master Yoda
(Fumiaki Kawahata)
¿Error de diseño?
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¡Diseño correcto!
May the Force be with you…
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Máscara de GuyFawkes y Rosa
(Michael Chan)
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Tomoko Fuse
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Pájaro aleteador
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Origami
Ori = Doblar
Kami= Papel
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“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”
Grabado en madera japonés de 1818.
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“Senbazuru Orikata”
Japón, 1789
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Miguel de Unamuno (Zuloaga, 1925)
Escudo del Colegio Mayor Miguel de
Unamuno (Bilbao)
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Miguel de Unamuno (Solana, 1933)
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Akira Yoshizawa
(1911-2005)
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Akira Yoshizawa
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Elefantes (Akira Yoshizawa)
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Avispa (Kamiya)
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Avispa (Kamiya)
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Avispa (Kamiya)
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Avispa (Kamiya)
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• Diseño de figuras con métodos matemáticos• Figuras geométricas de papiroflexia• Herramienta pedagógica• Problemas clásicos• …
Matemáticas Papiroflexia
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Métodos matemáticos de diseño
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Procesode
creación
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Caballo(Saadya Sternberg)
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Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente
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La sabiduría popular resuelve el problema de Kepler
Foto:Ana
Raposo(Lugo)
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Empaquetado de círculos(circle packing)
Langosta (R. Lang)
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Treemaker de Robert Lang
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Teorema del árbol de Lang
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Figura diseñada con Treemaker
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Origag
(Roberto Morassi, 1984)
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Teselación hexagonal
(Joel Cooper)
TESELACIONES
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Nabucodonosor
(Joel Cooper)
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Rostro con barba
(Joel Cooper)
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Rostro sonriente (Joel Cooper)
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rostros
(Joel Cooper)
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Poliedros• Definición: conjunto
conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen:
• cada lado de cada cara es compartido con otra cara;
• en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.
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Sólidos Platónicos- Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares;
-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:
Cubo OctaedroTetraedro Dodecaedro Icosaedro
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Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)
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Icosaedro truncado, cuestión de estado.
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El balón de la Champions
• Pentágonos• Triángulos• ¿Cuadrados?
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Papiroflexia modular
• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)
• El interés para con las matemáticas es doble:– representación de poliedros y otras figuras;– la construcción nos acerca a las propiedades de
esas figuras.
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Clases de módulos
• Por vértices;• por aristas;• por caras.
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Dualidad de poliedros
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Dualidad icosaedro-dodecaedro
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Dualidad cubo-octaedro
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PoliedrosM.C. Escher
Juan Pedro Rubio (Madrid)
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Teoremas de papel• Teoremas del triángulo
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Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe
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Axiomática de Humiaki Huzita
O1
O6
O5
O4
O3
O2
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New York Journal of Mathematics, 2000
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Eskerrik asko!http://www.ehu.es/joseroyo
Para saber más…http://www.pajarita.org (A.E.P.)http://www.divulgamat.net
(cultura => matemáticas y papiroflexia)