Download - Matematika ( PPT )
TRIGONOMETRI
Amati gambar
AB
C
D0
r
-
Dari gambar tersebutOC=OB=OD=OA = r dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).
Rumus untuk Cos (α ± β)
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh
b. (DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2 = r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2 sin2 α + 2 r2sin α sin β + r2 sin2 β = r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = 2r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β
sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu
a. (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2 = r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2
sin2 (α + β) = r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2
2r2cos (α + β) = r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2
cos (α + β) Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos ( + β)
Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos cos β + 2r2 sin sin β
Jadi, AC2 = DB2.
2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu
cos(α – β)= cos (α + (–β))
= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)
= cos α cos β + sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Rumus untuk sin (α ± β)
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut
komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α+β) dengan
menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut
komplemen berikut.
cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri
dua sudut komplemen, diperoleh
sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]
= cos [(90° – α) – β]
= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β
= sin α · cos β + cos α · sin β
sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu
sin (α – β) = sin (α + (–β))
= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)
= sin α · cos β – cos α · sin β
Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Rumus untuk tan (α ± β)
Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β), sebagai berikut :
Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
Rumus untuk sin 2α
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Untuk β = α, diperolehsin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α sin 2 α = 2 sin α cos α
Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α
Rumus untuk cos 2αcos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β. Untuk β = α, diperolehcos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α cos 2α = cos2α – sin2α
Jadi, cos 2α = cos2α – sin2α
Untuk rumus cos2α dapat juga ditulis cos 2α = cos2α – sin2α cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α cos 2α = 1 – 2 sin2α
Jadi, cos 2α = 1 – 2 sin2α
Rumus untuk tan 2α
Perkalian Sinus dan Kosinus
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)
Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh
cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Fungsi dan Sifatnya
Relasi
Definisi
Relasi H dari himpunan A ke himpunan B ialah himpunan bagian dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan bagian dari A × B. Jadi, H disebut relasi dari A ke B jika H himpunan bagian dari {(x, y)|x A, y B}.
Y=2xx
y0
Gambar (a)
Y=x2
x
y0
Gambar (b)
5
5
-5
x
y0
X2+y2=25
Gambar (c)
Fungsi :
Sekarang amati Gambar (b). Pada relasi {(x, y)|Y=x2 ; x, R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungan dengan 4, –1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan 4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x; x, yR} dan relasi {(x, y)|Y=x2 ; x, yR} disebut fungsi.
Berbeda dengan Gambar (c), yaitu relasi {(x, y)|X2+y2=25 ; x, yR}. Pada relasi ini, untuk nilai x yang sama misalnya x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4.
Jadi, relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, yR) bukan fungsi.
ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnya dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya
Sifat-Sifat Fungsi
Fungsi Injektif
Sekarang, amati kembali Gambar. Dari grafik fungsi f(x) = 2x pada gambar tersebut, untuk setiap domain X1
dan X2 (X1 ≠ X2) maka f(X1) ≠ f(X2). Misalkan untuk X1 = –1, X2 = 1 maka f(X1) = –2, f(X1) = 2, dan f(X1)≠f(X1). Jadi, untuk nilai x yang berbeda menghasilkan nilai y = f(x) yang berbeda pula. Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
Y=2xx
y0
Jika dua unsur yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka f disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
Fungsi Surjektif
Y=2xx
y0
Grafik f(x) = 2x . Grafik tersebut memiliki daerah
hasil (range) R fsama dengan daerah kawannya
(kodomainnya). Oleh karena itu, fungsi f(x) = 2x
disebut fungsi surjektif atau fungsi onto. Secara
umum, jika pada suatu fungsi f dari A ke B daerah
hasilnya R f = B maka fungsi itu disebut fungsi
surjektif atau fungsi onto . Akan tetapi, jika R f ÃB
maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi
surjektif f.
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif. Jadi, fungsi y = 2x merupakan fungsi bijektif.
Aljabar Fungsi
f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang diketahui, berlaku hal-hal berikut. • Jumlah dari fungsi f(x) dan g(x) adalah (f + g)(x)= f(x) + g(x) dengan Df+g = Df Dg. • Selisih dari fungsi f(x) dan g(x) adalah (f – g)(x)=f(x) – g(x) dengan Df-g= Df Dg Perkalian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan Dfxg= Df Dg. • Pembagian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah
Fungsi Komposisi
f g
gof
Definisi
Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka
fungsi komposisi f dan g ditulis g ° f,
didefinisikan sebagai (g ° f)(x) = g(f(x)) untuk
setiap x Dg
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. (f ° g) (x) ≠ (g ° f) (x)
2. (f ° (g ° h)) (x) = ((f ° g) ° h) (x)
Fungsi Invers
Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan
daerah asal Df dan daerah hasil Rf . Fungsi
invers(fungsi balikan) f adalah f-1 jika dan hanya
jika (f-1° f) (x) = x untuk setiap x di dalam Df dan
(f-1° f) (x) = x untuk setiap x di dalam Rf
Limit
F(x)=k
x
y
Limit Fungsi Aljabar
Limit konstanta k untuk x mendekati a ada dan nilainya sama dengan k, ditulis
Secara grafik, hal tersebut dapat di lihat pada Gambar, Pandang fungsi f(x) = k maka
Limit x untuk x mendekati a pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis
Teorema Limit Utama
Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi dan k konstanta maka
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Limit Fungsi Trigonometri
F(x)
g(x)h(x)
a0Sifat Prinsip Apit
Amati Gambar Diketahui f, g, dan h adalah fungsifungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat a, kecuvali mungkin di a.
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi f(x) = axn
Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan asli maka f '(x) = naxn-1.
Misalkan, f(x) = axn dengann bilangan bulat maka f '(x) = anxn-1
untuk f(x) = a, f '(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real.
Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn dengan n Bilangan Rasional
Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan rasional
maka turunannya adalah f '(x) = naxn-1
Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v
Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku
y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v'
Turunan Fungsi y = c . u
Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga
untuk y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a).
Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c . u'.
Turunan Fungsi y = uv
jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a bilangan real
sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a).
Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'.
Turunan Fungsi y = un
f(u) = un, f '(u) = nun-1 sehingga y'(x) = nun-1u'(x)
Untuk y = un maka y' = nun-1u'(x)
Aturan Rantai
Misalkan, y = f(u) dan u = g(x). (f o g)(x) = f{g(x)} = f(u) = y
Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u,
turunan fungsi komposisi y = f{g(x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut :
(f o g)'(x) = f '(g(x)) . g'(x)
Persamaan Garis Singgung pada Kurva
kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x)
di titik A(a, f(a)) adalah
Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1)
Dengan gradien m adalah y – y1 = m(x – x1)
persamaan garis singgung g di titik A(a, f(a)) pada
kurva adalah y – f(a) = f '(a) (x – a)
Turunan Kedua
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Definisi
Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa:• f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) < f(b);• f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b menyebabkan f(a) > f(b)
Nilai Stasioner
Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan
(diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c)
jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.
Definisi
langkah-langkah yang harus dilakukan.
Langkah 1: Menganalisis f(x) a. Menentukan daerah asal fungsi f(x). b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung interval daerah asal. c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. • Titik potong dengan sumbu-x (diperoleh untuk y = 0 atau f(x) = 0). • Titik potong dengan sumbu-y (diperoleh untuk x = 0 atau f (0)).
Langkah 2: Menganalisis f '(x) a. Menentukan titik stasioner. b. Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun. c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal (jika ada). d. Menentukan titik belok fungsi.
Langkah 3: Membuat sketsa grafik a. Menyajikan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 pada bidang Cartesius. b. Membuat sketsa grafik denganmenghubungkan titik-titik tersebut.
Menggambar Grafik Fungsi Aljabar
Persamaan ExponenSifat-sifat eksponen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bentuk persamaan eksponen
Bentuk af(x) = 1
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = 1
dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :
Jika af(x) = 1 ( a > 0 dan a 1) maka f(x) = 0
Bentuk af(x) = ap
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ap
dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :
Jika af(x) = ap ( a > 0 dan a 1) maka f(x) = p
Bentuk af(x) = ag(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ag(x)
dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :
Jika af(x) = ag(x) ( a > 0 dan a 1) maka f(x) = g(x)
Bentuk af(x) = bf(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = bf(x)
dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :
Jika af(x) = bf(x) ( a > 0 dan a 1, b > 0 dan b 1) maka f(x) = 0
Bentuk f(x)g(x) = 1
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen f(x)g(x) = 1 dapat
di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :
Jika f(x)g(x) = 1, maka kemungkinannya
1. f(x) = 1
2. g(x) = 0 dengan f(x) 0
3. f(x)= -1 dengan g(x) bilangan
bulat genap
Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x)
himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen f(x)g(x) = f(x)h(x)
dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :
jika f(x)g(x) = f(x)h(x), maka kemungkinannya
1. f(x) = h(x)
2. f(x) = 1
3. f(x) = 0, dengan g(x) dan h(x) keduanya positif
4. f(x) = -1 dengan g(x) dan h(x) keduanya ganjil atau
genap
Bentuk A af(X)2 + B af(x) + c = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen
A af(X)2 + B af(x) + c = 0 ( a > 0 dan a 1, A, B,
C bilangan real dan A 0 ) dapat di gunakan
dengan cara memisalkan af(x) = p sehingga
persamaan eksponen A af(X)2 + B af(x) + c = 0
dapat di ubah menjadi persamaan kuadrat Ap2 +
Bp + c = 0
Dari persamaan af(x) = p diperoleh nilai x
FUNGSI EKSPONEN
Untuk setiap x Q ( bilangan rasional ) dapat
dipasangkan tepat satu bilangan real ax (a>0
dan a1), dengan demikian kita dapat
mendefinisikan sebuah fungsi f : x ax ( fungsi
eklsponen )
fungsi ini memetakan setiap bilangan rasional
x ke ax
fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau
basis a adalah f : x ax atau y = f(x) = ax
Menggambar bangun Ruang
Bangun Ruang Kubus
A B
CD
EF
GH
1. Bidang ABFE dab bidang DCGH dikatakan bidang
frontal, yaitu bidang yang sejajar dengan bidang
gambar
2. Bidang ABCD, ADHE, EFGH, dan BCGF dinamakan
bidang ortogonal yaitu bidang-bidang yang tegak lurus
bidang gambar
3. Bidang ABCD dan EFGH dinamakn bidang horizontal
Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. contoh 1.log x + log (2x _+1) = 1 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x
2. merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel m
0log4log 255 mm
bentuk persamaan logaritma
bentuk persamaan logaritma
Fungsi Logaritma
Bentuk Umum
y = k. a log x, k suatu konstanta dan a bil. pokok
Grafik (mis ; y = 2 log x )
x 1 2 4 8 …. y 0 1 2 3 ….
y = 2 log x
y = ½ log x
Sifat :
1. Domain x> 0, range y R
2. Monoton naik untuk a > 1
3. Mempunyai asymtot tegak x = 0
4. Y = 2 log x simetris dg y = ½ log x
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
Proyeksi titik pada garis
Dari titik Pditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m
Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H
H
P
P’
g
Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.H
A
A’
g
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
B
B’g’
Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h maka
proyeksi garis h pada bidang berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g
48
Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m
50
P
QV
Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis a dan bidang
dilambangkan (a,)adalah sudut antara
garis a dan proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’
P’
Sudut antara Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang dan bidang adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan
(,)
g
h
D A
BC
HE
FGT
.P
(a). Buat bidang CHF, Misalkan HF dan GE
berpotongan di titik T
(b). Hubungkan C dan T
(c). Perpotongan antara CT dan AG merupakan
titik
tembus AG pada bidang CFH
(d). Titik P merupakan titik tembusnya
Melukis titik tembus garis pada bidang dan
garis perpotongan dua bidang
A B
CD
EF
GH
Irisan antar bidang yang melalui titik A, C dan
Hpada kubus ABCD.EFGH akan membentuk sudut
ACH
Irisan antara bidang yang melalui titik-titik A, B dan
G dengan kubus ABCD.EFGH adalah bidang ABGH
Karena titik H terlrtak pada perluasan bidang ABG.
Sehingga bidang penampang irisan ABG dengan
ABCD.EFGH adalah bidabg ABGH
IRISAN
Garis Tegak Lurus Bidang
Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis
yang berpotongan yang terletak pada satu
bidang
Maka garis itu tegak lurus setiap garis pada
bidang itu
VEKTOR
AB
CD
Definisi
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran
merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah
walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di
ruang – n ( Rn) jika vektor tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R2
maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R3 maka
dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor
merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa
dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis
Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti AB , AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir. vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untukvektor di bidang , titik O adalah ( 0,0 )).
Perkalian skalar dua vektor
Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain
Vektor x merupakan proyeksi orthogonal dari vektor a pada vector b ditulis
x = proyb a
Disini akan terdapat dua kemungkinan
•Proyeksi scalar orthogonal , yaitu merupakan nilai skalar dari proyeksi a dan b
•Proyeksi vector orthogonal, yaitu vektor proyeksi dari a pada b
Proyeksi skalar dari vektor a pada vektor b hasilnya merupakan scalar, yaitu
a
x b