Download - Matematika Teknik - Diferensial
![Page 1: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/1.jpg)
DIFERENSIAL
![Page 2: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/2.jpg)
2.1. Koefiesien Diferensial baku.
2.2 Fungsi dari suatu fungsi2.3 Diferensial Logaritmik2.4 Persamaan Parametrik
![Page 3: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/3.jpg)
Teorema Turunan 1 :
J ika c'f ada, maka f kontinu di c.
![Page 4: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/4.jpg)
Teorema Turunan 2 :
1. Aturan Fungsi Konstanta. J ika xf = k dengan k suatu
konstanta maka untuk sebarang x, x'f = 0, yaitu kD = 0.
2. Aturan fungsi I dentitas. J ika xf = x, maka x'f = 1, yaitu
xD =1.
3. Aturan Pangkat. J ika nxxf , dengan n bilangan-
bilangan bulat positif, maka 1nnxx'f , yaitu
1nn nxxD .
4. Aturan Kelipatan Konstanta. J ika k suatu konstant dan f
suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka x'f.kx'kf ,
yaitu xDf.kxf.kD .
![Page 5: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/5.jpg)
5. Aturan J umlah. J ika f dan g fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka x'gx'fx'gf , yaitu
xDgxDfxgxfD .
6. Aturan Selisih. J ika f dan g fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka
x'gx'fx'gf , yaitu xDgxDfxgxfD .
7. Aturan Hasil Kali. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang
dapat terdiferensialkan, maka x'gxfxgx'fx'g.f ,
yaitu xgxDfxDgxfxgxfD .
8. Aturan Hasil Bagi. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang
dapat didiferensialkan dengan 0xg . Maka
xg
x'gxfx'fxgx
gf
2
,yaitu :
xg
xDgxfxDfxgxgxf
D2
.
![Page 6: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/6.jpg)
Misalkan 0a , xu fungsi
1. xx ex'y;exy .
2. alnax'y;axy xx .
3. xuxu ax'ux'y;axy .
![Page 7: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/7.jpg)
1. xcosxsindxd
2. xsinxcosdxd
3. xsecxtandxd 2
4. xeccosxcotdxd 2
5. xtan.xsecxsecdxd
6. xcot.xeccosxeccosdxd
![Page 8: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/8.jpg)
Misalkan xuu adalah fungsi
yang dapat diturunkan. Maka :
1. dxdu
.ucosusindxd
2. dxdu
.usinucosdxd
3. dxdu
.usecutandxd 2
4. dxdu
.ueccosucotdxd 2
5. dxdu
.utan.usecusecdxd
6. dxdu
.ucot.ueccosueccosdxd
![Page 9: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/9.jpg)
Misalkan 0a , xu fungsi
1. x1
x'y;xlnxy .
2. alnx
1x'y;xlogxy a .
3. alnxu
x'ux'y;xulogxy a .
![Page 10: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/10.jpg)
Misalkan ufy dan ufy menentukan
fungsi komposit xgfxgfy .
J ika g terdiferensialkan di x
dan f terdiferensialkan di xgu ,
maka gf terdiferensialkan di x
dan x'gxg'fx'gf ,
yaitu uDyDyD xux .
![Page 11: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh :
1.Diferensialkan y = Cos ( 5x – 4 )
Jawab : dy/dx = - 5 sin ( 5x – 4 )
2. Diferensialkan y = tan ( 4 – 5x )jawab: dy / dx = -5 sec ( 4 – 5x )
![Page 12: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/12.jpg)
Untuk fungsi implisit yang sukar dinyatakan
secara eksplisit, turunannya dapat ditentukan
dengan menggunakan aturan turunan untuk
jumlah dan perkalian dua fungsi dan aturan berantai.
![Page 13: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh :
Pandang persamaan :
yxx4xyyx2 3232
yxx4dxd
xyyx2dxd 3232
dxdy
xyx34dxdy
xy2ydxdy
yx6xy4 322223
yx3y4xy4dxdy
xdxdy
xy2dxdy
yx6 223322
yx3y4xy4xxy2yx6dxdy 223322
322
223
xxy2yx6
yx3y4xy4dxdy
![Page 14: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/14.jpg)
Pandang fungsi-fungsi: xy dan tx
Maka :
dtdx
.dxdy
dtdy
atau
dtdxdtdy
dxdy
![Page 15: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/15.jpg)
Purnami.E.Soewardi,Media Pembelajaran Matematika,Bandung ,2008
K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.
![Page 16: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/16.jpg)
PENERAPAN DIFERENSIAL
![Page 17: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/17.jpg)
Persamaan Garis lurus dan garis normal
a) Persamaan garis lurus adalah y = mx + c Dengan m : kemiringan garis / gradien
Atau m = dy/dx = tan Sedangkan c : perpotongan dengan sumbu y
b) y – y1 = m ( x – x1)
![Page 18: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh soal :1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (3,2 ) dan Q ( -2,1 )penyelesaian : y = mx + c Melalui P ( 3,2 ) …… 2 = 3m + c Melalui Q ( -2,1 ) …… 1 = -2m + c
- 1 = 5m
m = 1/5 maka c = 7/5 Jadi persamaan garisnya adalah y = 1/5 x + 7/5
![Page 19: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh Soal:2.Tentukan persamaan garis singgung &
garis normal kurva x + y + 3xy – 11 = 0 di titik ( 1,2 )
Jawab :Diferensialkan persamaan kurvanya2x +2y. dy/dx + 3y + 3x. dy/dx = 0dy/dx ( 2y + 3x ) = -2x – 3y dy/dx = - 8/7
m = - 8/7
![Page 20: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/20.jpg)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y - y = m ( x - x )y –2 = - 8/7 ( x – 1 ) y = - 8/7 x + 8/7 + 27y = -8x + 22
Kemiringan garis normalnya , m = 7/8Persamaan garis normalnya adalahY –2 = 7/8 (x – 1 ) Y = 7/8 x – 7/8 +28y = 7x + 9
![Page 21: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/21.jpg)
Kemiringan garis Normal =
ggunggariskemiringan sin
1
![Page 22: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/22.jpg)
Cukup dengan menentukan 2 buah titik
sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu).
contoh: Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0 Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 ; 2x +
3(0) - 6 = 0 ® x = 3 ® (3,0) Titik potong dengan sumby y ® x = 0 ; 2(0)
+ 3y - 6 = 0
![Page 23: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/24.jpg)
1.Bentuk umum ax + by + c = 0 atau y = mx + n
2. Persamaan sumbu x ® y = 0 3. Persamaan sumbu y ® x = 0 4. Sejajar sumbu x ® y = k 5. Sejajar sumbu y ® x = k
![Page 25: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/25.jpg)
Melalui titik asal dengan gradien m y = mx
![Page 26: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/26.jpg)
11 y,x
11 xxmyy
Melalui titik dengan gradien m
![Page 27: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/27.jpg)
11 y,x 22 y,x
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
1
12
121 xx
xx
yyyy
Melalui titik dan
![Page 28: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/28.jpg)
Y Tali busur AB
B
cfhcf
cf,c Garis singgung
A h
0 c c+h X
hcf,0 hcf,hc
![Page 29: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/29.jpg)
Misalkan kurva tersebut mempunyai persamaan xfy .
Maka titik A mempunyai koordinat cf,c ,
titik B mempunyai koordinat hcf,hc
dan tali busur yang melewati A dan B mempunyai
kemiringan (gradien) ABm , dengan
h
cfhcfmAB
Akibatnya, garis singgungnya adalah
garis yang melalui A dengan gradien :
h
cfhcfmm limlim
0hAB
0h
.
![Page 30: Matematika Teknik - Diferensial](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061316/5592129c1a28ab15638b4594/html5/thumbnails/30.jpg)
Purnami.E.Soewardi,Media Pembelajaran Matematika,Bandung ,2008